線性代數(shù)（財(cái)經(jīng)類） 課件 5.1 二次型與對(duì)稱矩陣_第1頁(yè)
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§5.1二次型與對(duì)稱矩陣二次型及其對(duì)稱矩陣線性變換目錄Part1二次型及其對(duì)稱矩陣一、二次型二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)解析幾何中，二次曲線的一般形式ax2+2bxy+cy2+2dx+2ey+f=0它的二次項(xiàng)為是一個(gè)二元二次齊次多項(xiàng)式．一、二次型

定義

只含有二次項(xiàng)的

n

元多項(xiàng)式稱為

x1,x2,…,xn

的一個(gè)

n

元二次齊次多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱

x1,x2,…,xn

的一個(gè)

n

元二次型.

注：當(dāng)

為實(shí)數(shù)時(shí),稱為實(shí)二次型.

當(dāng)

為復(fù)數(shù)時(shí),稱為復(fù)二次型.一、二次型令aij=aji，則2

aij

xixj=aij

xixj

+aji

xj

xi

，于是一、二次型對(duì)稱陣二次型的矩陣形式一、二次型對(duì)稱陣

A的秩也叫做二次型

f的秩．二次型與矩陣之間存在著一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.對(duì)稱陣的二次型二次型f(x)的矩陣練習(xí)例1

寫出下列二次型對(duì)應(yīng)的對(duì)稱矩陣.練習(xí)例2

求下列對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的二次型.解(1)練習(xí)例2

求下列對(duì)稱矩陣對(duì)應(yīng)的二次型.解(2)(3)Part2線性變換一、線性變換

對(duì)應(yīng)投影變換例2階方陣對(duì)應(yīng)以原點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)j

角的旋轉(zhuǎn)變換例2階方陣一、線性變換

解析幾何中，二次方程的一般形式ax2+2bxy+cy2=d

通過選擇適當(dāng)?shù)男D(zhuǎn)變換得

a'x'2+b'y'2=d'

．一、線性變換

定義:關(guān)系式一、線性變換

例如

線性變換

的系數(shù)矩陣C的行列式因此，該線性變換是一個(gè)非退化線性變換.一、線性變換

一、線性變換

定理1

二次型

經(jīng)非

經(jīng)非退化線性變換

后,仍為二次型.該二次型的矩陣為.

一、線性變換

注：矩陣之間的合同關(guān)系與相似關(guān)系是兩種不同的關(guān)系.練習(xí)例

設(shè),則存在可逆矩陣

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