線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 第五章 二次型矩陣

§

5

.

1二次型與對稱矩陣線性變換目錄Pa

r

t 1二次型及其對稱矩陣一、二次型一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=

0二次項(xiàng)它的二次項(xiàng)為

(x,y)

ax2

2bxy

cy2是一個二元二次齊次多項(xiàng)式．一、二次型定義 只含有二次項(xiàng)的

n

元多項(xiàng)式1 2 n 11 1 22 2 nn

nx2f(x

,

x ,

,

x )

a x2

ax2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn稱為

x1,x2,…,

xn

的一個

n

元二次齊次多項(xiàng)式

，簡稱

x1,x2,…,

xn

的一個

n

元二次型.注：當(dāng)

aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

為實(shí)數(shù)時,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

稱為實(shí)二次型.當(dāng)aij

(i,

j

1,

2,

,

n)

為復(fù)數(shù)時,

f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

稱為復(fù)二次型.一、二次型令aij=aji，則2aijxixj=aijxixj+ajixjxi

，于是1 2 n 11

1

22

2

nn

nx22a11

x1

a12x1x2

a21

x2x1

a22x22

annxn2n

aijxi

xji

,j

1f(x

,

x ,

,

x )

a x2

a x2

a

2a12

x1

x2

2a13

x1

x3

2an

1,n

xn

1

xn

a1n

x1

xn

a2n

x2

xn

an1xnx1

an2xnx2

a11

x1

a12

x1

x2

a1

n

x1

xn2

a21

x2

x1

a22

x2

a2

n

x2

xn2

an1

xn

x1

an2

xn

x2

ann

xn221 122 21 2 n

a

x

2

n n

ax

n1

1

n2

2nn n

一、二次型f

(

x1

,

x2

,

,

xn

)

x1

(a11

x1

a12

x2

a1

n

xn

)

x2

(a21

x1

a22

x2

a2

n

xn

)

xn

(an1

x1

an

2

x2

ann

xn

)

a11x1

a12x2

a1n

xn

x

a x

a

(x,x

,

,

x )

x

a x

a21221 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

a

(x,x

,

,

x )

a

a

xT

Ax對稱陣二次型的矩陣形式一、二次型21221 2 n 1 2 n

a11

a12a1n

x1

a

x

2n

2

a

x

n1

n2nn

n

a

af

(

x

,

x

,

,

x

)

(

x

,

x

,

,

x

)

a

a對稱陣

A

的秩也叫做二次型

f

的秩．二次型與矩陣之間存在著一一對應(yīng)關(guān)系.1112n

2

1n

a

2n

A

a21

a

n

1nn

a

a

a

a

22

a

a對稱陣的二次型二次型f(x)的矩陣練習(xí)例1

寫出下列二次型對應(yīng)的對稱矩陣.練習(xí)例2

求下列對稱矩陣對應(yīng)的二次型.解

(1)練習(xí)例2

求下列對稱矩陣對應(yīng)的二次型.解

(2)(3)Pa

r

t 2線性變換一、線性變換

1 0

0 0

對應(yīng)1

x

x,

y1

0.yx01 1 1P(x,y

)投影變換P(x,

y)例

2階方陣

sin

cos

對應(yīng)1 1

x

x cos

y sin

,

y

x1sin

y1

cos

.以原點(diǎn)為中心逆時針旋轉(zhuǎn)

角的旋轉(zhuǎn)變換例

2階方陣

cos

sin

P(

x,y)P1

(

x1

,

y1

)

yx0一、線性變換

得 a'x'2

+

b'

y'

2

=

d'

．n 解析幾何中，二次方程的一般形式ax2+2bxy+cy2=

d通過選擇適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換

x

x

cos

y

sin

,

y

x

sin

y

cos

.一、線性變換2 21 1 22 2 2n

n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1

y1

cm

2

y2

cnn

yn

.定義:

關(guān)系式一、線性變換例如

線性變換的系數(shù)矩陣C的行列式因此，該線性變換是一個非退化線性變換.一、線性變換2 21 1 22 2 2n n

x1

c11y1

c12y2

c1nyn

,

x

c

y

c

y

c

y

,

xn

cn1y1

cm2y2

cnnyn.一、線性變換經(jīng)非定理1 二次型后,

仍為二次型經(jīng)非退化線性變換. 該二次型的矩陣為.一、線性變換注：矩陣之間的合同關(guān)系與相似關(guān)系是兩種不同的關(guān)系.練習(xí)例 設(shè),

則存在可逆矩陣使得則矩陣

A與

B是合同的,

但它們的特征值不相同,

因此

A與

B不相似.感謝觀看！§

5

.

2實(shí)二次型的標(biāo)準(zhǔn)形目錄配方法初等變換法正交變換法二次型與對稱矩陣的規(guī)范形Pa

r

t 1配方法一、標(biāo)準(zhǔn)形定義

如果一個二次型只含變量的平方項(xiàng),則稱這個二次型為標(biāo)準(zhǔn)形.定理1對任何實(shí)二次型換 ,使得關(guān)于新變量的二次型,必存在非退化的線性變?yōu)闃?biāo)準(zhǔn)形.定理2

對任意一個對稱矩陣

A,總存在一個可逆(非奇異)矩陣

C,使得為對角矩陣,即任何一個對稱矩陣都與一個對角矩陣合同.01一、標(biāo)準(zhǔn)形將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形的常用方法：配方法；初等變換法；正交變換法.二、配方法1.

若二次型含有

x

i

的平方項(xiàng)，則先把含有

x

i

的乘積項(xiàng)集中，然后配方，再對其余的變量重復(fù)上述過程，直到都配成平方項(xiàng)為止，經(jīng)過非退化線性變換，就得到標(biāo)準(zhǔn)形;二、配方法例1

利用配方法化二次型

f

(x

,

x ,x)

x2

2x2

5x2

2x

x

2x

x

6x x1 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.解f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 31 31 1 2x

2

2

x

x2 3 2 3

2

x

x

2

x

2

5

x

2

6

x

x含有

x1的項(xiàng)配方含有平方項(xiàng)21 2 3

x

x

x

2x2

5x2

6xx2 3 2 3

x2

x2

2x x2 3 2 3去掉配方后多出來的項(xiàng)3 2 32 2221 2 3x

4x

4x

x

x

x

x

.23221 2 3x

2x

x

x

x二、配方法

2 2 3

y3

x3

y1

x1

x2

x3令

y

x

2

x

3 3

x

y

x2

y2

2

y3

x1

y1

y2

y3

2

3

3

2

01

y

1

1

1

2 y01

y1

x

x

0

x1

f

x2

2x2

5x2

2

x x

2

x x

6

x x1 2 3 1 2 1 3 2 3

y2

y2

.1 2二、配方法所用變換矩陣為1

0

1

1 1

1

2

,0

C

1

0

.C

0二、配方法

k kjijj

xy

y

x

x

i

y

i

y

y

則先作可逆線性變換2. 若二次型中不含有平方項(xiàng)，但是至少有一個

aij

0

(i

j),化二次型為含有平方項(xiàng)的二次型，然后再按步驟1中方法配方.注：每一步所經(jīng)的線性變換都是非退化的。二、配方法2 1 2

x3

y3

x

x1

y1

y2令解代入

f

2

x1

x2

2

x1

x3

6

x2

x3

,得 f

2

y

2

2

y

2

4

y

y

8

y

y

.1 2 1 3 2 3由于所給二次型中無平方項(xiàng)，所以

y

y ,

x3

2

3

x1

1

y

0

0 y

10

y1

1

1

10

即

x2

例2

利用配方法化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.二、配方法再配方，得

232323 21y

6

y

.

2 y

2

yf

2

y

3 3

z

y

z1

y1

y33 3

令

z2

y2

2

y3

y

z

y2

z2

2z3

,

y1

z1

z3f

2z

2

2z

2

6z

2

.1 2 3得

y

3

3

y1

1

z

02

z2

1

z1

1

0

即

y2

0

10所用變換矩陣為

1

0

0

0

0C

11

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

3

1 1

10 0 02

1

1

.

C

2

0

.二、配方法注：向量

x

到向量

y

的線性變換為

x C1y

,向量

y

到向量

z

的線性變換為y C2z

,則向量

x

到向量

z

的線性變換為x C1C2z

.Pa

r

t 2初等變換法一、初等變換法一、初等變換法一、初等變換法即練習(xí)例3

利用對稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形，并求所用的線性變換的矩陣.練習(xí)練習(xí)練習(xí)例4

利用對稱初等變換化二次型成標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)練習(xí)Pa

r

t 3正交變換法一、正交矩陣及其性質(zhì)定義5

設(shè)

C

為

n

階實(shí)矩陣，如果

C

滿足CTC

CCT

I則稱

C

為正交矩陣.例如，

都是正交矩陣.

cos

sin

sin

cos

2

0

，

00 0

1

12 2

1

12

1一、正交矩陣及其性質(zhì)定理5 正交矩陣具有如下性質(zhì)：（1）正交矩陣的行列式為1或-1;（2）正交矩陣的轉(zhuǎn)置等于其逆矩陣，即;（3）若A,

B為正交矩陣，則它們的逆矩陣和乘積矩陣AB也是正交矩陣；（4）C是正交矩陣的充要條件是C

的列（行）向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.二、正交變換法定義6

設(shè)

C

為

n

階正交矩陣，x,

y

是

n

維實(shí)向量，則稱線性變換是

n

維實(shí)空間注：利用正交變換上的正交變換.將實(shí)二次型轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形則等價于實(shí)對稱矩陣A

求一個正交矩陣C，使得二、正交變換法定理6 對

n階實(shí)對稱矩陣

A，有（1）A

的特征值都是實(shí)數(shù).（2）A

的對應(yīng)于不同特征值的特征向量必正交.定理7 對

n

階實(shí)對稱矩陣

A，必存在正交矩陣

C，使得其中 為A

的特征值，C

的

n

個列向量是

A

的對應(yīng)特征值的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量.二、正交變換法歸納以上定理的結(jié)果，用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形的一般步驟如下：，求

A

的

n

個特征值，求

A

關(guān)于；的線性無關(guān)的特征向量；（1）由（2）對 ，由（3）對重特征值 ，用施密特正交化方法，將

t

個線性無關(guān)的特征向量正交化；（4）將

A

的

n

個正交的特征向量單位化，再以它們?yōu)榱邢蛄繕?gòu)成正交矩陣

C，并寫出相應(yīng)的正交變換 和二次型的標(biāo)準(zhǔn)形.練習(xí)例