江蘇省常州市金壇市第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析

江蘇省常州市金壇市第一高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高二數(shù)學(xué)理模擬試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，實(shí)數(shù)滿足約束條件，則的最大值為A、

B、

C、

D、參考答案：B略2.雙曲線的漸近線方程為A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.如果復(fù)數(shù)z=，則（）A．|z|=2 B．z的實(shí)部為1C．z的虛部為﹣1 D．z的共軛復(fù)數(shù)為1+i參考答案：C【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算；A2：復(fù)數(shù)的基本概念．【分析】直接利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)，求出復(fù)數(shù)的模，然后逐一核對(duì)選項(xiàng)即可得到答案．【解答】解：由z==，所以，z的實(shí)部為﹣1，z的虛部為﹣1，z的共軛復(fù)數(shù)為﹣1+i，故選C．4.已知函數(shù)y=xne﹣x，則其導(dǎo)數(shù)y'=（）A．nxn﹣1e﹣x B．xne﹣x C．2xne﹣x D．（n﹣x）xn﹣1e﹣x參考答案：D【考點(diǎn)】導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算．【分析】利用導(dǎo)數(shù)乘法法則進(jìn)行計(jì)算，其中（e﹣x）′=﹣e﹣x，【解答】解：y′=nxn﹣1e﹣x﹣xne﹣x=（n﹣x）xn﹣1e﹣x，故選：D．5.在同一坐標(biāo)系中，方程與的圖象大致是參考答案：D略6.已知等差數(shù)列的公差為2，若，，成等比數(shù)列，則等于(

)A

B

C

D

參考答案：B略7.設(shè)F1、F2是橢圓的左、右焦點(diǎn)，P為直線x=上一點(diǎn)，△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，則E的離心率為(

)A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】計(jì)算題．【分析】利用△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，可得|PF2|=|F2F1|，根據(jù)P為直線x=上一點(diǎn)，可建立方程，由此可求橢圓的離心率．【解答】解：∵△F2PF1是底角為30°的等腰三角形，∴|PF2|=|F2F1|∵P為直線x=上一點(diǎn)∴∴故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是確定幾何量之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．8.已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1處取得極大值10，則的值為（）A． B．﹣2 C．﹣2或 D．不存在參考答案：A【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件．【分析】由于f′（x）=3x2+2ax+b，依題意知，f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，于是有b=﹣3﹣2a，代入f（1）=10即可求得a，b，從而可得答案．【解答】解：∵f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a，∴f′（x）=3x2+2ax+b，又f（x）=x3+ax2+bx﹣a2﹣7a在x=1處取得極大值10，∴f′（1）=3+2a+b=0，f（1）=1+a+b﹣a2﹣7a=10，∴a2+8a+12=0，∴a=﹣2，b=1或a=﹣6，b=9．當(dāng)a=﹣2，b=1時(shí)，f′（x）=3x2﹣4x+1=（3x﹣1）（x﹣1），當(dāng)＜x＜1時(shí)，f′（x）＜0，當(dāng)x＞1時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在x=1處取得極小值，與題意不符；當(dāng)a=﹣6，b=9時(shí)，f′（x）=3x2﹣12x+9=3（x﹣1）（x﹣3）當(dāng)x＜1時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′（x）＜0，∴f（x）在x=1處取得極大值，符合題意；∴=﹣=﹣．故選A．9.m=0是方程x2+y2﹣4x+2y+m=0表示圓的（）條件．A．充分不必要 B．必要不充分C．充要 D．既不充分也不必要參考答案：A【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷．【專題】簡(jiǎn)易邏輯．【分析】根據(jù)充分必要條件的定義，分別判斷其充分性和必要性即可．【解答】解：m=0時(shí)，方程為x2+y2﹣4x+2y=0，表示圓，是充分條件，若方程x2+y2﹣4x+2y+m=0表示圓，則需滿足5﹣m＞0，即m＜5，推不出m=0，不是必要條件，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了充分必要條件，考查了圓的有關(guān)性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題．10.定積分(x+sinx)dx的值為（）A．﹣cos1

B．+1 C．π D．參考答案：A【考點(diǎn)】定積分．【分析】求出被積函數(shù)的原函數(shù)，然后分別代入積分上限和積分下限后作差得答案．【解答】解：（x+sinx）dx=（x2﹣cosx）|=（﹣cos1）﹣（0﹣1）=﹣cos1，故選：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知直線l交橢圓=1于M，N兩點(diǎn)，且線段MN的中點(diǎn)為（1，1），則直線l方程為．參考答案：5x+4y﹣9=0【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用點(diǎn)差法及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得直線MN的斜率，根據(jù)直線的點(diǎn)斜式公式，即可求得l的方程．【解答】解：設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），P（1，1）是線段MN的中點(diǎn)，則x1+x2=8，y1+y2=4；依題意，，①﹣②得：（x1+x2）（x1﹣x2）=﹣（y1+y2）（y1﹣y2），由=1，=1，由題意知，直線l的斜率存在，∴kAB==﹣，∴直線l的方程為：y﹣1=﹣（x﹣1），整理得：5x+4y﹣9=0．故直線l的方程為5x+4y﹣9=0，故答案為：5x+4y﹣9=0．12.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：π【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【專題】計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】幾何體是圓柱與圓錐的組合體，根據(jù)三視圖判斷圓錐與圓柱的底面半徑及高，把數(shù)據(jù)代入棱柱的體積公式計(jì)算．【解答】解：由三視圖知：幾何體是圓柱與圓錐的組合體，圓錐與圓柱的底面直徑都為2，圓錐的高為1，圓柱的高為2，∴幾何體的體積V=π×12×2+×π×12×1=π．故答案為：π．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由三視圖求幾何體的體積，判斷幾何體的形狀及數(shù)據(jù)所對(duì)應(yīng)的幾何量是關(guān)鍵．13.橢圓C：+=1的上、下頂點(diǎn)分別為A1、A2，點(diǎn)P在C上且直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，那么直線PA1斜率的取值范圍是

．參考答案：[]【考點(diǎn)】K4：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】由題意求A1、A2的坐標(biāo)，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入求斜率，進(jìn)而求PA1斜率的取值范圍【解答】解：由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可知，上、下頂點(diǎn)分別為A1（0，）、A2（0，﹣），設(shè)點(diǎn)P（a，b）（a≠±2），則+=1．即=﹣直線PA2斜率k2=，直線PA1斜率k1=．k1k2=?==﹣；k1=﹣∵直線PA2斜率的取值范圍是[﹣2，﹣1]，即：﹣2≤k2≤﹣1∴直線PA1斜率的取值范圍是[]．故答案為：[]．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了圓錐曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)應(yīng)用，同時(shí)考查了直線的斜率公式及學(xué)生的化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題14.如圖，橢圓C：+=1（a＞2），圓O：x2+y2=a2+4，橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2過橢圓上一點(diǎn)P和原點(diǎn)O作直線l交圓O于M，N兩點(diǎn)，若|PF1|?|PF2|=6，則|PM|?|PN|的值為

．參考答案：6【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；直線與圓；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】設(shè)出P的坐標(biāo)，把P的縱坐標(biāo)用橫坐標(biāo)表示，然后由焦半徑公式及|PF1|?|PF2|=6，求得P的橫縱坐標(biāo)的平方和，由對(duì)稱性得到|PM|?|PN|=a2+4﹣|OM|2=a2+4﹣x02﹣y02，代入橫縱坐標(biāo)的平方和后整理得答案．【解答】解：設(shè)P（x0，y0），∵P在橢圓上，∴+=1，則y02=4（1﹣），∵|PF1|?|PF2|=6，∴（a+ex0）（a﹣ex0）=6，e2=，即x02=，由對(duì)稱性得|PM|?|PN|=a2+4﹣|OP|2=a2+4﹣x02﹣y02=a2+4﹣﹣4+=6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了焦半徑公式的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，是中檔題．15.已知函數(shù)在點(diǎn)(1，3)處的導(dǎo)數(shù)為3，則__________．參考答案：1.【分析】由題意得出，解出與的值，可得出的值.【詳解】，，由題意可得，解得，，因此，，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是結(jié)合題中條件列方程組求參數(shù)的值，考查計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.16.在公差不為0的等差數(shù)列成等比數(shù)列，則該等比數(shù)列的公比為

參考答案：略17.設(shè)tan（α+β）=，tan（β﹣）=，則tan（α+）=．參考答案：【考點(diǎn)】兩角和與差的正切函數(shù)．【分析】由條件利用兩角差的正切公式求得tan（α+）的值．【解答】解：∵tan（α+β）=，tan（β﹣）=，∴tan（α+）===，三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）某工廠欲加工一件藝術(shù)品，需要用到三棱錐形狀的坯材，工人將如圖所示的長方體ABCD-EFGH材料切割成三棱錐H-ACF.(1)若點(diǎn)M，N，K分別是棱HA，HC，HF的中點(diǎn)，點(diǎn)G是NK上的任意一點(diǎn)，求證：MG∥平面ACF；(2)已知原長方體材料中，AB＝2m，AD＝3m，DH＝1m，根據(jù)藝術(shù)品加工需要，工程師必須求出該三棱錐的高．工程師設(shè)計(jì)了一個(gè)求三棱錐的高度的程序，其框圖如圖所示，則運(yùn)行該程序時(shí)乙工程師應(yīng)輸入的t的值是多少？參考答案：(1)證明：∵HM＝MA，HN＝NC，HK＝KF，∴MK∥AF，MN∥AC.∵M(jìn)K平面ACF，AF平面ACF，∴MK∥平面ACF，同理可證MN∥平面ACF，∵M(jìn)N，MK平面MNK，且MK∩MN＝M，∴平面MNK∥平面ACF，又MG?平面MNK，故MG∥平面ACF.(2)由程序框圖可知a＝CF，b＝AC，c＝AF，∵三棱錐H-ACF為將長方體ABCD-EFGH切掉4個(gè)體積相等的小三棱錐所得，∴V三棱錐H-ACF＝2×3×1－4××3×2×1＝6－4＝2，故t＝2.

19.已知展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．（1）求n的值；（2）求展開式中的常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．參考答案：（1）6；（2）60；（3）.【分析】1利用公式展開得前三項(xiàng)，二項(xiàng)式系數(shù)和為22，即可求出n．

2利用通項(xiàng)公式求解展開式中的常數(shù)項(xiàng)即可．

3利用通項(xiàng)公式求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)．【詳解】解：由題意，展開式前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為22．1二項(xiàng)式定理展開：前三項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)為：，解得：或舍去．即n的值為6．2由通項(xiàng)公式，令，可得：．展開式中的常數(shù)項(xiàng)為；是偶數(shù)，展開式共有7項(xiàng)則第四項(xiàng)最大展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，通項(xiàng)公式的有關(guān)計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．20.已知函數(shù)(1)當(dāng)時(shí)，求關(guān)于x的不等式的解集；(2)若關(guān)于x的不等式有解，求a的取值范圍．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）將代入函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)分段法去掉絕對(duì)值，分別建立不等式組，解不等式組取并集；（2）根據(jù)不等式有解等價(jià)于，又根據(jù)三角不等式得，即函數(shù)的最小值為，將問題轉(zhuǎn)化為，求解即可求的取值范圍.【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí)，不等式為.若，則即；若，則舍去；若，則即；綜上，不等式的解集為（2）因?yàn)?，得到的最小值為，所以，?【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，考查絕對(duì)值的三角不等關(guān)系的應(yīng)用和不等式存在解問題的求解方法.函絕對(duì)值的不等式的解法：（1）定義法；即利用去掉絕對(duì)值再解（2）零點(diǎn)分段法：通常適用于含有兩個(gè)及兩個(gè)以上的絕對(duì)值符號(hào)的不等式；（3）平方法：通常適用于兩端均為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí)（比如）；（4）圖象法或數(shù)形結(jié)合法；（5）不等式同解變形原理.

21.已知z為復(fù)數(shù)，i為虛數(shù)單位，且和均為實(shí)數(shù).（1）求復(fù)數(shù)z；（2）若復(fù)數(shù)z，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A，B，C，求△ABC的面積.參考答案：解：（1）設(shè)復(fù)數(shù)，，則，，∵和均為實(shí)數(shù)，∴，解得：，則所求復(fù)數(shù).（2）由（1）知，所以，，則復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是，，，所以，即的面積為.

22.已知矩形ABCD中，，BC=1．以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系xoy．（1）求以A，B為焦點(diǎn)，且過C，D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)P（0，2）的直線l與（1）中的橢圓交于M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以線段MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；直線的一般式方程；直線與圓相交的性質(zhì)；直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)，設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)題意知2a=AC+BC，求得a，進(jìn)而根據(jù)b，a和c的關(guān)系求得b，則橢圓的方程可得．（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2．與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)判別式大于0求得k的范圍，設(shè)M，N兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x1，y1），（x2，y2）．根據(jù)韋達(dá)定理求得x1+x2和x1x2，進(jìn)而根據(jù)若以MN為直徑的圓恰好過原點(diǎn)，推斷則，得知x1x2+y1y2=0，根據(jù)x1x2求得y1y2代入即可求得k，最后檢驗(yàn)看是否符合題意．【解答】解：（1）由題意可得點(diǎn)A，B，C的坐標(biāo)分別為．設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是．則2a=AC