第7章 剛體教材

第七章剛體力學

§7.2剛體的動量和質心運動定理§7.1剛體的定軸轉動內容目錄

§7.3剛體定軸轉動的角動量.轉動慣量§7.4剛體繞定軸轉動的動能定理§7.5

剛體平面運動的動力學§7.6

剛體的平衡在外力作用下，形狀和大小都不發(fā)生變化的物體.(任意兩質點間距離保持不變的特殊質點組．)剛體的運動形式：平動、轉動．⑴剛體是理想模型⑵剛體模型是為簡化問題引進的．說明：一、

剛體：§7.1

剛體運動的描述

剛體平動質點運動

平動：剛體中所有點的運動軌跡都保持完全相同．

特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：等都相同．avv、v轉動：分定軸轉動和非定軸轉動剛體的平面運動

剛體的一般運動可看作：隨質心的平動繞質心的轉動+的合成轉動平面：任一垂直于定軸的平面轉動中心：轉動平面與定軸的交點二、剛體定軸轉動的描述1.轉動平面

可用圓周運動的角量描述剛體的整體運動

定軸轉動的特點：各質點都在各自的轉動平面內做圓周運動；各質點運動的線量一般不同,但角量完全相同（角位移、角速度和角加速度）

pro轉動平面轉軸

X參考方向大?。悍较颍貉剌S(與剛體的轉動方向成右手螺旋)

=d

dt2.角速度矢量和角加速度矢量角速度矢量

=d

dt剛體定軸轉動（一維轉動）的轉動方向可以用角速度的正負來表示.0>w0<wwvwvzz加速轉動方向一致減速轉動方向相反

角加速度矢量

當剛體作勻變速轉動時

剛體繞定軸作勻變速轉動質點勻變速直線運動表１

剛體繞定軸作變速轉動質點變速直線運動

切向加速度：法向加速度：

角量和線量關系的矢量式

速度：

加速度：[例1]、一轉動的輪子由于摩擦力矩的作用，在5s內角速度由15rad/s

勻減速地降到10rad/s

。求：(1)角加速度；(2)在此5s內轉過的圈數；(3)還需要多少時間輪子停止轉動。解根據題意，角加速度為恒量。(1)利用公式(2)利用公式5秒內轉過的圈數(3)再利用

§7.2剛體的質心和剛體的動量

㈠、剛體的質心⒈質心計算公式

⒉求質心的幾種方法⑴對稱法：根據剛體質心的定義式可知，剛體的質心必定在剛體的對稱中心、對稱軸、對稱平面上

質量分立分布：

質量連續(xù)分布：⑵分割法：根據剛體的形狀，把剛體分成幾部分，轉化成求幾個質點的質心⑶積分法：選取合適的質元、坐標，通過做積分求出質心[例1]：如圖所示，在半徑為R的勻質圓板上鉆一個半徑為R/2的圓孔，求鉆孔圓板的質心

解：補上被鉆掉的小圓板，整個大圓板可看作由小圓板mA和月牙板mB組成。由對稱性分析可知：大圓板的質心在o點，小圓板的質心在A點，要求的月牙板的質心在x軸上的某一點，設為B據質心計算公式：ABomBmAx[例2]：求半徑為a的勻質半球的質心

解：建立圖示坐標系o-xyz，由對稱性分析，質心必在z軸上，即xc=0,yc=0，在坐標z處，取高為dz

的薄圓盤狀質元xyzorazdz據計算質心的積分公式：㈡、剛體的動量與質心運動定理

⒉剛體的動量守恒定律：

若剛體所受外力矢量和為零，則剛體的動量保持不變。即若，則

質點系的有關概念和規(guī)律都適用于剛體⒈剛體的動量：⒊剛體的質心運動定理：[例3]求偏心飛輪對軸承的壓力：已知勻質飛輪質量m=5.0kg，半徑r=0.15m，轉速n=400rev/min，質心C距轉軸O距離d=0.001m，飛輪所受重力忽略不計COd解:以飛輪為研究對象，設軸對其壓力為據質心運動定理：據牛頓第三定律，飛輪對軸的壓力：

轉軸偏離質心會產生較大附加壓力，使機座產生有害振動或使軸承變形，因此要盡量使質心位于轉軸上.P*O

剛體繞Oz

軸旋轉,力作用在剛體上點P,

且在轉動平面內,為由點O到力的作用點P的位矢.

對轉軸Z

的力矩

一、力矩§7.3

剛體定軸轉動的轉動定律轉動慣量O討論

1）若力不在轉動平面內，把力分解為平行和垂直于轉軸方向的兩個分量

2）合力矩等于各分力矩的矢量和

其中對轉軸的力矩為零，故對轉軸的力矩3）剛體內作用力和反作用力的力矩互相抵消OO二、轉動定律2）剛體質量元受外力，內力

1）單個質點與轉軸剛性連接外力矩內力矩O定義轉動慣量O即于是得到剛體定軸轉動定律寫成矢量形式剛體定軸轉動的轉動定律

剛體定軸轉動的角加速度與它所受的合外力矩成正比

，與剛體的轉動慣量成反比.a.力矩是使剛體轉動狀態(tài)發(fā)生改變而產生角加速度的原因。b.內力矩不改變剛體定軸轉動的狀態(tài)c.若M一定，則I.轉動慣量是轉動慣性的量度.d.與地位相當2.說明M

對應F，I

對應

m

，

對應

a三、轉動慣量

質量離散分布剛體的轉動慣量轉動慣性的計算方法

質量連續(xù)分布剛體的轉動慣量：質量元定義：剛體的轉動慣量等于剛體上各質點的質量與各質點到轉軸距離平方的乘積之和。

物理意義：轉動慣性的量度.

I

大

轉動慣性大

質量為線分布質量為面分布質量為體分布其中、、分別為質量的線密度、面密度和體密度。線分布體分布面分布質量連續(xù)分布的剛體的轉動慣量注意：只有對于幾何形狀規(guī)則、質量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉動慣量。O′AB[例1]求長為L、質量為m的均勻細棒對圖中不同軸的轉動

慣量。解：取如圖坐標，dm=

dxL/2L/2OXdmdm對軸的轉動慣量可見，同一剛體的轉軸的位置不同，剛體轉動慣量的值不同。ABLX

dxO′dI=x2dm=x2dxORO[例2]

一質量為,半徑為的均勻圓盤，求通過盤中心O并與盤面垂直的軸的轉動慣量

.

解:

設圓盤面密度為，在盤上取半徑為，寬為

的圓環(huán)而圓環(huán)質量所以圓環(huán)對軸的轉動慣量[例3]內半徑為R1外半徑R2為質量為m的勻質中空圓柱繞其對稱軸的轉動慣量[例4]質量為m半徑為R的勻質薄球殼繞過中心軸的轉動慣量在球面取一圓環(huán)帶，半徑[例5]質量為m半徑為R的勻質球體繞過球心軸的轉動慣量把球體看作無數個同心薄球殼的組合一些均勻剛體的轉動慣量表I的大小和下列因素有關：明確：剛體的總質量；剛體的質量分布；轉軸位置。四、平行軸定理推廣：若有任一軸與過質心的軸平行，相距為d，剛體對其轉動慣量為I，則有——平行軸定理I＝IC+md

2。說明：1)通過質心的軸線的轉動慣量最??；2)平行軸定理可以用來計算剛體的轉動慣量。ABLXABL/2L/2CXc

codJJco五、垂直軸定理

對于薄板剛體，若建立坐標系Oxyz，其中z軸與薄板垂直，Oxy平面在薄板內，則薄板剛體對z軸的轉動慣量等于對x軸的轉動慣量和對y軸的轉動慣量之和

yx

z

圓盤

R

C

m[例1]:

一定滑輪的質量為，半徑為，一輕繩兩邊分別系和兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉動角速度隨時間變化的規(guī)律。已知：求：思路：質點平動與剛體定軸轉動關聯問題，隔離法，分別列方程，先求角加速度,再三、轉動定律的應用解：在地面參考系中，分別以為研究對象，用隔離法，分別以牛頓第二定律和剛體定軸轉動定律建立方程。以向下為正方向以向上為正方向思考：×因為重滑輪加速轉動+以順時針方向為正方向四個未知數：三個方程？繩與滑輪間無相對滑動，由角量和線量的關系：解得：m2m1[例2]：質量為m1

的物體置于完全光滑的水平桌面上,用一根不可伸長的細繩拉著,細繩跨過固定于桌子邊緣的定滑輪后，在下端懸掛一個質量為

m2

的物體,如圖所示。已知滑輪是一個質量為M,半徑為r

的圓盤,軸間的摩擦力忽略不計。求滑輪與

m1

之間的繩子的張力、滑輪與m2

之間的繩子的張力以及物體運動的加速度

。

解：物體m1、m2和滑輪的受力情況如圖所示。列方程

T1=m1a

（1）

m2g

T2=m2a（2）對于滑輪

（3）

解以上四個聯立方程式,可得α）

此題還可以用能量的方法求解。在物體m2下落了高度h時,可以列出下面的能量關系（5）式中v是當m2下落了高度

h

時兩個物體的運動速率,

是此時滑輪的角速度。因為,,所以得由此解得（6）將

v2=2ah

代入(6)式,可以求得兩個物體的加速度

根據,立即可以求得張力T1根據

或可以立即算出張力T2

以上兩種方法，都是求解這類問題的基本方法,都應該理解和掌握。

[

例3]:

一長為質量為勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈O相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角加速度和角速度.

解

細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律得式中得由角加速度的定義代入初始條件積分得

設剛體繞z軸作定軸轉動,體元

mi對軸的角動量

lzi

=ri

mi

vi

是角速度

,vi=ri

。

lzi=ri

2

mi

或整個剛體對轉軸的角動量

Lz等于轉動慣量與角速度的乘積。

一、剛體對轉軸的角動量riviOiz·

mi§7-3定軸轉動剛體的角動量守恒定律二、剛體對轉軸的角動量定理由上式得到

剛體對轉軸的角動量定理:

作定軸轉動的剛體對轉軸的角動量的時間變化率，等于剛體相對于同一轉軸所受外力的合力矩。將轉動定理

Mz=I寫成下面的形式:實驗表明,此式更具普遍性。角動量定理也可以寫為Mz

dt稱為沖量矩,等于力矩與力矩作用于剛體的時間的乘積。

可見，作定軸轉動的剛體所受沖量矩等于剛體對同一轉軸的角動量的增量。

對上式積分得到角動量定理的積分形式

剛體對轉軸的角動量守恒定律

當定軸轉動的剛體所受外力對轉軸的合力矩為零時,剛體對同一轉軸的角動量不隨時間變化。

剛體組繞同一轉軸作定軸轉動時,系統對轉軸的角動量保持恒定，有兩種情形：一是系統的轉動慣量和角速度的大小均保持不變；另一種是轉動慣量改變,角速度的大小也同時改變但兩者的乘積保持不變?；?/p>

恒量

在定軸轉動中,如果

Mz

=0,則

三、剛體對轉軸的角動量守恒定律剛體對轉軸的角動量守恒是經?？梢砸姷降模缛耸殖謫♀彽霓D動,芭蕾舞演員和花樣滑冰運動員作各種快速旋轉動作,都利用了對轉軸的角動量守恒定律。花樣滑冰運動員的旋轉表演茹可夫斯基凳[例1]:

一勻質細棒，質量為m，長為L，可在水平桌面上繞一端點O在桌面上轉動。棒與水平桌面間的摩擦系數為μ,t=0

時棒靜止在水平桌面上?，F給棒一個角速度ω0，求經過多長時間棒停止轉動。解：設棒的質量線密度為λ，在棒上任取一質元dm,

質元dm所受摩擦力

因此，棒所受到的摩擦力矩力矩OLdf

對O的力矩dfOM取棒轉動方向為正，則M為負[例2]一半徑為R，質量為m的勻質圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設盤與桌面間的摩擦系數為

。令圓盤以

0繞中心軸旋轉后，問經過多少時間才停止轉動？解:首先求摩擦力矩:取半徑為r(r<R)寬度為dr的環(huán)帶質量元產生的阻力矩元(方向均向下)(注意：一般不是恒量)注意到阻力矩是負值，由剛體定軸轉動定律答：經過時間停止轉動。這是一個剛體定軸轉動的變力矩問題，注意求解的方法，請同學與質點運動中變力問題類比，做方法總結。

[例3]:

質量很小長度為l

的均勻細桿,可繞過其中心

O并與紙面垂直的軸在豎直平面內轉動.當細桿靜止于水平位置時,有一只小蟲以速率v0垂直落在距點O為

l/4

處,并背離點O向細桿的端點A爬行.設小蟲與細桿的質量均為m.問:欲使細桿以恒定的角速度轉動,小蟲應以多大速率向細桿端點爬行?

解:

小蟲與細桿的碰撞視為完全非彈性碰撞，碰撞前后系統角動量守恒由角動量定理即考慮到[例4]

一半徑為R、質量為M的轉臺，可繞通過其中心的豎直軸轉動,質量為

m的人站在轉臺邊緣，最初人和臺都靜止。若人沿轉臺邊緣跑一周(不計阻力)，相對于地面，人和臺各轉了多少角度？R思考：1.臺為什么轉動？向什么方向轉動？2.人相對轉臺跑一周，相對于地面是否也跑了一周？3.人和臺相對于地面轉過的角度之間有什么關系？系統對轉軸合外力矩為零，角動量守恒。以向上為正：設人沿轉臺邊緣跑一周的時間為t：選地面為參考系，設對轉軸人：I,

;

臺：I′,

′解：R人相對地面轉過的角度：臺相對地面轉過的角度：R

§7.4剛體繞定軸轉動的動能定理一、剛體的轉動動能說明:可見，定軸轉動剛體的轉動動能和質點系的平動動能在本質上是一樣的，兩者的區(qū)別僅在描述方法上不同，一個為角量描述，一個為線量描述比較：二、力矩的功0‘0式中

設剛體在力F的作用下，繞轉軸轉過角位移為

dθ則力F作元功如果力矩的大小和方向都不變則當剛體在此力矩作用下轉過角θ時，恒力矩所作功為如果力矩隨時間變化,則變力矩對剛體作功為1)

M是作用在剛體上諸外力的合力矩

說明:2)對于剛體定軸轉動情形，因質點間無相對位移，任何一對內力作功為零。3)力矩的功本質是力的功4)力矩的功率為：當輸出功率一定時,力矩與角速度成反比。由上可見，剛體轉動時力矩的功和功率的表達式，與質點運動時力的功和功率的表達式在形式上是類似的，力矩和力相對應，角位移和位移相對應，角速度和速度相對應。三、剛體繞定軸轉動的動能定理由

設在外力矩的作用下，剛體的角速度由ω1變到ω2，則在這個過程中合外力矩所作的功為剛體定軸轉動的動能定理：總外力矩對剛體所做的功等于剛體轉動動能的增量。與質點的動能定理的表達式相似2）質點系的功能原理，機械能守恒定律對于剛體系統或質點＋剛體系統仍然成立1）力矩的功本質是力的功，剛體的轉動動能本質是質點系平動動能，因此，剛體定軸轉動的動能定理本質是質點系的動能定理說明例1、一根長為l、質量為m的均勻細直桿，其一端有一固定的光滑水平軸，因而可以在豎直平面內轉動。最初桿靜止在水平位置，求它由此下擺

角時的角速度和角加速度。在桿的下擺過程中，對轉軸O而言，只有重力矩作功，當其下擺至與水平位置成θ角的過程中，重力矩所作的總功為解法一：應用剛體定軸轉動的動能定理mgO

重力的功！在此過程，桿的動能增量為由剛體定軸轉動的動能定理解法二：應用機械能守恒

取桿和地球為一系統。整個過程只有重力作功,而重力為保守內力，因此系統的機械能守恒。選擇水平位置為桿的勢能零點。在水平位置時，系統的機械能為在與水平位置成θ角時，系統的機械能為

由機械能守恒，有解得

解法三：應用轉動定律(課后補充完成)可見,本題應用機械能守恒解題更為簡單!

例2一長為質量為勻質細桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈

O

相接，并可繞其轉動.由于此豎直放置的細桿處于非穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當其受到微小擾動時，細桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈O

轉動.試計算細桿轉動到與豎直線成角時的角速度.

解細桿受重力和鉸鏈對細桿的約束力作用，由轉動定律解法一：應用轉動定律分離變量并積分解得解法二：應用機械能守恒

取桿和地球為一系統。整個過程系統的機械能守恒,取地面為桿的勢能零點例3

一長為l

、質量為m

的勻質細桿，可繞光滑軸O在鉛直面內擺動。當桿靜止時，一顆質量為m0

的子彈水平射入與軸相距為a

處的桿內，并留在桿中，使桿能偏轉到q=300，求子彈的初速v0。解：分兩個階段進行考慮其中(1)子彈射入細桿,使細桿獲得初速度。這一過程進行得很快角動量守恒。子彈射入細桿前、后的一瞬間系統角動量分別為由角動量守恒，得：(1)(2)子彈隨桿一起繞軸O轉動。這一過程機械能守恒。勢能零點選取細桿處于豎直位置時子彈的位置為重力勢能零點，系統在始末狀態(tài)的機械能為由機械能守恒，E=E0,

代入q=300，得：將上式與聯立，并代入I值，得直線運動與定軸轉動規(guī)律對照質點的直線運動剛體的定軸轉動§7.5剛體平面運動的動力學§7.5.1剛體平面運動的基本動力學方程

平面運動=平動+定軸轉動1.求質心的運動

根據質心運動定律

m—剛體的質量.—所有外力的矢量和,

剛體作平面運動，受力必是平面力

直角坐標系中的分量式

(7.5.1)2.剛體繞質心的轉動在質心系中剛體作定軸轉動.

選質心坐標系

Cx’y’z’,設z’為過質心而垂直于固定平面的軸.在質心系中

M外i’—外力對質心的力矩,又

M慣=0M慣—慣性力對質心力矩.

即剛體相對于質心的軸的轉動同樣服從定軸轉動定律.

式(7.5.1)和(7.5.2)稱剛體平面運動的基本動力學方程.(7.5.2)§7.5.2作用于剛體上的力

1.作用于剛體上力的兩種效果·滑移矢量(1)施于剛體的力的特點

作用力通過質心，對質心軸上的力矩為零，使剛體產生平動.力作質心軸的力矩使剛體產生角加速度.施于剛體的某個點的力,決不可以隨便移到另一點去.AB(2)施于剛體的力是滑移矢量

右圖中,施于A點的力F′可用施于B點的力F′′代替,即力可沿作用線滑移.ABC作用于剛體的力的三要素：

大小、方向和作用線.

2.力偶和力偶矩

力偶:大小相等方向相反彼此平行的一對力.大小

與參考點的選擇無關.Odm1m2

一般作用于剛體的力等效于一作用線通過質心的力和一力偶，這力的方向和大小與原力相同，而力偶矩等于原力對質心軸的力矩.