第07章 一階電路和二階電路的時域分析-1

第七章

一階電路和二階電路

的時域分析7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件7.2一階電路的零輸入響應7.3一階電路的零狀態(tài)響應7.4一階電路的全響應7.7一階電路的階躍響應7.8一階電路的沖激響應7.5二階電路的零輸入響應含有動態(tài)元件電容和電感的電路稱為動態(tài)電路。特點：1.動態(tài)電路

7.1動態(tài)電路的方程及其初始條件

當動態(tài)電路狀態(tài)發(fā)生改變時（換路）需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)定狀態(tài)。這個變化過程稱為電路的過渡過程。例+-USR1R2（t=0）i0ti過渡期為零電阻電路K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uC

=0i=0,uC=USK+–uCUSRCi

(t=0)K接通電源后很長時間，電容充電完畢，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)+–uCUSRCi

(t→

)前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1USuCt0?i有一過渡期電容電路K未動作前，電路處于穩(wěn)定狀態(tài)i=0,uL

=0uL=0,i=US

/RK接通電源后很長時間，電路達到新的穩(wěn)定狀態(tài)，電感視為短路前一個穩(wěn)定狀態(tài)過渡狀態(tài)新的穩(wěn)定狀態(tài)t1US/Rit0?uL有一過渡期K+–uLUSRLi

(t=0)+–uLUSRLi

(t→

)電感電路過渡過程產(chǎn)生的原因

電路內(nèi)部含有儲能元件L、C，電路在換路時能量發(fā)生變化，而能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成。電路結(jié)構(gòu)、狀態(tài)發(fā)生變化換路支路接入或斷開電路參數(shù)變化K+–uCUSRCi

(t=0)應用KVL和電容的VCR得：+–uCUS

RCi

(t>0)2.動態(tài)電路的方程+–uLUSRLi

(t>0)有源電阻電路一個動態(tài)元件一階電路應用KVL和電感的VCR得：+–uLUSRLi

(t>0)CuC＋－＋－二階電路一階電路一階電路中只有一個動態(tài)元件,描述電路的方程是一階線性微分方程。（1）描述動態(tài)電路的電路方程為微分方程；結(jié)論：（2）動態(tài)電路方程的階數(shù)等于電路中動態(tài)元件的個數(shù)；二階電路二階電路中有二個動態(tài)元件,描述電路的方程是二階線性微分方程。

(1)t=0＋與t=0－的概念認為換路在

t=0時刻進行0－

換路前一瞬間

0＋

換路后一瞬間3.電路的初始條件初始條件為t=0＋時u，i

的值0－0＋0tf(t)K+–uCUSRCi

(t=0)一．動態(tài)電路及特點：

1、動態(tài)元件：

電容元件和電感元件的電壓和電流的約束關(guān)系是通過導數(shù)（或積分）表達的，稱為動態(tài)元件，同時也是儲能元件。

2、特點：

a、電路方程是以電流或電壓為變量的微分方程。

b、電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化時，可能使電路改變原來的工作狀態(tài)，轉(zhuǎn)變到另一個工作狀態(tài)，這種轉(zhuǎn)變往往需要經(jīng)歷一個過程，在工程上稱為過渡過程。 電路由一個工作狀態(tài)轉(zhuǎn)變到另一個工作狀態(tài)。三、時間與時刻 時刻為一點。 時間是兩個時刻的間隔。0t四、換路 電路的結(jié)構(gòu)或元件的參數(shù)發(fā)生變化。 換路是由開關(guān)的動作實現(xiàn)的。S(t=0)打開S(t=0)閉合12S(t=0)換動二、過渡過程：穩(wěn)態(tài)暫態(tài)舊穩(wěn)態(tài)新穩(wěn)態(tài)

過渡過程:C電路處于舊穩(wěn)態(tài)KRE+_開關(guān)K閉合電路處于新穩(wěn)態(tài)RE+_“穩(wěn)態(tài)”與“暫態(tài)”的概念: uC如何變化？t0uCE

產(chǎn)生過渡過程的電路及原因?無過渡過程I電阻電路t=0ER+_IK電阻是耗能元件，其上電流隨電壓比例變化，不存在過渡過程。Et電容為儲能元件，它儲存的能量為電場能量，其大小為：電容電路儲能元件因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電容的電路存在過渡過程。EKR+_CuCt儲能元件電感電路電感為儲能元件，它儲存的能量為磁場能量，其大小為：

因為能量的存儲和釋放需要一個過程，所以有電感的電路存在過渡過程。KRE+_t=0iL五、一階電路電阻： u=Ri

i=Gu動態(tài)元件： 電感電容根據(jù)KCL、KVL、VCR建立的方程是以u和i為變量的微分方程，無源元件均為線性、非時變。電路方程：線性常微分方程對于只含一個儲能元件，電路方程是一階線性常微分方程，相應的電路稱為一階電路。六、躍變×七、換路定則√在換路前后，電容上的電壓不發(fā)生躍變。1、電容2、電感在換路前后，電感中的電流不發(fā)生躍變。例1.求

uC

(0+),iC

(0+).t=0時打開開關(guān)S.由換路定則：uC

(0+)=uC

(0

)=8V0+等效電路：

+10ViiCuCS10k

40k

+

C解：+10Vi(0+)iC(0+)8V10k

+

八、初值的確定例2.t=0時閉合開關(guān)S.求uL(0+).iL(0+)=iL(0

)=2A0+等效電路：10VS1

4

iLLuL+–解：10V1

4

iL(0+)uL

(0+)+–注意：依據(jù)換路定則和基爾霍夫定律。S(t=0)+-+-+-S(t=0)+-+-+-t0-0+5A10V05A0010V5A10V00-10A-10V15A求初始值的一般方法：(1)由換路前電路求uC(0

)和iL(0

)；(2)由換路定則，確定uC(0+)和iL(0+)；(3)作0+等效電路：(4)由0+電路求所需的u(0+)、i(0+)。電容用電壓為uC(0+)的電壓源替代；電感用電流為iL(0+)的電流源替代?！?.2一階電路的零輸入響應零輸入：輸入=0(外電源輸入=0)儲能元件儲存的能量消耗能量的元件終值為01、推導過程：RR一、零輸入響應二、RC電路的零輸入響應最終能量來源初始：S合上前換路：S合上(t=0)：解一階齊次微分方程：令通解i=-S(t=0)uCuRU0iR特征方程：由初始條件定A：S(t=0)uCuRU0iR解為2、結(jié)論：均按同樣的指數(shù)規(guī)律衰減，最終趨于0。τ的大小反映此一階電路過渡過程的進展速度τ?。哼^渡過程短，進展快τ大：過渡過程長，進展慢3、時間常數(shù)S(t=0)uCuRU0iR工程上認為,經(jīng)過3

－5

,過渡過程結(jié)束。

：電容電壓衰減到原來電壓36.8%所需的時間。U00.368U00.135U00.05U00.007U0

t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0I0ti0令

=RC,稱

為一階電路的時間常數(shù)

（1）電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；連續(xù)函數(shù)躍變（2）衰減快慢與RC有關(guān)；

=RC

大→

過渡過程時間長

小→

過渡過程時間短電壓初值一定：R大（C一定）

i=u/R

放電電流小放電時間長U0tuC0

小

大C大（R一定）W=Cu2/2

儲能大物理含義4、能量關(guān)系

C放電，C不斷放能，電阻R不斷耗能,直至C上電場能量衰減為0。三、RL電路的零輸入響應1、推導過程：換路，K打到2求解一階齊次微分方程：初始，K打到1由初始條件定A：令iL(t)=Aept則(Lp+R)Aept=0特征方程：Lp+R=0得特征根解為：2、結(jié)論：大小均按指數(shù)規(guī)律衰減，最終趨于0。與RC串聯(lián)電路相反R大

小衰減快R小

大

衰減慢3、時間常數(shù)4、能量關(guān)系：

L不斷把儲存的磁場能量放出，R不斷吸收并轉(zhuǎn)化為熱能，直至L上的磁場能量為0為止。小結(jié)：一階電路的零輸入響應是由儲能元件的初值引起的響應，都是一個指數(shù)衰減函數(shù)。2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

.

RC電路：

=RC,RL電路：

=L/R3.同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)。iL(0+)=iL(0－)uC

(0+)=uC

(0－)RC電路RL電路S(t=0)解：=3Vτ=RCR=2//3τ=RC1Ω2Ω3Ω6V例：求電容兩端電壓?！?.3一階電路的零狀態(tài)響應一、零狀態(tài)響應初始狀態(tài)為零外電源輸入直流交流充電與電源變化規(guī)律相同能量來源最終終值零狀態(tài)：二、RC電路1、推導：iUSuRuCRS(t=0)C換路后：求解一階非齊次微分方程非齊次方程的特解齊次方程的通解強制分量(穩(wěn)態(tài)分量)自由分量(暫態(tài)分量)特解：重新達到穩(wěn)態(tài)時的值齊次方程的通解：滿足uC

(0+)=US

+

A

=0

A=

US求全解定常數(shù)強制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))-USOUStuCiuC,i電阻R消耗的能量：能量關(guān)系：能量關(guān)系：電源提供的能量一部分被電阻消耗，一部分儲存在電容中，且WC=WR充電效率為50%USRC例：USuRuCRS(t=0)iCUS=220V，R=100Ω，C=0.5μF，C未充過電。t=0時合上開關(guān)S。求： （1）uC、i； （2）最大充電電流； （3）合上S后150μs后uC、i

的值。解:(1)US=220V，R=100Ω，C=0.5μF，C未充過電。t=0時合上開關(guān)S。求:（1）uC、i；（2）最大充電電流；（3）合上S后150μs后uC、i

的值。USuRuCRS(t=0)iC=209(V)=2.2e-3=0.11(A)（2）最大充電電流；（3）合上開關(guān)S150μs后uC、i

的值。t=0時閉合開關(guān)S,求uC的零狀態(tài)響應。uiCi12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

S例.+1.5V+0.25

1

0.8FuC

S戴維寧等效.i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SuC

(V)t1.5O戴維寧等效:i12i1++2V+1

1

1

0.8FuC

SRL電路的零狀態(tài)響應iL(0

)=0USLS(t=0)+–uLR+–uRiL三、RL電路直流電源7.4一階電路的全響應一、全響應

當一個非零初始狀態(tài)的一階電路受到激勵時，電路的響應稱為全響應。S(t=0)二、RC電路設電容原有電壓為U01、電路方程初始條件2、方程的解方程的全解特解對應齊次方程的通解得根據(jù)uC(0+)=uC(0-)=U0A=U0-US全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應全響應=穩(wěn)態(tài)分量+瞬態(tài)分量上式改寫成三、RL電路

形式上和RC電路一致。初始值f(0+)穩(wěn)態(tài)值f(∞)時間常數(shù)τ（僅適用直流激勵）四、三要素法三要素三要素公式：(1)uC(0+)與iL(0+)按換路定則求出

換路前C視作開路iL(0+)