2023年重慶地區(qū)數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項(xiàng)

1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。

2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑

色字跡的簽字筆作答。

3.考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

I.設(shè)X?N（M，b：）,y?N（〃2,b；）,這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線如圖所示.下列結(jié)論中正確的是

A.必>〃2，巧>qB.P（X>A）vP（X>〃2）

C.從<〃2，巧>%D.P（Y<^）<P{X<//,）

22

2.已知雙曲線C:0-4=1（。>0/>0）的右焦點(diǎn)為尸，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以F為圓心、（%■為半徑的圓與x軸交于O,A

ab

兩點(diǎn)，與雙曲線C的一條漸近線交于點(diǎn)8,若AB=4a,則雙曲線C的漸近線方程為（）

A.y=±xB.y=±2xc.y=±3xD.y=±4x

ABZAP_AAC

3.在平行四邊形48CD中3AC則cosNABO的范圍是（）

AD\

一五疔F*a5應(yīng)

A.B.c.D.

44224248

設(shè)a=/（tang],

4.已知/（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)％>%>0時(shí)，都有，一3\〃〉0成立,

%--%2

/、

b=flog,3,c=/（/」），則a,〃，c的大小關(guān)系為（）

\27

A.a<h<cB.c<a<bC.b<c<aD.h<a<c

5.在一段線路中并聯(lián)著兩個(gè)獨(dú)立自動(dòng)控制的開(kāi)關(guān)，只要其中一個(gè)開(kāi)關(guān)能夠閉合，線路就可以正常工作.設(shè)這兩個(gè)開(kāi)關(guān)

能夠閉合的概率分別為0?5和0.7,則線路能夠正常工作的概率是（）

A.0.35B.0.65C.0.85D.

6.正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,將它沿高AD翻折，使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為百，此時(shí)四面體ABCD外接球表面積

為（）

A7sH19M「7n1Q

A.---九B.-----JiC.ITTD.\y7i

66

7.在AABC中，a2=b2+c2-bc,則角A為（）

A.30B.150C.120D.60

8.若函數(shù)/（￡）=履一1舊在區(qū)間。,內(nèi)）上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)攵的取值范圍是（）

A.(—oo,-2]B.(—oo,—l]C.[2,+co)D.[1,+co)

9.已知函數(shù)人*)=/一ax—1,若/(x)在(-1,1)上單調(diào)遞減，則a的取值范圍為()

A.B.a>3

C.aW3D.a<3

10.下列四個(gè)函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上是減函數(shù)的是（）

A.y-logxB.y=3"C.y=yjxD.y=-

3X

11.若"xe{a,3}”是“不等式2%2-5犬-3'0成立''的一個(gè)充分不必要條件，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是（）

A.1-8,-g1j[3,+oo）B.（3,+oo）C.（一gD.1一%一3＜J（3,+oo）

12.已知有相同兩焦點(diǎn)Fi、F2的橢圓L+y2=l和雙曲線土-y2=l,P是它們的一個(gè)交點(diǎn)，則AF1PF2的形狀是（）

53

A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍有三角形D.等腰三角形

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

1—az

13.如果復(fù)數(shù)2=——（aeR）的實(shí)部與虛部相等，則。=.

3+4;

14.當(dāng)國(guó)＜1時(shí)，等式占=1—x+f+L+（—x）"+L恒成立，根據(jù)該結(jié)論，當(dāng)國(guó)＜；時(shí)，

冗

（l+2r）（I）=%+%*+L+4*”+L,貝!I?8的值為.

15.設(shè)“X）是（0,+。）上的單調(diào)函數(shù)，且對(duì)任意xe（0,+8）,都有丹?。σ?。2月=11,若%是方程

/（X）-77x）=8的一個(gè)解，且Xoe（a-2,a-l）,（aeN*），則a的值為.

16.（j+x卜2-?）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)是.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）如圖，三棱柱ABC-AAG中，CG，平面ABC,AC±AB,AB=AC=2,CCX=4,。為5c的中點(diǎn)

（〃）求證：Ac〃平面4。用；

（/〃）求平面ADB,與平面ACC.A所成銳二面角的余弦值

18.（12分）已知Z[=5+10i,z2=3-4z\—=—I--，求z.

ZZ]z2

19.（12分）已知某單位甲、乙、丙三個(gè)部門共有員工60人，為調(diào)查他們的睡眠情況，通過(guò)分層抽樣獲得部分員工每

天睡眠的時(shí)間，數(shù)據(jù)如下表（單位：小時(shí)）

甲部門678

乙部門5.566.577.58

丙部門55.566.578.5

（1）求該單位乙部門的員工人數(shù)?

（2）從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，甲部門選出的員工記為A,乙部門選出的員工記為8,假設(shè)

所有員工睡眠的時(shí)間相互獨(dú)立，求A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率；

（3）若將每天睡眠時(shí)間不少于7小時(shí)視為睡眠充足，現(xiàn)從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用

X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

20.（12分）第一屆“一帶一路”國(guó)際合作高峰論壇于2017年5月14日至15日在北京舉行，這是2017年我國(guó)重要

的主場(chǎng)外交活動(dòng)，對(duì)推動(dòng)國(guó)際和地區(qū)合作具有重要意義.某高中政教處為了調(diào)查學(xué)生對(duì)“一帶一路”的關(guān)注情況，在

全校組織了“一帶一路知多少”的知識(shí)問(wèn)卷測(cè)試，并從中隨機(jī)抽取了12份問(wèn)卷，得到其測(cè)試成績(jī)（百分制），如莖葉

圖所示.

成績(jī)

52

6378

72666

828

934

（1）寫(xiě)出該樣本的眾數(shù)、中位數(shù)，若該校共有3000名學(xué)生，試估計(jì)該校測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)；

（2）從所抽取的70分以上的學(xué)生中再隨機(jī)選取4人.

①記X表示選取4人的成績(jī)的平均數(shù)，求P（XN87）；

②記J表示測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的人數(shù)，求J的分布和數(shù)學(xué)期望.

21.（12分）已知函數(shù)/（HngV-zM+Sx+oeEH）.

（1）當(dāng)1=0時(shí),求/（力在［—1,4］上的值域；

（2）若方程/（尤）=2有三個(gè)不同的解，求b的取值范圍.

x=31t

22.（10分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線/的參數(shù)方程為：r。為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy

y=，5+r

取相同的單位長(zhǎng)度，且以原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，圓C的方程為0=2后sin?.

（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)圓C與直線/交于A,B兩點(diǎn),若點(diǎn)尸坐標(biāo)為（3,?。?求IPAgPBI的值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】

由正態(tài)分布的性質(zhì)，結(jié)合圖像依次分析選項(xiàng)即可得到答案。

【詳解】

由題可得曲線X的對(duì)稱軸為X=M,曲線y的對(duì)稱軸為X=〃2，

由圖可得從<〃2，由于b表示標(biāo)準(zhǔn)差，b越小圖像越瘦長(zhǎng)，故0<。2,故A,c不正確；

M

根據(jù)圖像可知P(X>)=0.5,P(X>〃2)<0.5,P(y<A1)<0.5,P(X<//2)>0.5；

所以P(X>M)>P(X>〃2)，尸(y4〃J<P(X4〃2)，故c不正確，D正確；

故答案選D

【點(diǎn)睛】

本題考查正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)以曲線所表示的意義，考查正態(tài)分布函數(shù)中兩個(gè)特征數(shù)均值和方差對(duì)曲線的位置和形狀

的影響，正態(tài)分布曲線關(guān)于x=〃對(duì)稱，且〃越大圖像越靠右邊，b表示標(biāo)準(zhǔn)差，O?越小圖像越瘦長(zhǎng)，屬于基礎(chǔ)題。

2^B

【解析】

取08的中點(diǎn)“，利用點(diǎn)到直線距離公式可求得|切|="根據(jù)|AB|=2|F*可得2a='從而可求得漸近線方程.

【詳解】

如圖，取08的中點(diǎn)”，貝為點(diǎn)尸(。,0)到漸近線/“——=0的距離

yja2+b2c

又尸為。4的中點(diǎn).?.|A用=2|-77|:.4a^2h,BP：2a=h

故漸近線方程為：y=+2x

本題正確選項(xiàng)：B

【點(diǎn)睛】

本題考查雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠利用點(diǎn)到直線距離公式和中位線得到。力之間的關(guān)系.

3、D

【解析】

AB2ADAAC

利用[7點(diǎn)+773=匚才可得邊之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理可得COSNABO的表達(dá)式，然后可得范圍.

\AB\\AD\L4C

【詳解】

AB2ADAAC.??一|?,

因?yàn)橥?國(guó)=國(guó)，所以|AB|:|44：|AC|=1:2:4；

不妨設(shè)?黑卜1,則卜4=2,，4=/1,

AB2ADAACJ2-5

把E兩邊同時(shí)平方可得5+4COSA=42，即cosA=~-；

AB\AD\\AC\4

在AAB。中，co"J-1嗎J2-5,所以忸。『=10一；12；

'-44

l+\BD\-47.2

cosNABD=——=

2叫2V10-/L2

產(chǎn)_3[3

令t=，re[76,272],貝！lcosNA80=^^=———,

2t2It

易知y=4一金，為增函數(shù)，所以cosNABOe[，5,述].

2It48

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查平面向量的運(yùn)算及解三角形，構(gòu)造目標(biāo)表達(dá)式是求解的關(guān)鍵，涉及最值問(wèn)題經(jīng)常使用函數(shù)的單調(diào)性或基

本不等式來(lái)求解.

4、B

【解析】

通過(guò)2\.“一』\2/>0可判斷函數(shù)在X>0上為增函數(shù),再利用增函數(shù)的性質(zhì)即可得到。，b,c的大小關(guān)系.

王一赴

【詳解】

由于當(dāng)王>々>0時(shí)，都有了（“）―/（/）>0成立,故f（x）在x>0上為增函數(shù)，

士一工2

?=/pan=b=flog,3=/（唾23）,而log23>l>/",所以

I4,VI?

01

/(log23)>/(l)>/U-),故答案為B.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)性質(zhì)判斷函數(shù)值大小，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，分析能力和計(jì)算能力，難度中

等.

5、C

【解析】

試題分析：線路能夠了正常工作的概率=1-(1-0.5)(!-0.7)=1-0.15=0.85，故選C.

考點(diǎn)：獨(dú)立事件，事件的關(guān)系與概率.

6、C

【解析】

分析：三棱錐B-ACD的三條側(cè)棱底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展為三棱柱的外

接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，然后求球的表面積即可.

詳解：根據(jù)題意可知三棱錐8-ACP的三條側(cè)棱底面是等腰三角形，它的外接球就是它擴(kuò)展

為三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心連線的中點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離，就是球的半徑，

三棱柱中，底面ABAC,BD=CD=I,BC=B

ZBDC=120°,

：.ABDC的外接圓的半徑為-x=1,

2sin120

由題意可得：球心到底面的距離為".

2

，球的半徑為r=

V42

7

外接球的表面積為：S=4乃/=44.—=77.

4

故選：C.

點(diǎn)睛：考查空間想象能力，計(jì)算能力.三棱柱上下底面中點(diǎn)連線的中點(diǎn)，到三棱柱頂點(diǎn)的距離相等，說(shuō)明中心就是外接

球的球心，是本題解題的關(guān)鍵，仔細(xì)觀察和分析題意，是解好數(shù)學(xué)題目的前提.

7、D

【解析】

利用余弦定理解出即可.

【詳解】

b1+c2-a21,60

cosA=----------=—=>4=60

2bc2

【點(diǎn)睛】

本題考查余弦定理的基本應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8、D

【解析】

試題分析：/'x'=Ar--.???函數(shù)/（力="一Inx在區(qū)間（1,y）單調(diào)遞增，.?.7’%史0在區(qū)間（1,+?））上恒成

X

立..?.六二二，而J=二在區(qū)間（1，+8）上單調(diào)遞減，.?.《21..??左的取值范圍是［1,欣）.故選D.

XX

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.

9、A

【解析】?.,/（x）=x3-ax-L

.\f（x）=3x2-a,

要使/（x）在上單調(diào)遞減，

則r（x）<0在xe（-1,1）上恒成立，

則3x2-a<0,

即33馬在xw（-i,i）上恒成立，

在xG（-lJ）上，3X2<3,

即a>3,

本題選擇A選項(xiàng).

10、D

【解析】

逐一對(duì)四個(gè)選項(xiàng)的函數(shù)進(jìn)行判斷，選出正確答案.

【詳解】

選項(xiàng)A：因?yàn)榈讛?shù)大于1,故對(duì)數(shù)函數(shù)y=log3X在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)；

選項(xiàng)B::因?yàn)榈讛?shù)大于1,故指數(shù)函數(shù)y=3'在區(qū)間（o,+a））上是增函數(shù)；

選項(xiàng)C:因?yàn)橹笖?shù)大于零，故幕函數(shù)），=6在區(qū)間（0,+8）上是增函數(shù)；

選項(xiàng)D;反比例函數(shù)當(dāng)比例系數(shù)大于零時(shí)，在每個(gè)象限內(nèi)是減函數(shù)，故>=,在區(qū)間（0,+o。）上是減函數(shù)，故本題選D.

X

【點(diǎn)睛】

本題考查了指對(duì)幕函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題，熟練掌握指對(duì)嘉函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

11、D

【解析】

由題設(shè)24-5。一320,解之得：“23或又集合中元素是互異性可得。。3,應(yīng)選答案D。

2

12、B

【解析】

根據(jù)橢圓和雙曲線定義：

22

\PF{\+\PF21=2后|PF,\-\PF21|=26目PF,|+|「乙|=16

又|耳用=4,.?.附產(chǎn)+|?月F=|尸入『；故選B

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、7

【解析】

3—4。3a+4

根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可求得Z=~—/，根據(jù)實(shí)部與虛部相等可構(gòu)造方程求得結(jié)果.

2525

【詳解】

\-ai_(l-a?)(3-4z)_3-4a-(3a+4)i_3-4a3a+4.

3+4z—25—25—~2525-/

3-4a_3a+4

25--25-解得：a=7.

故答案為：7.

【點(diǎn)睛】

本題考查根據(jù)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部定義求解參數(shù)值的問(wèn)題，涉及到復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算問(wèn)題，屬于基礎(chǔ)題.

14、-114.

【解析】

??x

由可得|2x|<l,卜結(jié)合已知等式將代數(shù)式(]+[.(]_尸)將代數(shù)式展開(kāi)，可求出％的值?

【詳解】

當(dāng)|x|<g時(shí)，得|2.<1,卜丁卜(，

X=rl+(-2x)+L+(-2x)"+L}(1+/+L+%3n+L),

所以(1+26(1-V

所以，4=(—2)+(—2?+(—2)7=—114,故答案為：-114.

【點(diǎn)睛】

本題考查恒等式的應(yīng)用，解題時(shí)要充分利用題中的等式，結(jié)合分類討論求解，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，屬于

中等題.

15、3

【解析】

先根據(jù)題意求/(X)函數(shù)解析式，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)g(x)=10g2X--、性質(zhì)，進(jìn)而確定。的值.

【詳解】

根據(jù)題意/(X)是(0,+。)上的單調(diào)函數(shù)，且在定義域內(nèi)都有/[/(x)-log2x]=11,

則可知/(x)-log2X的值為一個(gè)常數(shù)C,即/(C)=11,故/(C)=log2C+C=ll,

解得C=8,則函數(shù)解析式為/(x)=log2X+8,

/(x)+/'(%)=log2x+8--，=8,即log2x-一二=0,

構(gòu)造新函數(shù)g(x)=log,x---5—=—(Inx--),

xln2In2x

求導(dǎo)得g'(X)=—L(L+-l7)>0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞增，

In2xx

因?yàn)間(D=-<o,g(2)=l———>0,g(x0)=o,故1</<2,

In221n2

又飛e(a—2,a-l),(aGN),所以a=3.

【點(diǎn)睛】

本題考查求函數(shù)原函數(shù)和用導(dǎo)函數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)根的范圍確定參數(shù)值，運(yùn)用了零點(diǎn)定理，有一定的難度.

16、243

【解析】

分析：先得到二項(xiàng)式(2-”的展開(kāi)式的通項(xiàng)，然后根據(jù)組合的方式可得到所求項(xiàng)的系數(shù).

詳解：二項(xiàng)式(2-4『展開(kāi)式的通項(xiàng)為卻|=禺26[6)'=26-C；J,(r=0,l,2,,6))

...展開(kāi)式中V的系數(shù)為3X2°XC：+1X24XC；=243.

點(diǎn)睛：對(duì)于非二項(xiàng)式的問(wèn)題，解題時(shí)可轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題處理，對(duì)于無(wú)法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式的問(wèn)題，可根據(jù)組合的方式

“湊”出所求的項(xiàng)或其系數(shù)，此時(shí)要注意考慮問(wèn)題的全面性，防止漏掉部分情況.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

2

17、(n見(jiàn)解析(〃)見(jiàn)解析(/〃)y

【解析】

(I)CC|_L平面ABC,得AA|_L平面45C,從而AAJ_AC,再結(jié)合已知可證得線面垂直；

(II)連接4B,與A均相交于點(diǎn)0,連接O。，可證Z)0〃AC，從而證得線面平行；

(HD以A8,A41,AC為x,yz軸建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出兩平面A。片和平面ACG4的法向量,

由法向量的夾角余弦值求得二面角的余弦值.

【詳解】

(Z)VCC,ABC,AA|〃CC|

J_平面ABC,

:.AA}A_AC

ACLAB,ABQAA=A

.,.AC_L平面A581A.

(〃)連接A/,與AB1相交于點(diǎn)0,連接OO

???O是8c中點(diǎn)，。是A]中點(diǎn)，

則DO//A。，

AC平面4081,OOu平面AZ)81

/.A.C平面AOB]

(Z/Z)由(/)知，AC_L平面A58IA，AALAB

則A(0,0,0),B(2,0,0),B}(2,4,0),D(1,0,1),AD=(1，。，1)，Ag=(2,4,0)

設(shè)平面404的法向量為〃=則

\n-ADfx+z=O

，即＜

[n-AB1[2x+4y=0

取y=L得〃=(-2,1,2)

平面ACGA的法向量為AB=(2,0,0)

n-AB2

?>=麗丁

2

則平面AZ)4與平面ACG4所成銳二面角的余弦值為,

【點(diǎn)睛】

本題考查線面垂直的判定與線面平行的判定，考查用向量法求二面角.立體幾何中線面間的平行與垂直一般用判定定

理進(jìn)行證明，而求空間角一般用空間向量法求解.

18、5—i

2

【解析】

把Zl、Z2代入關(guān)系式，化簡(jiǎn)即可

【詳解】

1^1?1zl+z2,z，Z4_(5+10i)(3_4i)_55+10i_(55+10i)(8-6i)_55,

22

z%z2z(z2'zt+z2(5+10z)+(3-4z)8+6i8+62

【點(diǎn)睛】

復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),

則Z1Z2=(a+bi)(c+di)=ac—bd+[ad+bc^i,

Z]a+bi(a+bi)(c-di)(ac+bd)+(bc-ad)i

22

z2c+di(c+Jz)(c-cZz)c+d

2

19、(1)24人；(2)-；(3)X的分布列見(jiàn)解析；數(shù)學(xué)期望為1

【解析】

(1)分層抽樣共抽?。?+6+6=15名員工，其中該單位乙部門抽取6名員工，由此能求出該單位乙部門的員工人數(shù).

(2)基本事件總數(shù)”=C；C；=18,利用列舉法求出A的睡眠時(shí)間不少于/?的睡眠時(shí)間包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能

求出A的睡眠時(shí)間不少于B的睡眠時(shí)間的概率.

(3)X的可能取值為0,1,2,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望E(X).

【詳解】

(1)由題意，得到分層抽樣共抽取：3+6+6=15名員工，

其中該單位乙部門抽取6名員工，

.?.該單位乙部門的員工人數(shù)為：6x^=24人.

(2)由題意甲部門抽取3名員工，乙部門抽取6名員工,

從甲部門和乙部門抽出的員工中，各隨機(jī)選取一人，

基本事件總數(shù)"=C；C：=18,

A的睡眠時(shí)間不少于8的睡眠時(shí)間包含的基本事件(a,b)有12個(gè):

(6,5.5),(6,6),(7,5.5),(7,6),(7,6.5),(7,7),(8,5.5),(8,6),(8,6.5),(8,7),(8,7.5),(8,8),

1?2

...A的睡眠時(shí)間不少于5的睡眠時(shí)間的概率p=—=一.

183

(3)由題意從丙部門抽出的員工有6人，其中睡眠充足的員工人數(shù)有2人，

從丙部門抽出的員工中隨機(jī)抽取3人做進(jìn)一步的身體檢查.用X表示抽取的3人中睡眠充足的員工人數(shù),

則X的可能取值為0,1,2,

P(X=0)0」

C：5

氏=3

P(X=l)

C：5

C\c}_1

P(X=2)-cr-5,

二.x的分布列為:

X012

23

P

555

131

E(X)=0x—Fix—F2x—=1.

555

【點(diǎn)睛】

本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的求法，涉及到古典概型及分層抽樣的基本知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，

是中檔題.

2

20、(1)2000；(2)①一，②2.

35

【解析】

試題分析：(1)眾數(shù)為76,中位數(shù)為76,抽取的12人中，7()分以下的有4人，不低于70分的有8人，從而求出從

該校學(xué)生中任選1人，這個(gè)人測(cè)試成績(jī)?cè)?()分以上的概率，由此能求出該校這次測(cè)試成績(jī)?cè)?()分以上的人數(shù)；(2)

①由題意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94,當(dāng)所選取的四個(gè)人的成績(jī)的平均分大于87分時(shí),

有兩類：一類是：82,88,93,94,共1種；另一類是：76,88,93,94,共3種.由此能求出P（X之87）；

②由題意得4的可能取值為0,1,2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出J的分布列和J）.

試題解析：（1）眾數(shù)為76,中位數(shù)為76.抽取的12人中，70分以下的有4人，不低于70分的有8人，故從該校學(xué)生

Q22

中人選1人,這個(gè)人測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的概率為—故該校這次測(cè)試成績(jī)?cè)?0分以上的約有3000x-=2000

1233

（人）

⑵①由題意知70分以上的有72,76,76,76,82,88,93,94.

當(dāng)所選取的四個(gè)人的成績(jī)的平均分大于87分時(shí)，有兩類.

一類是82,88,93,94,共1種；

42

另一類是76,88,93,94,共3種.所以“（X2870=不=行.

②由題意可得，J的可能取值為0,1,2,3,4

1

P（J=O）=^L=一,

'7C：70

尸（9）=等嗡哈

*=2）=等喘喘，

臉T=等

P（"4）=*1

%70

自的分別列為

01234

181881

r

7035353570

八c1,8cl8c8“1c

七（彳）=Ox-----F1x----F2x----F3x----F4x——2.

v77035353570

,、164<22

21、(1)?a2)t-

33T3

【解析】

(1)求導(dǎo)得到函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性確定最值取得的點(diǎn)，從而得到值域；(2)將問(wèn)題轉(zhuǎn)化成g(x)=；x3—2x+3x

與y=2-〃有三個(gè)交點(diǎn)的問(wèn)題，通過(guò)求導(dǎo)得到g(x)圖象，通過(guò)圖象可知只需2-匕位于極大值和極小值之間即可，從

而得到不等式，求解出范圍.

【詳解】

(1)當(dāng)》=0時(shí)，f(x)=~x3~2x2+3x

貝!I/'(X)=￡—4x+3=(x—l