數(shù)學(xué)人教A版必修2課時作業(yè)2-3-2平面與平面垂直的判定

課時作業(yè)16平面與平面垂直的判定——基礎(chǔ)鞏固類——1．已知a?α，b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，則(D)A．α⊥β B．α∥βC．α與β相交 D．以上都有可能解析：因為b?β，c?β，a⊥b，a⊥c，若b，c相交，則a⊥β，從而α⊥β.又α∥β或α與β相交時，可以存在a⊥b，a⊥c，所以選D.2．已知二面角α-l-β的大小為60°，m，n為異面直線，且m⊥α，n⊥β，則m，n所成的角為(B)A．30°B．60°C．90°D．120°解析：m，n所成的角等于二面角α-l-β的平面角．3．空間四邊形ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么有(D)A．平面ABC⊥平面ADCB．平面ABC⊥平面ADBC．平面ABC⊥平面DBCD．平面ADC⊥平面DBC解析：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD⊥BC,AD⊥BD,BC∩BD＝B))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(AD⊥平面DBC,AD?平面ADC))?平面ADC⊥平面DBC.4.如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為(A)A．90°B．60°C．45°D．30°解析：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，∴∠BAC即為二面角B-PA-C的平面角．又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的平面角為90°.5．一個二面角的兩個半平面分別垂直于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的關(guān)系是(D)A．相等 B．互補(bǔ)C．相等或互補(bǔ) D．不確定解析：舉例如下：開門的過程中，門所在平面及門軸所在墻面分別垂直于地面與另一墻面，但門所在平面與門軸所在墻面所成二面角的大小不定，而另一二面角卻是90°，所以這兩個二面角不一定相等或互補(bǔ)．6.如圖所示，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是(C)A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，所以BE⊥AC.同理有DE⊥AC，BE∩DE＝E，所以AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又因為AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.7．如圖，在正四面體P-ABC(棱長均相等)中，E是BC的中點(diǎn)．則平面PAE與平面ABC的位置關(guān)系是垂直．解析：因為PB＝PC，E是BC的中點(diǎn)，所以PE⊥BC，同理AE⊥BC，又AE∩PE＝E，所以BC⊥平面PAE.又BC?平面ABC，所以平面PAE⊥平面ABC.8．如圖所示，檢查工件的相鄰兩個面是否垂直時，只要用曲尺的一邊緊靠在工件的一個面上，另一邊在工件的另一個面上轉(zhuǎn)動，觀察尺邊是否和這個面密合就可以了，其原理是面面垂直的判定定理．解析：如圖，因為OA⊥OB，OA⊥OC，OB?β，OC?β，且OB∩OC＝O，根據(jù)線面垂直的判定定理，可得OA⊥β.又OA?α，根據(jù)面面垂直的判定定理，可得α⊥β.9．如圖所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面積是△ACD的面積的2倍．沿AD將△ABC翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此時二面角B-AD-C的大小為60°.解析：由已知得，BD＝2CD.翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B-AD-C的平面角，其大小為60°.10．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形，PB⊥平面ABCD.(1)求證：平面PAD⊥平面PAB；(2)若平面PDA與平面ABCD成60°的二面角，求該四棱錐的體積．解：(1)證明：∵PB⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PB⊥AD.∵AD⊥AB，且AB∩PB＝B，∴AD⊥平面PAB.又∵AD?平面PAD，∴平面PAD⊥平面PAB.(2)由(1)的證明知，∠PAB為平面PDA與平面ABCD所成的二面角的平面角，即∠PAB＝60°，∴PB＝eq\r(3)a.∴VP-ABCD＝eq\f(1,3)·a2·eq\r(3)a＝eq\f(\r(3)a3,3).11．如圖所示，在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，沿BE將△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求證：平面A′BE⊥平面BCDE.證明：如圖所示，取CD的中點(diǎn)M，BE的中點(diǎn)N，連接A′M，A′N，MN，則MN∥BC.∵AB＝eq\f(1,2)AD，E是AD的中點(diǎn)，∴AB＝AE，即A′B＝A′E.∴A′N⊥BE.∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD.在四邊形BCDE中，CD⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴CD⊥平面A′MN.∴CD⊥A′N.∵DE∥BC且DE＝eq\f(1,2)BC，∴BE必與CD相交．又A′N⊥BE，A′N⊥CD，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N?平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.——能力提升類——12．若P是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是(D)A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAEC．平面PAE⊥平面ABC D．平面PDF⊥平面ABC解析：∵P是等邊三角形ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA＝PB＝PC，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，∴DF∥BC，又∵DF?平面PDF，BC?平面PDF，∴BC∥平面PDF，故A正確．∵PA＝PB＝PC，△ABC為等邊三角形，E是BC中點(diǎn)，∴PE⊥BC，AE⊥BC.∵PE∩AE＝E，∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC，∴DF⊥平面PAE，故B正確．∵BC⊥平面PAE，BC?平面ABC，∴平面PAE⊥平面ABC，故C正確．設(shè)AE∩DF＝O，連接PO.∵O不是等邊三角形ABC的重心，∴PO與平面ABC不垂直，∴平面PDF與平面ABC不垂直，故D錯誤．13．在二面角α-l-β中，A∈α，AB⊥平面β于點(diǎn)B，BC⊥平面α于點(diǎn)C，若AB＝6，BC＝3，則二面角α-l-β的平面角的大小為(D)A．30° B．60°C．30°或150° D．60°或120°解析：∵AB⊥β，∴AB⊥l.∵BC⊥α，∴BC⊥l，∴l(xiāng)⊥平面ABC，設(shè)平面ABC∩l＝D，則∠ADB即為二面角α-l-β的平面角或其補(bǔ)角．∵AB＝6，BC＝3，∴∠BAC＝30°，∴∠ADB＝60°，∴二面角大小為60°或120°.14.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各邊都相等，M是PC上一動點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)M滿足DM⊥PC(或BM⊥PC等)時，平面MBD⊥平面PCD.(只要填寫一個你認(rèn)為正確的條件即可)解析：連接AC，則BD⊥AC.由PA⊥底面ABCD，可知BD⊥PA，所以BD⊥平面PAC，所以BD⊥PC，所以當(dāng)DM⊥PC(或BM⊥PC)時，即有PC⊥平面MBD.而PC?平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.15．在圖(1)等邊三角形ABC中，AB＝2，E是線段AB上的點(diǎn)(除點(diǎn)A外)，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，將△AEF沿EF折起到△PEF(點(diǎn)A與點(diǎn)P重合，如圖(2))，使得∠PFC＝60°.(1)求證：EF⊥PC；(2)試問，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動時，二面角P-EB-C的大小是否為定值？若是，求出這個二面角的平面角的正切值，若不是，請說明理由．解：(1)證明：因為EF⊥PF，EF⊥FC，又由PF∩FC＝F，所以EF⊥平面PFC.又因為PC?平面PFC，所以EF⊥PC.(2)是定值．由(1)知，EF⊥平面PFC，所以平面BCFE⊥平面PFC，如圖，作PH⊥FC，則PH⊥平面BCFE