中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：運(yùn)用網(wǎng)格正方形解題舉例

運(yùn)用網(wǎng)格正方形解題舉例把正方形均勻地分成一個(gè)一個(gè)的小方格，從而形成“網(wǎng)格正方形”，同學(xué)們對(duì)于這種圖形都很熟悉，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，正方形網(wǎng)格能發(fā)揮很大的作用，現(xiàn)舉例如下：一、比較大小例1比較＋2＋與6的大?。馕鋈鐖D1，由數(shù)字6想到可以構(gòu)造出邊長(zhǎng)為6的正方形，并分成網(wǎng)格狀．由勾股定理找出線段根據(jù)線段公理“兩點(diǎn)之間，線段最短”AB＋BC＋CD＞6，即＋2＋>6．點(diǎn)評(píng)，從數(shù)字的特征（含根號(hào)的無(wú)理數(shù)）聯(lián)想到與這些數(shù)字相關(guān)的圖形——直角三角形，這樣來(lái)構(gòu)造方網(wǎng)格，促使數(shù)向形轉(zhuǎn)化．二、設(shè)計(jì)方案例一塊正方形草地，要在上面修建兩條交叉的小路，使得兩條小路將草地分成的四部分面積相等，你有多少種方法？解析一般同學(xué)都能想到過(guò)正方形的對(duì)稱中心作兩條互相垂直的直線．若借用網(wǎng)格正方形，把草地平分成16塊均等的小正方形，再作面積等于4的圖形，經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)或軸對(duì)稱，便得到形狀各異的符合題意的方案（圖略）．點(diǎn)評(píng)用方網(wǎng)格將面積數(shù)量化，從定量的角度快速找出各種各樣的方案，可有效防止思維定勢(shì)，從而拓展解題思路，如果借用更密的網(wǎng)格就以得到更多的方案，大家再試試看．三、巧求面積例3已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為，，，，求這個(gè)三角形的面積．解析解題的通法是作高，將三角形分成兩個(gè)直角三角形，再運(yùn)用勾股定理構(gòu)造方程求解，但計(jì)算量大，由三角形的三邊都是無(wú)理數(shù)，想到構(gòu)造正方形網(wǎng)格，畫出符合條件的三角形，用割補(bǔ)法解題能起到事半功倍的效果．如圖2，構(gòu)造正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)為1．由勾股定理，知點(diǎn)評(píng)由“數(shù)”建立網(wǎng)格正方形，再通過(guò)“形”簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題，起到數(shù)形結(jié)合，互不可分的效果．四、求值例4計(jì)算13＋23＋33＋…＋503的值．解析直接計(jì)算顯然不可取，利用數(shù)形結(jié)合法——構(gòu)造正方形網(wǎng)格，可使計(jì)算簡(jiǎn)捷易行．如圖3所示的正方形，左上方第一層小網(wǎng)格個(gè)數(shù)12＝13，左上方第一、二層的小網(wǎng)格總個(gè)數(shù)為 點(diǎn)評(píng)此處利用網(wǎng)格正方形形象而直觀地計(jì)算出較為復(fù)雜的算式，體現(xiàn)了數(shù)與形之間的和諧統(tǒng)一．也印證了德國(guó)數(shù)學(xué)家希爾伯特的一句名言：“算術(shù)是寫下來(lái)的圖形，幾何是畫下來(lái)的公式”．五、確定直線例5六個(gè)面上分別標(biāo)有1,1,2,3,3,5六個(gè)數(shù)字的均勻立方體的表面展開(kāi)圖，如圖5所示，擲這個(gè)立方體一次，記朝上一面的數(shù)為平面直角坐標(biāo)系中某個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，朝下一面的數(shù)為該點(diǎn)的縱坐標(biāo)．按照這樣的規(guī)定，每擲一次該小立方體，就得到平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)．已知小敏前兩次擲得的兩個(gè)點(diǎn)能確定一條直線L，且這條直線L經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，7)，那么，他第三次擲得點(diǎn)也在直線L上的概率是()．（A） （B） （C） （D）解析根據(jù)圖4的表面展開(kāi)圖，想象出立方體模型．易知相對(duì)的三組面的數(shù)字對(duì)應(yīng)為：表面展開(kāi)圖中左邊的1與右邊的1對(duì)應(yīng)，由上向下第二個(gè)3與5對(duì)應(yīng)，頂上的3與2對(duì)應(yīng)．投擲立方體得到平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)有6種可能：(1，1)、(1，1)、(3，5)、(5，3)、(3，2)、(2，3)．再看這些點(diǎn)是否在某條直線上，找出直線L是解題的關(guān)鍵．因?yàn)镻(4，7)在直線L上，由“兩點(diǎn)確定一條直線”，只須再找出另一點(diǎn)即可，建立如圖5的網(wǎng)格，把六個(gè)點(diǎn)逐一描出，很直觀地看出點(diǎn)(1，1)、(2，3)、(3，5)、(4，7)都在同一直線上，即這條直線為L(zhǎng)，故第三次擲得的點(diǎn)在直線L上的概率P＝＝，選A．點(diǎn)評(píng)此處借用網(wǎng)格正方形描點(diǎn)，可直觀看出這些點(diǎn)是否在同一條直線上，避免了繁瑣的計(jì)算，為準(zhǔn)確計(jì)算概率掃清了思維障礙．六、妙求角度例6已知α、β均為銳角，且tanα＝，tanβ＝，求α＋β的度數(shù)．解析如果用初中的三角函數(shù)的知識(shí)來(lái)解決問(wèn)題，比較困難．由銳角三角函數(shù)的定義，構(gòu)造出∠α,∠β，放置在正方形網(wǎng)格中，并把這兩個(gè)角集中在一處，找出全等三角形，問(wèn)題得以解決．如圖6的正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)都為1，若∠ABF＝α，∠C