2022-2023學年廣東省惠州五中八年級（下）期中數(shù)學試卷（含解析）

2022-2023學年廣東省惠州五中八年級（下）期中數(shù)學試卷

一、選擇題（本大題共10小題，共30.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.下面的圖形是用數(shù)學家名字命名的,其中有多條對稱軸的軸對稱圖形是（）

笛卡爾心形線

斐波那契螺旋線

2.下列二次根式是最簡二次根式的是（

A.B.V^^5C.√-02D.02

3.下列計算中，正確的是（）

A.B.2+>Γ2=2>J~2

C.V^^3XΛ∕^^5—√15D.2C-2=y∏>

4.二次根式√Σ不！有意義的條件是（)

A.%>3B.X>—3C.X≥—3D.X≥3

5.在下列四組線段中，不能組成直角三角形的是（）

A.a=2h=3c=4B,α=6h=8c=10

C.a=3b=4c=5D.a=Ib=√-3c=2

6.如圖，為了測量池塘邊4、B兩地之間的距離，在AB的同側

取一點C,連接C4并延長至點。，連接CB并延長至點E,使得點4、

B分別是C。、CE的中點，若測得DE=I8m,則4、8間的距離

是（）

A.7m

B.8m

C.9m

D.IOm

7.菱形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（）

A.對角線互相平分B.四條邊都相等C.對角相等D.鄰角互補

8.如圖，在QABeD中，AE1BCsfE,AF1CDTF,若AE=4,

AF=6,丐4BCD的周長為40,則丐4BCD的面積為()

BE

A.48B.24C.36D.40

9.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學的

驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼

成的一個大正方形,如果大正方形的面積是5,小正方形的面積是1,直角三

角形的兩直角邊長分別是a、b(b>a),則(a+b)2的值為()

A.16

10.如圖，將含有30。角的直角三角板04B按如圖所示的方式放置在

平面直角坐標系中，OB在X軸上，若04=4,將三角板繞原點。逆時

針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)60。，則第2023秒時，點B的對應點B'的坐標為()

B.(2/3,4)

C.(2λΛ^,2)

D.(0,4)

二、填空題(本大題共5小題，共15.0分)

11.E與最簡二次根式5，■中是同類二次根式，貝Ua=

12.已知Q4BCD中，乙4+NC=240。，則NB的度數(shù)是.

13.如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC,Bn相交于點0,

添加一個條件：使平行四邊形ABCD是菱形.

14.如圖，直角坐標系中的網(wǎng)格由單位正方形構成，已知A4BC,4(2,3),B(-2,0),C(0,-l).

若以A,B,C,D為頂點的四邊形為平行四邊形，則點。的坐標為.

A>'

15.如圖，邊長為8的菱形ABCD兩條對角線相交于點0,以4。

為斜邊向外作RtZiAOE,連接OE,則線段OE長度的最大值為

三、解答題（本大題共8小題，共75.（）分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

16.（本小題8.0分）

計算/而_6??

—√18÷V^^6;

17.（本小題8.0分）

為了綠化環(huán)境，某中學有一塊四邊形的空地ABCD,如圖所示，學校計劃在空地上種植草皮,

經(jīng)測量乙4=90。，AB=3m,DA=4m,BC=12m,CD=13m,求出空地4BCD的面積.

18.（本小題8.0分）

如圖，在MBCD中，點E、F分別是AD、BC邊的中點，求證：BE//DF.

B

FC

19.(本小題9.0分)

下面是小明同學對于題目“化簡并求值：2α+√α2-6α+9,其中a=l”的解答過程，請

認真閱讀并完成相應任務.

解：原式=2a+√(a-3)2..........................第一步

=2a+a-3....................................................第二步

=3a-3........................................................第三步

把a=1代入得，原式=3a-3=0..................第四步

任務一：填空：第步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是.

任務二：請直接寫出代數(shù)式正確的值.

20.(本小題9.0分)

超速行駛是引發(fā)交通事故的主要原因.上周末，小威等三位同學在幸福大道段，嘗試用自己所

學的知識檢測車速，觀測點設在到公路/的距離為Ioonl的P處.這時，一輛紅旗轎車由西向東

勻速駛來，測得此車從4處行駛到8處所用的時間為3s.并測得NAPO=60°,ABPo=45°.

(I)求AP和BO的長.

(2)試判斷此車是否超過了80∕σn∕∕ι的限制速度？(G≈1.732)

21.(本小題9.0分)

如圖，在Rt△力BC中，?BAC=90°,。是BC的中點，E是40的中點，過點4作4F//BC交BE的

延長線于點F?

(1)求證：四邊形4。CF是菱形；

(2)若AC=12,AB=16,求菱形4DCF的面積.

B∑)C

22.(本小題12.0分)

如圖，在Rt△力BC中，NC=90o,AB=5cm,AC=4cm,動點P從點B出發(fā)沿射線BC以3cτn∕s

的速度移動，設運動的時間為t秒.

(1)用含t的代數(shù)式表示PC.

①當點P在線段BC上時，PC=.

②當點P在線段BC的延長線上時，PC=

(2)當AHBP為直角三角形時，求t的值.

備用圖1

23.(本小題12.0分)

如圖①，點E為正方形ABCD內(nèi)一點，=90°,將Rt△ABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。,

得到aCBE'(點4的對應點為點C),延長AE交CE'于點F,連接DE.

(1)試判斷四邊形BENE的形狀，并證明你的判斷：

(2)如圖①，若Zλ4=DE,證明：CF=FE';

(3)如圖②，若BC=I5,CF=3,請直接寫出ABCE'的周長.

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：4、該圖形不是軸對稱圖形，沒有對稱軸，不符合題意；

B、該圖形有1條對稱軸，不符合題意；

C、該圖形有多條對稱軸，符合題意；

。、該圖形不是軸對稱圖形，沒有對稱軸，不符合題意.

故選：C.

分別利用軸對稱圖形的性質(zhì)和軸對稱圖形的定義分析得出即可.

本題考查了軸對稱的性質(zhì)和軸對稱圖形，軸對稱圖形是針對一個圖形而言的，是一種具有特殊性

質(zhì)圖形，被一條直線分割成的兩部分沿著對稱軸折疊時，互相重合；軸對稱圖形的對稱軸可以是

一條，也可以是多條甚至無數(shù)條.

2.【答案】B

【解析】解：??=1.√32=4√^,=

所以??,√^32,√^破都不是最簡二次根式，門為最簡二次根式.

故選:B.

根據(jù)最簡二次根式的條件對各選項進行判斷.

本題考查了最簡二次根式：熟練掌握最簡二次根式的條件：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)或字母，因

式是整式；（2）被開方數(shù)中不含有可化為平方數(shù)或平方式的因數(shù)或因式.把二次根式化簡為最簡二

次根式是解題關鍵.

3.【答案】C

【解析】解：4C與「不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤，不符合題意；

氏2與√N不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤，不符合題意；

C.√~^X√r^5=、15,此選項正確，符合題意；

D2/3與2不是同類二次根式，不能合并，此選項錯誤，不符合題意.

故選：C.

根據(jù)二次根式的運算你法則逐項判斷即可.

本題主要考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握同類二次根式的概念、二次根式的乘法、

減法法則及二次根式的性質(zhì).

4.【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)二次根式有意義的條件可得X+3≥0,解不等式即可.

【解答】

解：要使√x+3有意義,必須X+3≥0,

???X≥-3,

故選：C.

【點評】

本題考查了二次根式有意義的條件，注意：要使氣有意義，必須α≥0.

5.【答案】A

【解析】解：4、22+32≠42,故不能組成直角三角形，符合題意；

B、62+82=102,故是直角三角形，不符合題意；

C、32+42=52,故是直角三角形，不符合題意；

。、M+(C)2=22,故是直角三角形，不符合題意.

故選：A.

由勾股定理的逆定理，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可.

本題考查勾股定理的逆定理的應用.判斷三角形是否為直角三角形，已知三角形三邊的長，只要

利用勾股定理的逆定理加以判斷即可.

6.【答案】C

【解析】解：???/!、B分別是C。、CE的中點，

.?.ZB是^CDE的中位線，

.?.AB=^DE=^×18=9.

故選：C.

根據(jù)三角形中位線定理解答即可.

本題考查的是三角形中位線定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解

題的關鍵.

7.【答案】B

【解析】解：4、對角線互相平分是平行四邊形的基本性質(zhì)，兩者都具有，故A不選；

8、菱形四條邊相等而矩形四條邊不一定相等，只有矩形為正方形時才相等，故B符合題意；

C、平行四邊形對角都相等，故C不選；

D、平行四邊形鄰角互補，故。不選.

故選:B.

與平行四邊形相比，菱形的四條邊相等、對角線互相垂直；矩形四個角是直角，對角線相等.

考查菱形和矩形的基本性質(zhì).

8.【答案】A

【解析】解：設BC=X,

IBCD的周長為40,

???CD=20—X,

EBC。的面積=BC-AE=CD-AF,

:，4x=6(20—x).

解得X=12,

二口4BCD的面積=BC-AE=12×4=48.

故選:A.

設BC=x,根據(jù)平行四邊形的周長表示出CD,然后根據(jù)平行四邊形的面積列式求出X,再根據(jù)平

行四邊形的面積公式列式進行計算即可得解.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，主要利用了平行四邊形的周長與面積的求解，根據(jù)面積的表示出

列式求出平行四邊形的一條邊的長度是解題的關鍵.

9.【答案】B

【解析】解：由題意可知：大正方形的面積=Q2+∕J2=5,4個直角三角形的面積之和=4X2Qb=

2αh=5-1=4,

所以（α+bp=a2+b2+2ab=5+4=9.

故選：B.

由勾股定理得a?+/=5,由小正方形面積是1,得出2αb=4,即可得出結果.

本題考查了以弦圖為背景的計算，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題.

10.【答案】A

【解析】解：?；三角板每秒旋轉(zhuǎn)60。，

點小的位置6秒一循環(huán).

2023=336×7+1,

???第2023秒時，點B的對應點B'的位置與第IS時，位置相同，如圖所示：

OA=4,

根據(jù)旋轉(zhuǎn)可知，04'=04=4,?A'OB'=?AOB=30°,/.BOB'=60%

：.?A'OB=90°,

.??此時點4'在y軸上，

.?.B,A'Ly^,

???B'的縱坐標為4,

VWOB'=30°,

.?.OB'=2A'B',

.?.2A'B'2+A'B'2=42,

解得：A'B'=φ,負值舍去，

此時點8'的坐標為（殍,4）.

故選：A.

求出第1秒時，點4的對應點⑷的坐標為（0,4）,由三角板每秒旋轉(zhuǎn)60。，得到此后點4的位置6秒一

循環(huán)，根據(jù)2023除以6的結果得到答案.

此題考查了坐標與圖形的變化中的旋轉(zhuǎn)以及規(guī)律型中點的坐標，勾股定理，含30度角直角三角形

的性質(zhì)，根據(jù)每秒旋轉(zhuǎn)的角度，找到點4'的位置6秒一循環(huán)是解題的關鍵.

11.【答案】2

【解析】

【分析】

先將一五化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關于α的方程，解

出即可.

本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同

類二次根式.

【解答】

解：?.?Q五與最簡二次根式5√α+l是同類二次根式,且，19=2/耳，

二α+1=3,解得：α=2.

故答案為2.

12.【答案】600

【解析】解：???四邊形ABCO是平行四邊形，

???Z-A=乙C,Z-A+Z-B=180°,

V乙4+乙。=240°,

????A=120°,

Λ乙B=60°；

故答案為：60°.

由平行四邊形的性質(zhì)得出NA=Z?C,?A+?B=180°,再由已知條件求出乙4,即可得出Z?B.

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)：熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關

鍵.

13.【答案】AB=4。（答案不唯一）

【解析】解：添加一個條件為：AB=AD,理由如下：

四邊形4BCD是平行四邊形，AB=AD,

???平行四邊形4BC。是菱形，

故答案為：AB=AD（答案不唯一）.

由菱形的判定即可得出結論?

本題考查了矩形的判定以及平行四邊形的性質(zhì)；熟練掌握菱形的判定是解題的關鍵.

14.【答案】(0,4)或(4,2)或(一4,一4)

【解析】解：如圖，若以A，B,C,。為頂點的四邊形為平行

四邊形，則點。的坐標為Dl(0,4)或外(4,2)或。3(-4,-4)(填一

個即可).

故答案為：(0,4)或(4,2)或(一4,一4).

首先根據(jù)題意畫出圖形，然后根據(jù)圖形即可求得平行四邊形

中點。的坐標.

Da

此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，此題難度適中，注意掌握數(shù)

形結合思想的應用.

15.【答案】8

【解析】解：取4D的中點F,連接OF,EF,

???四邊形ABCO是菱形，

.?.AC1BD,

?；點尸是4。的中點，

.?.OF=^AD=4,

???以4D為斜邊向外作RtΔADE,點F是4D的中點,

.?.EF=?AD=4,

在4OEZ7中，OE<OF+EF,

■■■OE≤4+4,

.?.OE<8,

???線段OE長度的最大值為8,

故答案為：8.

取AD的中點F,連接OF,EF,利用菱形的性質(zhì)可得AAOD是直角三角形，根據(jù)直角三角形斜邊上

的中線可得。F=EF=^力。，由三角形的三邊關系即可求解.

本題考查菱形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關鍵.

16.【答案】解：原式=4「一2/3—「

=√-3-

【解析】先算除法，把二次根式化簡，再合并同類二次根式即可.

本題考查二次根式的混合運算，解題的關鍵是掌握二次根式相關運算的法則.

17.【答案】解：如圖，連接BD,

在RtZkABD中，BD2=AB2+AD2=32+42=52,

在ACBD中,CD2=132,BC2=122,

而122+52=132,BPfiC2+BD2=CD2,

所以4DBC=90°,

\典?S四邊形ABCD=SAABD+SADBC=3x4÷2+5xl2+2=36(m2).

答：空地ABCD的面積是36T∏2.

【解析】直接利用勾股定理以及勾股定理的逆定理得出NDBC=90。，然后利用“割補法”求得空

地ABCD的面積.

此題主要考查了勾股定理的應用，利用勾股定理的逆定理推知ZDBC=90。是解題關鍵.

18.【答案】證明：四邊形ABCz）是平行四邊形，

.?.AD∕∕BC,AD=BC,

點E、F分別是d4BCD邊4D、BC的中點，

.?.DE="D,BF=^BC,

：.DE=BF,

???四邊形BFDE是平行四邊形，

.?.BE//DF.

【解析】由四邊形ABCD是平行四邊形，^^AD∕∕BC,AD=BC,又由點E、尸分別是%BCD邊4。、

BC的中點，可得。E=BF,繼而證得四邊形BFDE是平行四邊形，即可證得結論.

此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì).此題難度不大，注意掌握數(shù)形結合思想的應用.

19.【答案】二算術平方根必須是非負數(shù)4

【解析】解：任務一：第二步開始出現(xiàn)錯誤，錯誤原因是算術平方根必須是非負數(shù)，

故答案為：二，算術平方根必須是非負數(shù)；

任務二：原式=2a+3-a

=α+3,

當α=1時，原式=1+3=4.

故答案為：4.

根據(jù)二次根式的性質(zhì)進行解答即可.

本題考查的是二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的混合運算法則是解題的關

鍵.

20.【答案】解：(1)由題意知：PO=100米，?APO=60°,乙BPo=45°,

在直角三角形BPO中，

,,,Z.BPO=45°,

BO=PO=IOOm,

在直角三角形4P。中，

???/-APO=60°,

AO=PO-tan60°=100V-3m,

.?.AP=√AO2+PO2=√30000+10000=200m;

(2)由題意知：PO=100X,?APO=60°,乙BPO=45°,

在直角三角形BPO中，

.?.AB=AO-BO=(100√3-100)≈73米，

???從4處行駛到B處所用的時間為3秒，

???速度為73÷3≈24.3米/秒=87.6千米/時＞80千米/時，

???此車超過每小時80千米的限制速度.

【解析】(1)利用勾股定理計算即可；

(2)首先利用兩個直角三角形求得4B的長，然后除以時間即可得到速度.

本題考查了解直角三角形的應用，從復雜的實際問題中整理出直角三角形并求解是解決此類題目

的關鍵.

21.【答案】解：(1)證明：???E是4。的中點，

???AE-DE，

VAF//BCf

?AFE=?DBE,

在△4EF和ADEB中，

/-AFE=Z-DBE

?AEF=乙DEB,

AE=DE

:AAEF三ZkOEB(AAS),

???AF=DB,

???D是BC的中點，

???BD-CD,

.?.AF=DC,S.AF//DC,

四邊形ADC尸是平行四邊形，

?.??BAC=90°,。是BC的中點，

.?.AD=CD=；BC,

二四邊形/WCF是菱形；

(2)設4尸到C。的距離為九，

?：AF/∕BC,AF=BD=CD,/.BAC=90°,

111

S菱形ADCF~CD?h—NBC?h—SAABC=]"B?AC=X16X12=96.

【解析】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線、三角形和菱形的面積.

(1)先證明△力EF三ADEB(44S),得AF=OB,根據(jù)一組對邊平行且相等可得四邊形4DCF是平行

四邊形，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得4。=C。，根據(jù)菱形的判定即可證明四邊形4。C尸是菱形;

(3)先根據(jù)菱形和三角形的面積可得菱形ADCF的面積=直角三角形ABC的面積，即可解答.

22.【答案】(3—3t')cm(3t-3)cm

【解析】解：(I)(T)VzC=90o,AB=5cm,AC=4cm,

.?.BC=√AB2-AC2=√25-16=3(cm)，

當點P在線段BC上時，PC=BC-BP=(3-3t)cm,

故答案為：(3—3t)cm；

②當點P在線段BC的延長線上時，PC=BP-BC=(3t-3)cm,

故答案為：(3t—3)cτ∏;

(2)①當NaPB為直角時，點P與點C重合，BP=BC=3cm,BPt=1；

②當Z?B4P為直角時，BP=Stem,CP=(3t—3)czn,

AC—4cm,

在Rt?ACP'V,AP2=42+(3t-3)2,

在中，222

RtABAPAB+AP=BP,圖①圖②

即：52+[42+(3t-3)2]=(3t)2,

解得：t=得

故當AABP為直角三角形時，t=l或t=年

(1)由勾股定理可求BC的長，由線段和差關系可求解；

(2)分兩種情況討論，由直角三角形的性質(zhì)和勾股定理可求解.

本題是三角形綜合題，考查了直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，利用分類討論思想解決問題是解題

的關鍵.

23.【答案】(1)四邊形BE'FE是正方形，

證明：???△CBE'是由RtΔABE繞點B按順時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到的，

???乙CE'B=UEB=90。，NEBE'=90%

Xv乙BEF+乙AEB=90°,

乙BEF=90°,

???四邊形8E'FE是矩形，

由旋轉(zhuǎn)可知BE=BE',

二四邊形BE'FE是正方形；

(2)如圖②中，過點。作DH