八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)講義（人教版）：勾股定理單元檢測(cè)（教師版）

第09課勾股定理單元檢測(cè)一、單選題1．底邊上的高為3，且底邊長(zhǎng)為8的等腰三角形腰長(zhǎng)為()．A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【解析】【詳解】本題主要考查了等腰三角形三線合一這一性質(zhì).畫(huà)出圖形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)，求出腰長(zhǎng)為5．解：∵AD⊥BC，∴BD=CD，∵BC=8，∴BD=4，又AD=3，在Rt△ABD中，AB===5．故選C．2．三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，且滿足等式：(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是()A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形【答案】B【解析】【詳解】解：根據(jù)已知條件可得：+2ab=+2ab，則，則這個(gè)三角形就是直角三角形.故選：B3．如圖，直角三角形ABC的周長(zhǎng)為24，且AB：BC=5：3，則AC=（）.A．6 B．8 C．10 D．12【答案】B【解析】【詳解】本題主要考查了勾股定理.解：設(shè)AB=5x，BC=3x,由題意得AC=4x∵直角三角形ABC的周長(zhǎng)為24∴5x+3x+4x=24∴解得：x=2∴AC=8故選B4．在△ABC中，AB=15，AC=13，BC上的高AD長(zhǎng)為12，則△ABC的面積為（）A．84 B．24 C．24或84 D．42或84【答案】C【解析】【分析】由于高的位置不確定，所以應(yīng)分情況討論.【詳解】（1）△ABC為銳角三角形，高AD在三角形ABC的內(nèi)部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面積為=84，（2）△ABC為鈍角三角形，高AD在三角形ABC的外部，∴BD==9，CD==5，∴△ABC的面積為=24，故選C.【點(diǎn)睛】此題主要考察勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)三角形的形狀進(jìn)行分類(lèi)討論.5．已知如圖，以Rt△ABC的三邊為斜邊分別向外作等腰直角三角形，若斜邊AB＝10，則圖中陰影部分的面積為（）A．50 B． C．100 D．【答案】A【解析】【分析】首先根據(jù)勾股定理及等腰直角三角形的性質(zhì)，得到，，然后結(jié)合圖形計(jì)算即可得到答案．【詳解】解：∵是等腰直角三角形，∴，由勾股定理得，，∴，同理，，∵是直角三角形，斜邊，∴，∴圖中陰影部分的面積=．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)，運(yùn)用勾股定理證明三個(gè)等腰直角三角形面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．6．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，AB＝17，BD＝15，DC＝6，則AC的長(zhǎng)為()．A．11 B．10 C．9 D．8【答案】B【解析】【分析】在直角△ABD中由勾股定理可以求得AD的長(zhǎng)度；然后在直角△ACD中，根據(jù)勾股定理來(lái)求線段AC的長(zhǎng)度即可．【詳解】如圖，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°.又∵AB=17，BD=15，DC=6，∴在直角△ABD中,由勾股定理得到：AD2=AB2?BD2=64.在直角△ACD中,由勾股定理得到：AC==10，即AC=10.故選B.【點(diǎn)睛】此題考查勾股定理，解題關(guān)鍵在于掌握運(yùn)算公式.7．一個(gè)直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5，12,則其斜邊上的高為（）A． B．13 C．6 D．25【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5，12，∴斜邊為=13，∵S△ABC=×5×12=×13h（h為斜邊上的高），∴h=．故選A．8．一只螞蟻沿直角三角形的邊長(zhǎng)爬行一周需2秒，如果將直角三角形的邊長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，那么這只螞蟻再沿邊長(zhǎng)爬行一周需（）.A．6秒 B．5秒 C．4秒 D．3秒【答案】C【解析】【分析】本題根據(jù)放大后的三角形與三角形相似，故可根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解，兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊之比的比值叫做相似比．【詳解】直角三角形各邊的長(zhǎng)度擴(kuò)大一倍，周長(zhǎng)擴(kuò)大1倍，故爬行時(shí)間擴(kuò)大一倍．故只螞蟻再沿邊長(zhǎng)爬行一周需4秒．故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)是：相似三角形的應(yīng)用.由題意得出兩個(gè)三角形是相似三角形和靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)是解決此題的關(guān)鍵，這也是解決此題的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn).9．在△ABC中，AB=17，AC=10，BC上的高AD長(zhǎng)為8，則邊BC的長(zhǎng)為（）A．21 B．15 C．9 D．21或9【答案】D【解析】【詳解】①∠C為銳角時(shí)：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=6+15=21.②∠ACB為鈍角時(shí)：∵Rt△ADC中，，AC＝10，AD＝8，∴CD2=AC2－AD2=36，∴CD=6；∵Rt△ADB中，，AB＝17，AD＝8，∴BD2=AB2－AD2=225，∴BD=15；∴BC=15－6=9.綜上：BC=9或21.故選D.點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵要考慮兩種情況，分別對(duì)兩種情況結(jié)合勾股定理求解即可.10．如圖，中，，，，，平分，如果點(diǎn)，分別為，上的動(dòng)點(diǎn)，那么的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．4.8【答案】D【解析】【分析】如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，此時(shí)最小，再利用等面積法求解最小值即可.【詳解】解：如圖所示：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，平分，，．在中，，，，，，，，．即的最小值是4.8，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是垂線段最短，角平分線的性質(zhì)定理的應(yīng)用，等面積法的應(yīng)用，確定取最小值時(shí)點(diǎn)的位置是解本題的關(guān)鍵.二、填空題11．等腰三角形一腰長(zhǎng)為5，一邊上的高為3，則底邊長(zhǎng)為_(kāi)______．【答案】8或或．【解析】【詳解】由已知的是一邊上的高，分底邊上的高和腰上的高兩種情況，當(dāng)高為腰上高時(shí)，再分銳角三角形與鈍角三角形兩種情況：（1）如圖，當(dāng)AD為底邊上的高時(shí)，∵AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，在Rt△ABD中，AD=3，AB=5，根據(jù)勾股定理得：．∴BC=2BD=8．（2）如圖，當(dāng)CD為腰上的高時(shí)，若等腰三角形為銳角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：．∴BD=AB－AD=5－4=1．在Rt△BDC中，CD=3，BD=1，根據(jù)勾股定理得：．若等腰三角形為鈍角三角形，在Rt△ACD中，AC=5，CD=3，根據(jù)勾股定理得：．∴BD=AB＋AD=5＋4=9．在Rt△BDC中，CD=3，BD=9，根據(jù)勾股定理得：．綜上所述，等腰三角形的底邊長(zhǎng)為8或或．12．觀察圖形后填空．圖(1)中正方形A的面積為_(kāi)_________；圖(2)中斜邊x＝________.【答案】3613【解析】【分析】圖（1）根據(jù)勾股定理求出正方形的面積，圖（2）直接根據(jù)勾股定理可求出x的值.【詳解】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a,∴a2=102-82=36,∴正方形A的面積36;∵直角三角形的兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5,12,∴.故答案為:36,13.【點(diǎn)睛】本題考查的是勾股定理,熟知在任何一個(gè)直角三角形中,兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵.13．四根小木棒的長(zhǎng)分別為5cm，8cm，12cm，13cm，任選三根組成三角形，其中有______個(gè)直角三角形.【答案】1【解析】【詳解】∵四根小木棒的長(zhǎng)分別為5cm，8cm，12cm，13cm，∴可以組成三角形的有：5cm、8cm、12cm；5cm、12cm、13cm；8cm、12cm、13cm．要組成直角三角形，根據(jù)勾股定理兩邊的平方和等于第三邊的平方，則只有5cm、12cm、13cm的一組．∴有1個(gè)直角三角形．【點(diǎn)睛】本題考查了1．勾股定理；2．三角形三邊關(guān)系；3．勾股定理的逆定理．14．東東想把一根70cm長(zhǎng)的木棒放到一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為30cm,40cm,50cm的木箱中，他能放進(jìn)去嗎？答：______.(填“能”或“不能”)【答案】能【解析】【分析】要判斷東東能不能將木棒放進(jìn)木箱中，只需將木棒的長(zhǎng)與木箱的最長(zhǎng)的長(zhǎng)度比較即可；易知，木箱的體對(duì)角線最長(zhǎng)，先由木箱的長(zhǎng)和寬結(jié)合勾股定理求出底面對(duì)角線的長(zhǎng)，再結(jié)合長(zhǎng)方體的高利用勾股定理求出木箱的體對(duì)角線的長(zhǎng)；接下來(lái)比較求出的木箱的對(duì)角線的長(zhǎng)與70的大小關(guān)系即可得到答案.【詳解】作如下長(zhǎng)方體，其中AB=50cm，BC=40cm，CC′=30cm，連接AC、AC′，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=4100，在Rt△ACC′中，AC′=＞70，故他能放進(jìn)去.故答案為能.【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解決此題的關(guān)鍵是理解木箱所能容納的最大長(zhǎng)度的位置，這里充分利用了木箱各鄰邊的垂直關(guān)系，創(chuàng)造了連續(xù)應(yīng)用勾股定理的條件.15．如圖，矩形紙片ABCD中，已知AD=8，折疊紙片使AB邊與對(duì)角線AC重合，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，折痕為AE，且EF=3，則AB的長(zhǎng)為_(kāi)___．【答案】6【解析】【分析】先根據(jù)矩形的特點(diǎn)求出BC的長(zhǎng)，再由翻折變換的性質(zhì)得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的長(zhǎng)，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的長(zhǎng)．【詳解】解：∵四邊形ABCD是矩形，AD=8，∴BC=8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，∴CE=8-3=5，在Rt△CEF中，設(shè)AB=x，在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，解得x=6，則AB=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換及勾股定理，熟知折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解答此題的關(guān)鍵．16．在直線l上依次擺放著七個(gè)正方形(如圖所示)．已知斜放置的三個(gè)正方形的面積分別是a，b，c，正放置的四個(gè)正方形的面積依次是S1，S2，S3，S4，則S1＋S2＋S3＋S4＝_____．【答案】a+c【解析】【分析】運(yùn)用勾股定理可知，每?jī)蓚€(gè)相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答,具體:求證△ABC≌△CDE，得DE=BC，△ABC中AB2+CE2=AC2，根據(jù)S3=AB2，S4=DE2可求得S3+S4=c，同理可得S1+S2=a，故S3+S4+S1+S2=a+c．．【詳解】解：∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°，∴∠DCE=∠BAC，∵AC=CE，∠ABC=∠CDE∴△ABC≌△CDE，∴BC=DE，在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，即，AB2+DE2=AC2，∵S3=AB2，S4=DE2∴S3+S4=c同理S1+S2=a故可得S1+S2+S3+S4=a+c，故答案是：a+c．【點(diǎn)睛】本題考查正方形面積的計(jì)算，正方形各邊相等的性質(zhì)，全等三角形的判定．解題關(guān)鍵是本題中根據(jù)△ABC≌△CDE證明S3+S4=c三、解答題17．如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為6cm.(1)求AD的長(zhǎng)度；(2)求△ABC的面積．【答案】（1）cm；（2）cm2【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一求出AD的長(zhǎng)度是3cm，再利用勾股定理即可求出BD的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)三角形的面積公式S=ah，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可．【詳解】(1)∵AD⊥BC，∴BD=CD=×6=3cm，∴AD=cm；(2)S△ABC=×BC?AD=×6×3cm2【點(diǎn)睛】此題考查等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，解題關(guān)鍵在于利用勾股定理進(jìn)行計(jì)算.18．在數(shù)軸上作出表示的點(diǎn)（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）.【答案】見(jiàn)解析【解析】【詳解】以原點(diǎn)為圓心，以為半徑畫(huà)弧，和數(shù)軸的負(fù)半軸交于一點(diǎn)即可．解：因?yàn)?0=9+1，則首先作出以1和3為直角邊的直角三角形，則其斜邊的長(zhǎng)即是．如圖所示，

19．若的三邊，，滿足條件，試判斷的形狀.【答案】三角形為直角三角形,理由見(jiàn)解析【解析】【分析】這是一道有關(guān)勾股定理的逆定理、完全平方公式的解答題．把已知條件寫(xiě)成三個(gè)完全平方式的和的形式，再由非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求得三邊，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷△ABC的形狀.【詳解】，，即．，，，，，．，，．，，該三角形為直角三角形．【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的逆定理、完全平方公式.此題的關(guān)鍵就是靈活掌握完全平方公式的特點(diǎn)，用配方法進(jìn)行恒等變形，在恒等變形的過(guò)程中不要改變式子的值.20．如圖所示的一塊地，已知，，，，，求這塊地的面積．【答案】【解析】【分析】根據(jù)勾股定理求得的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理的逆定理判定為直角三角形，從而不難求得這塊地的面積．【詳解】解：連接．，，為直角三角形，，這塊地的面積．【點(diǎn)睛】本題考查了學(xué)生對(duì)勾股定理及其逆定理的理解及運(yùn)用能力，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的知識(shí)．21．如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的U型池的示意圖，該U型池可以看成是長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是直徑為的半圓，其邊緣，點(diǎn)E在上，，一滑板愛(ài)好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，則他滑行的最短距離為多少米？（邊緣部分的厚度忽略不計(jì)）【答案】25米【解析】【分析】要求滑行的最短距離，需將該U型池的側(cè)面展開(kāi)，進(jìn)而根據(jù)“兩點(diǎn)之間線段最短”得出結(jié)果．【詳解】解：如圖是其側(cè)面展開(kāi)圖：AD=π?=20，AB=CD=20．DE=CD-CE=20-5=15，在Rt△ADE中，AE===25．故他滑行的最短距離約為25米．【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)-最短路徑問(wèn)題，U型池的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)矩形，此矩形的寬等于半徑為的半圓的弧長(zhǎng)，矩形的長(zhǎng)等于AB=CD=20．本題就是把U型池的側(cè)面展開(kāi)成矩形，“化曲面為平面”，用勾股定理解決．22．如圖，牧童在A處放牛，其家在C處，A、C到河岸L的距離分別為AB=2km，CD=4km且，BD=8km．（1）牧童從A處將牛牽到河邊P處飲水后再回到家C，試確定P在何處，所走路程最短？請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出飲水的位置（保留作圖痕跡），不必說(shuō)