黑龍江省龍東南七校2024年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析

黑龍江省龍東南七校2024年高三第六次模擬考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知是球的球面上兩點(diǎn),,為該球面上的動點(diǎn).若三棱錐體積的最大值為36,則球的表面積為（）A． B． C． D．2．存在點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)M在第一象限，使得過點(diǎn)M且與橢圓在此點(diǎn)的切線垂直的直線經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．244．已知集合A={y|y=|x|﹣1，x∈R}，B={x|x≥2}，則下列結(jié)論正確的是（）A．﹣3∈AB．3BC．A∩B=BD．A∪B=B5．已知非零向量、，若且，則向量在向量方向上的投影為（）A． B． C． D．6．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．37．“學(xué)習(xí)強(qiáng)國”學(xué)習(xí)平臺是由中宣部主管，以深入學(xué)習(xí)宣傳新時(shí)代中國特色社會主義思想為主要內(nèi)容，立足全體黨員?面向全社會的優(yōu)質(zhì)平臺，現(xiàn)日益成為老百姓了解國家動態(tài)?緊跟時(shí)代脈搏的熱門?該款軟件主要設(shè)有“閱讀文章”?“視聽學(xué)習(xí)”兩個學(xué)習(xí)模塊和“每日答題”?“每周答題”?“專項(xiàng)答題”?“挑戰(zhàn)答題”四個答題模塊?某人在學(xué)習(xí)過程中，“閱讀文章”不能放首位，四個答題板塊中有且僅有三個答題板塊相鄰的學(xué)習(xí)方法有（）A．60 B．192 C．240 D．4328．設(shè)為銳角，若，則的值為（）A． B． C． D．9．函數(shù)的部分圖象大致是（）A． B．C． D．10．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，直線經(jīng)過點(diǎn)且與雙曲線的一條漸近線垂直，直線與雙曲線的左支交于不同的兩點(diǎn)，，若，則該雙曲線的離心率為（）．A． B． C． D．11．函數(shù)f(x)=2x-3A．[32C．[3212．已知集合，，則=()A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若一組樣本數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則該組樣本數(shù)據(jù)的方差為______.14．已知直線被圓截得的弦長為2，則的值為__15．某高校開展安全教育活動，安排6名老師到4個班進(jìn)行講解，要求1班和2班各安排一名老師，其余兩個班各安排兩名老師，其中劉老師和王老師不在一起，則不同的安排方案有________種.16．春節(jié)期間新型冠狀病毒肺炎疫情在湖北爆發(fā)，為了打贏疫情防控阻擊戰(zhàn)，我省某醫(yī)院選派2名醫(yī)生，6名護(hù)士到湖北、兩地參加疫情防控工作，每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士，其中甲乙兩名護(hù)士不到同一地，共有__________種選派方法.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知x∈R，設(shè)，，記函數(shù).（1）求函數(shù)取最小值時(shí)x的取值范圍；（2）設(shè)△ABC的角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，求△ABC的面積S的最大值.18．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為．且經(jīng)過點(diǎn)(1，)，A，B分別為橢圓C的左、右頂點(diǎn)，過左焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于D，E兩點(diǎn)（其中D在x軸上方）．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若△AEF與△BDF的面積之比為1：7，求直線l的方程．19．（12分）已知在中，內(nèi)角所對的邊分別為，若，，且.（1）求的值；（2）求的面積.20．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若的圖象與軸圍成的三角形面積大于6，求的取值范圍.21．（12分）設(shè)為實(shí)數(shù),已知函數(shù),．（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：（2）設(shè)為實(shí)數(shù),若不等式對任意的及任意的恒成立,求的取值范圍;（3）若函數(shù)（,）有兩個相異的零點(diǎn),求的取值范圍．22．（10分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線交于兩點(diǎn)（異于坐標(biāo)原點(diǎn)O）.（1）若直線過點(diǎn),，求的方程；（2）當(dāng)時(shí)，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn)，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，說明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，則球的表面積為，故選C．考點(diǎn)：外接球表面積和椎體的體積．2、D【解析】

根據(jù)題意利用垂直直線斜率間的關(guān)系建立不等式再求解即可.【詳解】因?yàn)檫^點(diǎn)M橢圓的切線方程為,所以切線的斜率為,由,解得,即,所以,所以.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了建立不等式求解橢圓離心率的問題,屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計(jì)算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.4、C【解析】試題分析：集合考點(diǎn)：集合間的關(guān)系5、D【解析】

設(shè)非零向量與的夾角為，在等式兩邊平方，求出的值，進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為，即可得解.【詳解】，由得，整理得，，解得，因此，向量在向量方向上的投影為.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量投影的計(jì)算，同時(shí)也考查利用向量的模計(jì)算向量的夾角，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再求出向量的坐標(biāo)，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時(shí)解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關(guān)鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標(biāo)，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得結(jié)果，屬于簡單題.7、C【解析】

四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法．注意按“閱讀文章”分類．【詳解】四個答題板塊中選三個捆綁在一起，和另外一個答題板塊用插入法，由于“閱讀文章”不能放首位，因此不同的方法數(shù)為．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用，考查捆綁法和插入法求解排列問題．對相鄰問題用捆綁法，不相鄰問題用插入法是解決這類問題的常用方法．8、D【解析】

用誘導(dǎo)公式和二倍角公式計(jì)算．【詳解】．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查誘導(dǎo)公式、余弦的二倍角公式，解題關(guān)鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系．9、C【解析】

判斷函數(shù)的性質(zhì)，和特殊值的正負(fù)，以及值域，逐一排除選項(xiàng).【詳解】，函數(shù)是奇函數(shù)，排除，時(shí)，，時(shí)，，排除，當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，排除，符合條件，故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象，屬于基礎(chǔ)題型，一般根據(jù)選項(xiàng)判斷函數(shù)的奇偶性，零點(diǎn)，特殊值的正負(fù)，以及單調(diào)性，極值點(diǎn)等排除選項(xiàng).10、A【解析】

直線的方程為，令和雙曲線方程聯(lián)立，再由得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)縱坐標(biāo)關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意可知直線的方程為,不妨設(shè).則，且將代入雙曲線方程中，得到設(shè)則由，可得，故則，解得則所以雙曲線離心率故選：A【點(diǎn)睛】此題考查雙曲線和直線相交問題，聯(lián)立直線和雙曲線方程得到兩交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系和已知條件即可求解，屬于一般性題目.11、A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)的定義域與分母不為零列不等式組求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)y=2x-3解得x≥32且∴函數(shù)f(x)=2x-3+1【點(diǎn)睛】定義域的三種類型及求法：(1)已知函數(shù)的解析式，則構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解；(2)對實(shí)際問題：由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解；(3)若已知函數(shù)fx的定義域?yàn)閍,b，則函數(shù)fgx12、C【解析】

計(jì)算，，再計(jì)算交集得到答案.【詳解】，，故.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了交集運(yùn)算，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、1【解析】

根據(jù)題意，由平均數(shù)公式可得，解得的值，進(jìn)而由方差公式計(jì)算，可得答案．【詳解】根據(jù)題意，數(shù)據(jù)7，9，，8，10的平均數(shù)為9，則，解得：，則其方差.故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考平均數(shù)、方差的計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意求出的值，屬于基礎(chǔ)題．14、1【解析】

根據(jù)弦長為半徑的兩倍，得直線經(jīng)過圓心，將圓心坐標(biāo)代入直線方程可解得．【詳解】解：圓的圓心為（1，1），半徑，

因?yàn)橹本€被圓截得的弦長為2，

所以直線經(jīng)過圓心（1，1），

，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了直線與圓相交的性質(zhì)，屬基礎(chǔ)題．15、156【解析】

先考慮每班安排的老師人數(shù)，然后計(jì)算出對應(yīng)的方案數(shù)，再考慮劉老師和王老師在同一班級的方案數(shù)，兩者作差即可得到不同安排的方案數(shù).【詳解】安排6名老師到4個班則每班老師人數(shù)為1，1，2，2，共有種，劉老師和王老師分配到一個班，共有種，所以種.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的綜合應(yīng)用，難度一般.對于分組的問題，首先確定每組的數(shù)量，對于其中特殊元素，可通過“正難則反”的思想進(jìn)行分析.16、24【解析】

先求出每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)，再減去甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)即可.【詳解】解：每地一名醫(yī)生，3名護(hù)士的選派方法的種數(shù)有，若甲乙兩名護(hù)士到同一地的種數(shù)有，則甲乙兩名護(hù)士不到同一地的種數(shù)有.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用間接法求排列組合問題，正難則反，是基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】

(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f（x）=，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根據(jù)余弦定理和基本不等式，即可求出，根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】（1）.令，k∈Z，即時(shí)，，取最小值，所以，所求的取值集合是；（2）由，得，因?yàn)椋裕裕?在中，由余弦定理，得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以的面積，因此的面積的最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)算和二倍角公式，兩角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面積公式，屬于中檔題.18、（1）（2）．【解析】

（1）利用離心率和橢圓經(jīng)過的點(diǎn)建立方程組，求解即可.（2）把面積之比轉(zhuǎn)化為縱坐標(biāo)之間的關(guān)系，聯(lián)立方程結(jié)合韋達(dá)定理可求.【詳解】解：（1）設(shè)焦距為2c，由題意知：；解得，所以橢圓的方程為.（2）由（1）知：F(﹣1，0)，設(shè)l：，D(，)，E(，)，＜0＜①，，，②；③；由①②得：，，代入③得：，又，故，因此，直線l的方程為．【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程的求解及橢圓中的面積問題，橢圓方程一般利用待定系數(shù)法，建立方程組進(jìn)行求解，面積問題的合理轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19、（1）；（2）【解析】

（1）將代入等式，結(jié)合正弦定理將邊化為角，再將及代入，即可求得的值；（2）根據(jù)（1）中的值可求得和，進(jìn)而可得，由三角形面積公式即可求解.【詳解】（1）由，得，由正弦定理將邊化為角可得，∵，∴，∴，化簡可得，∴解得.（2）∵在中，，∴，∴，∴，∴.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理在邊角轉(zhuǎn)化中的應(yīng)用，正弦差角公式的應(yīng)用，三角形面積公式求法，屬于基礎(chǔ)題.20、（Ⅰ）（Ⅱ）（2，+∞）【解析】試題分析：(Ⅰ)由題意零點(diǎn)分段即可確定不等式的解集為；(Ⅱ)由題意可得面積函數(shù)為為，求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍為試題解析：（I）當(dāng)時(shí)，化為，當(dāng)時(shí)，不等式化為，無解；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得；當(dāng)時(shí)，不等式化為，解得．所以的解集為．（II）由題設(shè)可得，所以函數(shù)的圖像與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為，，，的面積為．由題設(shè)得，故．所以a的取值范圍為21、（1）函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）（3）【解析】

（1）據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出;（2）分離參數(shù),可得對任意的及任意的恒成立,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可求出的范圍;（3）先求導(dǎo),再分類討論,根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性以及最值得關(guān)系即可求出的范圍【詳解】解：（1）當(dāng)時(shí),因?yàn)?當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),．所以函數(shù)單調(diào)減區(qū)間為;單調(diào)增區(qū)間為．（2）由,得,由于,所以對任意的及任意的恒成立,由于,所以,所以對任意的恒成立,設(shè),,則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,所以,所以．（3）由,得,其中．①若時(shí),則,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以函數(shù)至多有一個零點(diǎn),不合題意;②若時(shí),令,得．由第（2）小題,知：當(dāng)時(shí),,所以,所以,所以當(dāng)時(shí),函數(shù)的值域?yàn)椋?存在,使得,即,①且當(dāng)時(shí),,所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減．因?yàn)楹瘮?shù)有兩個零點(diǎn),,所以．②設(shè),,則,所以函數(shù)在單調(diào)遞增,由于,所以當(dāng)時(shí),．所以,②式中的,又由①式,得．由第（1）小題可知,當(dāng)時(shí),函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以,即．當(dāng)時(shí),（?。?/p>