福建漳州市2023年高二年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題含解析

福建漳州市2023年高二上數(shù)學(xué)期末統(tǒng)考試題

考生請(qǐng)注意：

1.答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。

2.第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的

位置上。

3.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.已知集合4={(%?)12+丁2=1},5={(乂訓(xùn)y=x},則A8中元素的個(gè)數(shù)為()

A.3B.2

C.lD.0

2.設(shè)a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，若,-1―,依次成公差不為0的等差數(shù)列，則()

tanAtanBtanC

A.a,b,c依次成等差數(shù)列B./,o2依次成等差數(shù)列

C.C，而，無依次成等比數(shù)列D./,b2,°?依次成等比數(shù)列

22

3.已知傾斜角為:的直線與雙曲線C:=—\=1(?！?力〉0),相交于A,B兩點(diǎn)、,M(L3)是弦A3的中點(diǎn)，則

雙曲線的漸近線的斜率是()

A.±V3B.+—

■3

C.+V2D.+—

2

4.已知a=(2,0,3)石=(4,—2,1)4=(—2,x,2),若(a—6)，c,則％=()

A.4B.-4

C.2D.-2

5.命題“Vx>l,V—2>0”的否定是()

A.Vx>1,x2-2<0B.V尤<1,x2-2>0

C3x<l,X2-2<0D.3X>1,X2-2<0

6.已知等比數(shù)列{為}的公比為正數(shù)，且。3—=4。；，“2=1，則。1=()

A.4B.2

1

C.lD.—

2

7.已知直線6+2y—4=0與直線x+（a+l）y+2=0平行，則實(shí)數(shù)a的值為（）

A.lB.-2

52

C.l或—2D.一—

3

8.圓f+y2-2尤+4y+l=0與圓（x—4）2+（y—2）2=9的位置關(guān)系為（）

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.相離

9.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱為鱉腌（"M）.如圖所示的三棱錐P-ABC為一鱉腌，且K4,

平面ABC,平面若NPC4=a,NACB=分，/PCB=y,貝！|（）

P

;

C

A.cosy-cosacos0B.cosa=cosP?cosy

C.sin/=sina-sinPD.sina=sin力?sin/

10.已知圓拉與直線2x-y+逐一4二0與2x—y——4=0都相切，且圓心在x+y—5=0上，則圓M的方程為

()

A.(％-3)2+(y-2)2=1B.（x+3）2+（y-2）2=4

C.(x-3)2+(y-2)2=2D.（x-3）2+（y+2y=1

ii.已知拋物線y2=2px(p>0)上曲J一點(diǎn)M（3,2遍），則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)尸的距離|加巴等于（）

A.6B.5

C.4D.2

,

12.命題“三46R，%0+2X0+1<0'的否定形式是（）

A.Vxe7?,x~+2x+l>0B.3XQeR,XQ^+2XQ+1〉0

C.BxeT?,x2+2x+l>0DXxeR,x2+2x+l<0

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法?商功》中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”的最上面一層

有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球….…設(shè)各層球數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{4},其中4=1,%=3,%=6,

貝！Ia5=______

jr

14.如圖，在五面體中，AB/IDC,NBAD=—,CD=A￡）=3,四邊形ABEE為平行四邊形，F(xiàn)A1

2

平面ABC。，F(xiàn)C=5,則直線AB到平面EEC。距離為

15.我國是世界上嚴(yán)重缺水的國家，某市政府為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用水，計(jì)劃調(diào)整居民生活用水收費(fèi)方案.通過抽樣，

獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照[0,0.5）,[0.5,1）,...?[4,4.5）分成9組，制

成了如圖所示的頻率分布直方圖，則〃=

頻

率

組

距

o

.52

O,40

Q

16

12

O8

O4

00,511.522.533.544.5月均用水量/噸

16.如圖，用四種不同的顏色分別給A,B,C,。四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次

使用，則不同的涂色方法的種數(shù)為（用數(shù)字作答）

AB

CD

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=BC=4O,PA=PB=PCAC=8,。為AC的中點(diǎn).

（1）求證：P0,平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱上，且MC=2VB,求點(diǎn)C到平面POM的距離.

18.（12分）已知函數(shù)/（》）=奴3+%2+法3力€11）的圖像在尤=1處的切線斜率為3,且x=-2時(shí)，y=/（x）有極

值.

（1）求/（X）的解析式；

（2）求在[-3,2]上的最大值和最小值.

19.（12分）2021年國慶期間，某電器商場(chǎng)為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每

消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅

色小球、2個(gè)黃色小球的一號(hào)箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號(hào)箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球

的三號(hào)箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)

紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.

（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；

（2）若你朋友在該商場(chǎng)消費(fèi)了1萬元，請(qǐng)用所學(xué)知識(shí)幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.

n[x=2cosO

20.（12分）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，過點(diǎn)P（LO）且傾斜角為：的直線與曲線.八（。為參數(shù)）交于A3

4[y=sint/

兩點(diǎn).

（1）將曲線。的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程；

(2)求|AB|長.

21.（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，H4,平面ABC,AC=BC=2,AP=AB=26，。為6?的中點(diǎn).

（1）證明：平面A4C；

（2）求平面AC。與平面PBC所成二面角的正弦值.

Y—2

22.（10分）已知函數(shù)/■（》）=：一

x-a

（1）當(dāng)。=3時(shí)，求"X）的單調(diào)區(qū)間；

（2）當(dāng)a<0時(shí)，證明：/（%）存在最大值，且/（尤）〈:恒成立.

O

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】集合中的元素為點(diǎn)集，由題意，可知集合4表示以（0,0）為圓心，1為半徑的單位圓上所有點(diǎn)組成的集合，集

合5表示直線y=X上所有的點(diǎn)組成的集合，又圓V+y2=1與直線y=x相交于兩點(diǎn)—日,一曰］,

則A8中有2個(gè)元素.故選B.

【名師點(diǎn)睛】求集合的基本運(yùn)算時(shí)，要認(rèn)清集合元素的屬性（是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形）和化簡集合，這是正確求解集

合運(yùn)算的兩個(gè)先決條件.集合中元素的三個(gè)特性中的互異性對(duì)解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值

后，要注意檢驗(yàn)集合中的元素是否滿足互異性.

2、B

221

【解析】由等差數(shù)列的性質(zhì)得---+—利用正弦定理、余弦定理推導(dǎo)出/+/=2廿，從而吩，

tanBtanAtanC

依次成等差數(shù)列.

【詳解】解：???”，》，C分別是ABC內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊,

—,—,依次成公差不為0的等差數(shù)列，

tanAtanBtanC

211

/.----------=--------------1-------------,

tanBtanAtanC

用用七蹌士國-r陽2cos3cosAcosC

根據(jù)正弦定理可得-------=-----+------,

bac

:.2accosB—bccosA+abcsC,

.?./+」2J

22

??-?2+c2=2/,

Aa2,b2,°?依次成等差數(shù)列.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列或等比數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)、正弦定理、余弦定理等基

礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想，屬于中檔題.

3、A

【解析】依據(jù)點(diǎn)差法即可求得a、6的關(guān)系，進(jìn)而即可得到雙曲線的漸近線的斜率.

【詳解】設(shè)4%%）、A（%,%），貝！=3,21sli=1

[22

紋_j

“b2可得5-%)(%+%)（占一々）（％+馬）_0

由＜

22.「a2&2T

也士=1

L2廿一

E62c口…,L

則一^—==0,即〃2=3Z?92，貝n!la=6〃

ab

22

則雙曲線C:與—==1(?！?/〉0)的漸近線的斜率為±@=±73

abb

故選：A

4、B

【解析】先求出a-b的坐標(biāo)，然后由（a-?？傻?-。）?0=0,再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可.

【詳解】因?yàn)閍=（2,0,3）,〃=（4,—2,1）,所以。一日=（一2,2,2）,

因?yàn)?a—b)_Lc,所以(a—/?)?c=0,即4+2x+4=0,解得x=—4.

故選：B

5、D

【解析】由含量詞命題否定的定義，寫出命題的否定即可

【詳解】命題“Vx>l,V-2>0”的否定是：3x>l,%2-2<0，

故選：D.

6,D

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4(q>0),則由已知條件列方程組可求出火

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為9(q>0),

21028

,82fa(7=4a^

由題意得=4(q/)42,且4鄉(xiāng)=1,即，

[c^q=1

/=4

V,

qg—1

因?yàn)閝>0,所以9=2,%=g，

故選：D

7、A

【解析】根據(jù)兩直線平行的條件列方程，化簡求得。，檢驗(yàn)后確定正確答案.

【詳解】由于直線依+2y—4=。與直線x+(a+l)y+2=0平行，

所以ax(a+1)=2x1,Q-+a—2=0,。=1或。=—2,

當(dāng)a=—2時(shí)，兩直線方程都為％-y+2=0,即兩直線重合，所以a=—2不符合題意.

經(jīng)檢驗(yàn)可知a=1符合題意.

故選：A

8、C

【解析】寫出兩圓的圓心和半徑，求出圓心距，發(fā)現(xiàn)與兩圓的半徑和相等，所以判斷兩圓外切

【詳解】圓f+y2—2x+4y+l=0的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(X-1)2+(J+2)2=4,所以圓心坐標(biāo)為(1,—2),半徑八=2；圓

5—4)2+(丁一2)2=9的圓心為(4,2),半徑4=3,圓心距Q=5(1—4)2+(—2—2)2=5=、+4,所以兩圓相外切

故選：C

9、A

【解析】根據(jù)24,平面ABC,平面B45求解.

【詳解】因?yàn)镵4,平面ABC,平面Q4B,

所以PA，AC,3C，尸55C，AB,

又NPC4=1,/ACB=。,NPCB=y,

所以cos片里,cos”組cos"生

PCPCAC

cos/=cosa-cos/3,

故選：A

10、A

|2a-（5-a）+75-4|Ra-（5-a）-4

【解析】由題可設(shè)M（a,5-a）,結(jié)合條件可得,即求.

【詳解】???圓心在x+y—5=0上,

...可設(shè)圓心"（a,5—。），又圓M與直線2x—y+6—4=0與2x—y—6―4=0都相切,

Ra-（5-。）+君-4|2?-（5-?）-^-4|

解得1=3,

也fl）?#+（-1）2

?,?M（3,2）,」6-；6,即圓的半徑為1,圓M的方程為（x—3y+（y—2）2=1.

故選：A.

11、B

【解析】將點(diǎn)"（3,2而）代入拋物線方程求出。，再由拋物線的焦半徑公式可得答案.

詳解】將點(diǎn)"（3,2#）代入拋物線方程可得24=22x3,解得p=4

貝!|阿盟=3+々=3+2=5

故選：B

12、A

【解析】特稱命題的否定是全稱命題

【詳解】3x0G7?,XQ+2/+1<。的否定形式是\/%￡氏犬2+21+1>0

故選：A

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、15

【解析】由分析可知每次小球數(shù)量剛好是等差數(shù)列的求和，最后直接公式即可算出答案.

【詳解】由題意可知，q=2?4=&+-+,生=/+3=1+2+3?：

4=1+2+3+...+“=^^

所以，%=空3=15

2

故答案為：15

【解析】利用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到面的距離，作AGLFD,利用線面垂直的判定定理證明AG，平面EFCD,

然后計(jì)算ARDF使用等面積法，可得結(jié)果.

【詳解】作AGLED

如圖

由AB//DC,

￡>Cu平面及CD,AB<Z平面￡FC￡>

所以A3〃平面跖CD

所以直線AB到平面EFCD距離

等價(jià)于點(diǎn)A到平面EFCD距離

又E4_L平面ABC。，CDu平面ABC。

TT

所以E4LCD,又NBAD=—,則CDLAD

2

AD,E4u平面E4D,ADr^FA=A,

所以CD,平面E4。

AGu平面E4。，所以CDLAG

又CRFDu平面EEC。，CDcFD=D

所以AG，平面EEC。

所以點(diǎn)A到平面EFCD距離為AG

由CD=AD=3,所以AC=JC￡)2+5=3匹

又FC=5,所以AF=y/FC?—AC?=布

在AAFD中，F(xiàn)D=VAD2+AF2=4

又LED.AG=LADAR=AG=逆

224

故答案為：m

4

【點(diǎn)睛】本題考查線面垂直的綜合應(yīng)用以及等面積法求高，重點(diǎn)在于使用等價(jià)轉(zhuǎn)換的思想，考驗(yàn)理解能力，分析問題

的能力，屬中檔題.

3

15、3##—

10

【解析】由頻率之和等于1,即矩形面積之和為1可得.

【詳解】由題知，0.5x(0.08+0.16+a+0.4+0.52+a+0.12+0.08+0.04)=l

解得a=0.3.

故答案為：0.3

16、48

【解析】由已知按區(qū)域分四步，然后給A,B,C,。區(qū)域分步選擇顏色，由此即可求解

【詳解】解：由已知按區(qū)域分四步：第一步A區(qū)域有4種選擇，第二步3區(qū)域有3種選擇，

第三步C區(qū)域有2種選擇，第四步。區(qū)域也有2種選擇，

則由分步計(jì)數(shù)原理可得共有4x3x2x2=48種，

故答案為：48

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)證明見解析；(2)亞

5

【解析】(1)POLC4易得，再由勾股定理逆定理證明05,即可得線面垂直；

(2)根據(jù)(1)得/WMC=%.POM，進(jìn)而根據(jù)幾何關(guān)系，利用等體積法求解即可.

【詳解】解：(D連接08,

VPA=PC,。是AC中點(diǎn)，

/.P0±AC,po=y/pC2-OC2=A/82-42=473?

又AB=BC=4?,AC=8,AB2+CB~^AC~，

：.ABLBC,：.OB=-AC=4,

2

PB=8,APB2BO-+OP-,：.OBVPO,

AC?OB=O,AC,08u平面ABC,

:.PO,平面ABC；

(2)?.?點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2VB,AB=BC=4>j2,AC=8,。為AC的中點(diǎn).

OC=4,NOCM=三,MC=^!^

43

...由余弦定理得OA/2=。。2+M。2—2.OC-MC.COSNOCM=16+唯—2義4義包2乂正=型，即

9329

S4A/58岳%c.」x4x逑在』

AOPM=gx4Gx-------=---------

33△OCM2323

由（1）PO,平面ABC,

設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為h

'^P-OMC=yC-POM^即工義更X4^=」義處x/2,解得：11=處

33335

所以點(diǎn)C到平面POM的距離為〃=述.

5

18、(1)f(x)——x^+；

20

(2)最大值為,，最小值為0.

3

【解析】(1)由題得3。+6=1①，12a+b=4②，解方程組即得解；

(2)令/'00=爐+2X=0解得工=一2或％=0,再列表得解.

【小問1詳解】

解：求導(dǎo)得/'(X)=3奴2+2x+6,

因?yàn)?'(x)在％=1出的切線斜率為3,貝!］/'⑴=3,即3。+6=1①

因?yàn)閤=-2時(shí),y=f(x)有極值，貝！)為'(-2)=0.即12。+6=4②

1

a——132

由①②聯(lián)立得3,所以/(x)=一X-\~X.

3

b=0

【小問2詳解】

解：由(1),令/'(x)=%2+2x=0解得》=一2或％=0,

列表如下：

(-3,-2)(-2,0)

X-3-20(0,2)2

/'(X)+—+

極大值

4

20

/(尤)0極小值0T

所以，Ax)在［-3,2］上的最大值為M，最小值為0.

（2）選擇方案二更劃算

【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對(duì)立事件

的概率公式即可得出答案；

（2）若選擇方案一，則需付款10000-800=9200（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為X元，則X可取6000,7000,

8000,10000,求出對(duì)應(yīng)概率，從而可求得X的期望，在比較X的期望與9200的大小即可得出結(jié)論.

【小問1詳解】

解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，

設(shè)沒有抽出紅色小球?yàn)槭录嗀,

八2233

則P（A）=—x—x—=—

v744416

247

所以所求概率P=1-P（A）P（A）=1

256

【小問2詳解】

解：若選擇方案一，貝懦付款10000-800=9200（元）,

若選擇方案二，設(shè)付款金額為X元，

則X可取6000,7000,8000,10000,

2211

P（X=6000）=—x—x—=

44416

/X2232212215

P（X=7000）=—x—x—+—x—x—+—x—x—=

,,44444444416

7

P（X=8000）=-x-x-+-x-x-+-x-x-=

,J44444444416

3

=10000）=—

故X的分布列為

X60007000800010000

1573

P

16161616

1s73

所以石（X）=6000x—+7000x—+8000x—+10000x—=7937.5（元）,

16161616

因?yàn)?200>7937.5,

所以選擇方案二更劃算.

20、（1）—+/=1；（2）逑.

4-5

【解析】（1）利用公式直接將橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程即可.

（2）首先求出直線的參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程得到5r+2①-6=0,再利用直線參數(shù)方程的幾何意義求弦

長即可.

x=2cos。

【詳解】（1）因?yàn)榍€C:.八（。為參數(shù)），

y=sm"

2

所以曲線。的普通方程為：—+/=1.

4

1+

旦2

（2）由題知：直線的參數(shù)方程為「a為參數(shù)）,

憶

y二

——2t

2_

將直線的參數(shù)方程代入\+y2=i,得5/+2?-6=0.

2V2_6

4+芍=—z-'----

所以=J

5JI5；5

21、(1)證明見解析

⑵半

【解析】（1）根據(jù)勾股定理先證明AC然后證明進(jìn)而通過線面垂直的判定定理證明問題;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，進(jìn)而求出兩個(gè)平面的法向量，然后通過空間向量的夾角公式求得答案.

【小問1詳解】

,?*AB=272-AC=BC=2,：.AB2=AC2+BC2,

AC±BC,；PAL平面ABC,BCu平面ABC,APA±BC,

'：PA±BC,AC±BC,APoAC=A,BC_L平面PAC.

【小問2詳解】

以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，向量&，&的方向分別為x，y軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則c(o,o,o),5(2,0,0),

A(0,2,0),P(0,2,272),￡>(1,1,⑹,

設(shè)平面ACD的法向量為m=(玉,％,Z])

CAm=2y=0,

由&=(0,2,0)，CD=(1,1,V2)，有,1

CD?相=玉+%+02]=0,

取玉=0,可得平面AC。的一個(gè)法向量為蔡=(、巧,0,-1)

設(shè)平面PBC的一個(gè)法向量為*=(%,%,Z2)

CP?n=2y+2A/2Z=0,

由百=(0,2,20)，&=(2,0,0)，有<22

CB-n=2X2=0,

取為=0，可得平面PBC的一個(gè)法向量為n=(o,A/2,-1).

1二1，故平面AC。與平面PBC的夾角的正弦值為，「】=述

所以|COSVW>1=

73x73-393

22、(1)f(x)的單增區(qū)間為(1,6)，(、月3)；單減區(qū)間為(-8,-百)，卜后1),(3,+8)；(2)證明見解析.

【解析】(1)先求出函數(shù)的定義域，求出廠(龍)，由/'(%)<0,