專題10 填空壓軸重點(diǎn)題（解析版）備戰(zhàn)2024年福建中考數(shù)學(xué)真題模擬題

第第頁(yè)專題10填空壓軸重點(diǎn)題一、填空題1．（2023·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，若分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，且，則的取值范圍是．【答案】【分析】根據(jù)題意，可得拋物線對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上，根據(jù)已知條件得出點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，且，進(jìn)而得出不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線，開(kāi)口向上，∵分別位于拋物線對(duì)稱軸的兩側(cè)，假設(shè)點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，則，解得，∴∴點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，與假設(shè)矛盾，則點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，∴解得：又∵，∴∴解得：∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·福建·統(tǒng)考中考真題）已知拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，拋物線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，其中n＞0，若AD＝2BC，則n的值為．【答案】8【分析】先求出拋物線與x軸的交點(diǎn)，拋物線與x軸的交點(diǎn)，然后根據(jù)，得出，列出關(guān)于n的方程，解方程即可?！驹斀狻拷猓喊褃=0代入得：，解得：，，把y=0代入得：，解得：，，∵，∴，∴，即，，令，則，解得：，，當(dāng)時(shí)，，解得：，∵，∴不符合題意舍去；當(dāng)時(shí)，，解得：，∵，∴符合題意；綜上分析可知，n的值為8．【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意用n表示出，列出關(guān)于n的方程是解題的關(guān)鍵．3．（2021·福建·統(tǒng)考中考真題）如圖，在矩形中，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E不與A，B重合，且，G是五邊形內(nèi)滿足且的點(diǎn)．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①與一定互補(bǔ)；②點(diǎn)G到邊的距離一定相等；③點(diǎn)G到邊的距離可能相等；④點(diǎn)G到邊的距離的最大值為．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】①利用四邊形內(nèi)角和為即可求證；②過(guò)作，證明即可得結(jié)論；③分別求出G到邊的距離的范圍，再進(jìn)行判斷；④點(diǎn)G到邊的距離的最大值為當(dāng)時(shí)，GE即為所求．【詳解】①四邊形是矩形,四邊形內(nèi)角和為①正確．②如圖：過(guò)作，又即點(diǎn)G到邊的距離一定相等②正確．③如圖：過(guò)作而所以點(diǎn)G到邊的距離不可能相等③不正確．④如圖：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)G到邊的距離的最大④正確．綜上所述：①②④正確．故答案為①②④．【點(diǎn)睛】本題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，四邊形內(nèi)角和為，全等三角形的證明，點(diǎn)到直線的距離，銳角三角函數(shù)，矩形的性質(zhì)，熟悉矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，在四邊形ABCD中，AD=BC且AD∥BC，AB=5，AD=3，AE平分∠DAB交BC的延長(zhǎng)線于F點(diǎn)，則CF=．【答案】2【分析】首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，根據(jù)角平分線的定義可得∠1＝∠2，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠2＝∠3，∠1＝∠F，然后求出∠1＝∠3，∠4＝∠F，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)可得AD＝DE，CE＝CF，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：如圖，∵AD=BC，AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AE平分∠DAB，∴∠1＝∠2，在平行四邊形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，∴∠2＝∠3，∠1＝∠F，又∵∠3＝∠4（對(duì)頂角相等），∴∠1＝∠3，∠4＝∠F，∴AD＝DE，CE＝CF，∵AB＝5，AD＝3，∴CE＝DC?DE＝AB?AD＝5?3＝2，∴CF＝2．故答案為2．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)、角平分線的定義、平行線的性質(zhì)以及等角對(duì)等邊，整體難度不大，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，為平行四邊形外一點(diǎn)，連接，，分別交邊于點(diǎn)，，使，，，若，，則的長(zhǎng)為．【答案】【分析】過(guò)，由平行四邊形的性質(zhì)可證得，，是等邊三角形，進(jìn)而可知，，，，利用狗勾股定理可得，即可求解．【詳解】解：過(guò)，∵四邊形是平行四邊形，∴，∵，∴，∵，，∴是等邊三角形，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形，添加輔助線構(gòu)造直角三角形市解決本題的關(guān)鍵．6．（2023·福建莆田·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)，，，，，為實(shí)數(shù)，當(dāng)及時(shí)（其中），函數(shù)值均為5，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，則．【答案】0【分析】先根據(jù)題意得到二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，進(jìn)而得到點(diǎn)和都在二次函數(shù)圖像上，由于點(diǎn)和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，即可證明點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，則，即可得到．【詳解】解：∵當(dāng)及時(shí)（其中），函數(shù)值均為5，∴二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線，∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值為，∴點(diǎn)和都在二次函數(shù)圖像上，∵點(diǎn)和的中點(diǎn)坐標(biāo)為，∴點(diǎn)和的中點(diǎn)在二次函數(shù)的對(duì)稱軸上，∴點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴，∴，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正確推出點(diǎn)和關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱是解題的關(guān)鍵．7．（2023·福建福州·統(tǒng)考二模）已知直線與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，與雙曲線交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．若，且則b的取值范圍是．【答案】【分析】作軸，軸，與交于D，先利用一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，易得為等腰直角三角形，則，所以，且為等腰直角三角形，則，設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，代入，則縱坐標(biāo)是，則F的坐標(biāo)是，E點(diǎn)坐標(biāo)為，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，解得，這樣可確定F點(diǎn)坐標(biāo)為，然后根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，由，即可求得b的取值范圍．【詳解】解：作軸，軸，與交于D，如圖，∵直線與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，∴A點(diǎn)坐標(biāo)為，B點(diǎn)坐標(biāo)為，，∴為等腰直角三角形，∴，∴，∵為等腰直角三角形，∴，設(shè)F點(diǎn)橫坐標(biāo)為t，代入，則縱坐標(biāo)是，則F的坐標(biāo)是：，E點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，解得：，∴F點(diǎn)坐標(biāo)為，∴，∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，反比例函數(shù)（k為常數(shù)，）的圖象是雙曲線，圖象上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值k，．8．（2023·福建福州·福建省福州第十九中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P在邊AB上，PE⊥PC交AD于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CP上且PF=PE，G為EF的中點(diǎn)，若點(diǎn)P沿著AB方向移動(dòng)（不與A重合），則下列結(jié)論正確的是．（填序號(hào)即可）①∠CEP與∠CPB可能相等；②點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑是圓??；③點(diǎn)G到AD、AB的距離相等；④點(diǎn)G到AB的距離的最大值為2．【答案】①③④【分析】證明Rt△APE∽R(shí)t△BCP，推出，再證明Rt△PCE∽R(shí)t△BCP，即可判斷①；證明A、E、G、P四點(diǎn)共圓，推出點(diǎn)G在線段AC上，即可判斷②；利用點(diǎn)G在線段AC上，即可判斷③和④．【詳解】解：①當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，∠CEP與∠CPB可能相等，理由如下：∵四邊形ABCD是正方形，且邊長(zhǎng)為4，∴∠EAP=∠EPC=∠PBC=90°，AP=PB=2，∴∠APE+∠CPB=90°，∠PCB+∠CPB=90°，∴∠APE=∠PCB，∴Rt△APE∽R(shí)t△BCP，∴，∵，∴，又∠EPC=∠PBC=90°，∴Rt△PCE∽R(shí)t△BCP，∴∠CEP=∠CPB，∴∠CEP與∠CPB可能相等，故①正確；②連接AC，PG，∵PE⊥PC，∴∠EPF=90°，∵PF=PE，∴△EPF是等腰直角三角形，∴∠PEF=45°，∵G為EF的中點(diǎn)，∴GE=GP=GF，∴∠EGP=90°，∵∠DAB=∠EGP=90°，∴A、E、G、P四點(diǎn)共圓，∴∠GEP=∠GAP=45°，∴點(diǎn)G在線段AC上，故②不正確；③∵AC是正方形ABCD的對(duì)角線，即AC是∠DAB的平分線，∴點(diǎn)G到AD、AB的距離相等；故③正確；④當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，點(diǎn)G到AB的距離最大，最大值為2．故④正確；故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了四點(diǎn)共圓的知識(shí)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．9．（2023·福建福州·福建省福州延安中學(xué)校考二模）如圖上，O為內(nèi)心，過(guò)點(diǎn)O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長(zhǎng)為.【答案】2或/或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．10．（2023·福建廈門·廈門一中校考一模）如圖，△OMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B（點(diǎn)B不與點(diǎn)M重合）．若AB⊥OM于點(diǎn)B，則k的值為．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，設(shè)OC=x，利用含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理求得點(diǎn)B(x，x)，點(diǎn)A(15-2x，2x-5)，再利用反比例函數(shù)的性質(zhì)列方程，解方程即可求解．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥x軸于點(diǎn)D，如圖：∵△OMN是邊長(zhǎng)為10的等邊三角形，∴OM=MN=ON=10，∠MON=∠MNO=∠M=60°，∴∠OBC=∠MAB=∠NAD=30°，設(shè)OC=x，則OB=2x，BC=x，MB=10-2x，MA=2MB=20-4x，∴NA=10-MA=4x-10，DN=NA=2x-5，AD=DN=(2x-5)=2x-5，∴OD=ON-DN=15-2x，∴點(diǎn)B(x，x)，點(diǎn)A(15-2x，2x-5)，∵反比例函數(shù)y=(x>0)的圖象與邊MN、OM分別交于點(diǎn)A、B，∴x?x=(15-2x)(2x-5)，解得x=5(舍去)或x=3，∴點(diǎn)B(3，)，∴k=9．故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題是反比例函數(shù)的綜合題，考查了等邊三角形的性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)以及勾股定理，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．11．（2023·福建三明·統(tǒng)考二模）如圖，為的直徑，點(diǎn)M為內(nèi)一個(gè)定點(diǎn)，，，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的弦交于點(diǎn)C，連接．在下列結(jié)論中：①為直角三角形；②與相似；③若平分，則四邊形為矩形；④若，則．其中正確的是（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③④【分析】①延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，證明點(diǎn)與點(diǎn)M重合，即可證明為直角三角形；②要使與相似，則或，由于或都是變化的，可判斷②不正確；③證明與重合，得到與為的直徑，利用圓周角定理即可判斷；④連接，證明是等邊三角形，據(jù)此即可判斷．【詳解】解：①延長(zhǎng)交于點(diǎn)D，連接，取的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)O作交于點(diǎn)，∵為的直徑，，∴，，∵點(diǎn)O是的中點(diǎn)，∴是的中位線，∴，∴，，又，∴點(diǎn)與點(diǎn)M重合，∴為直角三角形，故①正確；②∵，∴，要使與相似，則或，但是，是經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的弦，或都是變化的，不能等于，故與不可能相似，故②錯(cuò)誤；③若平分，則，∵，∴是等邊三角形，∴，又，∴與重合，即弦經(jīng)過(guò)圓心O，∴與為的直徑，∴，∴四邊形為矩形，故③正確；④∵，，∴，，∴，連接，同理得是等邊三角形，∴，∵，∴，故④正確；綜上，①③④正確，故答案為：①③④．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定，矩形的判定，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．12．（2023·福建·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)、分別在邊、上（不與端點(diǎn)重合），且于點(diǎn)．若，則．【答案】【分析】根據(jù)題意得出四點(diǎn)共圓，結(jié)合題意得出是等腰直角三角形，設(shè)，證明得出，勾股定理得出，證明得出，進(jìn)而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，∴四點(diǎn)共圓，∵，∴，∴是等腰直角三角形，設(shè)，∵，，∴∴解得：，∴，則,∴又∵∴∴∴∴,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了角所對(duì)的弦是直徑，相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，證明，是解題的關(guān)鍵．13．（2023·福建福州·福建省福州屏東中學(xué)校考一模）如圖，在正方形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)F不與點(diǎn)O，D重合）連接，過(guò)點(diǎn)F作分別交，于點(diǎn)H，G，連接交于點(diǎn)M，作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)N．有下列結(jié)論：①當(dāng)時(shí)，；②；③時(shí)，；④．其中正確的是（填序號(hào)）．【答案】①②③【分析】①正確．利用面積法證明即可；②正確．如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，，證明，利用勾股定理，即可解決問(wèn)題；③正確．如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于，于，連接．想辦法證明，再利用相似三角形的性質(zhì)，解決問(wèn)題即可；④錯(cuò)誤．假設(shè)成立，推出，顯然不符合條件．【詳解】解：如圖1中，過(guò)點(diǎn)作于．，，，，四邊形是正方形，，，，，，，，，故①正確，過(guò)點(diǎn)F作，如圖所示：∴四邊形是矩形，∵，∴，在正方形中，，∴，即，∵，∴，∵，∴，∴，∴，如圖3中，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接．則，，，，∵，，∵，，，，，，，，，，，，，，∵，，O為的中點(diǎn)，∴，即，∴，∵，∴；，，，，，故②正確，如圖2中，過(guò)點(diǎn)作于，于，連接．，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，，即，，故③正確，假設(shè)成立，，，，顯然這個(gè)條件不成立，故④錯(cuò)誤，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題屬于四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形或相似三角形解決問(wèn)題，屬于中考填空題中的壓軸題．14．（2023·福建福州·校考模擬預(yù)測(cè)）下表記錄了二次函數(shù)中兩個(gè)變量與的組對(duì)應(yīng)值，…………其中．根據(jù)表中信息，當(dāng)時(shí)，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意分別代入點(diǎn)，，可求出二次函數(shù)的解析式，【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，∴拋物線對(duì)稱軸為直線，∴，，將代入得，，解得，∴，∴時(shí)，，當(dāng)時(shí)，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，如圖所示，

將代入二次函數(shù)得，，將代入二次函數(shù)得，，∴當(dāng)時(shí)，直線與該二次函數(shù)圖像有兩個(gè)公共點(diǎn)，滿足題意，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像與直線的綜合，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，直線與圖像交點(diǎn)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．（2023·福建寧德·統(tǒng)考二模）如圖，將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)處；再將矩形展平，沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)G處，連接．小明發(fā)現(xiàn)可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，則°．【答案】【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角等于對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角求直線與的夾角即可．【詳解】延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，∵可以由繞某一點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，∵將矩形沿折疊，使頂點(diǎn)B落在上點(diǎn)處，∴四邊形是正方形，∴，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查矩形的折疊，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的判定，解題的關(guān)鍵是理解旋轉(zhuǎn)角等于對(duì)應(yīng)邊所在直線的夾角．16．（2023·福建廈門·廈門市第十一中學(xué)校考二模）如圖，已知反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的圖象，點(diǎn)，點(diǎn)與點(diǎn)均在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在直線上，四邊形是平行四邊形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為．【答案】（，）【分析】利用反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)性質(zhì)得出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用平行四邊形的性質(zhì)假設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而表示出點(diǎn)坐標(biāo)，即可代入反比例函數(shù)解析式得出答案．【詳解】解：反比例函數(shù)過(guò)點(diǎn)，，反比例函數(shù)解析式為：，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：，，點(diǎn)在直線上，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為：，點(diǎn)，，點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得到點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，點(diǎn)向下平移3個(gè)單位，再向右平移3個(gè)單位，即可得到點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，解得：（負(fù)數(shù)不合題意），故點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)綜合及平行四邊形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)題意表示出點(diǎn)坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．17．（2023·福建福州·?？家荒＃┤鐖D，已知正比例函數(shù)與反比例函數(shù)交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)是第三象限反比例函數(shù)上一點(diǎn)，且點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，線段交軸的正半軸于點(diǎn)，若的面積是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．【答案】【分析】過(guò)作軸的平行線交于點(diǎn)，聯(lián)立正比例函數(shù)與反比例函數(shù)求得，，得到的解析式為，利用的面積即可求得點(diǎn)的坐標(biāo)【詳解】聯(lián)立，解得：，，設(shè)，：，則，解得：，，：過(guò)作軸的平行線交于點(diǎn)，則，，即：，解得，，．【點(diǎn)睛】本題是一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題，考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法求一次函數(shù)的表達(dá)式及三角形的面積，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)和兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵18．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃佄锞€的對(duì)稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，則a的取值范圍是．【答案】【分析】先利用對(duì)稱軸得出，再利用拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離得出a與c之間的數(shù)量關(guān)系，從而將方程表示成只含有字母參數(shù)a的一元二次方程，已知該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到一個(gè)不等式；將方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的形式，然后把和分別代入這個(gè)函數(shù)表達(dá)式中，分和兩種情況，利用函數(shù)圖象及性質(zhì)，得到不等式組，然后與上面由根與系數(shù)的關(guān)系得到的不等式進(jìn)行聯(lián)立，求解即可．【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，∴，即．∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，∴該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得，∴方程可轉(zhuǎn)化為．∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，∴．將方程轉(zhuǎn)化成g關(guān)于x的函數(shù)為．把代入，得；把代入，得．當(dāng)時(shí)，解得；當(dāng)時(shí)，無(wú)解．綜上可知，a的取值范圍是．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)跟x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，還考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解不等式組、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合．19．（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，在中，和的平分線，相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接．現(xiàn)給出以下結(jié)論：①；②若，，則；③；④當(dāng)時(shí)，．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③④【分析】過(guò)O作，，交、于點(diǎn)G、H，根據(jù)角平分線性質(zhì)可得到，即可判斷①②，在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，可得，結(jié)合即可判斷③，在上截取，當(dāng)時(shí)，由③可得，即可得到，即可判斷④，即可得到答案；【詳解】解：過(guò)O作，，交、于點(diǎn)G、H，∵和的平分線，相交于點(diǎn)，，，，∴，∴平分角，故①正確；∵，，∴，故②錯(cuò)誤；在中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得，，∴，∵，∴，故③正確；∵，∴，在上截取，∵和的平分線，相交于點(diǎn)，平分角，∴，，，在與，，，∴，∴，∴，在與，，∴，∴，∴，故④正確，故答案為：①③④；【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，三角形全等的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵作輔助線．20．（2023·福建泉州·統(tǒng)考二模）如圖，點(diǎn)A是拋物線與的公共頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線，的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C，若，則的值是．

【答案】【分析】根據(jù)，可知點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)C橫坐標(biāo)的二倍，設(shè)出它們的橫坐標(biāo)，代入函數(shù)解析式，利用縱坐標(biāo)的關(guān)系列出方程即可求解．【詳解】解：因?yàn)辄c(diǎn)A是拋物線與的公共頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線與拋物線，的另一個(gè)交點(diǎn)分別為B，C，且，所以，點(diǎn)B的橫坐標(biāo)是點(diǎn)C橫坐標(biāo)的二倍，設(shè)出它們的橫坐標(biāo)分別為，，則縱坐標(biāo)為，，所以，，化簡(jiǎn)得，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得出兩個(gè)點(diǎn)橫坐標(biāo)的關(guān)系，代入函數(shù)解析式求解．21．（2023·福建廈門·廈門一中校考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在正方形中，的平分線交邊于點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，，連接分別交和于點(diǎn)、，動(dòng)點(diǎn)在上，于點(diǎn)，連接，則下列結(jié)論正確的是：①；②；③；④若，則的最小值是.其中正確的是.（填寫(xiě)序號(hào)）

【答案】①②④【分析】證明出，即可判斷①；證明出和為等腰三角形即可判斷②；連接EH，先證明，即可證明出為等腰直角三角形，即可判斷③；過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N．根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理和垂線段最短可判斷出的最小值為HN的長(zhǎng)．再證明為為等腰直角三角形，且，即可判斷④．【詳解】解：∵四邊形為正方形，∴DA=AB，．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，即，故①正確；∵的平分線交邊于點(diǎn)E，∴．又∵，，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．∴，故②正確；如圖，連接EH，

∵DE=DE，，，∴，∴，，∴，∴為等腰直角三角形，∴，故③錯(cuò)誤；如圖，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)H作于點(diǎn)N．

∵的平分線交邊于點(diǎn)E，∴，∴，∴的最小值為HN的長(zhǎng)．∵，∴為等腰直角三角形．∵，∴，∴的最小值為，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，角平分線的定義和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題關(guān)鍵．22．（2023年江蘇省蘇州市吳中、吳江、相城區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)第一次調(diào)研試題）如圖，在矩形中，，，是上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連接，取中點(diǎn)，連接，則線段的最小值為．【答案】/0.75【分析】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，求得，設(shè)，求得，，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最大值，據(jù)此即可求解．【詳解】解，在矩形中，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)為點(diǎn)B，如圖，過(guò)作于，交于，∵，，∴，，∴，∴，設(shè)，∴，，，，∴，∵點(diǎn)為的中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為，∴線段的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，建立坐標(biāo)系，構(gòu)造關(guān)于x的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解是解題的關(guān)鍵．23．（2023·福建三明·統(tǒng)考一模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為8，是邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），與關(guān)于直線對(duì)稱，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連結(jié)，.現(xiàn)有以下結(jié)論：①；②的最小值為；③當(dāng)時(shí)，；④當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，所在直線垂直平分.其中一定正確的是.（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】②③【分析】如圖，連接，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)得到，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，．求得，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論；【詳解】解：如圖，連接，與關(guān)于所在的直線對(duì)稱，，按順時(shí)針?lè)较蚶@點(diǎn)旋轉(zhuǎn)得到，，，，，故①錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，有最小值，此時(shí)，，，三點(diǎn)共線，即有最小值時(shí)，點(diǎn)在對(duì)角線上，，，，，，，，故②正確；在和中，，（SAS），，∵四邊形是正方形，．，，在Rt中，，，故③正確；當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，，又，，點(diǎn)不在的垂直平分線上，所在直線不會(huì)垂直平分，故④錯(cuò)誤；故答案為：②③．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．24．（2023·福建廈門·廈門市湖里中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為，邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與端點(diǎn)重合），連接，，分別交對(duì)角線于點(diǎn)P，Q．點(diǎn)E，F(xiàn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終保持，連接，，．以下結(jié)論：①；②；③；④為等腰直角三角形；⑤若過(guò)點(diǎn)B作，垂足為H，連接，則的最小值為．其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是．【答案】①②④⑤【分析】連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，根據(jù)正方形的性質(zhì)及線段垂直平分線的性質(zhì)定理即可判斷①正確；通過(guò)證明，，可證明②正確；作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，通過(guò)證明，可判斷③錯(cuò)誤；通過(guò)證明，，利用相似三角形的性質(zhì)即可證明④正確；當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，分別求解即可判斷⑤正確．【詳解】如圖1，連接BD，延長(zhǎng)DA到M，使AM=CF，連接BM，四邊形ABCD是正方形，垂直平分BD，，，，，故①正確；，，，，，即，，，，，，，故②正確；如圖2，作，交AC的延長(zhǎng)線于K，在BK上截取BN=BP，連接CN，，，，，，即，，故③錯(cuò)誤；如圖1，四邊形ABCD是正方形，，，，，，，，，，為等腰直角三角形，故④正確；如圖1，當(dāng)點(diǎn)B、H、D三點(diǎn)共線時(shí)，DH的值最小，，，，，，故⑤正確；故答案為：①②④⑤．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．25．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，拋物線（其中），與x軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊．若，則t的取值范圍為．【答案】【分析】先求得A、B、C、D坐標(biāo)，進(jìn)而得到，，分、、三種情況，去絕對(duì)值和解不等式組即可求解．【詳解】解：∵拋物線與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊，∴由得或，∴，，∵拋物線（其中），與x軸交于C，D兩點(diǎn)，點(diǎn)C在點(diǎn)D的左邊，∴由得或，∴，，∴，，∵，∴，又，當(dāng)時(shí)，則，解得，不合題意，舍去；當(dāng)時(shí)，則，解得，符合題意；當(dāng)時(shí)，則，解得，不合題意，舍去，綜上，滿足條件的t值為．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查拋物線與x軸的交點(diǎn)問(wèn)題、解一元一次不等式組、去絕對(duì)值、坐標(biāo)與圖形等知識(shí)，理解題意，正確列出不等式組以及分類討論思想的運(yùn)用是解答的關(guān)鍵．26．（2023·福建漳州·統(tǒng)考二模）拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，其中一個(gè)交點(diǎn)為，且．以下結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）．其中正確的結(jié)論是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②③④【分析】利用二次函數(shù)的對(duì)稱性可判斷①；利用根的判別式可判斷②；利用特殊件的三角函數(shù)值可判斷③和④．【詳解】∵對(duì)稱軸是直線，一個(gè)交點(diǎn)為，且，∴另一個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)，∴，故①正確；∵拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，故②正確；∵，，∴時(shí)，，∴，∴．①由①知，當(dāng)時(shí)，，∴∴，∴．②，得，∴，故③正確；∵，，∴時(shí)，，∴，∴．∵，∴，故④正確．故答案為：①②③④．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．27．（2023·福建泉州·統(tǒng)考一模）如圖，是的弦（不是直徑），將沿翻折交于點(diǎn)．若，，則＝．【答案】【分析】設(shè)翻折前點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接、、、、，易證四邊形是菱形，得到，推出，證明，得到，進(jìn)而得到進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)翻折前點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)，連接、、、、，如圖：則：∴，∵，∴∴，∴四邊形是菱形，∴，∴，∴，∴，∴，∵∴，∴，∴，∵，∴，∴，即：∴，∴∵，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查弧，弦，角之間的關(guān)系，同弧所對(duì)的圓周角相等，菱形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)．熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)，并靈活運(yùn)用，是解題的關(guān)鍵．28．（2023·福建廈門·福建省同安第一中學(xué)?？家荒＃┤鐖D，平行四邊形中，點(diǎn)A，C在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點(diǎn)B在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，連接并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)D，若，則的值是．【答案】【分析】作軸于，軸于，由，即可得出，即，設(shè)，，則，，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出，，代入即可證得結(jié)論．【詳解】解：作軸于，軸于，，，，，，設(shè)，，則，，四邊形是平行四邊形，且原點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到，點(diǎn)向右平移個(gè)單位，向上平移個(gè)單位得到，，，點(diǎn)在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，，，故答案為．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是表示出、、的坐標(biāo)．29．（2023·福建三明·校考一模）點(diǎn)E在邊長(zhǎng)為2正方形的邊上（且點(diǎn)E不與點(diǎn)A，B重合），線段是線段繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接有下列結(jié)論：①；②；③；④的面積的最大值為1．其中正確結(jié)論的序號(hào)是【答案】①③/③①【分析】作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，證明，推出是等腰直角三角形，得到，可證明①；設(shè)，推出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷④；利用三角形的內(nèi)角和定理以及三角形的外角性質(zhì)可判斷③；根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)可判斷②．【詳解】解：作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)J，∵線段是線段繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，∵四邊形是正方形，∴，，，∴，∴，∴，∴，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故①正確；設(shè)，則，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最大值為；故④不正確；∵，，∴，即，∴，∴；故③正確；∵，∴，∵不一定等于，∴不一定等于；故②不正確；綜上，正確的有①③，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問(wèn)題需要的條件．30．（2023·福建寧德·?？级＃┱叫沃校?，將邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得線段，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則．【答案】/【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，推導(dǎo)出是等邊三角形，得到，，，解直角三角形得到，，過(guò)作，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：四邊形是正方形，，把邊繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到線段，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，過(guò)點(diǎn)作垂直于點(diǎn)，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形，屬于中考?？碱}型．31．（2023·福建南平·統(tǒng)考一模）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在反比例函數(shù)第一象限的圖象上，點(diǎn)B在x軸的正半軸上，若是等腰三角形，且腰長(zhǎng)為5，則的長(zhǎng)為多少？現(xiàn)給出以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④，其中正確的是．（只填正確的序號(hào)）【答案】①②③【分析】分兩種情況：（1）和（2），先根據(jù)反比例函數(shù)的解析式、兩點(diǎn)之間的距離公式可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)之間的距離公式即可得．【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，符合題意；（2）當(dāng)時(shí)，是等腰三角形，符合題意；，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，，解得或，或（舍去）或或（舍去），當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，綜上，或或，故答案為：①②③．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的幾何應(yīng)用、等腰三角形的定義、兩點(diǎn)之間的距離公式、一元二次方程的應(yīng)用，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．32．（2023·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)，若對(duì)于范圍內(nèi)的任意自變量，都有，則的取值范圍是．【答案】【分析】先將解析式化成頂點(diǎn)式，然后根據(jù)題意可得可求得的取值范圍，再結(jié)合可知，進(jìn)而得到可得，最后再結(jié)合即可解答．【詳解】解：∵∴，即，解得：或，∵∴∴，即，解得：又∵∴．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解一元二次不等式、等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．33．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）若拋物線（，）經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．其中結(jié)論一定正確的有．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①③/③①【分析】先用待定系數(shù)法求得函數(shù)解析式、，再根據(jù)可知，則，則成立，即可判定①；將、代入可得，再分和兩種情況確定的正負(fù)，即可判定②；先求出拋物線的對(duì)稱軸，然后再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判定③．【詳解】解：∵拋物線經(jīng)過(guò)，兩點(diǎn)，∴，解得：，∵，∴，，∴，∴成立，即①正確；將、代入可得：，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴不一定成立，即②不一定正確；∵∴拋物線的對(duì)稱軸，∴拋物線開(kāi)口向上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而增大．即③正確．故答案為①③．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、解不等式等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)以及分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．34．（2023·福建莆田·?？家荒＃┤鐖D，△ABC中，，，，點(diǎn)D在邊AC上運(yùn)動(dòng)（不與A，C重合）以BD為邊作正方形BDEF，使點(diǎn)A在正方形BDEF內(nèi)，連接EC，則下列結(jié)論：①；②CD的長(zhǎng)度可能是AD的長(zhǎng)度的2倍；③點(diǎn)F到直線AB的距離為a；④△CDE面積的最大值是．其中正確的結(jié)論是（填寫(xiě)所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】②③④【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得到BD=DE，∠BDE=90°，當(dāng)時(shí)，，則△BCD不全等于△EDC，故①錯(cuò)誤；當(dāng)∠ABD=∠CBD=30°時(shí)CD=2AD，故②正確；過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，證明△FGB≌△BAD，即可判斷③正確；過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，則∠H=90°，證明△DHE≌△BAD，得到EH=AD，利用三角函數(shù)求出AD、AC，根據(jù)公式求出△CDE的面積，利用二次函數(shù)的最值解答故④正確．【詳解】解：∵四邊形BDEF是正方形，∴BD=DE，∠BDE=90°，∵CD=CD，∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則△BCD不全等于△EDC，故①錯(cuò)誤；當(dāng)∠ABD=∠CBD=30°時(shí)，BD=2AD，∠CBD=∠C，∴BD=CD，∴CD=2AD，故②正確；過(guò)點(diǎn)F作FG⊥AB于G，則∠FGB=90°，∵四邊形BDEF是正方形，∴BF=BD，∠DBF=∠BAC=90°，∴∠GFB+∠FBG=∠FBG+∠ABD=90°，∴∠GFB=∠ABD，∴△FGB≌△BAD，∴FG=AB，故③正確；過(guò)點(diǎn)E作EH⊥AC于H，則∠H=90°，∵四邊形BDEF是正方形，∴DE=BD，∠BDE=∠BAC=90°，∴∠ADE+∠ADB=∠ADB+∠ABD=90°，∴∠ADE=∠ABD，∴△DHE≌△BAD，∴EH=AD，∵，，∴CD=AC-AD=，∴S△CDE===∴△CDE面積的最大值是，故④正確．故答案為：②③④．【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，二次函數(shù)的最值問(wèn)題，綜合掌握各知識(shí)點(diǎn)并應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．35．（2023·福建南平·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，正方形如圖擺放，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，將正方形沿軸負(fù)方向平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，點(diǎn)恰好落在該函數(shù)圖像上，則的值是．

【答案】【分析】如圖，作軸于，軸于，證明得到，，則，用同樣方法可得，再根據(jù)反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征得到，再計(jì)算出自變量的值為所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，然后確定平移的距離．【詳解】解：如圖，作軸于，軸于，∴，∵四邊形為正方形，∴，，∴，，∴，，∵，，∴，，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，∴，，在和中，，∴，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖像上，∴，∴反比例函數(shù)的關(guān)系式為，∵點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)平移到點(diǎn)恰好落在該函數(shù)圖像上，即點(diǎn)向下平移個(gè)單位，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查用待定系數(shù)法確定反比例函數(shù)關(guān)系式，反比例函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征：反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖像是雙曲線，圖像上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積是定值，即，也考查了平移變換和全等三角形的判定和性質(zhì)．36．（2023·福建福州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，，，，AC，BD交于點(diǎn)G，點(diǎn)O是AC中點(diǎn)．延長(zhǎng)AD，BC交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在CE上，．則下列結(jié)論成立的是（直接填寫(xiě)序號(hào)）．①直線DF是⊙O的切線；②是等腰三角形；③圖中共有3個(gè)等腰三角形；④連接OE，則．【答案】①②④【分析】連接OD，利用已知條件可以證明，即可知①正確；證明，即可知②正確；根據(jù)等腰三角形的判定可知、、、是等腰三角形，故③錯(cuò)誤；作交于點(diǎn)H，找出，，即可求出，故④正確．【詳解】解：連接OD，∵ABCD內(nèi)接于圓O，且，∴，∵，，∴，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴直線DF是⊙O的切線，故①正確；∵，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴是等腰三角形；故②正確；∵，，∴、是等腰三角形，∵，且，∴是等腰三角形，∵是等腰三角形，∴圖中共有4個(gè)等腰三角形，故③錯(cuò)誤；作交于點(diǎn)H，∵，∴，∵，∴，∵，∵是等腰直角三角形，設(shè)，則，，∴，即，∵，，∴，∴，∴，∵，，∴是等腰直角三角形，∴，∴，故④正確；綜上所述正確的有①②④．故答案為：①②④【點(diǎn)睛】本題考查圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，角平分線，切線的判定定理，等腰三角形的判定及性質(zhì)，正切值，難度較大，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并理清角之間的關(guān)系．37．（2023·福建廈門·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為C．現(xiàn)給出以下結(jié)論：

①一定是直角三角形；②一定不是等腰直角三角形；③存在實(shí)數(shù)k，使得；④對(duì)于任意的正數(shù)k，都存在b，使得．其中正確的是．（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）【答案】①②④【分析】連接，令與軸，軸分別交于，，聯(lián)立兩個(gè)解析式，可得，進(jìn)而求得，，由此可得，可知，由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)可知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，得，則，進(jìn)而求得，即可可判斷①；由直線，可得，可知為等腰直角三角形，由三角形外角可知，，即可可判斷②；可知，根據(jù)反比例函數(shù)與坐標(biāo)軸不相交，可知，即可可判斷③；可知，，求得，，進(jìn)而可得，可知，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程都有解，即可判斷④．【詳解】解：連接，令與軸，軸分別交于，，

聯(lián)立，整理得，解得：，，則，，∴，則，∴，∵直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為C，則點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，∴，則，∵，∴，∴為直角三角形，故①正確；對(duì)于直線，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，∴為等腰直角三角形，∴，由三角形外角可知，，∴一定不是等腰直角三角形，故②正確；∵為等腰直角三角形，∴，∵反比例函數(shù)與坐標(biāo)軸不相交，∴，則，不可能存在實(shí)數(shù)使得，故③錯(cuò)誤；∵，，∴，由，∴，則，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程都有解，∴對(duì)于任意的正數(shù)k，都存在b，使得，故④正確；故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)與幾何綜合，一元二次函數(shù)根與系數(shù)的關(guān)系，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．38．（2023·福建龍巖·?？家荒＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，Rt的直角頂點(diǎn)B在x軸的正半軸上，點(diǎn)O與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A在第一象限，反比例函數(shù)（）的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)C，交于點(diǎn)D，連接．若的面積是1，則k的值是．【答案】/【分析】連接OD，過(guò)C作，交x軸于E，利用反比例函數(shù)k的幾何意義得到，根據(jù)OA的中點(diǎn)C，利用△OCE∽△OAB得到面積比為1：4，代入可得結(jié)論．【詳解】解：連接OD，過(guò)C作，交x軸于E，∵∠ABO＝90°，反比例函數(shù)（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)OA的中點(diǎn)C，，∴，，2OC=OA，∵，∴△OCE∽△OAB，∴，∴，∴，∴k＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)比例系數(shù)k的幾何意義：在反比例函數(shù)y=圖象中任取一點(diǎn)，過(guò)這一個(gè)點(diǎn)向x軸和y軸分別作垂線，與坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是定值．在反比例函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，這一點(diǎn)和垂足以及坐標(biāo)原點(diǎn)所構(gòu)成的三角形的面積是，且保持不變．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．39．（2023·福建廈門·廈門雙十中學(xué)?？既＃c(diǎn)A，B，C，D順次在直線l上，，以為邊向下作等邊，以為底邊向上作等腰，當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，與的面積差S始終保持不變，則a，b滿足數(shù)量關(guān)系．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，連接，分別利用直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出和，設(shè)，分別表示出與的面積，從而可得，再根據(jù)當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，S始終保持不變，可得，即可得出結(jié)果．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)F作于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)E作于點(diǎn)H，連接，∵是等邊三角形，，

∴，∵，，是等腰三角形，∴，，在中，，設(shè)，則，，∴，∵當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度變化時(shí)，S始終保持不變，∴，∴，故答案為：．

【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股定理及三角形的面積計(jì)算，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．40．（2023·福建南平·統(tǒng)考二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在直線上，垂直軸于點(diǎn)，垂直軸于點(diǎn)，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)，若，則的值為．【答案】或【分析】根據(jù)直線的關(guān)系式求出與坐標(biāo)軸交點(diǎn)坐標(biāo)，即點(diǎn)A，點(diǎn)，設(shè)出點(diǎn)，利用相似三角形的性質(zhì)可得x、y之間的關(guān)系，根據(jù)面積的比得出另一個(gè)關(guān)于x、y的關(guān)系式，聯(lián)立可求出x、y的值，進(jìn)而求出答案．【詳解】解：如圖所示：∵直線與軸交于點(diǎn)A，與軸交于點(diǎn)，∴把、代入得：，，∴，，即