2022-2023學(xué)年北京市高一年級上冊期末試題數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2022-2023學(xué)年北京市高一上冊期末試題數(shù)學(xué)模擬試題

（含解析）

一、單選題

I.已知集合A={-1,0,1},集合B=WX2=ι},那么A8=（）

A.{1}B.{-l,l}C.{0,l}D.{-1,0,1）

【答案】B

【分析】先化簡集合B=NX2=]},再根據(jù)集合間的運(yùn)算關(guān)系即可求解AC3.

【詳解】√=1,：.x=±l,.?.β≈{x∣x2=l}={-l,∣},.?.AB={-l,0,l）{-l,l}={-l,l}.

故選：B

2.下列說法正確的是（）

A.若1>h,PPJac2>bc2B.若a>b,c>d,則α+c>8+d

C.若a>b,c>d,則呢>bdD.若b>α>0,c>0,則一十）

a+ca

【答案】B

【分析】利用特殊值判斷A、C,根據(jù)不等式的性質(zhì)判斷B,利用作差法判斷D.

【詳解】對于A：當(dāng)C=O時，ac2=bc2,故A錯誤；

對于B：若。>人，od,則α+c>6+d,故B正確；

對于C：當(dāng)。=-1力=-2,c=4,d=l時滿足α>"c>d,但acva/,故C錯誤；

h+cba（b-irc?-b（a+c}c（a-b?C

對于D：若人>。>0,c>0,則α-b<O,a+c>0.所以-------=------;----;----=—7------c<θ,

a+caa[a+c）a（a+c）

所以故D錯誤.

a+ca

故選：B.

JT

3.已知弧長為4;T的扇形圓心角為丁，則此扇形的面積為（）

6

A.24萬B.36%C.48;TD.96π

【答案】C

【分析】根據(jù)題意求出扇形的半徑，再根據(jù)扇形的面積公式即可得解.

【詳解】解：設(shè)扇形的半徑為R，

因為弧長為4;T的扇形圓心角為f,

所以丁R=44,所以R=24,

6

11TT

所以此扇形的面積為77xgR2=48-

故選：C.

4.函數(shù)/(x)=3x+k>g2X的零點所在區(qū)間為()

A?(懸)b?(U)c?(H)D團(tuán)

【答案】C

【分析】由函數(shù)/(x)=3x+log?x,分別求得區(qū)間端點的函數(shù)值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)零點存在

定理，即可求解.

【詳解】函數(shù)〃尤)=3x+log2%,可得函數(shù)”x)在(O,+e)上單調(diào)遞增，

S?∕?=3×?+log2?=?-4<0,∕φ=∣-3<0,/(l)=l-2<0,/(∣)=∣-l>0,

/⑴=3>0,所以fg)∕(g)<O,

所以函數(shù)/(x)的零點所在區(qū)間為

故選：C.

5.“α=kπ+∕JMeZ"是“tana=tanQ”成立的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【解析】由題意分別考查充分性和必要性即可求得最終結(jié)果.

【詳解】當(dāng)tanα=tan/時，一定有α="+尸，Z∈Z,即必要性滿足；

當(dāng)α=苧,/?=]時-，其正切值不存在，所以不滿足充分性；

所以“α=氏兀+6MeZ”是“tanα=tan?”成立的必要不充分條件，

故選：B.

【點睛】關(guān)鍵點點睛：該題主要考查的是有關(guān)充分必要條件的判斷，正確解題的關(guān)鍵是要注意正切

值不存在的情況.

6.若對任意的Xe(O,+∞)都有x+1≥α,則。的取值范圍是()

X

A.(~∞,2]B.(-∞,2)

C.(2,-Ko)D.[2,-Ko)

【答案】A

【解析】利用基本不等式，可求得χ+L的最小值，即可求得答案.

X

【詳解】因為Xe(0,+∞),則x+?S?≥2jx'=2,

當(dāng)且僅當(dāng)X=L,即X=I時等號成立，

X

所以α≤2,

故選：A

7.函數(shù)/(x)=∕?SinX在區(qū)間上的圖象大致為()

e*+lL22」

【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性結(jié)合當(dāng)xe1θg時函數(shù)值的符號性分析判斷.

e*—1e7x—1(Pr—]]-ex1

【詳解】?.?∕W-∕(-^)=^r^?sinx--7^?sin(-x)=l-7-^+y--7Isinx=O,即/(x)=∕(-x),

??.∕(χ)為偶函數(shù);

又?；當(dāng)Xe(O時，則SinX>O,e*>e°=l,i?e'+1>0,et-l>0,

Λ∕(x)>0;

綜上所述：A正確，B、C、D錯誤.

故選：A.

8.若函數(shù)y=Jfcc2-2χ+l的定義域為R,則實數(shù)Z的取值范圍是()

A.(0,+∞)B.[0,+∞)C.[l,+∞)D.R

【答案】C

【分析】對參數(shù)分類討論，結(jié)合三個二次的關(guān)系可得結(jié)果.

【詳解】函數(shù)y=?2-2X+1的定義域為R等價于辰2-2x+1..0恒成立，

當(dāng)k=0時，顯然不恒成立;

當(dāng)女片0時，由左>0,Δ=4-<,0,得∕≥1,

綜上，實數(shù)女的取值范圍為［1,E)?

故選：C.

fu

9.設(shè)f(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(y,0)上單調(diào)遞增，設(shè)α=0.3,b=l,C=Iog30.2,則

()

A./(c)>∕(a)>∕(?)B./(a)>∕(c)>∕(?)

C./(?)>/(/?)>/(c)D.f(c)>f(b)>f(a)

【答案】C

【分析】先根據(jù)指對數(shù)判斷〃c,-c的大小關(guān)系，在根據(jù)單調(diào)性結(jié)合偶函數(shù)的性質(zhì)分析判斷.

【詳解】：O<α=O.3°2<0.3°=b,c=log30.2<log,∣=-l,.,.-c>?=h.

又函數(shù)/(x)是定義域為R的偶函數(shù)，且在(—,0)上單調(diào)遞增，

.?.f(-c)=/(c),且在(0,?o)上單調(diào)遞減.

X0<α<?<-c,Λf(a)>f(b)>f(-c)=f(c).

故選：C.

10.下列結(jié)論中錯誤的是()

A.終邊經(jīng)過點(〃4機(jī))("?>0)的角的集合是1ɑ=；+2E次€21

B.將表的分針撥慢10分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是1；

C.M=∣x∣x=45+Z?90,攵∈z},N={y∣y=90+h45次∈z},則Λ/qN；

D.若α是第三象限角，則［是第二象限角.

2

【答案】D

【分析】根據(jù)終邊相同的角的集合的概念以及特征可判斷AC：定義根據(jù)角的概念可判斷B；由象限

角的概念可判斷D.

【詳解】終邊經(jīng)過點(利，〃)(〃?>0),則該終邊為第一象限的角平分線，

即角的集合是Iaa=E+2E,LeZ∣,故A正確：

將表的分針撥慢10分鐘，則旋轉(zhuǎn)的角度為60°,即分針轉(zhuǎn)過的角的弧度數(shù)是故B正確；

M={x?x=45+h90,AwZ}表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線的角的集合，

N=}∣y=90+%?45,ZeZ}表示終邊為一三象限、二四象限的角平分線以及坐標(biāo)軸上的角的集合，

即MUN,故C正確；

3Jr

由于α為第三象限角，所以2E+ττ<α<2E+-(A:eZ),

2

故?π+?^W<E+,*∈Z),所以六是第二或第四象限角，故D錯誤；

故選：D.

11.酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為，為了保障安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：IOOmI血液中酒精

含量達(dá)到2079mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上人定為醉酒駕車，某駕駛員喝了一定量的

酒后，其血液中酒精含量上升到了0.6mg/m?,如果停止飲酒后，他的血液中的酒精會以每小時25%

的速度減少，那么他至少要經(jīng)過幾個小時后才能駕車(參考數(shù)據(jù)：lg2=0?301,lg3=0.477)()

A.3B.4C.5D.7

【答案】B

【分析】由題意可知經(jīng)過“、時后，體內(nèi)的酒精含量為0.6x(；]mg∕ml,令0?6x(1)'<0.2求出，的

取值范圍，即可求出結(jié)果.

【詳解】解：經(jīng)過f小時后，體內(nèi)的酒精含量為：0.6χ(qJmg∕ml,

只需0.6x(]<0.2,

.?.,>凡」=普=-妒―/°477=38,

;3?g-21g2-lg30.602-0.477

.?.他至少要經(jīng)過4個小時后才能駕車.

故選：B.

12.定義域為R的函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=I對稱，當(dāng)x∈[0,l]時，f(x)=x,且對任意XdR,

有〃》+2)=-〃力，8(幻=：/,則方程g(x)-g(—x)=0實數(shù)根的個數(shù)為()

[―IOg2023(一幻，X<U

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】B

【分析】由于題意可得函數(shù)/(X)以4為周期，分x>0,x<O,X=O三種情況討論，把問題轉(zhuǎn)化函

數(shù)圖象交點個數(shù)問題，作出函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的周期性即可得解.

【詳解】對任意XeR有/U+2)=-∕(χ),得/(x+4)=-∕(x+2)=∕(x),則函數(shù)/(x)以4為周期，

由于函數(shù)/(x)的圖象關(guān)于直線X=I對稱，則"x)=∕(2-力，又〃x+2)=—

所以“x+2)+∕(2-x)=0,則函數(shù)/(χ)的圖象關(guān)于(2,0)對稱.

當(dāng)x>0時，-x<Q,由g(x)-g(τ)=0得g(x)=g(-x),則/(x)=-k>g2Q23X,

作出y=/(χ)與y=-iog2a23^的大致圖象如圖，

4-Iog2023X=-I,則x=2023,而2023=4x505+3,

由圖可知，y=∕(x)與y=-log2023X在(0,+8)上有3+504x2+1=1012個交點；

當(dāng)x<0時，-x>0,由g(x)=g(-x)得：Tog2o23(-x)=∕(-x),

令-X=f,t>0,f?∕(r)=-log202√,

由上述可知，丫="。與產(chǎn)-1。82023，在(0，+8)上有3+504*2+1=1012個交點,

故y=/(-χ)與γ=-Iog2023(-χ)在(-8,0)上有1012個交點，

又X=O時，g(x)_g(-x)=O成立，

所以方程g(x)-g(-x)=0實數(shù)根的個數(shù)為2x1012+1=2025.

故選：B.

二、填空題

0

13.3×2-log28+(27)5=?

【答案】3

【分析】利用指數(shù)嘉和對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可.

??

0335

【詳解】3×2-log28+(27)3=3-log22+(3)=3-3+3=3-

故答案為：3.

14.函數(shù)y=lgx+二；的定義域是________.

X-I

【答案】(0,1)一(1,物)

【分析】根據(jù)函數(shù)表達(dá)式,列出不等式組即可解得其定義域.

【詳解】因為函數(shù)y=?χ+-

所以1I：：。解得x>0且x/l,即函數(shù)的定義域為(0,l)(I,—).

故答案為：(0,1)(l,+∞).

15.已知函數(shù)/(x)可用列表法表示如下，則/lθ/f??的值是

Xx≤l↑<x<2x≥2

?(?)123

【答案】3

【分析】根據(jù)表格由內(nèi)向外求解即可.

【詳解】根據(jù)表格可知=

??2f(j=/(10)=3.

故答案為：3.

35

16.已知Sina=tcos(α+〃)=],a,￡為銳角，貝IJSin/的值是.

、.33

【答案】?

OJ

【分析】利用平方關(guān)系求出CoSa及sin(α+/?),又Sin尸=sin[(e+月)-α],利用兩角差的正弦公式

即可求解.

【詳解】因為α,4均為銳角，所以0<c+∕J<π,

又Sina=3,cos(α+Q)=2,

5v713

_______4I____________12

所以cosα=√1-sin2ɑ=—,sin(α+尸)=JI-COSXa+β~)=—,

/..1245333

所以sin/?=Sin[(α+—α]=sin(a+/?)CoSa-COS(α+zp7λ)sma=—X-------×-=—

'L)13513565

故答案為：33

OJ

17.定義：若存在常數(shù)3使得對定義域。內(nèi)的任意兩個不同的實數(shù)A,巧，均有

∣∕α)-"w)∣≤堀-到成立，則稱函數(shù)“X)在定義域C上滿足利普希茨條件.已知函數(shù)

/(x)=4(x≥l)滿足利普希茨條件，則常數(shù)k的可能取值是.(寫出一個滿足條件的值即可)

【答案】1(答案不唯一)

【分析】根據(jù)函數(shù)滿足利普希茨條件，分離參數(shù)，并化簡，求得常數(shù)的范圍，即可寫出答案.

【詳解】當(dāng)x21時，F(xiàn)(X)=五單調(diào)遞增，

由題意，不妨設(shè)士＞々之1，則與-X2＞0,北＞,

由|/(內(nèi))一/(馬)|4川不一占|，得上2號=嘉:口，

因為x∣＞X2≥l,所以衣+后＞2,所以。＜喜：7＜；,

所以&2；,所以常數(shù)上的取值可以是：1.

故答案為：1(答案不唯一).

18.已知函數(shù)/(x)=SinwX+0)(其中0＞0,闞苦)，J[-1]=。，/(x)≤/(高恒成立，且/(x)

(TtTt\

在區(qū)間卜五,五)上單調(diào)，給出下列命題：

①“X)是偶函數(shù)；②/(O)=./"用：③0是奇數(shù)；④”的最大值為3.

其中正確的命題有.

【答案】②③④

【分析】W√(x)≤/[y]

得到＜y=2Z+l,根據(jù)單調(diào)區(qū)間得到3≤3,得到＜o(jì)=l或0=3,故③④

正確，求得了(x)的解析式即可判斷①，由函數(shù)的對稱性可判斷②.

【詳解】設(shè)/(X)的周期為T,

πTkT??2π

0,fω≤—=√÷-，攵∈N,故T=?則G=2%+1,

2422k+↑

?∈N,

則故一工πφ=-cυπ+kπ

由一=0,Sinl-SG+9|=0,G+O=E,tZeZ,

I8)888

t(兀兀1,ωπωπ\(zhòng),

當(dāng)XE[_內(nèi)'五J時，ωx+φ≡+k1π,-^~+k1πI,keZ,

24

*?*/(x)在區(qū)間上內(nèi),五J上單調(diào)，工五π~≤—,故T≥E?,即Ovo<8,

24824

則0<署≤],故詈≤],即0<o≤3,又<y=2Z+l,Z∈N,所以/=1或。=3,故③④正確;

當(dāng)<y=l時，φ=^+kπ,keZ,又陷<弓，則《?=?，此時/(力=SinX+]J不是偶函數(shù)；當(dāng)0=3

828

,則夕痔3π，此時〃X)=Sin(3x+芝I不是偶函數(shù)，故①錯誤;

時，φ=――+kτt,ZeZ,又冏<彳

828

E3π

由題可知X=W是函數(shù)/(x)的一條對稱軸，故/(0)=/成立，故②正確.

O4

故答案為：②③④.

三、解答題

19.己知角α終邊上一點P(-2,1).

⑴求Sina和CoSa的值;

π

cos(π-a)+cos∣三十α

⑵求2的值.

sin(2π+α)

2√5

【答案】(I)Sina——,cosa=------

55

(2)1

【分析】(1)根據(jù)三角函數(shù)的定義即可求出Sina,cosα的值;

(2)由誘導(dǎo)公式化簡后求解.

【詳解】(1)由題意可得X=-2,y=1,r=∣OP∣=J(^^2)?+F=布，

」=)%-22√5

,sin=——,cosα=—=——=------

r√55r√55

cos(π-α)+cosl—+aι冬色一交

(2)(2J-CoSa—sma55馬

sin(2π+α)Sina?/?

5

20.已知函數(shù)/(x)=log.(x+α),a>0Ha≠?.

(I)若"2)=2,求4的值.

(H)若/(x)在［1,3］上的最大值與最小值的差為1,求“的值.

【答案】(1)2；(H)6或07

【分析】(1)根據(jù)題意，代入數(shù)據(jù)，化簡計算，即可得答案.

(II)若a>l,則，O)為單調(diào)遞增函數(shù)，根據(jù)X的范圍，可得/O)的最大值和最小值，結(jié)合題意，

列出方程，化簡計算，即可求得“值；若0<“<l,則〃x)為單調(diào)遞減函數(shù)，根據(jù)X的范圍，可得/S)

的最大值和最小值，結(jié)合題意，列出方程，化簡計算，即可求得“值，綜合即可得答案.

【詳解】(I)因為“2)=2,所以Iog“(2+0=2

所以∕=2+α,即/-α-2=0,

解得α=2或α=-l(舍)：

(H)若α>l,則/(x),xe［l,3］上為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以F(X)的最大值為/(?)=bg.(3+。)，最小值為?(l)=loga(l+a),

根據(jù)題意可得∣ogβ(3+4)-log,,(1+a)=?,

所以k>g.H4=l,所以警=α,即°2+q=3+α,

解得α=√J或α=-G(舍)；

若0<α<l,則〃x),xe[l,3]上為單調(diào)遞減函數(shù)，

所以/O)的最大值為F(I)=?og,,(?+a),最小值為/(3)=Ioga(3+a),

根據(jù)題意可得Iogw(1+?)-Iogn(3+?)=1,

所以IOg“譬2=1,所以瞥=”,即/+30=l+α,

解得α=√∑-l或α=-√Σ-l(舍)

綜上，α的值為6或0-l?

21.己知函數(shù)/(x)=2KSinXCOSx+2sir?x

(1)求/(X)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間;

TtTT

⑵求“X)在區(qū)間上的最值.

【答案】(1)最小正周期為兀；單調(diào)遞減區(qū)間為E+g,E+m,ZeZ

3O

(2)最大值3；最小值2

【分析】(1)利用二倍角公式、輔助角公式化簡/(x)=2Sin(2尤-《1+1,由周期公式計算得最小正

周期，由三角函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

(2)求出2x-J的范圍，然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得最值.

【詳解】(1)

÷1=2sin(2.x——J+1.

/(x)=2V3sinxcoScX+2sin2x=>∕3sin2x+l-cos2x=2—sin2x-i∞s2x

22

\/(x)的最小正周期T=E=兀，

TTTr3TT7Γ5冗

?2kπ+—≤2x——≤2kπ+—,AeZ,國軍得?π+-≤x≤?π+—,AeZ,

26236

πSTT

?/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為Λπ+-,?π+^-,?eZ;

(2)因為Xe，所以2x-'e2當(dāng)，

42」O|_?O_

當(dāng)2x-?J=W,即x=S時，/(x)取最大值3；

62?

當(dāng)2χ-J=.，即X=S時，/(x)取最小值2.

OO2

22.己知函數(shù)/(耳=3+1為奇函數(shù).

⑴求。的值；

(2)判斷/(x)的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；

⑶對于任意xe[L4],/(f-4x)+∕(>-(m-2)x)≥0恒成立，求加的取值范圍.

【答案】⑴-2

(2)答案見解析

(3)m5吐且或加22.

2

【分析】(1)由函數(shù)的奇偶性的定義可得結(jié)果;

(2)利用單調(diào)性的定義判斷并證明即可;

(3)由/O)的奇偶性和單調(diào)性，可得V-(僅+2)x+∕√Z0恒成立，令g(x)=/-(祖+2)》+m2,

xe[l,4],由二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論求得g(x)的最小值，即可得機(jī)的取值范圍.

【詳解】(I)/(x)為奇函數(shù)，且定義域為R,

則/GX)+/(X)=0對于任意XeR恒成立，

?a、a,atx+αC??

??---------F1H---------Fl=----------F2=Q+2=0

e^x+lev+lex+l

.*?a=—2.

⑵小)=島+1,

在定義域R上任取士，％,且X＜々，

r

則/U)"⑸=★>(島+1)2(e'-e??)

(ev'+l)(eλ2+l)

vx,x2v,A2

X1<x2,Λe'<e?,e-e<0,Xe+l>0,e+l>0,

故-/(芍)<0,即/(xj<"w),

因此，函數(shù)f(x)在定義域R上為增函數(shù).

(3)函數(shù)f(χ)在定義域R上為增函數(shù).

對于任意Xe[1，4],fy_4x)+/(〃—(%—2)X)≥0恒成立，

則/(?2-4x)>-f(m2-(Jn-2)x)=f((m-2)x-nr),

因為/(x)在R上為增函數(shù)，可得χ2-4x≥-nr+(m-2)%,即x2-(a+2)%+M2。恒成立,

令g(x)=Y-(W+2)x+m2,%w[1,4]

當(dāng)竺9≤1,即機(jī)≤0時，g(x)在[1,4]上單調(diào)遞增，^ωmin=^(1)=A∕r-m-l,

則加1—〃?一l≥0,解得或一≥1+亞-，又"7≤O,則~亞?；

222

當(dāng)?shù)取?,即m≥6時，g。)在[1,4]上單調(diào)遞減，

g(x)min=8(4)=病一4〃?+8=("7-2)2+4≥0恒成立，則加之6符合題意;

當(dāng)1<-l+-<4,即Ovm<6時，

2

∕n+20+2)2(2)2232

g(x)min=g(?~^-)=---------z-π--+-----+"=WM-rn-?1,

32

則二"「一機(jī)一l≥0