湖南省常德市澧縣涔南鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省常德市澧縣涔南鄉(xiāng)中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)f(x)=1+log2x與g(x)=在同一直角坐標(biāo)系下的圖象大致是

（

）參考答案：C略2.函數(shù)y=x2﹣4x+3，x∈[0，3]的值域?yàn)?

) A．[0，3] B．[﹣1，0] C．[﹣1，3] D．[0，2]參考答案：C考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：由函數(shù)y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]可得，當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值為﹣1，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值3，由此求得函數(shù)的值域．解答： 解：∵函數(shù)y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，x∈[0，3]，故當(dāng)x=2時(shí)，函數(shù)取得最小值為﹣1，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最大值3，故函數(shù)的值域?yàn)閇﹣1，3]，故選C．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．3.集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C4.已知F1(2,0)，F(xiàn)2（a,b）為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，那么ab的最大值是(

)A.4

B.8

C.12

D.16參考答案：B5.已知實(shí)數(shù)a滿足下列兩個(gè)條件：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代數(shù)式log2（a+3）有意義．則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為（）A． B． C． D．參考答案：A【考點(diǎn)】幾何概型．【分析】根據(jù)題意先確定是幾何概型中的長(zhǎng)度類型，由實(shí)數(shù)a滿足下列兩個(gè)條件得出關(guān)于a的不等式，并求出構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再求出指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度，再求兩長(zhǎng)度的比值．【解答】解：：①關(guān)于x的方程ax2+3x+1=0有解，則a=0或a≠0，△≥0?，解得：a≤，且a≠0，綜合得：a≤；②代數(shù)式log2（a+3）有意義?a＞﹣3．綜合得：﹣3＜a≤．滿足兩個(gè)條件：①②數(shù)a構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為+3=，指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)?0＜3a﹣2＜1?＜a＜1．則其構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度為：1﹣=，則使得指數(shù)函數(shù)y=（3a﹣2）x為減函數(shù)的概率為=故選：A．6.已知點(diǎn)P在曲線y=ex(e自然對(duì)數(shù)的底數(shù))上，點(diǎn)Q在曲線y=lnx上，則丨PQ丨的最小值是

()A.

B.2e

C.

D.e

參考答案：A7.設(shè)關(guān)于x、y的不等式組，表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)，滿足，求得m的取值范圍是（

）．A． B． C． D．參考答案：C畫出不等式組表示的區(qū)域及直線如圖，結(jié)合圖形可知點(diǎn)能使得，即．故選．8.在直角坐標(biāo)系xOy中，若直線l：（t為參數(shù)）過(guò)橢圓C：（為參數(shù)）的左頂點(diǎn)，則a=（

）A. B.－5 C.－2 D.－4參考答案：D【分析】根據(jù)直線和橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程求解.【詳解】直線的普通方程為，橢圓的普通方程為，左頂點(diǎn)為．因?yàn)橹本€過(guò)橢圓的左頂點(diǎn)，所以，即．選D.【點(diǎn)睛】本題考查直線和橢圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程，屬于基礎(chǔ)題.

9.若，則等于A.2

B.0

C.-4

D.-2參考答案：C10.直線在軸上的截距是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B解析：令則二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若空間中兩點(diǎn)分別為A(1,0,1)，B(2,1,－1)，則|AB|的值為__________．參考答案：，．12.已知是不同的平面，是不同的直線，給出下列4個(gè)命題：①若則②若則③若則；④若則則其中真命題的個(gè)數(shù)為

▲

個(gè)．參考答案：113.在極坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（2，0）與點(diǎn)Q關(guān)于直線sinθ=對(duì)稱，則|PQ|=

．參考答案：2考點(diǎn)：簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程．專題：坐標(biāo)系和參數(shù)方程．分析：直線sinθ=，即．如圖所示，|PM|=2，即可得出|PQ|=2|PM|．解答： 解：直線sinθ=，即．如圖所示，|PM|=2=．∴|PQ|=2．故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查了極坐標(biāo)的應(yīng)用、對(duì)稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．14.已知直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=120°，則r=

．參考答案：2【考點(diǎn)】直線與圓的位置關(guān)系．【分析】由已知得圓心O（0，0）到直線x+﹣2=0的距離d等于半徑r的一半，由此能求出半徑r．【解答】解：∵直線x+y﹣2=0與圓x2+y2=r2（r＞0）相交于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOB=120°，∴圓心O（0，0）到直線x+﹣2=0的距離d等于半徑r的一半，即d=，解得r=2．故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查實(shí)數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．15.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積等于__________.參考答案：略16.閱讀如圖的框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，輸出S的值為．參考答案：﹣4【考點(diǎn)】程序框圖．【專題】算法和程序框圖．【分析】寫出前二次循環(huán)，滿足判斷框條件，輸出結(jié)果．【解答】解：由框圖知，第一次循環(huán)得到：S=﹣8，n=2；第二次循環(huán)得到：S=﹣4，n=1；退出循環(huán)，輸出﹣4．故答案為：﹣4．【點(diǎn)評(píng)】本題考查循環(huán)結(jié)構(gòu)，判斷框中n≤1退出循環(huán)是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力．17.在直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，斜邊和斜邊上的高分別為c、h，則的取值范圍是．參考答案：（1，]【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】根據(jù)勾股定理和三角形面積公式，將化為關(guān)于a、b的表達(dá)式，利用基本不等式可得＞1．再設(shè)=t，則可將表示成關(guān)于t的函數(shù)f（t），研究f（t）的單調(diào)性得到在區(qū)間（0，）上f（t）是增函數(shù)，從而得到f（t）的最大值是f（）=．由此即可得到的取值范圍．【解答】解：∵直角△ABC中，兩條直角邊分別為a、b，∴斜邊c=，斜邊上的高h(yuǎn)==，因此，=∵≥=，≤1∴＞1（等號(hào)取不到），即又=+?設(shè)=t，則=，=可得f（t）=+，（0＜t）∵在區(qū)間（0，）上f'（t）＞0，∴f（t）在區(qū)間（0，）上是增函數(shù)，可得當(dāng)0＜t時(shí)，f（t）的最大值為f（）=綜上所述，的取值范圍是（1，]故答案為：（1，]【點(diǎn)評(píng)】本題在直角三角形中，求斜邊與斜邊上高之和與兩條直角邊之和的比值范圍．著重考查了勾股定理、基本不等式求最值和函數(shù)的單調(diào)性等知識(shí)，屬于中檔題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的焦距為2，且過(guò)點(diǎn)A（，﹣）．（1）求橢圓的方程；（2）已知y=kx+1，是否存在k使得點(diǎn)A關(guān)于l的對(duì)稱點(diǎn)B（不同于點(diǎn)A）在橢圓C上？若存在求出此時(shí)直線l的方程，若不存在說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】直線與橢圓的位置關(guān)系．【分析】（1）由已知，焦距為2c=2，解得c=．又在橢圓C上，=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2，b2．（2）當(dāng)k=0時(shí)，直線l：y=1，點(diǎn)不在橢圓上；當(dāng)k≠0時(shí)，可設(shè)直線，即，代入橢圓方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱，則其中點(diǎn)在直線y=kx+1上，解得k，進(jìn)而判斷出結(jié)論．【解答】解：（1）由已知，焦距為2c=2，解得c=．又在橢圓C上，∴=1，又a2=b2+c2，聯(lián)立解得a2=3，b2=1．故所求橢圓的方程為：=1．…（2）當(dāng)k=0時(shí)，直線l：y=1，點(diǎn)不在橢圓上；…當(dāng)k≠0時(shí)，可設(shè)直線，即，代入橢圓方程整理得（4k2+12）y2+4k（k﹣3）y+（k﹣3）2﹣12=0，∵，∴，…若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于l的對(duì)稱，則其中點(diǎn)在直線y=kx+1上，∴，解得k=﹣1．因?yàn)榇藭r(shí)點(diǎn)在直線y=﹣x+1上，…所以對(duì)稱點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，不合題意所以不存在y2=4x滿足條件…19.（滿分12分）已知命題：方程表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，命題：雙曲線的離心率，若只有一個(gè)為真，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：若P真，則，解得…………2分若q真，則

，解得…………4分若p真q假，則，解集為空集；…………7分p假q真，則，解得…………10分

故…………12分20.（本小題滿分14分）數(shù)列的前項(xiàng)和滿足.（1）計(jì)算的值；（2）猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式并用數(shù)學(xué)歸納法證明.參考答案：解：（1）.…………4分

（2）猜想證明如下：

…………6分①當(dāng)時(shí)，成立.

……7分②假設(shè)當(dāng)時(shí)成立，即，…………9分則當(dāng)時(shí)，……10分……12分所以

………………13分

所以時(shí)結(jié)論也成立.………………14分由①②知，對(duì)任意的，都成立.略21.已知公差不為0的等差數(shù)列滿足，，，成等比數(shù)列．（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅲ）設(shè)，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，求實(shí)數(shù)的取值范圍．參考答案：解：（Ⅰ）由題知，設(shè)的公差為，則，，．

………1分又，

……2分．

…3分

（Ⅱ）．

……5分．

……7分（III），使數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則對(duì)都成立

…8分即

……9分設(shè)

……10分當(dāng)或時(shí)，所以所以