新教材蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊 練習(xí) 01 空間向量的線性運算

專題Ol空間向量的線性運算

目錄

☆【題型一】空間向量的概念......................................................................?

☆【題型二】空間向量的線性運算..................................................................2

☆【題型三】向量共線的判定及應(yīng)用：線線平行......................................................5

☆【題型四】向量共線的判定及應(yīng)用：三點共線......................................................6

☆【題型五】向量共線的判定及應(yīng)用：線面平行......................................................7

☆【題型一】空間向量的概念

【例題】如圖所示，以長方體一小BiCQI的八個頂點的兩點為起點和終點的向量中,

(1)試寫出與靜相等的所有向量;

(2)試寫出笳I的相反向量；

(3)若Z8=ZO=2,AAl=?,求向量充I的模.

【答案】(1)不后，皮及醞；

(2)亦，部，E，D^D.

⑶園∣=3.

【詳解】(1)與向量力相等的所有向量(除它自身之外)有W后，虎及百高，共3個.

(2)向量∕∣的相反向量為笳,瓦?,血，方力.

⑶/I∣=√4C2+CC?=?,^S2+BC2+CC?=3.

【變式訓(xùn)練】

1.在平行六面體Z8CZ)-481GZ)I中，與向量力相等的向量共有()

A.I個B.2個

C.3個D.4個

【答案】C

【詳解】與力相等的向量有4的二選，BIC廠,共3個.

2.在三棱錐。一/8C中，次+孫一昆等于()

A.國B.港

C.θtD.祀

【答案】C

【詳解】況+還一逃=初一在=彷+愛=求，故選C.

☆【題型二】空間向量的線性運算

【例題】

1.如圖，在三棱柱力8。-44。中，/是84的中點，化簡下列各式，并在圖中標出化簡得到的向量:

(1)CB+BA,；(2)AC+CB-\—AA,；(3)AA-AC—CB.

121i

【答案】(1)CAx.(2)而.(3)^BAχ.

【詳解】(1)CB+BA^CAi.

——1—

(2)因為"是的中點，所以BM=3BB-

又數(shù)=函，所以兩=,您，

所以就+赤+,有=善+兩=萬7.

2'

(3)AA^-AC—CB—CA1—CB-BA^.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在空間四邊形/8Cr)中，E是線段ZB的中點，CF=2FD,連接E尸，CE,AF,BF.化簡下列

各式，并在圖中標出化簡得到的向量：

⑴^AC+CBΛ-^BD^（2）AF-BF-AC-⑶^AB+BC+^CD.

【答案】（1）而.

（2）CB.

（3）^EF.

【詳解】（1）如圖：AC+CB+JD=AB+BD=Jb-

（2）如圖：AF-BF-AC=AF+FB-AC=AB-ACCB-

I■，，—“/，，—??，，―■??一??■

（3）如圖：一AB+BC+-CD=EB+BC+CF=EC+CF=EF.

2.如圖所示，在長方體/8CC-小8∣GO∣中，。為力C的中點.

⑴化簡：A]t)---ΛT)-；

(2)用港,力，筋1表示歷則/I=.

【答案】(1)月/(2)^力+力]

【詳解】(1)?Tb一初一沙=Tfb助+力)=篩一;就=笳一je=q.

⑵及?∣=求+G?∣=/港+力)+Zt=料+罷＞+笳1.

【例題】

2.如圖，在正方體N8CZ‰48ιGZ)∣中，點E是上底面4BGDι的中心，若屈=m元+“疝+

【詳解】因為點E是上底面45∣CQ∣的中心,

所以√fi?=1+∕7δ1)=+刀＞)=+gr).

又因為笳|+m=企,

所以m=n=~.

2

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，在正方體力BCD-//￡2中，點F是側(cè)面COAG的中心，^AF=mAB+AD+nZ4,,求九

【詳解】因為點尸是正方形CQAG的中心,

—?1——?___一

所以DF=-DCI,且。C=力耳，

2

故AF=AD+DF=AD+?DCI-AD+?ABT=4D+,(4B+AAxj=?AB+AD+?AAx.

故4加二〃=一1.

2

2.在平行六面體ZBCLMbCO中，若祀，=X菰+潛+了&,則x+y+z=_.

【答案】6.

【詳解】在平行六面體/8C0-/8C。中，At,=Ab+Bt+Ct',

而祀，=X懣+上配+二長，,

23

x=L

2=1,X=1,

所以2得?y=2,

3-1,z=3.

所以x+y+z=6.

☆【題型三】向量共線的判定及應(yīng)用：線線平行

【例題】如圖，在正方體48。-44GR中，點”，N分別在線段48,上，且

BlN=IBIDI,尸為棱AG的中點.求證：MNHBP.

【詳解】證明MN=MB+BB?+BvN.

因為B,N=-B.D.,

31'3

所以MN=BA+BB?+=BABlAl)+BBl+^BlAl+AlDl)

2----1-----2——1-----

=-ββ+-A.D=-BB+-β,C.

3l'33l1l3l

又因為P為中點，

所以即=函+*=函+g前西+；竭)=^MN,

從而麗與麗為共線向量.

因為直線MN與BP不重合，斫以MN//BP.

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，四邊形月BCD和N8E/都是平行四邊形，且不共面，M,N分別是NC,BF的中點，求證：CE//

MN.

C

【詳解】（方法1）???M,N分別是4C,8尸的中點，且四邊形48CQ和/8環(huán)都是平行四邊形,

.?.砒=磁+#+朋=均+#+%.①

22

又：疚=就+法'+或+防=一均+游一存一%,②

22

①+②得2砒=H,

屋;與底共線.

又；直線CE與MN不重合，

J.CE//MN.

（方法2）??M,N分別是4C,8尸的中點，且四邊形48C。和48E尸都是平行四邊形，

而/=粉一翔=；（港+彷-國=；（港+#）-3港+力尸；（N―力）=/旗一瑟）=厚.

,加與俄共線.

又；直線CE與MN不重合，

J.CE//MN.

2.若空間非零向量。?2不共線，則使2kC]—?2與e1+2（攵+1）?2共線的左的值為.

【答案】-?

2

【詳解】由題意知,存在實數(shù)義使得2翹1-02=3的+2伏+I）e2],

f,_1

口=2k，,k=r

即,解得.2

以A+1=—1,；=_1

☆【題型四】向量共線的判定及應(yīng)用：三點共線

【例題】設(shè)e∣,e2是空間兩個不共線的非零向量，已知力=2e∣+h2,於=e∣+3e2.虎=2e∣—C2，且48。

三點共線，求實數(shù)人的值.

【詳解】就=e∣+3e2.虎=2e∣—C2，

故尻）=灰'+Cδ=（e∣+3e2）+（—2eι+e2）=-e∣+4e?.

因為4B,D三點共線，所以港=2協(xié)，

即2eι+%C2=%（-Ci+4?2）.

因為⑨，C2是不共線的向量,

?=4九

【變式訓(xùn)練】

1.如圖，正方體Z8CD—48∣Gz)I中，。為小C上一點，且汨5=2疣，3。與/C交于點A/.

3

求證：Ci,O,M三點共線.

,%、

【詳解】證明設(shè)港=",λb=b,Aλ?-C,

則ATb=濃+仍=3/+3臣1=3(牯+歷)^I)

=J港+?)+??+(≡?+Zt)=I#+?>+lZt=Ia+?bf?e,

223663663

M^?=MC~?~cζ↑=-A^~bA^ι=~^A^~\~At))~\~AA∣=~a+~?+c,

.?.阮I(lǐng)=3肪，又直線MCx與直線MO有公共點M,

ΛCι,O,M三點共線.

2.設(shè)“，分是空間中兩個不共線的向量，已知成=9。+加6,就=-2a-b,Dt=a-1b,且/,B,。三點

共線，則實數(shù)W=.

【答案】-3

【詳解】因為尻I=—Ia—b,DC=a-2b.

所以近)=忒雙J—DtJ——Ia—b—(a—2b)——3α+b,

因為Z,B,。三點共線，

所以存在實數(shù)九使得力=2就),

即9a~?-mh=λ(—3〃+力).

所以［9=f

m=λ,

解得m=λ