高等數(shù)學(xué)（財經(jīng)類） 課件 2.9 函數(shù)的極值與最值

§2.9

函數(shù)的極值與最值

CONTENT1

函數(shù)的極值與求法2

函數(shù)的最值與求法目錄函數(shù)的極值與求法Chapter1

引例引例

設(shè)有函數(shù),點x=1及x=2是該函數(shù)單調(diào)區(qū)間的分界點,又可知在點x=1左側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)增加的,在點x=1右側(cè)附近,函數(shù)值是單調(diào)減小的.因此存在著點x=1的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi),任何點x(x=1除外),均成立,點x=2也有類似的情況,為什么這些點有這些性質(zhì)呢？第一部分：函數(shù)極值的定義定義8設(shè)函數(shù)

f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)有定義,x0是(a,b)內(nèi)一點.若存在著x0點的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點

x(x0除外)

均成立,則說

f(x0)是函數(shù)

f(x)的一個極大值；

若存在著x0點的一個鄰域,對于這個鄰域內(nèi)任何點

x(x0除外)

均成立,則說

f(x0)是函數(shù)

f(x)的一個極小值.

幾何解釋

注：函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.第一部分：函數(shù)極值的定義極值的局部性與取得極值的條件分析返回第二部分：函數(shù)極值的求法定理14(極值點的必要條件)設(shè)函數(shù)

f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)有定義,點x0是

f(x)的極值點的必要條件是

注：函數(shù)的極值點必定是它的駐點或?qū)?shù)不存在的點,但導(dǎo)數(shù)的駐點或?qū)?shù)不存在的點不一定是極值點.例如,

但x=0不是極值點.第二部分：函數(shù)極值的求法定理15(極值的第一充分條件)設(shè)函數(shù)

f(x)在點x0的某鄰域內(nèi)連續(xù)且可導(dǎo),(1)若在點x0的左鄰域內(nèi),在點x0的右鄰域內(nèi),則

f(x)在點x0處取得極大值

；(2)若在點x0的左鄰域內(nèi),在點x0的右鄰域內(nèi),則

f(x)在點x0處取得極小值

；(3)若在點x0的鄰域內(nèi),不變號,則

f(x)在點x0處沒有極值.第二部分：函數(shù)極值的求法第二部分：函數(shù)極值的求法求極值的一般步驟是：(1)求

；(2)求

的全部的解——駐點,以及

不存在的點；(3)判斷

在駐點及導(dǎo)數(shù)不存在的點兩側(cè)的變化規(guī)律,即可判斷出函數(shù)的極值.列表格

練習(xí)例60

求

的極小值.

解

令

得駐點

x=1,且

x=0是

f(x)的不可導(dǎo)點.

故極小值為第二部分：函數(shù)極值的求法定理16(極值的第二充分條件)設(shè)

f(x)在

x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且

則(1)當(dāng)

時,函數(shù)

f(x)在

x0處取得極大值；(2)當(dāng)

時,函數(shù)

f(x)在

x0處取得極小值.

練習(xí)例60

求

的極小值.

解

令

得駐點

x=1,

且

x=0是

f(x)的不可導(dǎo)點.又

因為,且

不存在,所以

f(x)在x=1處取得極小值,

即第二部分：函數(shù)極值的求法注：(1)當(dāng)

時,

f(x)在

x0處不一定取極值,仍用第一充分條件來判斷；

(2)函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.定理16(極值的第二充分條件)設(shè)

f(x)在

x0處具有二階導(dǎo)數(shù),且

則(1)當(dāng)

時,函數(shù)

f(x)在

x0處取得極大值；(2)當(dāng)

時,函數(shù)

f(x)在

x0處取得極小值.

練習(xí)例

求函數(shù)

的極值.

解

令,則駐點為

x=0,有一個不可導(dǎo)點

x=-1,

但不在原函數(shù)的定義域中,故不在考慮范圍內(nèi).

又

故函數(shù)在

x=0處取得極小值函數(shù)的最值與求法Chapter2第一部分：函數(shù)的最值在工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、工程技術(shù)及科學(xué)實驗中,常會遇到這樣一類問題：在一定條件下,怎樣使“產(chǎn)品最多”、“用料最省”、“成本最低”等.這類問題在數(shù)學(xué)上可歸納為求某一函數(shù)的最大值、最小值的問題.怎樣求函數(shù)的最大值、最小值呢？前面我們已經(jīng)知道了,函數(shù)的極值是局部的,而最值具有全局性.求

f(x)在[a,b]上的最大值、最小值時,可求出開區(qū)間(a,b)內(nèi)全部的極值點,加上端點

f(x),f(x)的值,從中取得最大值、最小值即為所求.幾何演示

取得最值的幾種情況返回第二部分：函數(shù)最值的求法求函數(shù)最值的一般步驟為：(1)求駐點和不可導(dǎo)點；(2)求區(qū)間端點、駐點及不可導(dǎo)點的函數(shù)值,比較大小即可.注：如果區(qū)間內(nèi)只有一個極值,則這個極值就是最值(最大值或最小值).

練習(xí)例61

求函數(shù)

在區(qū)間

的最大值、最小值.

解

f(x)在此區(qū)間處處可導(dǎo),令,得駐點.

因為

故函數(shù)的最大值為

最小值為

練習(xí)例62

圓柱形罐頭,高度H與半徑R應(yīng)怎樣配,使同樣容積下材料最?。?/p>

解

由題意可知,為一常數(shù),

面積

故在V不變的條件下,改變R使S取最小值.

故

時,用料最省.小結(jié)1.

函數(shù)極值的判別法第一充分條件第二充分條件2.

極值與最值極值是局部性概念,它是函數(shù)在某鄰域內(nèi)的最大或最小值,此外,極值不可能在區(qū)間的端點取得.最值是整體性概念,是整個區(qū)