2023年重慶市實驗中學(xué)高一年級下冊學(xué)期期末復(fù)習(xí)（一）數(shù)學(xué)試題（含解析答案）

2022年重慶實驗中學(xué)高一（下）數(shù)學(xué)期末復(fù)習(xí)卷子（一）

一、單項選擇題（本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有

一項為哪一項符合題目要求的）

1.設(shè)z=-，則Z的虛部為〔）

1-2/

A.-1B.1C.-2D.2

（答案）B

（解析）

（分析）

利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，即可得出復(fù)數(shù)z的虛部.

（詳解）???z=r^=>?因此，復(fù)數(shù)z的虛部為1.

l-2z（1一2/）（1+2，）5

應(yīng)選：B.

（點睛）此題考查復(fù)數(shù)虛部的求解，一般利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，考查計算能

力，屬于根底題.

2.已知向量：=（一2,1）,%=（2,4）,"=（-4,2）,則以下結(jié)論正確的選項是（）

A.allb-al/cB.aHb，a_Lc

C.allb'bileD.?>alIe

（答案）D

（解析）

（分析）

由平面向量共線和垂直的坐標(biāo)表示可得出結(jié)果.

（詳解）Qcz=（-2,1）,6=（2,4）,c=（-4,2）,則c=2a,a-^=-2x2+lx4=0>b-c=2b-a=0<

因此‘a(chǎn)lIe'aA.b>b}_c-

應(yīng)選：D.

（點睛）此題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，涉及共線向量和向量垂直的坐標(biāo)表示，考查推理能力，屬于根底題.

3.“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的中意程度的指標(biāo)，常用區(qū)間［0,10］內(nèi)的一

個數(shù)來表示，該數(shù)越接近10表示中意度越高.現(xiàn)隨機(jī)抽取10位北京市民，他們的幸福感指數(shù)為3,4,5,

5,6,7,7,8,9,10.則這組數(shù)據(jù)的75%分位數(shù)是（）

A.7B.7.5C.8D.8.5

（答案）C

（解析）

（分析）

先計算75%分位數(shù)的位置，再求出這個數(shù)即可.

（詳解）由題意，這10個人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，

因為75%xl0=7.5,

所以這10個人的75%分位數(shù)是從小到大排列后第8個人的幸福指數(shù)，即8.

應(yīng)選：C

（點睛）此題主要考查分位數(shù)的概念和計算，屬于根底題.

4.已知復(fù)數(shù)z=a+bi（a,beR）,假設(shè)（1+出）（1—i）=bi,則目=（）

A.73B.2C.V5D.5

（答案）C

（解析）

（分析）利用復(fù)數(shù)的乘法計算Q+山）（1-7），再利用復(fù)數(shù)相等得到。力滿足的方程組，從而得到復(fù)數(shù)z,

再利用公式計算其模即可.

（詳解）（1+az）（l-z）=bi可化為l+a+（a-l）j=歷，

1+。=0a=-\

因為dbwR,故《解得《

a-i=bb=-2'

所以z=—l-2i,故國=收

應(yīng)選：C.

（點睛）此題考查復(fù)數(shù)的乘法以及復(fù)數(shù)相等的條件，此類問題屬于簡單題.

5.在口Z3C中，角A,B,C所對的邊分別是“，b,C,已知“=2bcosC,則口Z8C的形狀是

（）

A.等腰三角形B.直角三角形

C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形

（答案）A

（解析）

（分析）利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，兩角和的正弦函數(shù)化簡a=2bcosC,求出8與。的關(guān)系,

即可推斷三角形的形狀.

（詳解）解：a-2hcosC,由正弦定理可知，sin/=2sin8cosc因為〃+8+C=）,

所以sin（5+C）=2sin8cosC,所以sin8cosC+cos8sinC=2sinBcosC,

即sinBcosC-cos8sinC=0

所以sin（6-C）=0,所以8-C=%r,k&Z,

因為A、B、C是三角形內(nèi)角，

所以8=C.

所以口/BC是等腰三角形.

應(yīng)選：A.

6.如圖，元件，二例?:=光心;學(xué)通過電流的概率均為0.9,且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在

M,N之間通過的概率是

A.0.729B.0.8829C.0.864D.0.9891

（答案）B

（解析）

（詳解）真題分析：電流能通過4,4的概率為89x0.9=0.81,電流能通過4的概率為09,故電流不

能通過也不能通過4的概率為（一0?81乂1-0.9）=0.019,所以電流能通過系統(tǒng)4,4，4的概率

為1-0.019=0.981,而電流能通過4的概率為0.9,所以電流能在M,N之間通過的概率為

（1-0.019）x0.9=0.8829,應(yīng)選B.

考點：相互獨立事件的概率乘法公式.

（方法點睛）此題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式.所求事件的概率與它的對立事件之間概率的

關(guān)系，表達(dá)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于根底題.求出電流不能通過4,4也不能通過4的概率，用1減去此

概率即得到電流能通過系統(tǒng)4,4,4的概率，再依據(jù)電流能通過4的概率，利用相互獨立事件的概率乘

法公式即可求得電流在之間通過的概率.

7.已知一組數(shù)據(jù)不，&，七，七，七的平均數(shù)是2,方差是那么另一組數(shù)據(jù)3玉一2,3X2-2,

3七一2,3X4-2,3/-2的平均數(shù)和方差分別為()

12

A.2,-B.4,3C.4,-D.2,1

33

(答案)B

(解析)

(分析)依據(jù)平均數(shù)、方差的公式計算可得；

(詳解)解：x2,…，*5的平均數(shù)是2,則再+W+…+/=2x5=10.

數(shù)據(jù)3玉—2,3x,—2,3X3—2,3x4—2,3%—2的平均數(shù)是：

T=:[(3X]-2)+(3X2-2)+(3X3-2)+(3x4-2)+(3x5-2)]=i[3x(x,+x,+...+x5)-10]=4,

22

所以S'?=(x[(3*-2—4>+(3X2-2-4)+...+(3X5-2-4)],

22222

=|X[(3X,-6)+...+(3X5-6)]=9X1[(X1-2)+(x2-2)+...+(x5-2)]=3.

應(yīng)選：B.

8.我國古代(九章算術(shù))中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童NBC。-EFG”有外

接球，且/8=2&，AD=2啦,EH=屈,EF<，平面N8CQ與平面跖G4間的距離為1,則

該芻童外接球的體積為

C.36兀D.48萬

(答案)C

(解析)

(分析)假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接HF,EG交于點連接交于點O2,由球的幾何性

質(zhì)可知O,。一。2在同一條直線上，由題意可知，平面Z8CZ),0a，平面EFG”,設(shè)

O2O=r,利用勾股定理和球的半徑相等的條件列式，求出廠的值，進(jìn)而求出外接球的半徑，即可求出體

積.

（詳解）解：假設(shè)。為芻童外接球的球心，連接印"EG交于點0,連接力交于點。2，由球的幾

何性質(zhì)可知。，。一。2在同一條直線上，

由題意可知，O&1?平面488,OO］上平面EFGH,020,=1.

設(shè)O2O=r,

在改口OGQ中，OG2=OO；+0.G1,在矩形ERG4中，

EG=y/EF2+FG2=^(V15)2+(V5)2=275.

OC=；EG=SB.

0G2=00：+00=(r+l)2+(V5)2.

222

在口口OB。2中，OB=OO2+O2B,在矩形ZBCD中，

DB=dAD2+AB1=J(2可+(2府=4&-

O2B=^BD=2y/2.

22222

O5=(9<92+(92S=r+(2V2).

設(shè)外接球的半徑OG=OB=R,

.?.(r+l)2+(V5)-=/+(2亞丁，解得r=l.

則OB=Jl2+(2>/2)2=3.

即火=3.

44

則該芻童外接球的體積/=一%及3=—萬x3，=36萬.

33

應(yīng)選：C.

（點睛）此題考查幾何體的外接球體積的求法，考查空間想象能力，找到球心是關(guān)鍵，屬于中檔題.

二、多項選擇題（此題共4小題，每題5分，共20分，在每題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求.全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得0分）

9.不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍(lán)色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為

紅色"互斥而不對立的事件有（）

A.2張卡片不全為紅色B.2張卡片恰有一張紅色

C.2張卡片至少有一張紅色D.2張卡片都為綠色

（答案）BD

（解析）

（分析）此題先寫出全部情況：“2張都為紅色"、"2張都為綠色"、"2張都為藍(lán)色"、"1張為紅色1張

為綠色“、力張為紅色1張為藍(lán)色”、力張為綠色1張為藍(lán)色"，再依據(jù)選項選擇互斥而不對立的事件即

可.

（詳解）6張卡片中一次取出2張卡片的全部情況有：“2張都為紅色"、"2張都為綠色"、"2張都為藍(lán)

色”、"1張為紅色1張為綠色"、力張為紅色1張為藍(lán)色"、力張為綠色1張為藍(lán)色"，選項中給出的

四個事件中與“2張都為紅色"互斥而非對立“2張恰有一張紅色"“2張都為綠色”，其中"2張至少一張為

紅色"包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥，“2張不全為紅色”是對立事件.

應(yīng)選：BD.

（點睛）此題考查互斥事件、對立事件，是根底題.

10.已知a,4是兩個不重合的平面，m,〃是兩條不重合的直線，則以下命題正確的選項是（）

A.假設(shè)mLn,mA.a,nlI/3,則

B.假設(shè)加_La,n//a,則加_L〃

C.假設(shè)a///?,mcza,則加//￡

D.假設(shè)〃?〃〃，a!1/3,則加與a所成的角和〃與夕所成的角相等

（答案）BCD

（解析）

（分析）依據(jù)線面、面面關(guān)系的性質(zhì)定理與判定定理推斷即可；

（詳解）解：對于A.假設(shè)〃?_L〃，mla,nllp,則a或a與夕平行或，a與夕相交不垂直,

故A錯誤；

對于B：；"http://a,,設(shè)過〃的平面僅與a交于a,則〃//a,又機(jī)_La,加_La,加_L〃，二B正

確；

對于C：?.?&///，?&內(nèi)的全部直線都與夕平行，且mua,;.c正確;

對于D：依據(jù)線面角的定義，可得假設(shè)m〃"，alIp,則m與a所成的角和〃與夕所成的角相等，故

D正確.

應(yīng)選：BCD.

11.（多項選擇題）2023年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一效勞區(qū)從七座以下小型汽車

中抽取了40名駕駛員進(jìn)行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速[km/h）分成六段：[60,65）,

[65,70）,[70,75）,[75,80）,[80,85）,[85,90],得到如下圖的頻率分布直方圖.以下結(jié)論正確的選項

是（）

A.這40輛小型車輛車速的眾數(shù)的估量值為77.5

B.在該效勞區(qū)任意抽取一輛車，車速超過80%的概率為0.35

14

C.假設(shè)從車速在[60,70）的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在[65,70）的概率為不

D.假設(shè)從車速在[60,70）的車輛中任意抽取2輛，則車速都在[60,65）內(nèi)的概率為:

（答案）ABC

（解析）

（分析）

眾數(shù)的估量值為最gao的矩形的中點對應(yīng)的值可推斷A；用頻率估量概率可推斷B；在C中，由題可知,

車速在［60,65）內(nèi)的車輛數(shù)為2,車速在［65,70）內(nèi)的車輛數(shù)為4,運(yùn)用古典概型的概率計算公式即可推斷

C、D.

（詳解）解：在A中，由題圖可知，眾數(shù)的估量值為最gao的矩形的中點對應(yīng)的值篤圖=77.5,A正

確；

在B中，車速超過80攵加//2的頻率為0.05x5+0.02x5=0.35,用頻率估量概率知B正確；

在C中，由題可知，車速在［60,65）內(nèi)的車輛數(shù)為2,車速在［65,70）內(nèi)的車輛數(shù)為4,

運(yùn)用古典概型求概率得,

C21141

至少有一輛車的車速在［65,70）的概率為尸=1-法=1-京=京，即車速都在［60,65）內(nèi)的概率為一,

151515

故C正確，D錯誤；

應(yīng)選：ABC.

（點睛）此題主要考查概率與統(tǒng)計的綜合，考查依據(jù)頻率分布直方圖估量總體的眾數(shù)、頻率，考查古典概

型的概率計算公式，屬于根底題.

12.如圖，正方體的棱長為1,動點E在線段小G上，F(xiàn),河分別是45,CD的中點，

則以下結(jié)論中正確的選項是（）

A.FM與BCi所成角為45°

B.平面CG尸

C.存在點E,使得平面8EF〃平面CCQQ

D.三棱錐8-CFE的體積為定值

（答案）BD

（解析）

（分析）對A,依據(jù)線線角的求法，取尸河的平行線小G分析小G與5G所成角即可;

對B,利用平面幾何方法證明8V1C方再證明BM1平面CC[F即可.

對C,依據(jù)BF與平面CG有交點判定即可.

對D,依據(jù)三棱錐B-CEF以BCF為底,且同底高不變，故體積不變判定即可.

（詳解）在A中，因為￡M分別是8的中點，所以FMHACHA^，依據(jù)正方體的性質(zhì)可得V48G

為正三角形，故/N與8G所成角為60°,故A錯誤;

在B中，因為tanN8MC=空=2,tanNCED=殷=2,故N8MC=NCF。,

CMFD

7T

故LBMC+ZDCF=ZCFD+ZDCF=一.故8〃_LC產(chǎn)，又有BMVC.C,

2

所以平面故B正確:

在C中,3/與平面CCQQ有交點，所以不存在點E,使得平面BEFH平面CCRD,故C錯誤.

在D中,三棱錐8-CEE以面8C尸為底，則高是定值，所以三棱錐8-CEE的體積為定值，故D正確.

應(yīng)選：BD.

三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分）

13.某單位有男女職工共600人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從全部職工中抽取容量為50的樣本，己知從女職工

中抽取的人數(shù)為15,那么該單位的女職工人數(shù)為.

（答案）180

（解析）

（分析）依據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可得到結(jié)論.

15n

（詳解）設(shè)該單位的女職工人數(shù)為〃，則一=——，解得“=180,即該單位的女職工人數(shù)為180.

50600

故答案為：180.

（點睛）此題主要考查分層抽樣的應(yīng)用，依據(jù)條件建立比例關(guān)系是解決此題的關(guān)鍵，比擬根底.

14.已知向量夾角為45。，且同=1,恢一同=亞，則問=

（答案）3行

（解析）

（詳解）真題分析：的夾角$cos455=—b，

la-b=4-4—b*b*=10?5=，?

考點：向量的運(yùn)算.

（思路點晴）平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，-一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積

的坐標(biāo)運(yùn)算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，可起到化繁為簡的妙用.利用向

量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關(guān)角度問題、線段長問題及垂直問題轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)

量積來解決.列出方程組求解未知數(shù).

15.某組合體如下圖，上半局部是正四棱錐。-瓦6”，下半局部是長方體/BCD-EEG”.正四棱錐

P—EFGH的高為內(nèi)，EF=2,AE=\,則該組合體的外表積為

（答案）20

（解析）

（分析）連接EG、FH交于點、O,連接尸O,取EF的中點加，連接、PM,計算出正四棱錐的

斜高PM,利用三角形和矩形的面積公式可求得該幾何體的外表積.

（詳解）連接EG、FH交于點、O,連接P。，取W的中點M,連接OM、PM,如以下圖所示：

在正四棱錐P—EEG”中，PO為該四棱錐的高，則PO=G，

因為四邊形EFG”是邊長為2的正方形，則OE=*EF=6,PF=PE=不PCP+OE?=逐，

因為M為瓦'的中點，.?.尸A/，ER,：.PM=yjPE2-EM2=2-

1,

因為/￡=1,故該幾何體的外表積為S=4x-x2x2+4x2xl+22=20.

2

故答案為：20.

16.在口23。中，已知2cos2H=Y；sinZ，假設(shè)。=2百，則口48C周長的取值范圍為.

23

（答案）（473,4+273]

（解析）

（分析）先由2cos20=X3sinZ化簡求出/=也，再利用余弦定理可得12=〃+c2+bc，再結(jié)合根

233

本不等式可得a+b+c?4+2jj，而在三角形中有b+c〉。，從而可得結(jié)果.

（詳解）解：由題意，2cos2—-l=-^-sin?l-l?即cosZ-^^sin/=—1，

233

可化為2Gsin（N-q）=3,即sin（4-7）=日，

TTTT27r

因為0<Z〈%，所以Z--=-,即4=—,

333

設(shè)口48。的內(nèi)角4B,C的對邊分別為

由余弦定理得12=〃+°2+bc，

因為6+/z2bc，（當(dāng)且僅當(dāng)6=c時取

所以12=〃+/+bc?3bc，即bcW4,

又因為12=〃+/+兒=3+，）2一兒，所以A=（b+c）2-i244,

故b+cV4,則a+b+c44+26

又因為b+c〉a,所以a+6+c〉2a=4ji，

即4G<a+b+cW4+23

故口”。周長的取值范圍為（4右,4+2百1

故答案為：（4百,4+2百］

（點睛）此題考查利用余弦定理解三角形，考查了三角函數(shù)恒等變換公式和根本不等式，綜合性強(qiáng)，考查

轉(zhuǎn)化能力和計算能力，屬于中檔題.

四、解答題（本大題共6小題，共70分.解容許寫出必要的文字說明、證明過程或推演步

驟）

17.已知向量a=（1,0）,b=（-1,2）.

⑴求力+5的坐標(biāo)；

II

（2）求a-b.

（答案）⑴（1,2）；⑵2VL

（解析）

（分析）（1）依據(jù)向量的數(shù)乘運(yùn)算及加法運(yùn)算即可得到此題答案；（2）依據(jù)向量的模的計算公式即可得

到此題答案.

（詳解）⑴因為￡=（1,0）,力=（—1,2）,

所以22=（2,0）；

所以2Z+Z=（2,0）+（—1,2）=（1,2）；

⑵因為Z—Z=（2,—2）,

所以?—q=^22+（-2）2=272.

（點睛）此題主要考查平面向量的線性運(yùn)算以及模的計算，屬根底題.

18.四邊形力88是圓柱。。|的軸截面，E為底面圓周上的一點，AE=2亞,BE=4,AD=5.

⑴求證：平面為DE；

［2］求圓柱的外表積.

（答案）（1）證明見解析

(2)48萬

（解析）

（分析）（1）推導(dǎo)出BE1AD,由此能證明1平面力DE.

（2）利用勾股定理求出從而得到底面圓的半徑，由此能求出圓柱的外表積.

（小問1詳解）

證明：???四邊形N8CD是圓柱的軸截面，￡為底面圓周上的一點，

所以平面/BE,BEu平面48E,所以BEL4D

BEVAE,

;4Dc4E=4,/。,4￡匚平面/?！?；.8￡_|_平面/。后.

（小問2詳解）

解：AE=2y/5,BE=4,AD=5.

AB=^（275J"+42=6,廠=曰=3,

?1?圓柱的外表積：S=2萬戶+2萬r?/￡>=2乃x9+2萬x3x5=48%.

19.某校從高一年級學(xué)生中隨機(jī)抽取40名中學(xué)生，將他們的期中考試數(shù)學(xué)成績（總分值100分，成績均為

不低于40分的整數(shù)）分成六段：［40,50）,［50,60）,…，［90,100］所得到如下圖的頻率分布直圖

（1）求圖中實數(shù)。的值；

（2）假設(shè)該校高一年級共有640人，試估量該校高一年級期中考試數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)；

（3）假設(shè)從數(shù)學(xué)成績在40,50）與90,100］兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，求這2名學(xué)生的數(shù)

學(xué)成績之差的絕對值不大于10的概率.

7

（答案）⑴a=0.03；（2）544人;［3］7.

（解析）

（分析）［1］依據(jù)圖中全部小矩形的面積之和等于1求解.

［2〕依據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再依據(jù)該校高一年級共有學(xué)生640人求解.

（3）由頻率分布直方圖得到成績在40,50）和90,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學(xué)成績在40,50）

與90,100］兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生的根本領(lǐng)件總數(shù)，再得到兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的

絕對值不大于10”的根本領(lǐng)件數(shù)，代入古典概型概率求解.

(詳解)?圖中全部小矩形的面積之和等于1,

10x(0.005+0.0l+0.02+a+0.025+0.01)=1,

解得。=0.03.

［2］依據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1-10x(0.005+0.01)=0.85,

:該校高一年級共有學(xué)生640人，

???由樣本估量總體的思想，可估量該校高一年級數(shù)學(xué)成績不低于60分的人數(shù)約為640x0.85=544人.

［3〕成績在40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40x0.05=2人，分別記為/,B,

成績在90,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)的人數(shù)為40x0.1=4人，分別記為C,D,E,F.

假設(shè)從數(shù)學(xué)成績在40,50)與90,100］兩個分?jǐn)?shù)段內(nèi)的學(xué)生中隨機(jī)選取兩名學(xué)生，

則全部的根本領(lǐng)件有：(4B),(A,O,(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(8,D),(B,E),(5,F),

(C,D),(GE),

(C,F),(D,E),(。，F(xiàn)),(￡,￡)共15種.

如果兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績都在40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)或都在90,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值肯定不大于10.

如果一個成績在40,50)分?jǐn)?shù)段內(nèi)，另一個成績在90,100］分?jǐn)?shù)段內(nèi)，

那么這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值肯定大于10.

記“這兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績之差的絕對值不大于10”為事件

則事件M包含的根本領(lǐng)件有：(4,8),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,用共7種.

7

所求概率為尸(〃)=記.

(點睛)此題主要考查頻率分布直方圖的應(yīng)用以及古典概型概率的求法，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于

中檔題.

20.在口48c中，a2+c2-h2+ac-

(1)求cosB的值；

(2)假設(shè)cos/=；,a=8,求6以及SIHBC的值.

(答案)(1)|

(2)b=7,S0/lsc=10V3

(解析)

（分析）（1）利用余弦定理計算可得；

（2）先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式求出角A,8的正弦值，再借助于正弦定理求出力，代入已知條件求出C

,進(jìn)而求出三角形的面積.

（小問1詳解）

解：由余弦定理及己知得：cos§="

（小問2詳解）

解：因為A,5為三角形內(nèi)角,

所以sin/=Vl-cos2A------，sin5=Vl-cos2B=YV3

a?sin8

由正弦定理得：b=

sinA473

H—2c—15=0，解得c=5或c=-3（舍去）.

21.某校設(shè)計了如下有獎闖關(guān)游戲:參賽選手按第一關(guān),第二關(guān)，第三關(guān)的順序依次闖關(guān)，假設(shè)闖關(guān)成功,分別獲

得5個學(xué)豆,10個學(xué)豆,20個學(xué)豆的獎勵，游戲還規(guī)定，中選手闖過一關(guān)后，可以選擇帶走相應(yīng)的學(xué)豆，結(jié)束游戲;

也可以選擇繼續(xù)闖下一關(guān)，假設(shè)有任何一關(guān)沒有闖關(guān)成功，則全部學(xué)豆歸零，游戲結(jié)束.設(shè)選手甲第一關(guān)，第二

關(guān)，第三關(guān)闖關(guān)成功的概率分別為3選手選擇繼續(xù)闖關(guān)的概率均為!，且各關(guān)之間闖關(guān)成功與否互不

432z

影響.

（1）求選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；

（2）求該選手所得學(xué)豆總個數(shù)不少于15的概率.

（解析）

（分析）

（1）設(shè)甲“第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件/,“第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件4,

，，前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗"為事件4,則同,卻互斥，由此利用互斥事件概率加法公式能求出選

手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率；

(2)該選手所得學(xué)豆總個數(shù)可能為0,5,15,35,先用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算出總個數(shù)

為15和35時所對應(yīng)的概率，再相加即可.

(詳解)(1)設(shè)“甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零”為事件4”第一關(guān)闖關(guān)成功第二關(guān)闖關(guān)失敗”為事件

4,“前兩關(guān)闖關(guān)成功第三關(guān)闖關(guān)失敗"為事件4,則4，H互斥.

R1

=-X—x]_

'"428

、113

PQ)=P(4)+P(4)=W+記=丘

所以選手甲第一關(guān)闖關(guān)成功且所得學(xué)豆為零的概率為33.

(2)由題意得該選手所得學(xué)豆總個數(shù)可能為0,5,15,35,

31211

且“該選手所得學(xué)豆總個數(shù)為15"的概率為一x—x—x—=—,

42328

“該選手所得學(xué)豆總個數(shù)為35"的概率為士3x-1x2-x-1x1-=—1.

4232216

113

所以“該選手所得學(xué)豆總個數(shù)不少于15"的概率為一+7=7.

81616

(點睛)此題考查概率的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法

公式的合理運(yùn)用，屬于中檔題.

22.如圖，四棱錐P—Z8C。中，PCJ.平面48c0,ABLAD,AB//CD,

PD=AB=2AD=2CD=2,￡為P8的中點.

(1)證明：平面NCE_L平面尸8C；

(2)求異面直線CE與尸。所成角的余弦值；

(3)求直線尸〃與平面4CE所成角的正弦值.

(答案)(1)證明見解析

⑵巫

5

⑶顯

5

（解析）

（分析）（1）證明平面P8C,利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）取R4的中點F,連接EF,證明出四邊形C。莊為平行四邊形，可得出CE〃。尸，可得知

異面直線CE與尸。所成角為NP。尸或其補(bǔ)角，計算出口尸。尸三邊邊長，利用余弦定理可求得結(jié)果；

（3）過點尸在平面P8C內(nèi)作PGL直線CE,垂足為點G,連接NG,證明出PGL平面ZCE,可得

知直線產(chǎn)力與平面ZCE所成角為/P/G,計算出PG的長，可求得NPZG的正弦值，即可得解.

（小問1詳解）

證明：在底面/6CQ中，AB1AD,ABHCD