湖南省衡陽市 市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析

湖南省衡陽市市第八中學(xué)高二數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知直線x+y=a與圓x2+y2=4交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量滿足，則實(shí)數(shù)a的值(

)A．2 B．﹣2 C．或﹣ D．2或﹣2參考答案：D【考點(diǎn)】直線和圓的方程的應(yīng)用；向量的模．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想．【分析】先由向量關(guān)系推出OA⊥OB，結(jié)合直線方程推出A、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，然后求得a的值．【解答】解：由向量滿足得⊥，因?yàn)橹本€x+y=a的斜率是﹣1，所以A、B兩點(diǎn)在坐標(biāo)軸上并且在圓上；所以（0，2）和（0，﹣2）點(diǎn)都適合直線的方程，a=±2；故選D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線和圓的方程的應(yīng)用，向量的模的有關(guān)知識(shí)，是基礎(chǔ)題．2.若平面向量和互相平行，其中，則=（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知向量，滿足||=||=|+|=1，則向量，夾角的余弦值為（）A． B．﹣ C． D．﹣參考答案：B【考點(diǎn)】數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角．【專題】計(jì)算題；平面向量及應(yīng)用．【分析】將|+|=1兩邊平方，結(jié)合已知條件可算出?=﹣，再用兩個(gè)向量的夾角公式即可算出向量，夾角的余弦值．【解答】解：∵|+|=1，∴（+）2=2+2?+2=1∵||=||=1，得2=2=1∴代入上式得：2?=﹣1，?=﹣因此，向量，夾角的余弦為cosθ==﹣故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題給出向量、滿足的條件，求它們夾角的余弦之值，著重考查了平面向量數(shù)量積的公式及其運(yùn)算性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．4.若,則(

)A. B. C. D.參考答案：D【分析】由于兩個(gè)對(duì)數(shù)值均為正，故m和n一定都小于1，再利用對(duì)數(shù)換底公式，將不等式等價(jià)變形為以10為底的對(duì)數(shù)不等式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較m、n的大小即可【詳解】∵∴0＜n＜1，0＜m＜1且即lg0.5（）>0?lg0.5（）>0∵lg0.5<0，lgm＜0，lgn＜0∴l(xiāng)gn﹣lgm<0即lgn<lgm?n<m∴1＞m＞n＞0故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及其換底公式的應(yīng)用，利用圖象和性質(zhì)比較大小的方法5.已知命題P：所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題q：正數(shù)的對(duì)數(shù)都是正數(shù)，則下列命題中為真命題的是(

)A．

B．

C．

D．參考答案：D6.水以勻速注入如圖容器中，試找出與容器對(duì)應(yīng)的水的高度h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象（）參考答案：A7.f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），若對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），則a的取值范圍是（）A． B． C．[3，+∞） D．（0，3]參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)的值域；集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】先求出兩個(gè)函數(shù)在[﹣1，2]上的值域分別為A、B，再根據(jù)對(duì)任意的x1∈[﹣1，2]，存在x0∈[﹣1，2]，使g（x1）=f（x0），集合B是集合A的子集，并列出不等式，解此不等式組即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍，注意條件a＞0．【解答】解：設(shè)f（x）=x2﹣2x，g（x）=ax+2（a＞0），在[﹣1，2]上的值域分別為A、B，由題意可知：A=[﹣1，3]，B=[﹣a+2，2a+2]∴∴a≤又∵a＞0，∴0＜a≤故選：A8.“m≠0”是“方程=m表示的曲線為雙曲線”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：C【分析】根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行判斷．【詳解】時(shí)，方程表示兩條直線，時(shí)，方程可化為，時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線，時(shí)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．9.已知函數(shù)，若函數(shù)恰有四個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

（

）A. B.

C.

D.參考答案：C略10.設(shè)函數(shù)f（x）在R上存在導(dǎo)函數(shù)f′（x），對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f（x）=4x2﹣f（﹣x），當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）+＜4x，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣，+∞） C．[﹣1，+∞） D．[﹣2，+∞）參考答案：A【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性．【分析】利用構(gòu)造法設(shè)g（x）=f（x）﹣2x2，推出g（x）為奇函數(shù)，判斷g（x）的單調(diào)性，然后推出不等式得到結(jié)果．【解答】解：∵f（x）=4x2﹣f（﹣x），∴f（x）﹣2x2+f（﹣x）﹣2x2=0，設(shè)g（x）=f（x）﹣2x2，則g（x）+g（﹣x）=0，∴函數(shù)g（x）為奇函數(shù)．∵x∈（﹣∞，0）時(shí)，f′（x）+＜4x，g′（x）=f′（x）﹣4x＜﹣，故函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上是減函數(shù)，故函數(shù)g（x）在（0，+∞）上也是減函數(shù)，若f（m+1）≤f（﹣m）+4m+2，則f（m+1）﹣2（m+1）2≤f（﹣m）﹣2m2，即g（m+1）＜g（﹣m），∴m+1≥﹣m，解得：m≥﹣，故選：A．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若函數(shù)，則▲

．參考答案：，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可得：.

12.函數(shù)是R上的奇函數(shù)，滿足，當(dāng)時(shí)，，則=

▲

．參考答案：-2；

13.如圖，已知橢圓的左頂點(diǎn)為A，左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為B，若∠BAO+∠BFO=90°，則該橢圓的離心率是．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】先作出橢圓的右焦點(diǎn)F′，根據(jù)條件得出AB⊥BF′．再求出A、B、F′的坐標(biāo)，由兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)得出a，b、c的關(guān)系建立關(guān)于離心率e的方程，解方程求得橢圓C的離心率e．【解答】解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F′，由題意得A（﹣a，0）、B（0，b），F(xiàn)′（c，0），∵∠BAO+∠BFO=90°，且∠BFO=∠BF′O，∴∠BAO+∠BF′O=90°，∴?=0，∴（a，b）?（c，﹣b）=ac﹣b2=ac﹣a2+c2=0，∴e﹣1+e2=0，解得

e=，故答案為：．14.如圖，邊長為a的正△ABC的中線Aks5uF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個(gè)圖形，現(xiàn)給出下列四個(gè)命題：①

動(dòng)點(diǎn)A′在平面ABC上的射影在線段AF上；

②

恒有平面A′GF⊥平面BCED；③

三棱錐A′—FED的體積有最大值；④

異面直線A′E與BD不可能互相垂直；其中正確命題的序號(hào)是

．參考答案：①②③15.一輪船向正北方向航行，某時(shí)刻在A處測得燈塔M在正西方向且相距海里，另一燈塔N在北偏東30°方向，繼續(xù)航行20海里至B處時(shí)，測得燈塔N在南偏東60°方向，則兩燈塔MN之間的距離是

海里．參考答案：

16.觀察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此規(guī)律，第n個(gè)等式為

.參考答案：17.矩陣的特征值為______________．參考答案：－3，8。三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=1，求曲線y=f（x）在x=1處切線的方程；（Ⅱ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（Ⅲ）對(duì)于兩個(gè)圖形S1，S2，我們將圖形S1上的任意一點(diǎn)與圖形S2上的任意一點(diǎn)間的距離中的最小值，叫作圖形S1與圖形S2的距離．若兩個(gè)函數(shù)圖象的距離小于1，稱這兩個(gè)函數(shù)互為“可及函數(shù)”．試證明兩函數(shù)g（x）=+x+ax﹣2、f（x）=ax+lnx互為“可及函數(shù)”．參考答案：考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．專題：新定義；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．分析：（Ⅰ）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程，可得切線方程；（Ⅱ）求得導(dǎo)數(shù)，對(duì)a討論，①當(dāng)a≥0時(shí)，②當(dāng)a＜0時(shí)，令導(dǎo)數(shù)大于0，得增區(qū)間，令導(dǎo)數(shù)小于0，得減區(qū)間；（Ⅲ）設(shè)，求得導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明它小于1，即可得到結(jié)論．解答： 解：（Ⅰ）由已知，f′（1）=1+1=2．即y=f（x）在x=1處切線的斜率為2．又f（1）=1+ln1=1，故y=f（x）在x=1處切線方程為y=2x﹣1；（Ⅱ）．①當(dāng)a≥0時(shí)，由于x＞0，故ax+1＞0，f′（x）＞0，所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（0，+∞）．②當(dāng)a＜0時(shí)，由f'（x）=0，得．在區(qū)間上，f'（x）＞0，在區(qū)間上f'（x）＜0，所以，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（Ⅲ）證明：設(shè)，，令F′（x）＞0得x＞2，F(xiàn)′（x）≤0得0＜x≤2，則F（x）在（0，2]上遞減，在（2，+∞）上遞增，所以，因0≤Fmin（x）＜1，故函數(shù)，f（x）=ax+lnx的圖象間的距離d≤Fmin（x）＜1，所以函數(shù)和f（x）=ax+lnx是互為“可及函數(shù)”．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想，培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)．19.如圖，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，AA1=AB=2．（Ⅰ）求證：A1C∥平面AB1D；（Ⅱ）求直線A1D與平面AB1D所成角的正弦值．參考答案：【考點(diǎn)】MI：直線與平面所成的角；LS：直線與平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）連結(jié)AB1，BA1，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD推導(dǎo)出OD∥A1C，由此能證明A1C∥平面AB1D．（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，過A作DC的平行線為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線A1D與平面AB1D所成角的正弦值．【解答】證明：（Ⅰ）連結(jié)AB1，BA1，交于點(diǎn)O，連結(jié)OD，∵D是BC中點(diǎn)，底面是正三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四邊形ABB1A1是正方形，∴O是A1B的中點(diǎn)，∴OD∥A1C，∵OD?平面AB1D，∴A1C?平面AB1D，∴A1C∥平面AB1D；解：（Ⅱ）以A為原點(diǎn)，AD為x軸，過A作DC的平行線為y軸，AA1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A1（0，0，2），D（），A（0，0，0），B1（，﹣1，2），C（，1，0），=（，0，﹣2），=（），=（），設(shè)平面AB1D的法向量=（x，y，z），則，取z=1，得=（0，2，1），設(shè)直線A1D與平面AB1D所成角為θ，則sinθ===．∴直線A1D與平面AB1D所成角的正弦值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．20.（本小題滿分12分）如下圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與直線之間的陰影部分記為W，區(qū)域W中動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為1.（1）求點(diǎn)P的軌跡C的方程；（2）動(dòng)直線l穿過區(qū)域W，分別交直線于A，B兩點(diǎn)，若直線l與軌跡C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求證：的面積恒為定值.

參考答案：解：（1）由題意得，.因?yàn)辄c(diǎn)在區(qū)域內(nèi)，所以與同號(hào)，得，即點(diǎn)的軌跡的方程為.（2）設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，，，得.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，顯然，則，把直線的方程與聯(lián)立得，由直線與軌跡有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，知，得，得或.設(shè)，，由得，同理，得.所以.綜上，的面積恒為定值2.

21.函數(shù)f（x）=ax2﹣（2a+1）x+lnx（1）當(dāng)a=1時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）設(shè)g（x）=ex﹣x﹣1，當(dāng)a＜0時(shí)，若對(duì)任意x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值．【分析】（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．列出表格即可得出函數(shù)的單調(diào)性極值；（2）對(duì)于任意的x1∈（0，+∞），x2∈R，不等式f（x1）≤g（x2）恒成立，則有f（x）max≤g（x）min．利用導(dǎo)數(shù)分別在定義域內(nèi)研究其單調(diào)性極值與最值即可．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，函數(shù)f（x）=x2﹣3x+lnx，f′（x）=．令f'（x）=0得：x1=，x2=1．當(dāng)x變化時(shí)，f'（x），f（x）的變化情況如下表：x（0，）（，1）1（1，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）單調(diào)遞增極大單調(diào)遞減極小單調(diào)遞增因此，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：（0，），（1，+∞）；單調(diào)遞減區(qū)間為：（，1）當(dāng)x=時(shí)，f（x）有極大值，且f（x）極大值=﹣﹣ln2；當(dāng)x=1時(shí)，f（x）有極小值，且f（x）極小值=﹣2．（2）由g（x）=ex﹣x﹣1，則g'（x）=ex﹣1，令g'（x）＞0，解得x＞0；令g'（x）＜0，解得x＜0．∴g（x）在（﹣∞，0）是減函數(shù)，在（0，+∞）是增函數(shù)，即g（x）最小值=g（0