七年級數(shù)學上學期期末考試真題匯編（人教版）幾何圖形初步章末題型（13個題型）

專題12幾何圖形初步章末重難點題型（13個題型）

態(tài)與IL導航

一、經(jīng)典基礎(chǔ)題

題型1直線、射線、線段、角的基本概念

題型2角的表示、換算及比較大小

題型3直線、射線、線段的實際生活中的應用

題型4線段、角度中的計數(shù)問題

題型5作圖問題

題型6與線段有關(guān)的計算

題型7實際背景下線段的計算問題

題型8鐘面上的角度問題

題型9方位角問題

題型10一副直角三角形板中的角度問題

題型11與角平分線（角的和差）有關(guān)的計算

題型12余角、補角、對頂角的相關(guān)計算

題型13七巧板相關(guān)問題

二、優(yōu)選提升題

e假翼泉篇題

題型1直線、射線、線段、角的基本概念

解題技巧：熟練掌握直線、射線、線段基本性質(zhì)和概念。

例1.（2022?廣東汕頭七年級期末）下列說法：（1）兩點之間線段最短；（2）兩點確定一條

直線；（3）同一個銳角的補角一定比它的余角大90。；（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩

點間的線段；其中正確的有（）

A.一個B.兩個C.三個D.四個

【答案】C

【分析】（1）根據(jù)線段的性質(zhì)即可求解：（2）根據(jù)直線的性質(zhì)即可求解；（3）余角和補角一

定指的是兩個角之間的關(guān)系，同角的補角比余角大90。；（4）根據(jù)兩點間的距離的定義即可

求解.

【解析】（1）兩點之間線段最短是正確的：（2）兩點確定一條直線是正確的；

（3）同一個銳角的補角一定比它的余角大90。是正確的；

（4）A、B兩點間的距離是指A、B兩點間的線段的長度，原來的說法是錯誤的.故選C.

【點睛】本題考查了補角和余角、線段、直線和兩點間的距離的定義及性質(zhì)，是基礎(chǔ)知識要

熟練掌握.

變式L（2022?山東濰坊?七年級期末）如圖，下列說法正確的是（）

--???

ABO

A.點。在射線朋上B.點B是直線AB的端點

C.到點B的距離為3的點有兩個D.經(jīng)過4,B兩點的直線有且只有一條

【答案】D

【分析】根據(jù)射線、直線定義判斷A、B,根據(jù)兩點間的距離判斷C,根據(jù)宜線公理判斷D.

【詳解】解：點。在射線AB上，故A錯誤，不符合題意；

直線沒有端點，故B錯誤，不符合題意；

平面內(nèi)到點8距離為3的點有無數(shù)個，故C錯誤，不符合題意；

經(jīng)過A,8兩點的直線有且只有一條，故D正確，符合題意：故選：D.

【點睛】本題考查射線、直線定義，兩點間的距離及直線公理，解題的關(guān)鍵是掌握相關(guān)定義、

定理、公理.

變式2.（2022?河北七年級期末）下列說法正確的是（）

A.連接兩點的線段，叫做兩點間的距離B.射線OA與射線A。表示的是同一條射線

C.經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線D.從一點引出的兩條直線所形成的圖形叫

做角

【答案】C

【分析】根據(jù)線段、射線、直線的定義即可解題.

【解析】解：A.連接兩點的線段長度，叫做兩點間的距離

B.射線OA與射線AO表示的是同一條射線,錯誤,射線具有方向性，

C.經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線,正確，

D.錯誤,應該是從一點引出的兩條射線所形成的圖形叫做角，故選C.

【點睛】本題考查了線段、射線、直線的性質(zhì),屬于簡單題,熟悉定義是解題關(guān)鍵.

題型2角的表示、換算及比較大小

例L（2022?山東莉澤?七年級期末）角度換算：26048,=—°.

【答案】26.8

【分析】根據(jù)度分秒的換算法則求解即可.

【詳解】解:26048,=260+（48÷60）°=26°+0.8°=26.80,故答案為：26.8.

【點睛】本題考查了度分秒的換算，解決本題的關(guān)鍵是掌握度分秒的換算法則.

變式1.（2022?江西吉安?七年級期末）如下圖，下列說法正確的是（）

C

B

A.ZI與ZAoB表示同一個角B.zi=z∕?C.圖中共有兩個角：ZbD.4表示ZAoC

【答案】A

【分析】根據(jù)角的表示方法表示各個角，再判斷即可.

【詳解】解：A.回1與0A。B表示同一個角，正確，故本選項符合題意：

B.Nl=N僅不一定成立，故選項錯誤，不符合題意；

C.圖中共有三個角：/1，4,HAOC,故選項錯誤，不符合題意；

D.々表示ZBoC，故選項錯誤，不符合題意.故選：A.

【點睛】本題考查了對角的表示方法的應用，正確表示角是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?湖南永州?七年級期末）若NA=32°18',∕B=32°15'30",ZC=32.25°,則

（）.

A.ZA>ZB>ZCB.ZB>ZA>ZCC.Z4>ZC>ZBD.ZC>ZA>ZB

【答案】A

【分析】將三個角的度數(shù)都轉(zhuǎn)化成度分秒的形式后，即可得到三個角的大小關(guān)系.

【詳解】解：0Γ=6O,;0O.25o=6O,×O.25=15*;00C=32o15）;

032o18,>32o15,3O/,>32°15,;0a4>l3B>l3C.故選：A.

【點睛】本題主要考查角的大小比較，需要熟練掌握度數(shù)與度分秒形式之間的轉(zhuǎn)化.

題型3直線、射線、線段的實際生活中的應用

解題技巧：主要考查“兩點確定一條直線”和“兩點之間，線段最短”，弄明白兩者的區(qū)別

即可

例L（2022?陜西?西安鐵一中分校七年級期末）下列現(xiàn)象能用"兩點確定一條直線”來解釋的

是（）

①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；②從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段AB

架設；

③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；

④把彎曲的公路改直，就能縮短路程.

A.①③B.①②C.②④D.③④

【答案】A

【分析】直接利用直線的性質(zhì)以及兩點之間線段最短分析得出答案.

【詳解】解：①用兩個釘子就可以把木條固定在墻上，根據(jù)是兩點確定一條直線；

②從A地到8地架設電線，總是盡可能沿著線段A8架設，根據(jù)是兩點之間線段最短；

③植樹時，只要確定兩棵樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線，根據(jù)是兩點確定一條

直線；

④把彎曲的公路改直，就能縮短路程，根據(jù)是兩點之間線段最短.故選：A.

【點睛】此題主要考查了線段以及直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確把握相關(guān)性質(zhì).

變式1.(2022?河南漠河?七年級期末)下列現(xiàn)象：

(1)用兩個釘子就可以把木條固定在墻上；

(2)從A地到B地架設電線，總是盡可能沿著線段A8架設；

(3)植樹時，只要確定兩顆樹的位置，就能確定同一行樹所在的直線；

(4)把彎曲的公路改直，就能縮短路程.

其中能用“兩點之間，線段最短”來解釋的現(xiàn)象有()

A.(1)(2)B.(2)(3)C.(3)(4)D.(2)(4)

【答案】D

【分析】利用直線和線段的性質(zhì)對選項逐一進行判斷得出結(jié)論.

【詳解】(1)利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；

(2)可用"兩點之間，線段最短"解釋，故符合題意；

(3)利用兩點確定一條直線解釋，故不符合題意；

(4)可用“兩點之間，線段最短"解釋，故符合題意.故選：D.

【點睛】本題考查直線和線段的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是對直線和線段的性質(zhì)熟練應用并熟

悉兩者的區(qū)別.

題型4線段、角度中的計數(shù)問題

例1.(2022?山西?右玉縣七年級期末)閱讀并填空：

問題：在一條直線上有A,B,C,。四個點，那么這條直線上總共有多少條線段？

要解決這個問題，我們可以這樣考慮，以A為端點的線段有AB，AC,AD3條，同樣以B

為端點，以C為端點，以￡＞為端點的線段也各有3條，這樣共有4個3,即4χ3=12(條)，

但AB和朋是同一條線段，即每一條線段重復一次，所以一共有條線段.那么，若在

一條直線上有5個點，則這條直線上共有條線段；若在一條直線上有"個點，則這條

直線上共有條線段.

知識遷移：若在一個銳角ZAoB內(nèi)部畫2條射線OC,OD,則這個圖形中總共有

個角；若在ZAoB內(nèi)部畫"條射線，則總共有個角.

學以致用：一段鐵路上共有5個火車站，若一列火車往返過程中，必須停靠每個車站，則鐵

路局需為這段線路準備種不同的車票.

...n（n-??（n+2］（n+l］

【答案】6，10,-?——L,6,?——20

22

【分析】問題：根據(jù)線段的定義解答：知識遷移：根據(jù)角的定義解答；

學以致用：先計算出線段的條數(shù)，再根據(jù)兩站之間需要兩種車票解答.

【詳解】解：問題：根據(jù)題意，則竽=6；單=10；出二D；

知識遷移：在0AO8內(nèi)部畫2條射線OC,OD,則圖中有6個不同的角，在ELAOB內(nèi)部畫〃

條射線OC,OD,OE,則圖中有1+2+3+...+〃+（n+l）=空乂竺4個不同的角；

2

學以致用：5個火車站代表的所有線段的條數(shù)（x5x4=10,需要車票的種數(shù)：10x2=20（種）.

立"-"…"（"-I）（"+2）（n+l）

故答案為：6,10,J~?,6,?——△~L,20；

22

【點睛】此題考查了線段的計數(shù)問題,解本題的關(guān)鍵是找出規(guī)律,此類題目容易數(shù)重或遺漏，

要特別注意.

變式1.（2022?山東青島?七年級期末）平面內(nèi)兩兩相交的7條直線,其交點個數(shù)最少是機個，

最多是〃個，則，的值為（）

A.18B.20C.22D.24

【答案】C

【分析】根據(jù)平面內(nèi)兩兩相交直線交點的個數(shù)所呈現(xiàn)的規(guī)律得出〃八〃的值即可.

［詳解］解：平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最少是1個，即m=l,

平面內(nèi)兩兩相交的7條直線，其交點個數(shù)最多是1+2+3+4+5+6=21（個），即”=21,

所以w+a=22,故選：C.

【點睛】本題主要考查了直線相交的交點情況，找出交點個數(shù)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?廣西賀州?七年級期末）如圖，從4。8的頂點引出兩條射線OCOD,圖中

的角共有（）

C.6個D.7個

【答案】C

【分析】按一定的規(guī)律數(shù)角的個數(shù)即可.

【詳解】解：以。4為一邊的角有：ΛAOD,ZAOC,ZAOB,

以0。為一邊的角有：ADOC,ADOB,以OC為??邊的角有：ZCOB.

所以，圖中共有6個角，故選：C.

【點睛】本題通過數(shù)角的個數(shù)，鞏固角的概念，難度適中.

題型5作圖問題

解題技巧：（1）尺規(guī)作圖：做己知線段的和差倍數(shù)問題：（2）常規(guī)作圖：與線段射線直線有

關(guān)的基本作圖。

例1.（2022?河北保定?七年級期末）如圖,在平面內(nèi)有A、B、。三點.⑴畫直線AB，射線AC,

線段BC；⑵在線段BC上任取一點。（不同于氏C）,連接AO,并延長Ao至E,使Z）E=AD；

（尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）數(shù)一數(shù)，此時圖中線段共有一條.

A?

C

【答案】（1）見解析⑵見解析（3）8條

【分析】（1）根據(jù)直線、射線、線段的定義作圖；

（2）根據(jù)在線段BC上任取一點O（不同于B,C）,連接線段Azx并延長AC至點E,使

DE=A。即可；（3）根據(jù)圖中的線段為A8,AC,AD,AE,DE,BD,CD,BC,即可得到圖

中線段的條數(shù).

（1）如圖，直線A8,線段8C,射線AC即為所求；

（2）如圖，線段AZ）和線段DE即為所求；

（3）圖中有線段AB、AC.AD,AE,DE、BC、BD、CD,一共8條.

【點睛】考查了直線、射線、線段的定義，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直線、射線、線段定義.

變式L（2022?安徽宣城?七年級期末）（1）請在給定的圖中按照要求畫圖:

C

AB

①畫射線AB；②畫平角團BA￡>；③連接AC.（2）點B、C分別表示兩個村莊，它們之間

要鋪設燃氣管道.若節(jié)省管道，則沿著線段BC鋪設.這樣做的數(shù)學依據(jù)是：.

【答案】（1）①見解析；②見解析；③見解析；（2）兩點之間，線段最短

【分析】（1）①根據(jù)射線的定義，作出圖形即可；②根據(jù)平角的定義，作出圖形即可；③

根據(jù)線段的定義，作出圖形即可；（2）根據(jù)兩點之間線段最短解決問題.

【詳解】解：（1）①如圖，射線AB即為所求；

②如圖，回84。即為所求；③如圖，線段AC即為所求；

（2）沿著線段BC鋪設.這樣做的數(shù)學依據(jù)是：兩點之間線段最短.

【點睛】本題主要考查了直線，射線，平角的定義，線段的基本事實，熟練掌握直線是兩端

都沒有端點、可以向兩端無限延伸、不可測量長度的線；射線是只有一個端點，它從一個端

點向另一邊無限延長不可測量長度的線；直線上兩個點和它們之間的部分叫做線段；兩點之

間線段最短是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?河南淮濱縣?七年級期末）如圖，在同一平面內(nèi)有四個點A,B,C,D，請

用直尺按下列要求作圖：（1）作射線CO；作直線AQ：連接A3；（2）如果圖中點A,B,

C,。表示四個村莊，為解決四個村莊的缺水問題，政府準備投資修建一個蓄水池戶，要求

蓄水池P到四個村莊的距離和最小，請你找出蓄水池〃的位置.

<?D

T?c

【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，理由：兩點之間，線段最短

【分析】（1）根據(jù)直線的定義：兩端沒有端點，可以向兩端無限延伸，不可測量長度，射線

的定義：直線上的一點和它一旁的部分所組成的圖形，線段的定義：兩點都有端點，不可

延長，作圖即可；

（2）根據(jù)兩點之間線段最短即可確定P的位置.

【詳解】解：（1）所作圖形如圖1所示.

?/八、、

B\

C

（2）如圖2,連接AC,BD，

則AC與BD的交點P為滿足要求的蓄水池的位置，理由：兩點之間，線段最短.

【點睛】本題上要考查了兩點之間線段最短，直線，射線與線段的定義，解題的關(guān)鍵在于能

夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解.

題型6與線段有關(guān)的計算

例L（2022?浙江?七年級期末）如圖，線段AB=8cm,C是線段AB上一點，M是AB的中點，

N是AC的中點.（1）AC=3cm,求線段M的長；（2）若線段AC=m,線段BC=〃，

求MN的長度（ZV”用含,2”的代數(shù)式表示）.

ANCMR

【答案】（I）CM=Icm,NM=2.5cm；（2）?n

【分析】（I）求出AM長，代入CM=A/VMC求出即叭分別求出AMAM長，代入MN=AM-AN

求出即可；

（2）分別求出AM和AM利用AM-AN可得MN.

【詳解】解：（1）AB-Scm?M是AjB的中點，，AM=；A3=4cvn,

√AC=3cm?:.CM=AM-AC=4-3=km；

?AB=Scm,AC=3cmM是AB的中點，N是AC的中點，

.?.AM=-AB=4cm,AN=^-AC=?.5cfn,:.MN=AM-AN=4-\,5=2.5an；

22

（2）AC=mBC-n?..AB=AC-^-BC=ιn-ι-n,

M是A3的中點，N是AC的中點，???4W=gA8=3（m+"）,AN=^AC=^m,

MN=AM-AN=-（m+n）——rn=—n.

222

【點睛】本題考查了兩點之間的距離，線段中點的定義的應用，解此題的關(guān)鍵是求出AM、

AN的長.

變式L（2022?湖南新邵縣?七年級期末）如圖，線段A8=22cm,C是AB上一點，且AC=

14cm,。是A8的中點，線段。C的長度是（）

A0~C%

A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm

【答案】B

【分析】根據(jù)。是AB的中點，求得AO的長，即可求解.

【詳解】解：回。是AB的中點，AB=22cm,I3OA=O8=3A8=gx22=ll（cm）,

IaoC=AC-A。=14-11=3（cm）.故選：B.

【點睛】此題主要考查J'線段中點的性質(zhì)，熟練掌握線段中點的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?浙江?）定義：當點C在線段AB上，AC=ZlAS時，我們稱"為點C在線段

AB上的點值，記作dC^AB~n?

甲同學猜想：點C在線段AB上，若AC=28。，則"c=,?

乙同學猜想：點C是線段AB的三等分點，則&'B=3

關(guān)于甲乙兩位同學的猜想，下列說法正確的是（）

A.甲正確，乙不正確B.甲不正確，乙正確C.兩人都正確D.兩人都不正確

【答案】A

【分析】本題根據(jù)題目所給"次項="的定義對兩人的猜想分別進行驗證即可得到答案，對

于乙的猜想注意進行分類討論.

【詳解】解：甲同學：點C在線段演上，且AC=2BC,;AC="'.?."*AB=∣,二甲

同學正確.

乙同學：點C在線段AB上，且點C是線段AB的三等分點，；.有兩種情況，

①當AC=gA8時，?=p②當AC=IAB時，

zlfldC?^AB=g，乙同學錯誤.故選：A

【點睛】本題主要考查對于新定義和線段的等分點的理解，對于線段的三等分點注意分類討

論即可.

題型7實際背景下的計算問題

例1.（2022?北京海淀區(qū)?七年級期中）如圖，直線上的四個點A,B,C,D分別代表四個小

區(qū)，其中A小區(qū)和B小區(qū)相距am,8小區(qū)和C小區(qū)相距200m,C小區(qū)和。小區(qū)相距am,

某公司的員工在A小區(qū)有30人，B小區(qū)有5人，C小區(qū)有20人，。小區(qū)有6人，現(xiàn)公司計

劃在A,8,C,。四個小區(qū)中選一個作為班車?？奎c，為使所有員工步行到停靠點的路程總

和最小，那么?？奎c的位置應設在（）

卜-am-?<-----200m------>U-am→∣

ABCD

A.A小區(qū)B.B小區(qū)C.C小區(qū)D.。小區(qū)

【答案】B

【分析】根據(jù)題意分別計算停靠點分別在8、D、C各點時員工步行的路程和，選擇最小的

即可求解.

【詳解】解：因為當?？奎c在A區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：5α+20×(200+α)

+6(2a+200)=37a+5200(m),

因為當?？奎c在B區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30a+20×200+6(a+200)-36a+5200

(m),

當?？奎c在C區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30(a+200)+5×200+6a=36a+7000

(m),

當?？奎c在D區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和是：30X(2o+200)+5(a+200)+20a=

98a+7000(m),

因為36a+5200<37a+5200<36a+7000<98a+7000,

所以當?？奎c在B小區(qū)時，所有員工步行到停靠點路程和最小，那么?？奎c的位置應該在B

區(qū).故選：S.

【點睛】本題主要考查了兩點間的距離，理清題意，正確列出算式是解答本題的關(guān)鍵.

變式L(2022?浙江?七年級期中)在數(shù)軸上有一線段AB，左側(cè)端點A,右側(cè)端點將線

段A3沿數(shù)軸向右水平移動，則當它的左端點A移動到和右端點原位置重合時，右端點B在

數(shù)軸上所對應的數(shù)為24,若將線段AB沿數(shù)軸向左水平移動，則右端點s移動到左端點原位

置時，左端點A在軸上所對應的數(shù)為6(單位：Cm)(1)線段AB長為.(2)由

題(1)的啟發(fā)，請你借助"數(shù)軸"這個工具幫助小紅解決下列問題：問題：一天，小紅去問

曾當過數(shù)學老師現(xiàn)在退休在家的爺爺?shù)哪挲g.爺爺說："我若是你現(xiàn)在這么大，你還要等30

年才出生；你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是120歲的老壽星了，哈哈！”則推算爺爺現(xiàn)在的

年齡是_________

/從BB1,

624

【答案】6cm70歲

【分析】(1)據(jù)題意，可知點4和點8'之間的距離為18,且正好是線段AB長的3倍，則

可求出AB的長(2)在求爺爺年齡時，借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，

結(jié)合(1)即可求出爺爺?shù)哪挲g.

【詳解】(1)如圖所示，AA=ΛB=BB?,：.A,B'=3ΛB=24-6=18cffl,二所以AB=6c加.

(2)借助數(shù)軸，把小紅和爺爺?shù)哪挲g差看做線段AB的長，類似爺爺和小紅大時看做當B

點移動到A點時,此時點A，對應的數(shù)為-30,小紅和爺爺一樣大時看做當點A移動到B點時，

此時點夕所對應的數(shù)為120,根據(jù)（1）中提示，可知爺爺比小紅大12°[-30）=50（歲）

所以爺爺?shù)哪挲g為120-50=70（歲）.故答案為：①6cm：②70歲.

【點睛】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離和線段的應用，找出蘊含的數(shù)量關(guān)系，以及利用數(shù)

軸直觀解決問題是解題關(guān)鍵.

變式2.（2022?江蘇宿遷?七年級期末）如圖，直線/上有A,B,C,。四點，點尸從點A的

左側(cè)沿直線/從左向右運動，當出現(xiàn)點尸與A,B,C,。四點中的至少兩個點距離相等時,

點戶就稱為這兩個點的黃金伴侶點，例：若玄=P8,則在點P從左向右運動的過程中，點

P成為黃金伴侶點的機會有（）

PABCD

A.4次B.5次C.6次D.7次

【答案】C

【分析】由題意知，點P與A,B,C,力四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P是其

中一條線段的中點，根據(jù)線段中點定義解答即可.

【詳解】解：由題意知，點P與4B,C,。四點中的至少兩個點距離相等時，恰好點P

是其中一條線段的中點，圖中共有六條線段：AB、BC、CD.AC.AD.BD,

回點P成為黃金伴侶點的機會有六次，故選：C.

【點睛】此題考查了線段中點的定義，確定線段的數(shù)量，正確理解題意得到線段中點定義是

解題的關(guān)

題型8鐘面上的角度問題

例L（2022?福建泉州?七年級期末）時鐘上的分針和時針像兩個運動員，繞著它們的跑道晝

夜不停地運轉(zhuǎn).以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：（1）分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？

⑵中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121°?

⑶在⑵中所述分針與時針所成的鈍角等于121°后，再經(jīng)過幾分鐘兩針所成的鈍角會第二次

等于12T?

【答案】⑴6。⑵22（3）*

【分析】（1）根據(jù)分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360°,用360。除以60計算即得；（2）根據(jù)分針每分

鐘轉(zhuǎn)6。，時針每分鐘轉(zhuǎn)0.5。，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是121°，列方程解答即可；（3）相對

于12時整第二次所成的鈍角第二次等于121°時，時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180。，這個

差與121°之和是360。.

（1）解：Sl分針一小時轉(zhuǎn)一圈即360。，

13分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是：360o÷60=6o,答：分針每分鐘轉(zhuǎn)了6度；

（2）設中午12時整后再經(jīng)過X分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。，

回時針一小時轉(zhuǎn)動角度為：360°+12=30°,時分針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是：30°÷60=0.5°；

回分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。，

回時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差是121°，06x-O.5x=12b解得：x=22,

答：中午12時整后再經(jīng)過22分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于121。；

（3）設經(jīng)過y分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121°，

則從12時算起經(jīng)過（），+22）分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121°，

因為時針與分針轉(zhuǎn)過的角度差超過180。，這個差與121°之和是360。，

故列得方程：6（y+22）-0.5（y+22）+121=360,

解得：6（y+22）-0.5（＞?+22）+121=360,解得：y=變，

答：經(jīng)過*分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于121°?

【點睛】本題通過鐘面角考查??元一次方程，掌握時針分針的轉(zhuǎn)動情況，會根據(jù)已知條件列

方程是解題的關(guān)鍵.選擇合適的初始時刻會簡化理解和運算難度，起到事半功倍的效果.

變式L（2022?遼寧葫蘆島?七年級期末）每天中午12點30分是“校園之聲"節(jié)目都會如約而

至，此時時針與分針所夾的的角為（）

A.i?oeB.165°c.1550D.150°

【答案】B

【分析】根據(jù)時鐘上一大格是30。進行計算即可解答.

【詳解】解：由題意得：6x30o-∣×30o=180o-15o=165o,13時針與分針所夾的的角為165。，故

選：B.

【點睛】本題考查了鐘面角，熟練掌握時鐘上一大格是30。是解題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?浙江麗水?七年級期末）如圖2是從圖1的時鐘抽象出來的圖形，已知三角形

ABC是等邊三角形，ZA=60°,當時針OP正對點A時恰好是12：00,若時針OP與三角形ABC

一邊平行時，時針所指的時間不可能是（）

B

圖1圖2

A.I:OOB.3：00C.5：00D.8：00

【答案】D

【分析】根據(jù)題意可知，需要分三種情況，分別畫出圖形，可根據(jù)時鐘得出結(jié)論.

【詳解】解：根據(jù)題意可知，需要分三種情況，如下圖所示：

當OP//AC時，如圖2(2),此時對應的時間為5：00或11：00；

當。P//8C時，如圖2(3),此時對應的時間為3：00或9：00；故選：D.

【點睛】本題主要考查分類討論思想，對于時鐘的認識，找到每種情況是解題關(guān)鍵.

題型9方位角問題

例1.(2022?浙江麗水?七年級期末)如圖,射線OA表示北偏東30。方向,射線。2表示北偏西

50。方向,則財。8的度數(shù)是()

北

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得財。8=30。+50。，進而得出答案.

【詳解】解：如圖所示：

回射線OA表示北偏東30。方向，射線OB表示北偏西50。方向，

0a4OB=3O°+5Oo=8O°.故選：B

【點睛】此題主要考查了方向角問題，根據(jù)題意借助互余兩角的關(guān)系求出是解題關(guān)鍵.

變式1.（2022?河北廊坊?七年級期末）如圖，小明從A處沿南偏西6530’方向行走至點8處,

又從點B處沿北偏西7230’方向行走至點E處，貝！JaABE=（）

北

【答案】D

【分析】先根據(jù)方位角以及平行線的性質(zhì)可得囪2=m3=6530'、131=7230'，則SA8E=131+E12,

最后計算即可.

【詳解】解：如圖：

回小明從4處沿南偏西6530’方向行走至點B處，又從點B處沿北偏西7230,方向行走至點E

處

032=133=6530'，m1=7230'∣33λBE=δll+自2=138。.故答案為D.

北

【點睛】本題主要考查了方位角和角的運用，正確認識方位角成為解答本題的關(guān)鍵.

變式2.（2022?福建泉州?七年級期末）如圖，OA是表示北偏東X。的一條射線，OB是表示北

偏西（90—y）°的一條射線，若NAoC=NAO8,則OC表示的方向是（）

A.北偏東(90-3x)°B.北偏東(90+X-_y)。c.北偏東(90+2x—y)。D.北偏東

(90-x-y)°

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求得0AO8的度數(shù)，根據(jù)角的和差以及NAOC=N4。8,可得叨OC的度

數(shù)，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，

團OA是表示北偏東x。的一條射線，OB是表示北偏西(90-y)°的一條射線，

0ZAOD=x。,NDOB=(90-y)°,0ZAOB=(90-y+x)0,

回ZAOC=ZAo&.??ZAOC=(90-y+x)°,

ZAOD=X0,.?.ΛDOC=ZAOD+ZAOC=(x+90-γ+x)°=(90-y+2x)°.故選C.

【點睛】本題考查了方位角的表示，幾何圖形中角度的計算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.

題型10一副直角三角形板中的角度問題

例1.(2022?山東棗莊?七年級期中)如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究.

(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是財CB的平分線，請

你猜想此時CB是不是IaEeo的平分線，并簡述理由；(2)如圖②，將一副直角三角板的直角

頂點C疊放在一起，若CB始終在回力CE的內(nèi)部，請猜想0ACE與回。CB是否相等，并簡述理

由.

【答案】⑴CB是回ECO的角平分線；理由見詳解；（2）0ACE=0DCE；理由見詳解；

【分析】（1）根據(jù)財C8=90。，CE是EWCB的角平分線，可知ElECB=；0ACB=45。，進而可知

IaDCB=EIECD-SIEeB=90°—45°=45°,則回ECB=SIDCB,由此可證C8是由Eeo的角平分線；

（2）由MCB=EIOCE=90°,可知0ACE+∣3ECB=9O°,0DCB+0ECB=9Oo,則EIACE=0DCB.

（1）解：猜想CB是13EC。的角平分線，理由如下：

00ACB=9Oo,CE是EACB的角平分線，

EBECB=ga4CB=45°,EBQCB=ElEC￡）一回ECB=90°—45°=45°,

IZBECB=回OC8,0CB是回ECD的角平分線；

（2）猜想：0ACE=0DCE,理由如下：

EEACB=I30CE=90°,03AC￡+回EC8=90",0DCB+0ECβ=9Oo,EElACE=BDCB.

【點睛】本題考查角平分線的判定，角度的轉(zhuǎn)換，能夠根據(jù)題意分析出角的變換過程是解決

本題的關(guān)鍵.

變式1.（2022?山東威海?期末）用一副三角板不能畫出的角是（）.

A.75°B.105oC.IlOoD.135°

【答案】C

【分析】105。=60。+45。，105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫;75。=45。+30。，75°

角可以用一幅三角板中的45。角和30。角畫：135。=90。+45。，135。角可以用一幅三角板中的直

角和90。角或45。角畫；Il0。角用一副三角板不能畫出.

【詳解】解：105。角可以用一幅三角板中的60。角和45。角畫：

75。角可以用一幅三角板中的45。角和30。角畫；110°角用一副三角板不能畫出；

135。角可以用一幅三角板中的直角和90。角或45。角畫。故選：C.

【點睛】本題考查了利用一副三角板畫出的特殊角，找出規(guī)律是解決此類題的最好方法，應

讓學生記住凡是能用一副三角板畫出的角的度數(shù)都是15。的整數(shù)倍.

變式2.（2022?山東濟南?七年級期末）如圖，將一副三角尺的兩個直角項點。按如圖方式疊

放在一起，若0AOC=13O。，則SBOD=（）

D

C

A.45oB.50oC.55oD.60o

【答案】B

【分析】根據(jù)題意可得NAa=NDOC=90°,推算出4。。的度數(shù)，即可得出/BOD的度

數(shù).

【詳解】解：由題可知，ZAOB=ZDOC=90°.

EEAOC=130°,0ZAOD=ZAOC-ADOC=130°-90°=40°

0ZBOD=ZAOB-ZAOD=90°-40°=50°故選B.

【點睛】本題考查了角度的和差計算，推理出角度之間的關(guān)系是本題的關(guān)鍵.

題型11與角平分線（角的和差）有關(guān)的計算

例L（2022?遼寧大連市?）如圖1,在ZAoB內(nèi)部作射線OC,OD,OC在OO左側(cè)，且

ZAOB=2NC0D.

圖1

圖2

（1）圖1中，若NAoB=I60°,。E平分NAOC,OF平分/8。。，則NEoF=。；

（2）如圖2,OE平分4OD,探究NBOQ與NCoE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；

（3）設NCoD="。，過點。作射線OE,使OC為ZAoE的平分線，再作NCoD的角平分

線OF,若NEoC=3NE0F,畫出相應的圖形并求ZAoE的度數(shù)（用含m的式子表示）.

【答案】（1）120；（2）AB0D=2ZA0E,見解析；（3）見解析，-mo^mo

42

【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到NAoE=NCoE=-ZAOC,ZDOF=ABOF=-ZBOD,

22

再結(jié)合已知條件即可得出答案；(2)根據(jù)角平分線的性質(zhì)與已知條件進行角之間的加減即可

證明出結(jié)論；

(3)根據(jù)角平分線的性質(zhì)結(jié)合已知條件進行角度之間的加減運算,分類討論得出結(jié)論即可.

【詳解】解：(1)回408=160。，ZAoB=2NC。。，回NCOD=80°，回ZAOC+ZfiOD=80°,

13OE平分ZAOC,OF平分NBoD，BIZAOE=NCOE=-ZAoC,/DOF=NBoF=-ZBOD,

一22

0NCOE+ZDOF=-(ZAOC+ZBOD)=40°,團AEOF=ZCOE+NFoD+NCoD=120°.故

2

答案為：120；

(2)NBoD=2ZA0E.

證明：目OE平分Z40D，13ZAOD=2NEOD,

O)E?COD?EOD,0ZEOD=ZCOD-ZCOE.

0ZAOD=2(NCoD-NCoE)=2ACOD-2ZCOE.

0ZAOB=2NCOD，0Z4OD=ZAOB-2NC0E.

SZBOD=ZAOB-ZAOD,團NBOD=ZAOB-(ZAoB-2NCOE)=2NCOE,0

ZB0D=2ZC0E;

(3)如圖1,當OE在OF的左側(cè)時,

團0/7平分NCOD，國NCoF=LNCOD,∕COD=nf,ONCOF=Lm。,

22

⑦NCOF=NCoE+/EOF,ZCOE=3ZEOF,

113

0ZCOF=4ZEOF=-∕π0,0ZEOF=-wo,^?ΛCOE=3ΛEOF=-m0.

288

3

o

團0。為ZAoE的平分線，∣3NAOE=2∕COE.fflZAO￡≈-∕ni

圖1圖2

如圖2,當OE在OF的右側(cè)時，IaoF平分NCoD,SZCOF=-ZCOD,

2

0NO)D=nf,BZCOF=-mo,BZCOF=ZCOE-ZEOF,ZCOE=3ZEOF,

2

ooo

^ΛCOF=2ΛEOF=-mf^ZE0F=-m,^?ZC0E=3ZE0F=-m.

244

回OC為ZAoE的平分線，ZAoE=2NC0E=±3m。.綜上所述，ZAoE的度數(shù)為=3m°或3.

242

【點睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)與角度之間的加減運算，關(guān)鍵在于根據(jù)圖形分析出

各角之間的數(shù)量關(guān)系.

變式L（2022?天津和平區(qū)?七年級期中）如圖，點。是直線A8上的一點，IaCoD=80。，OE

平分E）80C.

（I）如圖1,若MoC=40。,求回DoE的度數(shù).（2）在圖1中若EWoC=α（其中20q<a<100o）,

請直接用含a的代數(shù)式表示回DoE的度數(shù)，不用說明理由.（3）如圖2,①請直接寫出MoC

和I3D。E的度數(shù)之間的關(guān)系，不用說明理由.②在蜘OC的內(nèi)部有一條射線OF,滿足SMoC

-40ΛOF=20βOE+l2WOF.試確定朋OF與回DoE的度數(shù)之間的關(guān)系，直接寫出關(guān)系式即可，不

用說明理由.

【答案】（1）10°；（2）?a-10°；（3）①EWoC=2E1DOE+20°：②41≡D0E-5EWOF=140°.

【分析】（1）由縱OC的度數(shù)可以求得團8。（?的度數(shù)，由。E平分EIBOC,可以求得ElCOE的度

數(shù)，又由回DOC=80?？梢郧蟮脠F。。E的度數(shù)；（2）由第（1）問的求法，可以直接寫出回。。E

的度數(shù)：

（3）①首先寫出EWoC和回DoE的度數(shù)之間的關(guān)系，由ElC。。=80。，OE平分I3BOC,08OC+E?OC

=180。，可以建立各個角之間的關(guān)系，從而可以得到MoC和團。。E的度數(shù)之間的關(guān)系；

②首先得到SWoF與SIDoE的度數(shù)之間的關(guān)系，由EWoC-4EWOF=25）BOE+βMOF,0COD=80°,

OE平分EI80C,MoC和回DOE的關(guān)系,可以建立各個角之間的關(guān)系,從而可以得到EWoF與田。。E

的度數(shù)之間的關(guān)系.

【詳解】解：（1）EEMoC=40°,WBOC=180°-EMOC=140".

回。E平分I3BOC,00COf=y0SOC.00COf=70°.

WDOE=^1COD-SCOf=80°-70°=10°.

（2）0SAOC=a,EGIBOC=180--a.

團。E平分E∣8oc,EElCoE=JSJBOC.EBCoE=90-a.

00DOf=0COD-團CoE=80°-90°+：a=：a-10".

22

(3)φE?OC=20DOf+2Oo.

理由：EIoE■平分I3BOC,038OC=2S1COE.

HSCOD=80°,MoC+138。C=I80°,

00DOf+0COf=80o,SA0C+2BC0E^18OoS0COf=8Oo-0DOf.

0a4OC+20COE=18O°.0SAOC+2(80--E)DoE)=180°.化簡，得：E?OC=20DOE+2Oo;

(2)4EDOE-5a4OF=140o.

理由：0E?OC-4aAOF=20βOE+∣a4OF,EEWOC-2(≡βOf=5EWOF.

回。E平分回BOC,EElEoC=E)8。￡,EEWoC-2EIE0C=5EM0F.

由(3)①知I：EMOC=20DO5+2Oo,020DOf+2Oo-20EOC=50ΛOF.

H3E0C=ElCOD-ElDOE=80°-SlDOE,020DOf+2Oo-2(80°-SDOE)=SSAOF.

040DOf-140°=5E?OF.即40DOf-5EW0F=140".

【點睛】此題主要考查角度的關(guān)系綜合,解題的關(guān)鍵是熟知角平分線的性質(zhì)、鄰補角的特點.

變式2.(2022?廣西南寧市?)如圖，己知NAoB=I20°,OC是408內(nèi)的一條射線，且

NAOCNBOC=I:2.

(1)求ZAOC,/BOC的度數(shù)：(2)作射線OM平分ZAOC,在NBOC內(nèi)作射線ON,使得

NCON"BON=1:3,求NMoN的度數(shù)；(3)過點0作射線0。，若2ZAOD=3NBOD,

求/COD的度數(shù).

【答案】(I)ZAOC=40,ZBOC=80:(2)ZMON=AO；(3)NCoZ)=32°或NeOZ)=176

【分析】(1)由NAoB=I20°,NA0C:NB。C=I:2即可求出ZAoC,/BOC的度數(shù)：

(2)由NBOC=80,NCOMZBON=1:3,求出NCoN；由OM平分ZAoc且/AOC=40，

求出NCoM的度數(shù)；然后由ΛM0N=Z.C0N+ACOM得到結(jié)果；

（3）分類討論，畫出相關(guān)圖形，當射線OD在ZAOB內(nèi)部時，根據(jù)條件，計算出相關(guān)角度,

由NCoD=NBOC-NBOD,得到結(jié)果；當射線。。在4。B外部時.，由

Na）D=NBOC+NBOD,得到結(jié)果.

【詳解】解：（1）回/408=120。，NAoC:NBOC=I:2

0ZAOC=120χL=40,ZBOC=120×--80

33

（2）國NBOC=80，NCoN:ZBoN=I:30NCON=80×-=20

4

又團射線OM平分NAOC,目./AOC=400NCOM=40x'=20

2

0AMON=ACON+ZCOM=20+20=40

（3）分兩種情況，討論：①當射線00在ZAoB內(nèi)部時，作圖如下：

3

02ZAOP=3ZBOf>0NAOD=—NBOD

2

3

又回ZAOD+ZBOD=ZAOB0.ZAOB=12Oo0-NBOD+NBOD=I20

12

23

[≡NBOO=120×-=48,ZAOD=—NBOD=72

52

又團NCoD=N8。。一/BODi3NCOO=80-48=32

②當射線。。在NAOB外部時，作圖如下：

0ZAOD+ZBOD+ZAOB=360且AAOB=12Oo0ZAoD+NBOD=240

3

又IS2ZA0D=3ZB0D回一∕8OQ+∕BOO=240

2

23

團400=240×-=96,ZAOD=-ZBOD=I44

52

X13ZCOD=ΛBOC+ΛBOD^ZCOD=80+96=176

綜上所述，NeoD=32。或NCo￡）二176

【點睛】本題考查的是角度的計算，角平分線的性質(zhì)等，利用分類討論思想解題是關(guān)鍵.

題型12余角、補角、對頂角的相關(guān)計算

例1.（2022?山東煙臺?期中）如圖，在同一平面內(nèi)，/4。B=NCoD=90°,ZAoF=NDOF,

點E為OF反向延長線上一點（圖中所有角均指小于mo。的角）.下列結(jié)論：

①NCoE=NBOE：②ZAor）+NBOC=180°：③ZBoC-ZA。。=90°；

④NCOE+NBOF=180。.其中正確結(jié)論的個數(shù)有（）

【答案】C

【分析】由財=EIeoD=90。，根據(jù)等角的余角相等得到MOC=回8。。結(jié)合ZAOF=NDoF

即可判斷①正確；由EL4OD+EI8OC=a4OZ）+a4OC+a4OZ）+l3BOZ）,