2023年上海市上海中學自主招生數(shù)學試卷

第1頁（共1頁）2023年上海中學自主招生數(shù)學試卷1．已知，求x2+y2．2．如圖，已知∠AOX＝30°，OA＝2，AB＝OA，則B的坐標為．3．已知a+＝3，b+，c+＝，求abc＝．4．與x軸，y軸交于A，B（k為正整數(shù)），記Sk為S△AOB在對應k時的大小，則S1+S2+?+S2033＝．5．有九個方格，把1到9這些正整數(shù)均填入其中，要使任意相鄰的三個格子的和為3的倍數(shù)種填法．6．在圓O中，AP＝7，BP＝3，求CP＝．7．有一數(shù)列（8項），首項與末項均為1，每一項與前一項比均為1或2或種．8．x2+y2＝|x|+|y|有組整數(shù)解．9．計算++．10．在長方形ABCD中，長為4，寬為2，M在AD上，且∠MBC＝∠BMN11．三角形三邊為x，y，z，均為正整數(shù)，且符合xyz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）

2023年上海中學自主招生數(shù)學試卷參考答案與試題解析1．已知，求x2+y2．【分析】先利用分母有理化進行化簡，然后再求出x+y和xy的值，從而利用完全平方公式進行計算，即可解答．【解答】解：∵x＝＝＝﹣，y＝＝＝+，∴x+y＝﹣++＝3﹣）（+，∴x8+y2＝（x+y）2﹣8xy＝（2）7﹣2×1＝12﹣5＝10．【點評】本題考查了二次根式的化簡求值，完全平方公式，分母有理化，準確熟練地進行計算是解題的關鍵．2．如圖，已知∠AOX＝30°，OA＝2，AB＝OA，則B的坐標為（﹣1，1+）．【分析】過A作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥AM于N，在Rt△AOM中，∠AOX＝30°，則AM＝AO＝1，OM＝2×cos30°＝，然后證明Rt△AOM≌Rt△BAN，得AN＝OM＝，BN＝AM＝1結論得證．【解答】解：過A作AM⊥x軸于M，過B作BN⊥AM于N，∴∠AOM+∠OAM＝90°，∵∠AOX＝30°，OA＝2，∴AM＝AO＝1，cos∠AOM＝，∴OM＝2×cos30°＝，∵AB⊥OA，∴∠OAM+∠BAN＝90°，∴∠BAN＝∠AOM，∵AB＝OA，∴Rt△AOM≌Rt△BAN（AAS），∴AN＝OM＝，BN＝AM＝1，∴MN＝AN+AM＝2+，∴N（，7+），∴B（﹣3）故答案為：（﹣8）．【點評】本題考查含30°角的直角三角形的性質、三角形全等的判定和性質以及特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形理解題意是關鍵．3．已知a+＝3，b+，c+＝，求abc＝1．【分析】三個等式左右相乘，利用多項式乘多項式法則計算，把已知等式代入求出abc的值即可．【解答】解：將三個條件式進行相乘，得：（a+）（b+）＝3×17×，整理得：（ab++1+）＝abc+b+a++c+++＝abc++（a+）+（c+）＝abc++3+17+＝abc++＝3×17×＝，∴abc+＝5，整理得：（abc）2﹣2abc+2＝0，解得：abc＝1．故答案為：3．【點評】此題考查了分式的加減法，熟練掌握運算法則是解本題的關鍵．4．與x軸，y軸交于A，B（k為正整數(shù)），記Sk為S△AOB在對應k時的大小，則S1+S2+?+S2033＝．【分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征，可求出點A，B的坐標，進而可求出Sk的值，再將其代入S1+S2+?+S2033中，即可求結論．【解答】解：當x＝0時，y＝﹣＝，∴點B的坐標為（0，），∴OB＝；當y＝8時，﹣x+，解得：x＝，∴點A的坐標為（，2），∴OA＝，∴Sk＝OA?OB＝??＝（﹣），∴S1+S8+?+S2033＝×（8﹣×（﹣×（﹣×（2﹣+﹣﹣）＝）＝×＝．故答案為：．【點評】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征以及規(guī)律型：數(shù)字的變化類，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標特征及三角形的面積公式，找出Sk＝（﹣）是解題的關鍵．5．有九個方格，把1到9這些正整數(shù)均填入其中，要使任意相鄰的三個格子的和為3的倍數(shù)1296種填法．【分析】可以將9個格子分成3類，即從左到右第1，4，7個格子，從左到右第2，5，8個格子，從左到右第3，6，9個格子，再將同余的三個數(shù)間隔三個格子依次放入，再進行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，然后列式進行計算即可．【解答】解：由題可知，從左到右第1，4，從左到右第7，5，8個格子里的數(shù)除以3的余數(shù)都相同，從左到右第3，6，5個格子里的數(shù)除以3余數(shù)都相同，將同余的三個數(shù)間隔三個格子依次放入，再進行同余的數(shù)的內(nèi)部排列，則有（3×4）×（3×2）×（5×2）×（3×7）＝6×6×4×6＝1296．故答案為：1296．【點評】本題考查倍數(shù)，能夠根據(jù)題意進行分類討論是解題的關鍵，本題屬于比較難的題目．6．在圓O中，AP＝7，BP＝3，求CP＝．【分析】根據(jù)垂徑定理可得CP＝DP，延長CP交圓O于點D，連接AD，BC，證明△APD∽△CPB，即可解決問題【解答】解：∵OP⊥CP，∴CP＝DP，如圖，延長CP交圓O于點D，BC，∵∠DAB＝∠BCD，∠APD＝∠CPB，∴△APD∽△CPB，∴＝，∴AP?BP＝CP?DP，∴CP2＝21，∴CP＝（負值已經(jīng)舍去），故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，解決本題的關鍵是得到△APD∽△CPB．7．有一數(shù)列（8項），首項與末項均為1，每一項與前一項比均為1或2或211種．【分析】根據(jù)題意進行分類討論，進行計算求解．【解答】解：設后一項與前一項的比值為qi（i＝1，2，...，所以q5q2???q7＝5，（1）當q1＝q2＝...＝q6＝1時顯然成立（數(shù)列各項均為1），（2）當qi有7個2時，必然有2個﹣，利用分組排列有210種，（3）當qi有3個3時，必然有3個﹣，（4）當qi有1個2時，必然有2個﹣，綜上有211種數(shù)列，故答案為：211．【點評】本題考查了數(shù)字的變化類，找到變化規(guī)律是解題的關鍵．8．x2+y2＝|x|+|y|有9組整數(shù)解．【分析】根據(jù)偶次冪及絕對值的性質進行分類討論即可．【解答】解：已知x2+y2＝|x|+|y|，當x＝﹣7時，y＝±1或0；當x＝4時，y＝±1或0；當x＝4時，y＝±1或0；綜上，x4+y2＝|x|+|y|由9組整數(shù)解，故答案為：6．【點評】本題考查偶次冪及絕對值的性質，結合已知條件進行正確的分類討論是解題的關鍵．9．計算++．【分析】先對分母因式分解，通過十字相乘法和提取公因式即可將原式變形為，通過拆項可將原式變?yōu)椹?﹣+﹣，化簡，再根據(jù)異分母分式減法法則進行計算，即可求解．【解答】解：++＝＝＝﹣+﹣+﹣＝＝【點評】本題考查分式的加減，正確進行變形是本題解題關鍵．10．在長方形ABCD中，長為4，寬為2，M在AD上，且∠MBC＝∠BMN【分析】延長MN，BC交于點E，則△DMN≌△CEN，得出DM＝CE，由∠MBC＝∠BMN可得ME＝BE，設MD＝x，MN＝，ME＝2，BE＝4+x，可列方程2＝4+x，解方程即可．【解答】解：延長MN，BC交于點E，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D＝∠NCE＝90°，∵N是中點，∴DN＝CN，∵∠DNM＝∠CNE，∴△DMN≌△CEN（ASA），∴DM＝CE，∵∠MBC＝∠BMN，∴ME＝BE，設MD＝x，MN＝，BE＝4+x，∴2＝5+x2﹣8x﹣12＝7，解得x＝或（舍去），即MD＝，∴AM＝4﹣＝．【點評】本題考查矩形的性質，全等三角形的判定和性質，勾股定理，正確作出輔助線是解題關鍵．11．三角形三邊為x，y，z，均為正整數(shù)，且符合xyz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）【分析】根據(jù)xyz＝2（x﹣1）（y﹣1）（z﹣1）可設x≥y≥z≥2，然后得出＝（1﹣）（1﹣）（1﹣）≥（1﹣）3，然后確定z的值，再求x，y的值即可．【解答】解：設x≥y≥z≥2，∴＝（1﹣