《二項式定理》教案

《二項式定理》教案（第一教時）執(zhí)教人：時間：年月日一、教學(xué)目的學(xué)問目的：1、理解楊輝三角形。其行為樣例是：（1）能用不完全歸納法寫出楊輝三角形；（2）能依據(jù)楊輝三角形對的二項式進(jìn)展綻開。2、駕馭二項式定理。其行為樣例是：（1）能依據(jù)組合思想及不完全歸納法猜出二項綻開式的系數(shù)以及二項綻開式的通項；(2)能正確區(qū)分二項式系數(shù)和某一項的系數(shù)；（3）能應(yīng)用定理對隨意給定的一個二項式進(jìn)展綻開、并求出它特定的項或系數(shù)。實力目的：1、培育學(xué)生視察、分析、歸納、發(fā)覺事物內(nèi)在規(guī)律的實力。2、培育學(xué)生嚴(yán)格的邏輯思維實力及創(chuàng)建性思維實力。情感目的：培育學(xué)生自主探究意識，合作精神；體驗二項式定理的發(fā)覺和創(chuàng)建歷程，體會數(shù)學(xué)語言的簡潔和嚴(yán)謹(jǐn)。二、教學(xué)重點與難點1、重點：正確理解和駕馭二項式定理。2、難點：二項式定理的推導(dǎo)，定理大致按“設(shè)想→打破→建構(gòu)→論證”四個層次得到的。（定理的證明本課不做要求）（教具：PPT課件）三、教學(xué)過程1、情景引入問題1：若今日是星期一，再過30天后是星期幾？怎么算？預(yù)期答復(fù)：星期三，將問題轉(zhuǎn)化為求“30被7除后算余數(shù)”是多少。問題2：若今日是星期一，再過天后是星期幾？怎么算？預(yù)期答復(fù)：將問題轉(zhuǎn)化為求“被7除后算余數(shù)”是多少，也就是探討的綻開式是什么？這就是本節(jié)課要學(xué)的內(nèi)容，學(xué)完本課后，此題就不難求解了。（設(shè)計意圖：使學(xué)生明確學(xué)習(xí)目的，用懸念來激發(fā)他們的學(xué)習(xí)動機。奧蘇貝爾認(rèn)為動機是學(xué)習(xí)的先決條件，而認(rèn)知驅(qū)力，即學(xué)生渴望認(rèn)知、理解和駕馭學(xué)問，并能正確陳述問題、順當(dāng)解決問題的傾向是學(xué)生學(xué)習(xí)的重要動力。）2、新授（探究歸納）第一步：讓學(xué)生綻開；；老師將以上各綻開式的系數(shù)整理成如下模型1112113311464115101051問題1：請你找出以上數(shù)據(jù)上下行之間的規(guī)律。預(yù)期答復(fù)：下一行中間的各個數(shù)分別等于上一行對應(yīng)位置的相鄰兩數(shù)之和。問題2：以的綻開式為例，說出各項字母排列的規(guī)律；項數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系；綻開式第二項的系數(shù)與乘方指數(shù)的關(guān)系。預(yù)期答復(fù)：①綻開式每一項的次數(shù)按某一字母降冪排列、另一字母升冪排列，且兩個字母的和等于乘方指數(shù)；②綻開式的項數(shù)比乘方指數(shù)多1項；③綻開式中第二項的系數(shù)等于乘方指數(shù)。初步歸納出下式：（※）（設(shè)計意圖：以上呈現(xiàn)給學(xué)生的由系數(shù)排成的“三角形”，起到了“先行組織者”的作用，雖然，老師將此“三角形”模型以定論的形式呈現(xiàn)給學(xué)生，但是，它終歸不是最終的結(jié)果，而是一種找尋系數(shù)規(guī)律的有效工具，便于學(xué)生將新的學(xué)習(xí)材料同自己原有的認(rèn)知構(gòu)造聯(lián)絡(luò)起來，并納入到原有認(rèn)知構(gòu)造中而出現(xiàn)意義。這樣的學(xué)習(xí)是有意義的而不是機械的，是主動建構(gòu)的而不是被動死記的心理過程。）練習(xí)：綻開老師作階段性評價，告知學(xué)生以上的系數(shù)表是我國宋代數(shù)學(xué)家楊輝的杰作，稱為楊輝三角形，這項獨創(chuàng)比歐洲人帕斯卡三角早400多年。你們今日做了與楊輝同樣的探究，以激勵學(xué)生探究的熱忱，并激發(fā)作為一名文明古國的后代的民族驕傲感和愛國熱忱。第二步：接著設(shè)疑如何綻開以及呢？（設(shè)計意圖：讓學(xué)生感到僅駕馭楊輝三角形是不夠的，激發(fā)學(xué)生接著學(xué)習(xí)新的更簡捷的方法的欲望。）接著新授師：為了找尋規(guī)律，我們將中第一個括號中的字母分別記成；第二個括號中的字母分別記成；依次類推。請再次用多項式乘法運算法則計算：………（設(shè)計意圖：上述呈現(xiàn)內(nèi)容是為了搭建“認(rèn)知橋梁”，用以激活學(xué)生認(rèn)知構(gòu)造中已有的學(xué)問與閱歷，便于學(xué)生進(jìn)展類比學(xué)習(xí)，用已有的學(xué)問與閱歷同化當(dāng)前學(xué)習(xí)的新學(xué)問，并遷移到生疏的情境之中。）問題1：以項為例，有幾種狀況相乘均可得到項？這里的字母各來自哪個括號？問題2：既然以上的字母分別來自4個不同的括號，項的系數(shù)你能用組合數(shù)來表示嗎？問題3：你能將問題2所述的意思改編成一個排列組合的命題嗎？（預(yù)期答案：有4個括號，每個括號中有兩個字母，一個是、一個是。每個括號只能取一個字母，任取兩個、兩個，然后相乘，問不同的取法有幾種？）問題4：請用類比的方法，求出二項綻開式中的其它各項系數(shù)，并將式子：括號中的系數(shù)全部用組合數(shù)的形式進(jìn)展填寫。呈現(xiàn)二項式定理——板書課題：3、深化相識請學(xué)生總結(jié)：①二項式定理綻開式的系數(shù)、指數(shù)、項數(shù)的特點是什么？②二項式定理綻開式的構(gòu)造特征是什么？哪一項最具有代表性？由此，學(xué)生得出二項式定理、二項綻開式、二項式系數(shù)、項的系數(shù)、二項綻開式的通項等概念，這是本課的重點。（設(shè)計意圖：老師用邊講邊問的形式，通過讓學(xué)生自己總結(jié)、發(fā)覺規(guī)律，挖掘?qū)W習(xí)材料潛在的意義，從而使學(xué)習(xí)成為有意義的學(xué)習(xí)。）4、例題應(yīng)用【例1】綻開①②【例2】①求的綻開式的第4項的系數(shù)及第4項的二項式系數(shù)。②求的綻開式中含項的系數(shù)?！咀兪健吭诙検蕉ɡ碇?，令，得到怎樣的公式？思索：為什么？【例3】解決起始問題：，前面是7的倍數(shù)，因此余數(shù)為，故應(yīng)當(dāng)為星期二。說明：解決某些整除性問題是二項式定理又一方面應(yīng)用。四、課堂小結(jié)①本節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了二項式的綻開，有兩種方法，一是楊輝三角形，二是二項式定理，兩種方法各有千秋。②二項式定理的表達(dá)式以及綻開式的通項，③要正確區(qū)分“項的系數(shù)”和“二項式系數(shù)”，④將二項式定理中的字母賦上適當(dāng)?shù)闹?，就可以求一些特別的組合多項式的值。五、布置作業(yè)（略）六、板書設(shè)計二項式定理一、二