新教材同步系列2024春高中數(shù)學(xué)第八章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直課后提能訓(xùn)練新人教A版必修第二冊

第八章8.68.6.2A級(jí)——基礎(chǔ)過關(guān)練1．已知直線m，b，c和平面α，下列條件中，能使m⊥α的是()A．m⊥b，m⊥c，b⊥α，c⊥α B．m⊥b，b∥αC．m∩b＝A，b⊥α D．m∥b，b⊥α【答案】D【解析】由線線平行及線面垂直的判定知選項(xiàng)D正確．2．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是()A．相交 B．異面C．平行 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC．同理可證m⊥平面ABC，所以l∥m．故選C．3．已知直線m，n是異面直線，則過直線n且與直線m垂直的平面()A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè)C．有一個(gè)或無數(shù)個(gè) D．不存在【答案】B【解析】若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在．4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為()A．eq\f(\r(2),3) B．eq\f(\r(3),3)C．eq\f(2,3) D．eq\f(\r(6),3)【答案】B【解析】如圖所示，連接BD，AC，交于點(diǎn)O，連接D1O．由于BB1∥DD1，∴DD1與平面ACD1所成的角就是BB1與平面ACD1所成的角．設(shè)D到平面ACD1的距離為d，DD1與平面ACD1所成的角為θ，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1．由VD－ACD1＝VD1－ACD得eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(2))2·d＝eq\f(1,3)×1×1×eq\f(1,2)×1，解得d＝eq\f(\r(3),3)．所以sinθ＝eq\f(d,DD1)＝eq\f(\r(3),3)．5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列判斷正確的是()A．A1C⊥平面AB1D1 B．A1C⊥平面AB1C1DC．A1B⊥平面AB1D1 D．A1B⊥AD1【答案】A【解析】如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，又CC1⊥B1D1，且A1C1∩CC1＝C1，∴B1D1⊥平面A1C1CA，則A1C⊥B1D1，同理A1C⊥AB1，則A1C⊥平面AB1D1，故A正確，B不正確；連接D1C，AC，則∠AD1C為A1B與AD1所成角，為60°，故C，D不正確．故選A．6．(多選)如圖，PA⊥矩形ABCD所在的平面，則下列結(jié)論中正確的有()A．PB⊥BC B．PD⊥CDC．PD⊥BD D．PA⊥BD【答案】ABD【解析】PA⊥平面ABCD?PA⊥BD，D正確；eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABCD?PA⊥BC,平面ABCD為矩形?AB⊥BC))?BC⊥平面PAB?BC⊥PB，故A正確；同理B正確；C不正確．7．在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是()A．① B．①②C．②③ D．④【答案】A【解析】如圖．在①中，∵BE⊥CD，AE⊥CD，BE∩AE＝E，∴CD⊥平面ABE，∵AB?平面ABE，∴AB⊥CD，故①正確；在②中，∵CD∥AE，△ABE是等邊三角形，∴AB與CD異面，且所成角為60°，故②錯(cuò)誤；在③中，CD∥BE，∠ABE＝45°，∴AB與CD異面，且所成角為45°，故③錯(cuò)誤；在④中，CD∥BE，tan∠ABE＝eq\f(AE,BE)＝eq\r(2)，∴AB與CD異面，且不垂直，故④錯(cuò)誤．故選A．8．若a，b表示直線，α表示平面，給出下列命題：①a⊥α，b∥α?a⊥b；②a⊥α，a⊥b?b∥α；③a∥α，a⊥b?b⊥α；④a⊥α，b⊥α?a∥b．其中正確的命題為__________．(填序號(hào))【答案】①④【解析】由線面垂直的性質(zhì)知①、④正確．②中b可能滿足b?α，故②錯(cuò)誤；③中b可能與α相交(不垂直)，也可能平行，故③錯(cuò)誤．9．如圖，PA⊥平面ABC，在△ABC中，BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為__________．【答案】4【解析】eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥平面ABC,BC⊥AC))?eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(PA⊥BC,AC⊥BC,PA∩AC＝A))?BC⊥平面PAC?BC⊥PC，∴直角三角形有△PAB，△PAC，△ABC，△PBC．10．(2023年云南期末)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2．(1)求正方體的體積；(2)求證：A1D∥平面B1BCC1；(3)求證：BC1⊥平面A1B1CD．【答案】(1)解：正方體的體積為V＝2×2×2＝8．(2)證明：∵A1B1∥DC，A1B1＝DC，∴四邊形A1B1CD為平行四邊形．∴A1D∥B1C．∵B1C?平面B1BCC1，A1D?平面B1BCC1，∴A1D∥平面B1BCC1．(3)證明：∵A1B1⊥平面B1BCC1，BC1?平面B1BCC1，∴BC1⊥A1B1．又∵BC1⊥B1C，A1B1∩B1C＝B1，A1B1，B1C?平面A1B1CD，∴BC1⊥平面A1B1CD．B級(jí)——能力提升練11．已知三棱錐P－ABC中，若PA，PB，PC兩兩互相垂直，作PO⊥平面ABC，垂足為O，則點(diǎn)O是△ABC的()A．外心 B．內(nèi)心C．重心 D．垂心【答案】D【解析】如圖，連接AO并延長，交BC于點(diǎn)D，連接BO并延長，交AC于點(diǎn)E．因?yàn)镻A⊥PB，PA⊥PC，故PA⊥平面PBC，故PA⊥BC．因?yàn)镻O⊥平面ABC，故PO⊥BC，故BC⊥平面PAO，故AO⊥BC，即AD⊥BC．同理可證BE⊥AC．故O是△ABC的垂心．故選D．12．(多選)(2023年四川期中)如圖，PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面，C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，則下列關(guān)系中正確的有()A．PA⊥BC B．BC⊥平面PACC．AC⊥PB D．PC⊥BC【答案】ABD【解析】在A中，∵PA垂直于以AB為直徑的圓所在平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，故A正確；在B中，∵C為圓上異于A，B的任意一點(diǎn)，∴BC⊥AC，∵PA⊥BC，PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，故B正確；在C中，∵AC⊥BC，∴若AC⊥PB，則AC⊥平面PBC，則AC⊥PC，與AC⊥PA矛盾，故AC與BC不垂直，故C錯(cuò)誤；在D中，∵BC⊥平面PAC，PC?平面PAC，∴PC⊥BC，故D正確．故選ABD．13．如圖，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，且EF⊥BC，則eq\f(PE,EC)＝__________．【答案】1【解析】在三棱錐P－ABC中，因?yàn)镻A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC．因?yàn)镋F?平面PAC，所以EF⊥AB．因?yàn)镋F⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以PA∥EF．因?yàn)镕是AC的中點(diǎn)，E是PC上的點(diǎn)，所以E是PC的中點(diǎn)，所以eq\f(PE,EC)＝1．14．如圖，空間四邊形ABCD的對棱AD，BC成60°的角，且AD＝BC＝a，平行于AD與BC的截面分別交AB，AC，CD，BD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H．當(dāng)eq\f(AE,AB)＝__________時(shí)，截面EFGH的面積最大，最大面積為__________．【答案】eq\f(1,2)eq\f(\r(3),8)a2【解析】∵AD與BC成60°角，∴∠HGF＝60°或120°．設(shè)eq\f(AE,AB)＝x，則eq\f(EF,BC)＝eq\f(AE,AB)＝x．又∵BC＝a，∴EF＝ax．由eq\f(EH,AD)＝eq\f(BE,AB)＝1－x，得EH＝a(1－x)．∴S四邊形EFGH＝EF×EH×sin60°＝ax×a(1－x)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2)a2(－x2＋x)．當(dāng)x＝eq\f(1,2)時(shí)，S最大值＝eq\f(\r(3),8)a2，即當(dāng)eq\f(AE,AB)＝eq\f(1,2)時(shí)，截面的面積最大，最大面積為eq\f(\r(3),8)a2．15．(2023年株洲一模)如圖1，已知菱形ABCD中，∠DAB＝60°，沿對角線BD將其翻折，使∠ABC＝90°，設(shè)此時(shí)AC的中點(diǎn)為O，如圖2．(1)求證：點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面ABC上的射影；(2)求直線AD與平面BCD所成角的余弦值．(1)證明：因?yàn)镈A＝DC，O為AC的中點(diǎn)，所以DO⊥AC．設(shè)菱形ABCD的邊長為2，因?yàn)椤螦BC＝90°，所以AC＝2eq\r(2)．如圖，連接BO，則BO＝eq\r(2)．因?yàn)锳D＝DC＝2，AC＝2eq\r(2)，所以AD2＋DC2＝AC2．所以AD⊥DC．所以DO＝eq\r(2)．因?yàn)锽D＝2，所以DO2＋BO2＝DB2．所以DO⊥BO．又因?yàn)锳C∩BO＝O，所以DO⊥平面ABC．所以點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面ABC上的射影．(2)解：設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，設(shè)菱形ABCD的邊長為2，則△BCD的面積為eq\r(3)，所以VA－BCD＝eq\f(1,3)×eq\r(3)×h＝eq\f(\r(3),3)h，△ABC的面積為eq\f(1,2)×2