北京教師進修學校2020-2021學年高二十月數(shù)學月考試題

教師進修高二月考一、選擇題（本大題共10小題，共40分）1.在復平面內(nèi)，復數(shù)對應的點位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】B【解析】復數(shù)，其對應的點為，位于第二象限．故選．2.在四面體中，點為棱的中點.設,，，那么向量用基底可表示為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)點為棱的中點，則，然后利用空間向量的基本定理，用表示向量即可.【詳解】點為棱的中點，，，又，，故選B.【點睛】本題主要考查空間向量的基本定理，以及向量的中點公式，要求熟練掌握，同時考查了轉(zhuǎn)化與劃歸的思想的應用，屬于基礎題.3.在下列四個正方體中，能得出直線與所成角為的是（）A. B.C D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)線面垂直性質(zhì)以及判定定理判斷A，平移直線結(jié)合異面直線的定義，判斷BCD.【詳解】對于A，如下圖所示，連接由于，根據(jù)線面垂直判定定理得平面，再由線面垂直的性質(zhì)得出，則A正確；對于B，如下圖所示，連接因為為正三角形，，所以直線與所成角為，則B錯誤；對于C，如圖所示，連接因為在中，，，所以直線與所成角為，則C錯誤；對于D，如下圖所示，連接因為，所以直線與所成角為，則D錯誤；故選：A【點睛】本題主要考查了求異面直線的夾角，屬于中檔題.4.已知三條不同的直線和兩個不同的平面，下列四個命題中正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線線、線面、面面位置關系及平行垂直性質(zhì)判斷逐一判斷.【詳解】若,可以有或相交，故A錯；若，可以有或異面，故B錯；若，可以有、與斜交、，故C錯；過作平面，則，又，得，，所以，故D正確.故選:D

【點睛】本題考查空間線、面的位置關系，屬于基礎題.5.已知空間中兩條不同的直線，其方向向量分別為，則“”是“直線相交”的（）A..充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】兩條不同的直線的方向向量不共線，兩條不同的直線可能相交，可能異面；兩條直線相交，則兩條直線的方向向量一定不共線.【詳解】由可知，與不共線，所以兩條不同的直線不平行，可能相交，也可能異面，所以“”不是“直線相交”的充分條件；由兩條不同的直線相交可知，與不共線，所以，所以“”是“直線相交”的必要條件，綜上所述：“”是“直線相交”的必要不充分條件.故選：B.【點睛】本題考查了空間兩條直線的位置關系，考查了空間直線的方向向量，考查了必要不充分條件，屬于基礎題.6.已知，則滿足（）A.三點共線 B.構(gòu)成直角三角形C.構(gòu)成鈍角三角形 D.構(gòu)成等邊三角形【答案】D【解析】【分析】利用空間兩點間的距離公式計算可得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，所以為等邊三角形.故選：D.【點睛】本題考查了空間兩點間的距離公式，屬于基礎題.7.日晷是中國古代用來測定時間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來測定時間．把地球看成一個球(球心記為O)，地球上一點A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點A處的水平面是指過點A且與OA垂直的平面.在點A處放置一個日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點A處的緯度為北緯40°，則晷針與點A處的水平面所成角為（）A.20° B.40°C.50° D.90°【答案】B【解析】【分析】畫出過球心和晷針所確定的平面截地球和晷面的截面圖，根據(jù)面面平行的性質(zhì)定理和線面垂直的定義判定有關截線的關系，根據(jù)點處的緯度，計算出晷針與點處的水平面所成角.【詳解】畫出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點處的水平面的截線，依題意可知；是晷針所在直線.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點處的水平面所成角為.故選：B【點睛】本小題主要考查中國古代數(shù)學文化，考查球體有關計算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.8.已知四面體的所有棱長都是2，點是的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)，即可求解.【詳解】如圖，可知，.故選：A.【點睛】本題考查空間向量數(shù)量積的運算，屬于基礎題.9.已知四邊形是邊長為4的正方形，分別是邊的中點，垂直于正方形所在平面，且，則點到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】連接，交于，交于，過作，垂足為，則問題轉(zhuǎn)化為求的長度，根據(jù)兩個直角三角形相似，對應邊成比例可解得結(jié)果.【詳解】如圖：連接，交于，交于，因為分別是邊的中點，所以，因為平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為平面，所以，又，，所以平面，因為，所以平面，因為平面，所以平面平面，過作，垂足為，則平面，則為點到平面的距離，在直角三角形和直角三角形中，，所以，所以，所以，因為正方形的邊長為4，所以，，，所以.所以點到平面的距離為.故選：D【點睛】本題考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，考查了直線與平面垂直的判定，考查了平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，考查了直線與平面平行的判定，考查了求點到平面的距離，屬于中檔題.10.如圖，已知正方體的棱長為1，分別是棱上的中點.若點為側(cè)面正方形內(nèi)（含邊）動點，且存在使成立，則點的軌跡長度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】根據(jù)向量共面判斷出平面，由面面平行得到P點的軌跡，在直角三角形中求出邊長即可.【詳解】因為成立，所以共面，即平面，如圖，取中點，連接、、，根據(jù)正方體的性質(zhì)得，，，且，，所以平面平面，所以點在上運動，點的軌跡為線段，因為，，由勾股定理得，故選：C.【點睛】本題考查了平面與平面平行的判斷及性質(zhì)，求點的軌跡的問題，考查了推理能力.二、填空題（本大題共5小題，共20分）11.已知空間向量，若，則實數(shù)___，______.【答案】(1).(2).【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)求解即可.【詳解】設，則即，解得故答案為：；【點睛】本題主要考查了由向量平行求參數(shù)值，屬于基礎題.12.已知復數(shù)，則=________．【答案】【解析】試題分析：，所以考點：復數(shù)模的概念與復數(shù)的運算.13.正四棱錐，底面邊長為2，二面角為，則此四棱錐的體積為_____【答案】【解析】【分析】設點在底面內(nèi)的射影為，取的中點，連，則可得，，根據(jù)棱錐的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】如圖：設點在底面內(nèi)的射影為，因為四棱錐為正四棱錐，所以為正方形的中心，取的中點，連，則平面，，所以，所以為二面角的平面角，所以，因為，所以，所以此四棱錐的體積為.故答案：.【點睛】本題考查了正棱錐的結(jié)構(gòu)特征，考查了二面角，考查了棱錐的體積公式，屬于基礎題.14.如圖，長方體中，、與底面所成的角分別為和，，點為線段上一點，則最小值為_______.【答案】【解析】【分析】因為平面，所以，，根據(jù)，求出，，，又可化為，所以只需求出的最小值即可，即求直角三角形的斜邊上的高即可得解.【詳解】如圖：因為平面，所以，，設，則，，，，因為，所以，所以，即，解得，所以，，，所以，當時，取最小值，最小值為，所以的最小值為，即的最小值為.故答案為：【點睛】本題考查了長方體的結(jié)構(gòu)特征，考查了直線與平面所成的角，考查了空間向量的數(shù)量積，屬于中檔題.15.已知正方體，在空間中記過點與三條直線所成角都相等的直線條數(shù)為，過點與三個平面所成角都相等的直線的條數(shù)為，則_______，________.【答案】(1).4(2).4【解析】【分析】根據(jù)正方體的對稱性可知，正方體的四條對角線滿足與三條直線所成角都相等，也滿足與三個平面所成角都相等，將不過點的三條對角線平移到過即可得解.【詳解】在正方體中，根據(jù)對稱性可知，對角線分別與三條直線所成角都相等，對角線分別與三條直線所成角都相等，因為，所以對角線分別與三條直線所成角都相等，同理對角線分別與三條直線所成角都相等，過點分別作的平行線，則所作三條平行線分別與三條直線所成角都相等，又也與三條直線所成角都相等，所以；在正方體中，根據(jù)對稱性可知，對角線分別與三個平面所成角都相等，對角線分別與三個平面所成角都相等，因為平面平面，所以對角線分別與三個平面所成角都相等，同理對角線分別與三個平面所成角都相等，過點分別作的平行線，則所作三條平行線分別與三個平面所成角都相等，又也與三個平面所成角都相等，所以；故答案為：4；4【點睛】本題考查了正方體的對稱性，考查了直線與直線所成的角，考查了直線與平面所成的角，考查了空間想象能力，屬于中檔題.三、解答題（本大題共4小題，共40分）16.已知復數(shù).（1）若復數(shù)為純虛數(shù)，求實數(shù)；（2）若復數(shù)的輔角主值為，求實數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復數(shù)的除法運算化簡復數(shù)，根據(jù)純虛數(shù)的概念列式可得結(jié)果；（2）根據(jù)可解得結(jié)果.【詳解】因為，（1）若復數(shù)為純虛數(shù)，則且，解得；（2）若復數(shù)的輔角主值為，所以，則，解得.【點睛】本題考查了復數(shù)的除法運算，考查了純虛數(shù)的概念，考查了復數(shù)的輻角主值，屬于基礎題.17.已知正四棱柱中，.（1）求證：；（2）求直線與所成角的余弦值；（3）求直線與平面夾角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）（3）【解析】【分析】（1）通過證明平面，可得；（2）設直線與所成角為，，根據(jù)計算可得解；（3）轉(zhuǎn)化為求直線與平面夾角的正弦值，求出和點到平面的距離后可求得結(jié)果.【詳解】（1）因為平面，所以，又底面為正方形，所以，且，所以平面，所以.（2）設直線與所成角為，，因為，，，所以，所以直線與所成角的余弦值為.（3）因為，所以直線與平面夾角的正弦值等于直線與平面夾角的正弦值，因為，平面，所以平面，所以點到平面的距離等于點到平面的距離，因為平面，所以平面平面，所以點到平面的距離等于直角三角形的斜邊上的高，且，所以點到平面的距離等于，又，所以直線與平面夾角的正弦值為，所以直線與平面夾角的正弦值為.【點睛】本題考查了直線與平面垂直的判定和性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，考查了直線與平面所成角的定義求法，考查了異面直線所成角的向量求法，屬于中檔題.18.如圖，在四棱錐中，底面，，點為棱的中點.（1）求證：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）線段上是否存在點使得平面，如果存在，求的值；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）不存在，理由見解析.【解析】【分析】（1）取中點，連接，通過證明四邊形是平行四邊形得即可；（2）以為坐標原點，為坐標軸建立坐標系，可求出平面和平面的法向量，利用向量可求出二面角的余弦值；（3）通過可判斷不垂直于，即可判斷線段上不存在點使得平面.【詳解】（1）如圖，取中點，連接，在中，分別是中點，且，，且,且，四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；（2）底面，則以為坐標原點，為坐標軸建立坐標系，如圖，，，設平面的法向量，，取，則，即，底面，是平面的一個法向量，則，由圖可知二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為；（3）可知，，，,與不垂直，即不垂直于，線段上不存在點使得平面.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查二面角的向量求法，考查點的存在性問題，屬于中檔題.19.在平面直角坐標系中，為坐標原點，對任意的點，定義，任取點，記，若此時成立，則稱點相關.（1）分別判斷下面各組中兩點是否相關，并說明理由.①；②.（2）給定，點集，求集合中與點相關的點的個數(shù).【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)所給定義，代入不等式化簡變形可得對應坐標滿足的關系，即可判斷所給兩個點的坐標是否符合定義要求.（2）根據(jù)所給點集，依次判斷在四個象限內(nèi)滿足的點個數(shù)，坐標軸上及原點的