河南省洛陽市東升第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析

河南省洛陽市東升第三中學(xué)高二數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.若點(diǎn)集，設(shè)點(diǎn)集.現(xiàn)向區(qū)域M內(nèi)任投一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在區(qū)域B內(nèi)的概率為(

)

A. B. C. D.參考答案：A【分析】先分析集合、表示的區(qū)域，對(duì)于表示的區(qū)域，把，代入，可得，分析可得表示的區(qū)域形狀即面積；根據(jù)幾何概型的公式，計(jì)算可得答案．【詳解】集合A表示的區(qū)域是以點(diǎn)為圓心，半徑為的圓及其內(nèi)部，集合B表示的區(qū)域是以、、、為頂點(diǎn)的正方形及其內(nèi)部，其面積為，，把代入，可得，集合M所表示的區(qū)域是以集合A的圓心在區(qū)域B的邊上及內(nèi)部上移動(dòng)時(shí)圓所覆蓋的區(qū)域，區(qū)域M的面積為，則向區(qū)域M內(nèi)任投一點(diǎn)，該點(diǎn)落在區(qū)域B內(nèi)的概率為故選：A【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型的計(jì)算，關(guān)鍵在分析出集合、、表示的區(qū)域的區(qū)域的形狀，難點(diǎn)是分析表示的區(qū)域形狀．2.已知變量X，Y，由它們的樣本數(shù)據(jù)計(jì)算得到的觀測(cè)值，的部分臨界值表如下：0.100.050.0250.0100.0052.7063.8415.0246.6357.879以下判斷正確的是（

）A．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y有關(guān)系

B．在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為變量X，Y沒有關(guān)系

C．有97.5%的把握說變量X，Y有關(guān)系

D．有97.5%的把握說變量X，Y沒有關(guān)系參考答案：A3.過點(diǎn)且垂直于直線的直線方程為

（）A.

B．

C．

D．參考答案：A4.已知△ABC中，a：b：c=3：2；4，則cosB=（）A．﹣ B． C． D．﹣參考答案：C【考點(diǎn)】余弦定理；正弦定理．【分析】由已知可求a=，c=2b，利用余弦定理即可得解cosB的值．【解答】解：∵a：b：c=3：2；4，∴a=，c=2b，∴cosB===．故選：C．5.從臺(tái)甲型和臺(tái)乙型電視機(jī)中任意取出臺(tái)，其中至少有甲型與乙型電視機(jī)各臺(tái)，則不同的取法共有（

）A．種

B．種

C．種

D．種參考答案：C略6.如果對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立,則的取值范圍是

（

） A．

B．

C．

D．

參考答案：Ｃ7.設(shè)是兩條不同的直線，是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（

）

A．若，，則

B．若，，則C．若，，則 D．若，，則參考答案：A:試題分析：由題意可知，選項(xiàng)A：兩直線平行，一直線垂直一個(gè)平面，另一直線必垂直這個(gè)平面成立，故A正確；而選項(xiàng)B：一直線和一平面內(nèi)一條直線垂直不足以判定這個(gè)直線和這個(gè)平面垂直，而是需要一直線與平面內(nèi)兩相交直線都垂直才能判定，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：一直線與一個(gè)平面平行并不意味著這條直線能和平面內(nèi)任意一條直線都平行，故C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：兩直線分別和一個(gè)平面平行，這兩條直線并沒有任何關(guān)系，它們可能平行，垂直，相交，都有可能，故D錯(cuò)誤；綜上：選A考點(diǎn)：直線與平面平行，垂直的判定及性質(zhì)8.復(fù)數(shù)，則（

）. .2 .1 .參考答案：A略9.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積等于3，則a的值為（）A．﹣1 B． C．2 D．參考答案：D【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域，利用的平面區(qū)域的面積等于3，建立條件關(guān)系即可得到結(jié)論．【解答】解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：∵ax﹣y+2=0過定點(diǎn)A（0，2），∴ax﹣y+2≥0表示直線ax﹣y+2=0的下方，∴a＞0，則由圖象可知C（2，0），由，解得，即B（2，2+2a），則△ABC的面積S=，故a=，故選：D．10.是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的（

）A．充要條件

B．必要不充分條件C.

充分不必要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則：，據(jù)此可得：.則是復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件.本題選擇A選項(xiàng).

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.關(guān)于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：[0，4）【考點(diǎn)】函數(shù)恒成立問題．【分析】由關(guān)于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，知k=0，或，由此能求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．【解答】解：∵關(guān)于x的不等式kx2﹣kx+1＞0恒成立，∴k=0，或，解得0≤k＜4．故答案為：[0，4）．12.數(shù)據(jù)5，7，7，8，10，11的標(biāo)準(zhǔn)差是

參考答案：213.若直線的極坐標(biāo)方程為＝，則直線的直角坐標(biāo)方程為

。參考答案：14.設(shè)是定義在R上的奇函數(shù)，在上有且，則不等式的解集為

參考答案：15.設(shè)函數(shù),觀察：，，，，，根據(jù)以上事實(shí)，由歸納推理可得：當(dāng)且時(shí)，

.參考答案：略16.已知點(diǎn)，點(diǎn)B是圓F：（F為圓心）上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交于，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程為______________．參考答案：17.為了解某地高一年級(jí)男生的身高情況，從其中的一個(gè)學(xué)校選取容量為60的樣本(60名男生的身高，單位：cm)，分組情況如下：

則表中的

，

。參考答案：6

0.45

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分8分）如圖，在四棱錐中，底面是菱形，平面ABCD，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，且．（Ⅰ）證明：//平面；（Ⅱ）證明：平面⊥平面．參考答案：見解析【知識(shí)點(diǎn)】立體幾何綜合【試題解析】證明：

（Ⅰ）連接FG，

在△中，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，

所以，且，

又因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn)，所以，且，

所以四邊形是平行四邊形．

所以，又平面，平面，

所以//平面．

（Ⅱ）因?yàn)锳BCD為菱形，所以AB=BC

又，所以AB=BC=AC，

又E為BC中點(diǎn)，所以

而平面ABCD，平面ABCD，所以

又，所以平面

又平面，所以平面⊥平面19.已知函數(shù)f（x）=ex﹣x2﹣ax（a∈R）．（Ⅰ）若函數(shù)f（x）的圖象在x=0處的切線方程為y=2x+b，求a，b的值；（Ⅱ）若函數(shù)在R上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a取值范圍；（Ⅲ）如果函數(shù)g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)x1，x2，證明：a＞．參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的條件；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，可以求出a的值，再根據(jù)切點(diǎn)坐標(biāo)在曲線上和切線上，即可求出b的值，從而得到答案；（2）將函數(shù)f（x）在R上是增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為f'（x）＞0在R上恒成立，利用參變量分離轉(zhuǎn)化成a＜ex﹣x在R上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求h（x）=ex﹣x的最小值，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（3）根據(jù)x1，x2是g（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)，可以得到x1，x2是g′（x）=0的兩個(gè)根，根據(jù)關(guān)系，利用分析法，將證明不等式轉(zhuǎn)化為，即求的最小值問題，利用導(dǎo)數(shù)即可證得結(jié)論．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，∴根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，切線的斜率k=f'（0）=1﹣a，∵切線方程為y=2x+b，則k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切點(diǎn)（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；（Ⅱ）由題意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．設(shè)h（x）=ex﹣x，則h′（x）=ex﹣1．當(dāng)x變化時(shí)，h′（x）、h（x）的變化情況如下表：x（﹣∞，0）0（0，+∞）h′（x）﹣0+h（x）減函數(shù)極小值增函數(shù)∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，∵x1，x2是函數(shù)g（x）的兩個(gè)不同極值點(diǎn)（不妨設(shè)x1＜x2），∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x1，x2當(dāng)時(shí)，方程（*）不成立則，令，則由p′（x）=0得：當(dāng)x變化時(shí)，p（x），p′（x）變化情況如下表：xp（x）﹣﹣0+p′（x）單調(diào)遞減單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增∴當(dāng)時(shí)，方程（*）至多有一解，不合題意；當(dāng)時(shí)，方程（*）若有兩個(gè)解，則所以，．20.如圖，、是通過某城市開發(fā)區(qū)中心的兩條南北和東西走向的街道，連接、兩地之間的鐵路線是圓心在上的一段圓?。酎c(diǎn)在點(diǎn)正北方向，且，點(diǎn)到、的距離分別為和．（1）建立適當(dāng)坐標(biāo)系，求鐵路線所在圓弧的方程；（2）若該城市的某中學(xué)擬在點(diǎn)正東方向選址建分校,考慮環(huán)境問題，要求校址到點(diǎn)的距離大于，并且鐵路線上任意一點(diǎn)到校址的距離不能少于，求該校址距點(diǎn)O的最近距離（注：校址視為一個(gè)點(diǎn)）．參考答案：解：（1）分別以、為軸，軸建立如圖坐標(biāo)系．據(jù)題意得，

線段的垂直平分線方程為：∵a＞4

∴

∴在[0，4]上為減函數(shù)，……12分∴要使（﹡）恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)，…14分即校址選在距最近5km的地方．…………16分21.閩越水鎮(zhèn)是閩侯縣打造閩都水鄉(xiāng)文化特色小鎮(zhèn)核心區(qū)，該小鎮(zhèn)有一塊1800平方米的矩形地塊，開發(fā)商準(zhǔn)備在中間挖出三個(gè)矩形池塘養(yǎng)閩侯特色金魚，挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(陰影部分所示)種植柳樹，形成柳中觀魚特色景觀。假設(shè)池塘周圍的基圍寬均為2米，如圖，設(shè)池塘所占的總面積為S平方米．

(1)試用x表示a及S；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，才能使得S最大？并求出S的最大值．參考答案：(1)由題圖形知，3a＋6＝x，∴a＝.………2分則總面積S＝(－4)·a＋2a(－6)………4分＝a(－16)＝(－16)＝1832－(+)，即S＝1832－(+)(x＞0)．………6分（定義域沒寫扣一分）

(2)由S＝1832－(+)，得S≤1832－2………8分＝1832－2×240＝1352(平方米)．………9分當(dāng)且僅當(dāng)＝，此時(shí)，x＝45.………11分即當(dāng)x為45米時(shí)，S最大，且S最大值為1352平方米．………12分22.寫出用二分法求方程x3－x－1=0在區(qū)間［1，1.5］上的一個(gè)解的算法（誤差不超過0.001），并畫出相應(yīng)的程序框圖及程序.參考答案：用二分法求方程的近似值一般取區(qū)間［a，b］具有以下特征：f（a）＜0，f（b）＞0.由于f（1）=13－1－1=－1＜0，f（1.5）=1.53－1.5－1=