高等數(shù)學(xué)第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用試題庫(附帶答案)

第三章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

一、選擇題

,

1、設(shè)f(x0)>0,f(xo)=O,f"(x0)存在，且f"(xo)+f(x0)=-L則()

(A)x。是f(x)的極大值點(diǎn)(B)x。是f(x)的極小值點(diǎn)(C)x。不是f(x)的極值點(diǎn)(D)不能斷定X。是否為極值點(diǎn)

2、函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x=x()處連續(xù)且取得極大值，則f(x)在X。處必有()

(A)f'(xo)=O(B)f"(x0)<0(C)f(Xo)=O且f〃(Xo)<O(D)「熾0)=0或不存在

3、y=^r的凸區(qū)間是()

(A)(-8,2)(B)(-a>,-2)(C)(2,+8)(D)(-2,+8)

4、在區(qū)間[-1,1]上滿足羅爾定理?xiàng)l件的函數(shù)是()

.2

(A)f(x)=-^^(B)f(x)=(x+1)2(C)f(x)=xy(D)f(x)=x2+1

X

5、設(shè)f(x)和g(x)都在x=a處取得極大值，F(xiàn)(x)=f(x)g(x),則F(x)在x=a處()

(A)必取得極大值(B)必取得極小值(C)不取極值(D)不能確定是否取得極值

6、使函數(shù)y=[x2(l-x2)滿足羅爾定理的區(qū)間是()

34

(A)[-1,1](B)[0,1](C)[-2,2](D)[-y,y]

7、y=xe-2x的凹區(qū)間是()

(A)(—02)(B)(-a)-2)?(1,+8)(D)(―1,+8)

8、函數(shù)f(x)在x=x0處連續(xù)，若X。為f(x)的極值點(diǎn)，則必有().

(A)/U)=0(B)/U)。0(C)八為)=0或廣(%)不存在(D)/U)不存在

9、當(dāng)a=()時(shí)，f(x)=asinx+且”上在x=’■處取到極值()

33

TT

(A)l(B)2(C)y(D)0

10、使函數(shù)f(X)=tx2(l—x2)適合羅爾定理?xiàng)l件的區(qū)可是()

34

(A)[0,1](B)[-l,l](C)[-2,2]-

II、若(x0,f(x。))為連續(xù)曲線y=f(x)上的凹弧與凸弧分界點(diǎn)，貝I()

(A)(x(),f(x()))必為曲線的拐點(diǎn)(B)(x°,f(x°))必定為曲線的駐點(diǎn)

(C)x0為f(x)的極值點(diǎn)(D)X。必定不是f(x)的極值

二、填空題

*2

1、曲線y=的凸區(qū)間是.

2、函數(shù)y=x2、的極小值點(diǎn)是.

x

3、曲線y二—e的凸區(qū)間為_____________________.

3+x

4、函數(shù)f(x)在［0,3］上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理確定的羅爾中值點(diǎn)自=

5、設(shè)曲線y=ax3+bx?以點(diǎn)(1,3)為拐點(diǎn)，則數(shù)組(a,b)=

6、函數(shù)y=x3-3x+l在區(qū)間［一2,0］上的最大值為,最小值為

7、函數(shù)y=lnsinx在［―,-^-］上的羅爾中值點(diǎn)自二________________.

66

8、y=f+l在區(qū)間［1,3］的拉格朗日中值點(diǎn)g=.

9、函數(shù)y=x2*的極小值點(diǎn)是.

10、函數(shù)y=x-2"的極小值點(diǎn)是。

11、y=x+Jl-x,—5<x<1的最小值為.

I2>y=x-V7的單調(diào)減區(qū)間是.

13、y=x-arctanx在且僅在區(qū)間______________上單調(diào)增.

14、函數(shù)f(x)=x+2cosx在區(qū)間［0,工］上的最大值為.

15、函數(shù)y=2x3+x?-4x+3的單調(diào)減少區(qū)間是.

16、已知點(diǎn)(1,3)是曲線y=ax3+bx2的拐點(diǎn)，貝a=,b=

1人f(x)=2ex+e-x的單調(diào)遞減區(qū)間為.

三、計(jì)算題

1、求函數(shù)y=x^-6x?+9x-4的極值和單調(diào)區(qū)間。

2、求極限lim(-------).

x->iInxx-1

3、求函數(shù)y=2x^+x?-4x+3的單調(diào)區(qū)間、凹凸區(qū)間、拐點(diǎn).

4、設(shè)常數(shù)k>0,試判別函數(shù)/(x)=lnx-?+Z在(。,用)內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).

a

5、求函數(shù)y=x3-6x+10的單調(diào)區(qū)間和極值

6.lim(-----!——).

xfoXex-1

7.求函數(shù)y=在上的最大值與最小值.

8.求曲線y=皿的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間..

X

9.求曲線y=2/+%2—4尤+3的單調(diào)區(qū)間和凹凸區(qū)間.

10.求函數(shù)y=xe-x圖形的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn).

尤=產(chǎn)

11,求曲線｛3的拐點(diǎn).

y=3t+t3

12、求函數(shù)y=x3-6x2+9x-4的單調(diào)區(qū)間、極值、凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

13、求函數(shù)y=2x3-6x2-18x+27在［1,4］上的最大值、最小值.

14、討論函數(shù)f(x)=ln(l+x2)的單調(diào)性和凹凸性

15、討論函數(shù)f(x)=M上的單調(diào)性和凹凸性.

X

16、求曲線y=ln(l+x2)的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn).

17.求函數(shù)y=/—8光2+2在區(qū)間［—1,3］上的最大值與最小值.

18.求函數(shù)y=x3-3x+l在區(qū)間［-2,0］上的最大值和最小值.

19.試確定常數(shù)a、b、c的值，使曲線y=x3+ax2+bx+c在x=2處取到極值，且與直線y=-3x+3

相切于點(diǎn)(1,0).

四.綜合題(第1-2題每題6分，第3題8分，總計(jì)20分)

1.證明:當(dāng)xe(0,巴)時(shí),x>(sinx)(cosx).

2

2、當(dāng)x>0時(shí)，l+xln(x+71+x2)>A/1+X2.

3、證明：arctanx+arccotx=—.

2

4、設(shè)(p(x)在［0,1］上可導(dǎo)，f(x)=(x—l)(p(x),求證:存在x(jD(0,1),使f'(X。)=(p(0).

a—baa—

5、試用拉格朗日中值定理證明：當(dāng)a>b>0時(shí)，——<ln-<—

abb

6、證明：當(dāng)x>0時(shí)，ln(l+x)>arCtan：V.

1+x

7、證明：當(dāng)x>0時(shí)，=^<ln(l+x)<x.

1+X

8、證明：當(dāng)x>0時(shí)，有1+^x>J1+x

2

,3

9、證明當(dāng)x20時(shí)，x-----x--<sinx.

10>證明：若x>0,貝！Jln(l+x)>-------.

1+x

11、證明：當(dāng)時(shí)，x———<ln(l+x)

12、證明：多項(xiàng)式/(%)=%3—3%+1在［0,1］內(nèi)不可能有兩個(gè)零點(diǎn).

13、證明當(dāng)x>l時(shí)，2G>3—-

x

14、證明：當(dāng)0<x<色時(shí)x>sinxcosx

答案：

一、選擇

1、A2、D3、A4、D5、D6、B7、A8、C9、B10、A11、A

二、填空

1、［-2,2］

2、x=~%n2

3、(-8,-3)口(一3,-2)

4、2

8、1+3

2

__1_

9、出2

10、---

In2

11、—5+\/6

12、x<-

4

13、-14

14、2+百

6

15、在(-1,—)上單調(diào)遞減

3

“39

16、.

22

17、(-00,--In2)

2

三、計(jì)算題

1、解：令y'=3、2一12工+9=3(尤一3)。一1)=0,可得駐點(diǎn)：xv=l,x2=3....2分

列表可得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-co,1)^(3,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(1,3)……5分

極大值為y\x=i=0,極小值y1=3=-47分

新西#[?x-1-xlnx].-Inx-xhix1

2o、角牛：原式=hm----------=hm---------=lim---------=――6分

xfi(x-l)lnx5加尤+]_2r_3inx+x-12

x

?

3、解：令y'=6無2+2x—4=2(3x—2)(犬+1)=。,可得駐點(diǎn)：xx=—l,x2=—....2分

列表可得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-8,-l)U(|,+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-11)……4分

又令y?=12x+2=0得三=」....5分

6

所以凸區(qū)間為(-嗎-4),凹區(qū)間為(-上+8).拐點(diǎn)為(-±3竺).……7分

66627

4、解：=……1分

xe

當(dāng)xe(O,e)時(shí)，/'(x)>0,所以/(x)在［0,e］上單調(diào)增加；……2分

又/(e)=笈>0,x充分接近于0時(shí)，/(e)<0,……3分

故/Xx)在(0,e)內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn).……4分

同理，/(x)在(e,+8)內(nèi)也有且僅有一個(gè)零點(diǎn).……6分

5、解：解y'=3/—3x—6=3(x—2)(x+l)=0,可得駐點(diǎn)：xt=—l,x2=2...2分

列表可得

函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(ro,-1)—(2,依)，單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,2)……5分

極大值為yL=T=：■，極小值y1=2=o7分

6、解：原式=lim^——---2分

xex-x

..4分

￡

=lim—-—...6分

x

-0xe+2e2

7、解：當(dāng)工單調(diào)增加時(shí)，函數(shù)g(%)=5-4元單調(diào)減少,

所以函數(shù)y(x)=45-4%也是單調(diào)減少。...2分

在區(qū)間［-1,1］函數(shù)y(x)=/5-4%是單調(diào)的減函數(shù)。

所以當(dāng)％=-1時(shí)，函數(shù)取得最大值〉=兀m=3;...4分

所以當(dāng)％=1時(shí)，函數(shù)取得最小值〉=為抽=1。...6分

8、解：y=——7—，令丁=0，于是x=e。

x

當(dāng)Ovxve時(shí),y>0,函數(shù)單調(diào)增加；

當(dāng)e<x時(shí)，y<0,函數(shù)單調(diào)減少。……2分

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(0,e);

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：(e,+oo)?！?分

而y.=21n：―3,令y“二o,于是尤="。...5分

無

33

函數(shù)的凸區(qū)間為：(0,常)；函數(shù)的凹區(qū)間為：(潟,+8)?！?分

9、解：因?yàn)?/p>

y=6x2+2x-4=2(x+l)(3x-2),

,?

2分

所以令y—0,得到xx=—1,x2=—o

函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(-00,-1),(1,+00)；

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：,4分

又由于

y=12x+2,

于是函數(shù)的凸區(qū)間為：(-00,-1);

6

函數(shù)的凹區(qū)間為：(--,+00)o6分

6

10、解：因?yàn)椋?/p>

xxx

y=e~-xe~,y=(x-2)e~2

分

!!l

令y=°,y=°,得到：

X=1，%=2。

所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為：(-0,1)，

函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為：(1.+O0)o4分

函數(shù)的凸區(qū)間為：(。,2),

函數(shù)的凹區(qū)間為：(2,+oo)。函數(shù)的拐點(diǎn)為：(2,2e-?)。6分

ii、解：包=二,也=3(i)

3分

dx2t'dx24/3

令它二=3"2r1)=O得%=_1%=1從而得曲線的可能拐點(diǎn)為

dx4胃

(1,-2)和(1,4),又二階導(dǎo)數(shù)在該兩點(diǎn)左右異號。所以(1,-2)和(1,4)為曲線的

拐點(diǎn)……6分

12、解：令＞'=3,-12無+9=3(x-l)(x-3)=0,得X]=l,x?=3.

令y”=6x-12=0,得三=2.3分

列表如下

X(-81)X=1(1,2)x=2(2,3)x=3(3,+8)

y+0---0+

y---0+++

y=f(x)單調(diào)極大值單調(diào)拐點(diǎn)單調(diào)極小值單調(diào)

增，凹f(l)=0減，凹(2,-2)減，凸f(3)=-4增，凸

1分

13、解：令y'=6x2-12^-18=6(A-+l)(x-3)=0,得駐點(diǎn)蒼=-1史［L4］(舍去)，無？=3....3分

比較函數(shù)在端點(diǎn)和駐點(diǎn)處的函數(shù)值，得函數(shù)y=2^_6/-18丈+27在［1,4］上的最大值、最小值為

y?in=-27.=32....6分

14、解：令人)=2=0，”加禽

0,得%=—1,%2=0,X3=1,.....3分

列表如下

X-101

(-00,-1)(-1,0)(0,1)(1,+8)

---0十十+

f'U)

-0+++0-

單調(diào)遞減拐點(diǎn)單調(diào)遞減極小值點(diǎn)單調(diào)遞增拐點(diǎn)單調(diào)遞增

y=/(x)

凹區(qū)間凸區(qū)間凸區(qū)間凹區(qū)間

7分

15、解：f\x)=--=0,得下=%/"(%)=—^=0,得/=/

XX

3

X(0,e)x=e(%/)x=e

/,?+0---

/"?---0+

y=/(x)單調(diào)遞增，凹函極大值單調(diào)遞減，凹函拐點(diǎn)(e3單調(diào)遞減，凸函

e

數(shù)數(shù)數(shù)

6分

4分

16、解：拐點(diǎn)為(-I,ln2),(l,ln2):一

1+X(1+%)

6分

凹區(qū)間為(TO,-1)和(1,yo),凸區(qū)間為(-1,1)

2分

17、解：由于y'=4丁—16x=4x(x+2)(x—2)-

一

分

所以，函數(shù)在［T,3］上的駐點(diǎn)為元=0,%=2o-一

-35分

：二

當(dāng)x=0時(shí)，y=2,x=2時(shí)，y=-14分

7

而x=-l時(shí)，y=-2,x=3時(shí)，y=ll：

分

8

、

所以函數(shù)的最大值為H,最小值為T4”

2分

18、解：由于/=3x2-3=3(x+l)(x-l)?-

3分

所以，函數(shù)在［-2,0］上的駐點(diǎn)為％=-1o

5分

當(dāng)x=T時(shí)，y=3,而x二一2時(shí)，y=--1,x=0時(shí)，y=l

6分

所以函數(shù)的最大值為3,最小值為-1

2

—|i2=(3.r+2ax+fe)|v_2=12+4a+b=0

dx

曳產(chǎn)3+2。+6=-3

19、解：根據(jù)已知條件得4分

dxg

l+a+Z?+c=0

a=-3

解上面方程組得b=07分

c=2

四、綜合題

.171

CD證：令F(x)=x-sinxcos%=%一萬sin2%，xG(0,—)

顯然尸⑶在區(qū)間嗚上連續(xù)的，可導(dǎo)的。并且尸(。)=。.2分

由于

F(x)=1-cos2x，

對于任意的尤￡(0,2)，F(xiàn)(x)>0o

2

所以函數(shù)砥%)在區(qū)間(0,§上單調(diào)增函數(shù)。4分

于是對于任意的X￡(0,工)，有

2

F(x)>F(0)=0,

即為:

x>sinxcosx6分

(2)證：令f(x)=1+.rln(x+Vl+x2)-71+x2,Wi]f(O)=0,/'(x)=ln(x+71+x2)>0(x>0)

所以當(dāng)x>0時(shí)，1+xln(x+71+x2)>71+x2

(3)證：令/(%)=arctan%+arccot%,貝爐'(%)=04分

所以Ax)恒為常數(shù),

又/⑴=(+?=T，從而/(尤)=arctanx+arccot%=6分

(4)證：因?yàn)?lt;p(x)在［0,1］上可導(dǎo)，所以f(x)=(xT)<p(x)在［0,1］上連續(xù)，在(0,I)內(nèi)可導(dǎo)?！?分

根據(jù)拉格朗日中值定理，至少存在一點(diǎn)x(,e(0,1),使/'(%)=/⑴一，°)=火0)

8分

1—0

(5)證：設(shè)/(x)=lnx,則尸(x)=—……1分

對Ina—Inb用拉格朗日中值定理得Ina—Inb=7'(J)(a—切，其中……4分

ct—b7ci—ba—b二匚1a—baa—b八

而-----</'(4)e(〃—/?)=-----<-----,所以-----<ln-<—--...6分

ababb

(6)證：令/(x)=(l+x)ln(l+x)—arctanx1分

貝U/'(x)=ln(l+x)+l------?！?分

1+x

因?yàn)楫?dāng)尤>0時(shí)，/,(x)=ln(l+x)+l?—>ln(l+x)>0，……4分

1+X

所以/(九)在(0,+8)上是嚴(yán)格單調(diào)連續(xù)遞增函數(shù)，并且/(0)=0,……5分

故當(dāng)x>0時(shí)，/(x)>0,即InQ+x)〉—“。……6分

1+X

(7)證：令/(x)=ln(l+x),/'(x)=——...1分

1+x

對/(%)=ln(l+X)—Ini利用柯西中值定理存在

j￡(0,%)使得/(x)=In(l+x)—lnl=7'C)(l+%—1)……3分

x

即111(1+幻=證……4分

YYx

又由于JE(0,x),----<-----<%,所以-----<ln(1+x)<x...6分

1+x1+41+X

(8)證：令/(x)=(l+：x)2-(l+x)

X

八無）=5>o,（x>o）2分

故無>0時(shí)，f(x)>/(0)=0BP(1+1A-)2>(1+x),(X>0)...5分

從而1+——X>J1+九6分

,“r3

(9)證：令/(x)=x----sin%

6

因?yàn)?——cosx=2sin2---<2(—)2--=0,(x<0)....4分

22222

r3

故無NO時(shí)，/(%)K/(0)=0，即犬----<sinx....6分