河北省衡水市武強(qiáng)中學(xué)2023-2024學(xué)年高三年級上冊期末考試數(shù)學(xué)試題

武強(qiáng)中學(xué)2023——2024學(xué)年度上學(xué)期期末考試

高三數(shù)學(xué)試題

出題人：郝敬先

學(xué)校:姓名：班級：考號：

一、選擇題（1-8小題單選，每題5分，9-12小題多選，全部選對5分，部

分選對2分，有選錯(cuò)的0分，共60分。）

1.已知集合4={坨一%>0},3={0,1,2,3,4},則AB=()

A.{0,1}B.{0,1,2}C.{3,4}D.{2,3,4}

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Jr的共輾復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于

1-1

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

3.部分與整體以某種相似的方式呈現(xiàn)稱為分形，一個(gè)數(shù)學(xué)意義上分形的生成

是基于一個(gè)不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)，分形幾何學(xué)不僅

讓人們感悟到科學(xué)與藝術(shù)的融合，數(shù)學(xué)與藝術(shù)審美的統(tǒng)一，而且還有其深刻的

科學(xué)方法論意義，如圖，由波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基1915年提出的謝爾賓斯基

三角形就屬于一種分形，具體作法是取一個(gè)實(shí)心三角形，沿三角形的三邊中點(diǎn)

連線.將它分成4個(gè)小三角形，去掉中間的那一個(gè)小三角形后，對其余3個(gè)小

三角形重復(fù)上述過程逐次得到各個(gè)圖形，若記圖①三角形的面積為半，則第

▲

▲▲

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▲▲▲▲

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▲▲▲▲▲▲▲▲

圖③圖④

A.g（孝嚴(yán)B.也c

-#-D-T-

4.等差數(shù)列也｝的公差d<0,且吊=若，則數(shù)列｛風(fēng)｝的前〃項(xiàng)和S“取得最大值

時(shí)的項(xiàng)數(shù)〃的值為（）

A.5B.6C.5或6D.6或7

5.已知sinc+2sina-l)=°,則tana+；()

A.3B-IC.-3D-4

6.已知加，〃是兩條不同直線，a是平面，且"ua,m<ta,((ml/a”是"mlInv

的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

7.已矢口“=Z?=（n,l）,m>0,H>0,若存在非零實(shí)數(shù)％使得4=助,

17

則一+-的最小值為（）

mn

A.8B.9C.10D.12

8.設(shè)^二?。，，則a,b,c的大小關(guān)系為（)

A.a<b<cB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

9.已矢口函數(shù)=-尤2+尤，貝Ij（）

A./（龍）為奇函數(shù)B.尤=1不是函數(shù)/（尤）的極值點(diǎn)

C."X）在［T,+8）上單調(diào)遞增D./*）存在兩個(gè)零點(diǎn)

10.已知關(guān)于x的不等式渥+法+cwo的解集為｛x|-3Vx<4｝,則下列說法正確

的是()

A.a<0B.不等式cx2-fer+a<0的解集為

2c

C.a+b+c<QD.——7+彳的最小值為T

3。+42

11.已知函數(shù)/（尤）=Asin（s+?）（其中4>0,0>0,|。|<兀）的部分圖象如圖所示,

則下列結(jié)論正確的是（）

A.函數(shù)/⑴的最小正周期為］

B.函數(shù)/⑺的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱

C.函數(shù),⑴在區(qū)間卜屋］上單調(diào)遞增

36

D.若/（1-￡）=?!，則sin%-cos4a的值為-

655

12.如圖，在棱長為1的正方體A3。-AgGR中，P為線段BC,上的動(dòng)點(diǎn),

下列說法正確的是（）

A.對任意點(diǎn)RDP//平面A4Q

B.三棱錐ADR的體積為:

C.線段“長度的最小值為逅

2

D.存在點(diǎn)尸，使得如與平面ADRA所成角的大小為1

二、填空題（每小題5分，共20分）

13.設(shè)向量a,匕的夾角的余弦值為:，且忖=1,a-b=l,則卜|=，

14.命題“VxeR,f>i”的否定是.

15.在ABC中，（a+cXsinA-sinC）=b（sinA-sinB）,則NC=.

16.定義在R上的奇函數(shù)滿足了(2-x)=/(x),且xe[0,l]時(shí),/(x)=log2(x+l),

則/（2022）+/（2023）+/（2024）=.

三、解答題（17題10分，18-22每題12分，共70分。）

17.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛4｝滿足q=2,2%=%-%,數(shù)列也｝滿足2=l+21og2a..

⑴求數(shù)列應(yīng)｝,也｝的通項(xiàng)公式；

⑵令g=風(fēng)。求數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和sn.

18.在ABC中，內(nèi)角力，B,。所對的邊分別為。，6,*且

—csinB=(c—acosB)sinC.

2

⑴求4

(2)若。為邊A3上一點(diǎn)，AD=2DB,AC=2,BC=y/l,求ACD的面積.

19.已知數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為S”嗎=豆,%＞。,%?(%+S“)=2.

(1)求S/(2)求，.+.［++?.

J］十十°n〃+1

20.在_ABC中，角力，B,。所對的邊分別為a,b,c.滿足(2a-c)cosB=)cosC.

⑴求角8的大?。虎圃O(shè)”=4,b=2幣.

(i)求c的值；(ii)求sin(2C+3)的值.

21.如圖，在三棱臺(tái)ABC-ABC中，AA=AG=CG=I,AC=2,\CVAB.

.fl

(1)求證：平面ACCH一即A；

(2)若N3AC=90。，AB=1,求二面角的川(-/--

正弦值.B

22.已知函數(shù)”力=3尤2-依-21nA'(aeR).

⑴當(dāng)。=1時(shí)，求函數(shù)/(x)的極值；

⑵若函數(shù)“X)在區(qū)間［1,+8)上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

高三數(shù)學(xué)參考答案:

1.A

【詳解】由&={也—無>0}得4={巾<2},又3={0,1,2,3,4},

所以A8={0,1},

故選：A

2.D

【詳解】：占肅的共輾復(fù)數(shù)為TT

對應(yīng)點(diǎn)為在第四象限，故選D.

3.D

【詳解】根據(jù)題意：每一個(gè)圖形的面積是前一個(gè)圖形面積的:，即面積為首項(xiàng)

為￡,公比為]的等比數(shù)列，

44

故第〃個(gè)圖中陰影部分的面積為/=/.（；兒

故選：D.

4.C

【詳解】由縱=,可得（4+4i）（4-=。，

因?yàn)閐<0,所以％-％產(chǎn)0,所以%+%[=0,又4+?！?0,所以4=0.

因?yàn)?<0,所以{%}是遞減數(shù)列，所以%>%>???>%>&=。>%>%>…，顯然

前5項(xiàng)和或前6項(xiàng)和最大，

故選：C.

5.C

【詳解】因?yàn)閟inc+2sin]=-5卜。，所以sintz-2cosc=。，所以tan（z=2,

71

tana+tan一

tan[a+；42+l

則Tt=—3.

I1-tanatan—l-2xl

4

故選：c.

6.B

【詳解】一條直線平行平面，但這條直線不一定和平面內(nèi)的直線平行，所以由

mlla,不能得到m//w,

而〃/70，〃ua,mya,則9〃a,

所以“機(jī)//&”是“機(jī)//〃”的必要不充分條件，

故選：B

7.B

【詳解】若存在非零實(shí)數(shù)/使得°=助，即；//力，又。=(1-九2),6=(”,1),

所以1-m=2〃，BPm+2n=\,

所以1+工=1_1+2](m+2〃)=5+&+型25+2"

mnnJmn\

當(dāng)且僅0當(dāng)n即9TYi相=〃=;1時(shí)，等號成立.

mn3

所以工+2的最小值為9.

mn

故選：B

8.D

【詳解】由題意知。=1嗝7。-8<1叫7。-7=1,b=Hp=e。8>e°Ja>e°=l,

所以c<a<b,

故選：D.

9.BC

【詳解】函數(shù)/(x)=；x3_f+x的定義域?yàn)镽,又/(-x)=-；x3-x2-x,

-f(x)=-1x3+x2-x,

則所以/(x)不是奇函數(shù)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤;

S^9/'W=-?2-2x+l=(x-l)2>0,所以/(x)在R上單調(diào)遞增，所以函數(shù)/(x)不存

在極值點(diǎn)，故選項(xiàng)B與C正確；

因?yàn)?l)=；T+l>0,/(-1)=-1-1+1<0,又/⑺在R上單調(diào)遞增，且為0)=0,

所以Ax)僅有一個(gè)零點(diǎn)0,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：BC

10.AB

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的不等式/+法+/0的解集為何-3"<4},

所以-3,4是方程加+"+c=0的兩根，且〃<。，故A正確;

-=-3+4b=-a

所以“，解得

C=-12(2

-=-3x4

.4

2

所以夕2一陵+。<0,BP—12ax+ax+a<09貝12/一工一1<0,解得一

所以不等式cf—bx+QvO的解集為+故B正確；

Jfj]a-^-b+c=a—a—12a=—12a>0,故C錯(cuò)誤；

因?yàn)椤?lt;0力=-〃,。=-12。,所以一3。+4>4,

222I?

貝----1—r=---------6(2=-------F2(~3ci+4)—822J--------2(—3〃+4)—8=—4,

30+42-3a+4-3a+4')丫-3a+4v7

7s

當(dāng)且僅當(dāng)—^=2(-3“+4),即。=1或時(shí)，等號成立，

與〃<0矛盾，所以上+3取不到最小值T,故D錯(cuò)誤.

3。+42

故選：AB.

11.BCD

【詳解】由函數(shù)/(x)=Asin(s+9)的部分圖象可知：A=2,且%=與—1|=；,

則T=兀，解得?=—=2；

2兀+*]=-2,gpsinfy+^U-1,

又因?yàn)榱?sin2xT

貝!|事+夕=-'1+2防1,左eZ且|夕|＜無，所以夕=&

O

所以/(x)=2sin(2x+.

對于選項(xiàng)A：函數(shù)的最小正周期7=兀，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：當(dāng)戶-專時(shí)，可得了，鳥=2sin卜＞!)=0,

12V12J＜o(jì)Oy

所以函數(shù)了⑴的圖象關(guān)于點(diǎn)，噎，。］對稱，故B正確；

對于選項(xiàng)C:因?yàn)?則手2x+】q,且嚴(yán)sin尤在內(nèi)單調(diào)遞

36262

增,

所以函數(shù)/⑺在區(qū)間上單調(diào)遞增，故C正確;

3o

對于選項(xiàng)：因?yàn)榱?2sin——2a\=2cos2a=|,可得

D(2J

cos2a=—

59

所以sin4a-cos4a=(sin2a-cos26f)(sin2a+cos2a)

=sin2a-cos2a=—cos2a=--,

5

3

即sin%—cos%的值為--,故D正確；

故選：BCD.

12.AC

【詳解】由題可知，正方體的面對角線長度為忘.

對于A,分別連接G。、BD、BQ、A與、AD{,

由AR/ABC”4〃〃B。,ARBR=DrBJ=得到平面平面ABQ,

而。尸u平面CtDB,故對任意點(diǎn)P,DP\平面ABtDt,故A正確；

B錯(cuò)誤;對于C,線段DP在CB。中，當(dāng)點(diǎn)產(chǎn)為BQ的中點(diǎn)時(shí),如最小，，在RtABPD

中，DP=J5一PB?=J?'-U=等，故如的最小值為半，故C正確;

對于D,點(diǎn)P在平面AD2A上的投影在線段AA上，設(shè)點(diǎn)P的投影為點(diǎn)0,

則/尸。。為〃與平面ADAA所成的角，sin/P￡＞Q=黑，PQ=1,而史＜PD三枝,

PD2

所以如與平面ADRA所成角的正弦值的取值范圍是當(dāng)，手，而

股巴="＞逅，所以不存在點(diǎn)R使得如與平面ADAA所成角的大小為

3233

故D錯(cuò)誤.

故選AC.

13.3

【詳解】向量a,6的夾角的余弦值為:，，cos(a,b)=g,

a-b=l,.,.a-ft=|a|j^|-cos^a,^=!|/?|=l,

得W=3.

故答案為：3

14.HxeR,x2<1

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題與存在性命題的關(guān)系，

可得命題“VxeR,的否定是“王eR,x2<l".

故答案為：#eR,x2<l.

15-i

【詳解】因?yàn)?a+c)(sinA-sinC)=b(sinA-sinB),由正弦定理得

(a+c)(a—c)=b(a—b),

變形得a2+b2-c2=ab,所以cosC="+"——=—,

lab2

TT

又0<C<7T,所以C=],

故答案為：y.

16.-1

【詳解】由于了(為)為奇函數(shù)，/(2-x)=-/(x-2)=f(x),所以

/U)=-/(x-2)=-[-/(x-4)]=/(x-4),故/(X)為周期為4的周期函數(shù),

f(2022)=/(2)=/(0)=0,/(2023)=/(-1)=-7(l)=-log22=-1,/(2024)=/(0)=0

所以/(2022)+“2023)+/(2024)=-1,

故答案為：-1

17.(!)??=2",bn=2n+l.

(2)S?=(2?-l)-2"+1+2；

【詳解】(1)設(shè)｛叫的公比為q,則由已知得2%=電/-。2夕，出二。，則

q2-q-2=0,q=2或4=7(舍去)，

n

/.%=2X2”T=2",=l+21og22=2/7+1；

(2).=。也=(2〃+1〉2",

S?=3X2+5X22++(2〃+l)-2",

，2S?=3X22+5X23++(2n-l)-2"+(2n+l)-2"+1,

相減得

-5?=3X2+2(22+23++2")-(2"+l)-2"i

=6+2x4(：j)_(2〃+1>2"+I=-2+(1-2/i)-2"+1,

S?=(2/7-l)-2"+,+2；

18.⑴A=]⑵6

【詳解】(1)由正弦定理有g(shù)sinCsin8=(sinC-sinAcos8)sinC,

因?yàn)镃e(O,7t),所以sinC>0,則gsinB=sinC-sinAcosB,

又sin。=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,所以gsin5=cosAsinB,

由5￡(0,7i),sinB>0,得cosA二;，

因?yàn)锳w(0,兀)，所以A=.

(2)在ABC中，由余弦定理得cos.=ABT：：："二,

2-AC-AB2

將AC=2,BC=近代入，化簡得AB?-243-3=0,

解得AB=3或AB=-1(舍去)，由于AD=2DB,所以AD=2,

19.(l)S“=囪(2)^(7^71-1)

【詳解】⑴%=應(yīng)4>OM,+「(S向+S.)=2,可得(口-S.gu+S.)=2,

可得S；「S；=2,即數(shù)列｛葉｝為首項(xiàng)為2,公差為2的等差數(shù)列，

可得S；=2+2(〃-1)=2”，由?！?gt;0,可得S“=而；

⑵八二而+，2(“+1)=宜不看:*(內(nèi)一凡

BPW+++1-=4/-1+石-0+2-6++J"+1-6)

20.(1)|

(2)(i)c=6；(ii)一遇

14

【詳解】(1)由(2a-c)cosB=0cosC,

根據(jù)正弦定理得，(2sinA-sinC)cosB=sinBcosC,

可得2sinAcosB=sin（B+C）=sinA,

因?yàn)镺VAVTI,故sinAwO,貝（Jcos5=；,

又0<B<R,所以3

（2）由（1）知，B=p且1=4,b=2幣,

（i）則8sBl2+c：―J

lac

即LJ6+C2-28,解得°一2（舍），c=6.

22x4xc

故c=6.

（ii）由（2a-c）cosB=bcosC,得（2x4—6）x（=2近c(diǎn)osC,

解得cosC=^~,貝ljsinC=Jl-

14\

4n13

則sin2C=2sinCcosC=——,cos2C=2cos2C—1=——,

1414

則sin（2C+B）=sin2CcosB+cos2csinB

301/13、65百

=-----x—+-----x——=----------.

142I14）214

21.（1）證明見解析；（2）姮.

4

【詳解】（1）依題意，四邊形ACCM為等腰梯形，過A,G分別引力。的垂線,

垂足分別為〃E,

則AO=g（AC_4G）=；x（2_l）=；=；AA，故ZAAC=60。.

在△ACA中，AC?=AA2+AC2-24A-ACCOS幺AC=V+22-2xlx2x；=3,

所以ACZ+AA?=AC)故N441c=90。，gp\CYAAX.

因?yàn)锳,C_LA8,ABc44,=A,且4?,A41U平面AB耳A,

所以A]C_L平面ABB[A],因?yàn)锳Cu平面ACC】A,

所以平面ACC}\，平面ABB^.

(2)因?yàn)锳B1AC,A.CLAB,ACr^AiC=C,AC,ACu平面ACQA,

所以ABI平面ACG4,結(jié)合⑴可知N6,AC,4。三條直線兩兩垂直.

以/為原點(diǎn)，分別以AB,AC,好的方向?yàn)閤,y,z軸的正方向，建立空間直角

坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,

如圖