第2章2.4.2同步練習(xí)

PAGEPAGE1高中數(shù)學(xué)人教A版選2-1同步練習(xí)eq\a\vs4\al(1.)頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是()A．x2＝16y B．x2＝8yC．x2＝±8y D．x2＝±16y解析：選D.頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2py(p>0)．由頂點到準(zhǔn)線的距離為4知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y，x2＝－16y.eq\a\vs4\al(2.)過拋物線y2＝8x的焦點作傾斜角為45°的直線，則被拋物線截得的弦長為()A．8 B．16C．32 D．64解析：選B.由拋物線y2＝8x的焦點為(2，0)，得直線的方程為y＝x－2，代入y2＝8x，得(x－2)2＝8x，即x2－12x＋4＝0，∴x1＋x2＝12，弦長＝x1＋x2＋p＝12＋4＝16.eq\a\vs4\al(3.)拋物線y2＝4x的弦AB垂直于x軸，若|AB|＝4eq\r(3)，則焦點到弦AB的距離為__________．解析：不妨設(shè)A(x，2eq\r(3))，則(2eq\r(3))2＝4x，∴x＝3，∴AB的方程為x＝3，拋物線的焦點為(1，0)，∴焦點到弦AB的距離為2.答案：2eq\a\vs4\al(4.)過點(2，4)作直線與拋物線y2＝8x只有一個公共點，則這樣的直線有__________條．解析：可知點(2，4)在拋物線y2＝8x上，∴過點(2，4)與拋物線y2＝8x只有一個公共點的直線有兩條，一條是拋物線的切線，另一條與拋物線的對稱軸平行．答案：2[A級基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]eq\a\vs4\al(1.)(2012·奉節(jié)調(diào)研)與直線2x－y＋4＝0平行的拋物線y＝x2的切線方程為()A．2x－y＋3＝0 B．2x－y－3＝0C．2x－y＋1＝0 D．2x－y－1＝0解析：選D.設(shè)切線方程為2x－y＋m＝0，與y＝x2聯(lián)立得x2－2x－m＝0，Δ＝4＋4m＝0，m＝－1即切線方程為2x－y－1＝0.eq\a\vs4\al(2.)設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是()A．(6，＋∞) B．[6，＋∞)C．(3，＋∞) D．[3，＋∞)解析：選D.∵拋物線的焦點到頂點的距離為3，∴eq\f(p,2)＝3，即p＝6.又拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的最小值為eq\f(p,2)，∴拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍為[3，＋∞)．eq\a\vs4\al(3.)拋物線y2＝12x截直線y＝2x＋1所得弦長等于()A.eq\r(15) B．2eq\r(15)C.eq\f(\r(15),2) D．15解析：選A.令直線與拋物線交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)．由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1,y2＝12x))得4x2－8x＋1＝0，∴x1＋x2＝2，x1x2＝eq\f(1,4)，∴|AB|＝eq\r(（1＋22）（x1－x2）2)＝eq\r(5[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(15).eq\a\vs4\al(4.)拋物線y2＝4x上的點P到焦點F的距離是5，則P點的坐標(biāo)是________．解析：設(shè)P(x0，y0)，則|PF|＝x0＋1＝5，∴x0＝4，∴yeq\o\al(2,0)＝16，∴y0＝±4.答案：(4，±4)eq\a\vs4\al(5.)已知拋物線C的頂點為坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，直線y＝x與拋物線C交于A，B兩點，若P(2，2)為AB的中點，則拋物線C的方程為__________．解析：設(shè)拋物線C的方程為y2＝ax(a≠0)，由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝ax,y＝x))得交點坐標(biāo)為A(0，0)，B(a，a)，而點P(2，2)是AB的中點，從而有a＝4，故所求拋物線C的方程為y2＝4x.答案：y2＝4xeq\a\vs4\al(6.)若拋物線y2＝2px(p>0)上一點P到準(zhǔn)線及對稱軸的距離分別為10和6，求P點橫坐標(biāo)及拋物線方程．解：設(shè)P(x，y)，則∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝9,p＝2))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝1,p＝18))∴P點橫坐標(biāo)為9或1，∴拋物線方程為y2＝4x或y2＝36x.[B級能力提升]eq\a\vs4\al(7.)以拋物線y2＝2px(p>0)的焦半徑|PF|為直徑的圓與y軸的位置關(guān)系為()A．相交 B．相離C．相切 D．不確定解析：選C.|PF|＝xP＋eq\f(p,2)，∴eq\f(|PF|,2)＝eq\f(xP,2)＋eq\f(p,4)，即為PF的中點到y(tǒng)軸的距離．故該圓與y軸相切．eq\a\vs4\al(8.)等腰Rt△AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)．O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是()A．8p2 B．4p2C．2p2 D．p2解析：選B.∵拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB是等腰直角三角形，∴由反射線的對稱性知，直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°.由方程組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝x，,y2＝2px，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝0,y＝0))或eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2p，,y＝2p.))∴A、B兩點的坐標(biāo)分別為(2p，2p)和(2p，－2p)，∴|AB|＝4p，S△AOB＝eq\f(1,2)×4p×2p＝4p2.eq\a\vs4\al(9.)已知直線x－y－1＝0與拋物線y＝ax2相切，則a＝________．解析：由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y－1＝0,y＝ax2))，得ax2－x＋1＝0，由Δ＝1－4a＝0，得a＝eq\f(1,4).答案：eq\f(1,4)eq\a\vs4\al(10.)已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交于A、B兩點，|AB|＝2eq\r(3)，求拋物線方程．解：由已知，拋物線的焦點可能在x軸正半軸上，也可能在負(fù)半軸上．故可設(shè)拋物線方程為：y2＝ax(a≠0)．設(shè)拋物線與圓x2＋y2＝4的交點A(x1，y1)，B(x2，y2)．∵拋物線y2＝ax(a≠0)與圓x2＋y2＝4都關(guān)于x軸對稱，所以點A與B關(guān)于x軸對稱，∴|y1|＝|y2|且|y1|＋|y2|＝2eq\r(3)，∴|y1|＝|y2|＝eq\r(3)，代入圓x2＋y2＝4得x2＋3＝4，∴x＝±1，∴A(±1，eq\r(3))或A(±1，－eq\r(3))，代入拋物線方程，得：(eq\r(3))2＝±a，∴a＝±3.∴所求拋物線方程是：y2＝3x或y2＝－3x.eq\a\vs4\al(11.)(創(chuàng)新題)某隧道橫斷面由拋物線拱頂與矩形三邊組成，尺寸如圖．某卡車在空車時能過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，此車能否通過此隧道，說明理由．解：如圖建立直角坐標(biāo)