教案函數(shù)定義域和值域

函數(shù)定義域和值域解法歸納教學(xué)目標(biāo)通過不同的生活實例幫助學(xué)生建立函數(shù)概念的背景,理解函數(shù)是描述兩個變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,從而正確理解函數(shù)的概念。能用集合與對應(yīng)的語言來刻畫函數(shù),了解構(gòu)成函數(shù)的三個要素。3、通過從實際問題中抽象概括函數(shù)概念的活動,培養(yǎng)抽象概括能力。4、通過創(chuàng)設(shè)實際例子的情景,讓學(xué)生接近現(xiàn)實生活,關(guān)注社會實際;培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力,團(tuán)結(jié)協(xié)作精神。二、教學(xué)重難點重點:體會函數(shù)是描述兩個變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型,從集合的觀點正確理解函數(shù)的概念。難點:函數(shù)概念及對符號y=(x)意義的理解。三、根底知識1、函數(shù)的定義域和值域：〔1〕概念：略〔2〕函數(shù)的定義域的常用求法：①分式的分母不等于零；②偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；③對數(shù)的真數(shù)大于零；④指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；⑤三角函數(shù)正切函數(shù)中；余切函數(shù)中；⑥如果函數(shù)是由實際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù)自變量的實際意義確定其取值范圍。2、求函數(shù)的解析式的常用求法：〔1〕、定義法；〔2〕、換元法；〔3〕、待定系數(shù)法；〔4〕、函數(shù)方程法；〔5〕、參數(shù)法；〔6〕、配方法3、求函數(shù)值域的常用方法：〔1〕、換元法；〔2〕、配方法；〔3〕、判別式法；〔4〕、幾何法；〔5〕、不等式法；〔6〕、單調(diào)性法；7、直接法4、求函數(shù)最值得常用方法：〔1〕、配方法；〔2〕、換元法；〔3〕、不等式法；〔4〕、幾何法；〔5〕、單調(diào)性法5、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論：〔1〕、假設(shè)均為某區(qū)間上的增〔減〕函數(shù)，那么在這個區(qū)間上也為增〔減〕函數(shù)〔2〕、假設(shè)為增〔減〕函數(shù)，那么為減〔增〕函數(shù)〔3〕、假設(shè)與的單調(diào)性相同，那么是增函數(shù)；假設(shè)與的單調(diào)性不同，那么是減函數(shù)?！?〕、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反?！?〕、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比擬大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖象。6、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論：〔1〕、如果一個奇函數(shù)在處有定義，那么，如果一個函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么〔反之不成立〕〔2〕、兩個奇〔偶〕函數(shù)之和〔差〕為奇〔偶〕函數(shù)；之積〔商〕為偶函數(shù)?！?〕、一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)的積〔商〕為奇函數(shù)?！?〕、兩個函數(shù)和復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個是偶函數(shù)，那么該復(fù)合函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個函數(shù)都是奇函數(shù)時，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。〔5〕、假設(shè)函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，那么可以表示為，該式的特點是：右端為一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的和。四、典型例題〔一〕、一種特殊的對應(yīng)：映射994133221130456090112233149123123456開平方求正弦求平方乘以2〔1〕〔2〕〔3〕〔4〕1．對于集合A中的每一個元素，在集合B中都有一個〔或幾個〕元素與此相對應(yīng)。2．對應(yīng)的形式：一對多〔如①〕、多對一〔如③〕、一對一〔如②、④〕3．映射的概念〔定義〕：強(qiáng)調(diào)：兩個“一”即“任一”、“唯一”。4．注意映射是有方向性的。5．符號：f：AB集合A到集合B的映射。6．講解：象與原象定義。再舉例：1A={1,2,3,4}B={3,4,5,6,7,8,9}法那么：乘2加12A=N+B={0,1}法那么：B中的元素x除以2得的余數(shù)3A=ZB=N*法那么：求絕對值不是映射〔A4A={0,1,2,4}B={0,1,4,9,64}法那么：f：ab=(a1)2是映射一一映射觀察上面的例圖〔2〕得出兩個特點：1對于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的象〔單射〕2集合B中的每一個元素都是集合A中的每一個元素的象〔滿射〕即集合B中的每一個元素都有原象。從映射的觀點定義函數(shù)〔近代定義〕：1函數(shù)實際上就是集合A到集合B的一個映射f：AB這里A,B非空。2AB：值域，象的集合〔C〕其中CBf：對應(yīng)法那么xAyB3函數(shù)符號：y=f(x)——y是x的函數(shù)，簡記f(x)函數(shù)的三要素：對應(yīng)法那么、定義域、值域只有當(dāng)這三要素完全相同時，兩個函數(shù)才能稱為同一函數(shù)。例：判斷以下各組中的兩個函數(shù)是否是同一函數(shù)？為什么？1．解：不是同一函數(shù)，定義域不同2。解：不是同一函數(shù)，定義域不同3。解：不是同一函數(shù)，值域不同4．解：是同一函數(shù)5．解：不是同一函數(shù)，定義域、值域都不同〔二〕、關(guān)于復(fù)合函數(shù)設(shè)f(x)=2x3g(x)=x2+2那么稱f[g(x)]〔或g[f(x)]f[g(x)]=2(x2+2)3=2x2+1g[f(x)]=(2x3)2+2=4x212x+11例：：f(x)=x2x+3求：f()f(x+1)解：f()=()2+3f(x+1)=(x+1)2(x+1)+3=x2+x+3〔三〕函數(shù)定義域、值域、解析式的求解方法1.函數(shù)定義域的求法一、函數(shù)的定義域1．函數(shù)定義域的求解方法求函數(shù)的定義域主要是通過解不等式〔組〕或方程來獲得．一般地，我們約定：如果不加說明，所謂函數(shù)的定義域就是自變量使函數(shù)解析式有意義的實數(shù)的集合．〔1〕假設(shè)是整式，那么定義域為全體實數(shù)．〔2〕假設(shè)是分式，那么定義域為使分母不為零的全體實數(shù)． 〔3〕假設(shè)是偶次根式，那么定義域為使被開方式為非負(fù)的全體實數(shù)．〔4〕假設(shè)為復(fù)合函數(shù)，那么定義域由復(fù)合的各根本的定義域所組成的不等式組確定．如：的定義域為，那么復(fù)合函數(shù)的定義域應(yīng)由不等式≤≤解出．〔5〕由實際問題確定的函數(shù)，其定義域由自變量的實際意義確定．復(fù)合函數(shù)的定義域。如：函數(shù)的定義域為〔1，3〕，那么函數(shù)的定義域。函數(shù)的定義域為,函數(shù)的定義域為,那么函數(shù)的定義域為，解不等式，最后結(jié)果才是3.這里最容易犯錯的地方在這里：函數(shù)的定義域為(1,3),求函數(shù)的定義域；或者說，函數(shù)的定義域為(3,4),那么函數(shù)的定義域為______?2.函數(shù)值域的求法函數(shù)值域的求法方法有好多,主要是題目不同,或者說稍微有一個數(shù)字出現(xiàn)問題,對我們來說,解題的思路可能就會出現(xiàn)非常大的區(qū)別.這里我主要弄幾個出來,大家一起看一下吧.〔1〕、直接觀察法對于一些比擬簡單的函數(shù)，如正比例,反比例,一次函數(shù),指數(shù)函數(shù),對數(shù)函數(shù),等等,其值域可通過觀察直接得到。例求函數(shù)的值域〔2〕、配方法配方法是求二次函數(shù)值域最根本的方法之一。例、求函數(shù)的值域?！?〕、根判別式法對二次函數(shù)或者分式函數(shù)〔分子或分母中有一個是二次〕都可通用，但這類題型有時也可以用其他方法進(jìn)行化簡如:4、反函數(shù)法(原函數(shù)的值域是它的反函數(shù)的定義域)直接求函數(shù)的值域困難時，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。例求函數(shù)值域。,分母不等于0,即5、函數(shù)有界性法直接求函數(shù)的值域困難時，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，來確定函數(shù)的值域。我們所說的單調(diào)性，最常用的就是三角函數(shù)的單調(diào)性。10.倒數(shù)法有時，直接看不出函數(shù)的值域時，把它倒過來之后，你會發(fā)現(xiàn)另一番境況例求函數(shù)的值域多種方法綜合運(yùn)用例求函數(shù)的定義域．分析：一般說來，如果函數(shù)由解析式給出，那么其定義域就是使解析式有意義的自變量的取值范圍．當(dāng)一個函數(shù)是由兩個以上數(shù)學(xué)式子的和、差、積、商的形式構(gòu)成時，定義域是使各局部都有意義的公共局部的集合．解：要使函數(shù)有意義，必須有即解得≤，且．故原函數(shù)的定義域為≤，且．評注：用函數(shù)通過有限次加、減、乘、除四那么運(yùn)算及有限次復(fù)合構(gòu)造出新函數(shù)，一般列不等式〔組〕求函數(shù)的定義域，這時考慮問題要全面，要把所有制約自變量取值的條件都找出來．例求函數(shù)的值域．解：令，那么，∴函數(shù)值域為．評注：換元的目的是將含有較復(fù)雜成分的函數(shù)表達(dá)式化簡為常見、簡單的表達(dá)式．換元多用于處理可化簡為二次函數(shù)的問題．需要注意的是，在換元后新變量的定義范圍．〔5〕利用函數(shù)的單調(diào)性例求的值域．解：∵，∴的值域為評注：形如的函數(shù)的值域問題，均可使用配方法求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，要靠自己在解題過程中逐漸探索和積累．除了上述常用的方法外，還常利用反函數(shù)、最值法、數(shù)形結(jié)合等，但要注意選擇最優(yōu)的解法．總之，求函數(shù)的值域關(guān)鍵是要重視對應(yīng)關(guān)系的作用，還要特別注意定義域?qū)χ涤虻闹萍s．五、加強(qiáng)訓(xùn)練一、選擇題〔〕A．增函數(shù)B．既不是增函數(shù)又不是減函數(shù)C．減函數(shù)D．既是增函數(shù)又是減函數(shù)〔〕A．(1)和(2)B．(2)和(3)C．(3)和(4) D．(1)和(4)3．假設(shè)y＝(2k－1)x＋b是R上的減函數(shù)，那么有〔〕4．如果函數(shù)f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在區(qū)間(－∞，4]上是減函數(shù)，那么實數(shù)a的取值范圍是〔〕A．a(chǎn)≥－3B．a(chǎn)≤－3C．a(chǎn)≤5 D．a(chǎn)≥35．函數(shù)y＝3x－2x2＋1的單調(diào)遞增區(qū)間是〔〕二．填空題6．集合那么集合=7．50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實驗，物理實驗做的正確得有40人，化學(xué)實驗做的正確的有31人，兩種實驗都做錯的有4人，那么這兩種實驗都做對的有人.8、函數(shù)的值域是；函數(shù)的值域是；函數(shù)的值域是。9、數(shù)的值域是，那么f(x)的定義域為___________10、的值域為，函數(shù)的值域是