高考數(shù)學(xué)人教B版一輪復(fù)習(xí)測評8-7-1利用空間向量求線線角與線面角

核心素養(yǎng)測評四十四利用空間向量求線線角與線面角(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.平面α的斜線l與它在這個平面上的射影l(fā)′的方向向量分別為a=(1,0,1),b=(0,1,1),則斜線l與平面α所成的角為 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選C.l與α所成的角為a與b所成的角(或其補角),因為cos<a,b>=QUOTE=QUOTE,所以<a,b>=60°.2.在正方體ABCDA1B1C1D1中,M,N分別為棱AA1和BB1的中點,則sin<QUOTE,QUOTE>的值為 ()A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.設(shè)正方體的棱長為2,以D為坐標(biāo)原點,DA為x軸,DC為y軸,DD1為z軸建立空間直角坐標(biāo)系,可知QUOTE=(2,2,1),QUOTE=(2,2,1),cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE,sin<QUOTE,QUOTE>=QUOTE.3.已知△ABC與△BCD均為正三角形,且AB=4.若平面ABC與平面BCD垂直,且異面直線AB和CD所成角為θ,則cosθ= ()A.QUOTE B.QUOTEC.QUOTE D.QUOTE【解析】選D.如圖,因為等邊三角形ABC和BCD所在平面互相垂直,所以取BC中點O,則AO,BC,OD兩兩垂直,以O(shè)為原點,建立如圖空間直角坐標(biāo)系Oxyz.則A(0,0,2QUOTE),B(0,2,0),C(0,2,0),D(2QUOTE,0,0),所以QUOTE=(0,2,2QUOTE),QUOTE=(2QUOTE,2,0),故cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,所以異面直線AB和CD所成角的余弦值為QUOTE.4.在正方體ABCDA1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點,則A1B1與平面A1EF夾角的正弦值為A.QUOTE B.QUOTE C.QUOTE D.QUOTE【解析】選B.建系如圖,設(shè)正方體棱長為1,則A1(1,0,1),E1,QUOTE,0,F0,QUOTE,1,B1(1,1,1).QUOTE=(0,1,0),QUOTE=0,QUOTE,1,QUOTE=1,QUOTE,0.設(shè)平面A1EF的一個法向量為n=(x,y,z),則QUOTE即QUOTE令y=2,則QUOTE所以n=(1,2,1),cos<n,QUOTE>=QUOTE=QUOTE.設(shè)A1B1與平面A1EF的夾角為θ,則sinθ=cos<n,QUOTE>=QUOTE,即所求線面角的正弦值為QUOTE.5.在正四棱錐SABCD中,O為頂點在底面上的射影,P為側(cè)棱SD的中點,且SO=OD,則直線BC與平面PAC所成的角是 ()A.30° B.45° C.60° D.90°【解析】選A.如圖,以O(shè)為原點建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.設(shè)OD=SO=OA=OB=OC=a,則A(a,0,0),B(0,a,0),C(a,0,0),P0,QUOTE,QUOTE,則QUOTE=(2a,0,0),QUOTE=a,QUOTE,QUOTE,QUOTE=(a,a,0),設(shè)平面PAC的一個法向量為n=(x,y,z),則QUOTE解得QUOTE可取n=(0,1,1),則cos<QUOTE,n>=QUOTE=QUOTE=QUOTE,又因為0°<<QUOTE,n><180°,所以<QUOTE,n>=60°,所以直線BC與平面PAC所成的角為90°60°=30°.二、填空題(每小題5分,共15分)6.在三棱錐PABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=90°,D,E,F分別是棱AB,BC,CP的中點,AB=AC=1,PA=2,則直線PA與平面DEF所成角的正弦值為________.

【解析】以A為原點,AB,AC,AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,由AB=AC=1,PA=2,得A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,1,0),P(0,0,2),DQUOTE,0,0,EQUOTE,QUOTE,0,F0,QUOTE,1.所以QUOTE=(0,0,2),QUOTE=0,QUOTE,0,QUOTE=QUOTE,QUOTE,1.設(shè)平面DEF的法向量為n=(x,y,z),則由QUOTE得QUOTE取z=1,則n=(2,0,1),設(shè)直線PA與平面DEF所成的角為θ,則sinθ=|cos<n,QUOTE>|=QUOTE=QUOTE,所以直線PA與平面DEF所成角的正弦值為QUOTE.答案:QUOTE7.在三棱柱ABCA1B1C1中,側(cè)棱A1A⊥底面ABC,AC=1,AA1=2,∠BAC=90°,若AB1與直線A1C的夾角的余弦值是QUOTE,則棱AB的長度是________.

【解析】如圖建立坐標(biāo)系.設(shè)AB=a,則A(0,0,0),B1(a,0,2),A1(0,0,2),C(0,1,0),所以QUOTE=(a,0,2),QUOTE=(0,1,2),所以|cos<QUOTE,QUOTE>|=QUOTE=QUOTE=QUOTE,解得a=1,所以棱AB的長度是1.答案:18.在三棱柱ABCA1B1C1中,底面邊長和側(cè)棱長都相等,∠BAA1=∠CAA1=60°,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為________. 導(dǎo)學(xué)號【解析】連接A1B交AB1于點O,取A1C1的中點D,連接B1因為O,D分別為A1B,A1C1所以O(shè)D∥BC1,所以∠DOB1或其補角即為異面直線AB1與BC1所成的角.設(shè)各棱長為a,則DB1=QUOTEa.因為∠A1AB=60°,所以O(shè)B1=AO=QUOTEa.又因為QUOTE=QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTEQUOTE,所以QUOTE=(QUOTE+QUOTEQUOTE)2=QUOTE+2QUOTE·QUOTE+QUOTE2QUOTE·QUOTE2QUOTE·QUOTE+QUOTE=a2+2a2cos60°+a2-2a2cos60°-2a2cos60°+a2=2a2,所以|QUOTE|=QUOTEa,所以O(shè)D=QUOTEBC1=QUOTEa.在△DOB1中,由余弦定理得cos∠DOB1=QUOTE=QUOTE,所以AB1與BC1所成角的余弦值為QUOTE.答案:QUOTE三、解答題(每小題10分,共20分)9.如圖所示,在正方體ABCDA′B′C′D′中,已知點H在正方形A′B′C′D′的對角線B′D′上,∠HDA=60°.求DH與CC′所成的角的大小. 導(dǎo)學(xué)號【解析】如圖所示,以D為原點,DA為單位長度,建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz,則QUOTE=(1,0,0),QUOTE=(0,0,1).設(shè)QUOTE=(m,m,1)(m>0),由已知,<QUOTE,QUOTE>=60°,由QUOTE·QUOTE=|QUOTE|·|QUOTE|·cos<QUOTE,QUOTE>,可得2m=QUOTE,解得m=QUOTE,所以QUOTE=QUOTE,QUOTE,1,因為cos<QUOTE,QUOTE>=QUOTE=QUOTE,又因為0°<<QUOTE,QUOTE><180°,所以<QUOTE,QUOTE>=45°,即DH與CC′所成的角為45°.10.(2020·黃岡模擬)如圖所示,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2, (1)若M為CD的中點,求證:AM丄平面AA1B1B.(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值.【解析】(1)因為四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,連接AC,則△ACD為等邊三角形,又因為M為CD的中點,所以AM⊥CD,由CD∥AB,所以AM⊥AB,因為AA1⊥底面ABCD,AM?底面ABCD,所以AM⊥AA1,又因為AB∩AA1=A,所以AM⊥平面AA1B1B.(2)因為四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2,所以∠AMD=∠BAM=90°,所以DM=1,AM=QUOTE,又因為AA1⊥底面ABCD,分別以AB,AM,AA1為x軸、y軸、z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系