高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第三冊）第08講 三角函數(shù)的定義（教師卷）

第08講三角函數(shù)的定義【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，會求給定角的三角函數(shù)值，重點培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)．2．借助任意角的三角函數(shù)定義，掌握三角函數(shù)在各象限的符號規(guī)律，重點提升邏輯推理等核心素養(yǎng)．3.了解三角函數(shù)線的意義，能用三角函數(shù)線表示一個角的正弦、余弦和正切，重點培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)．4．能利用三角函數(shù)線解決一些簡單的三角函數(shù)問題．重點提升直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)．【知識導(dǎo)航】任意角的正弦、余弦與正切的定義使銳角α的頂點與原點O重合，始邊與x軸的非負半軸重合，在終邊上任取一點P，作PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r.1．角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？提示：sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).2．對確定的銳角α，sinα，cosα，tanα的值是否隨P點在終邊上的位置的改變而改變？提示：不會．因為三角函數(shù)值是比值，其大小與點P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)．任意角的三角函數(shù)的定義(1)對于任意角α來說，設(shè)P(x，y)是α終邊上異于原點的任意一點，r＝eq\r(x2＋y2)，則稱eq\f(y,r)為角α的正弦，記作sin_α；稱eq\f(x,r)為角α的余弦，記作cos_α．即sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)．當(dāng)角α的終邊不在y軸上時，此時稱eq\f(y,x)為角α的正切，記作tan_α，即tanα＝eq\f(y,x)．(2)對于每一個角α，都有唯一確定的正弦、余弦與之對應(yīng)；當(dāng)α≠eq\f(π,2)＋kπ(k∈Z)時，有唯一的正切與之對應(yīng)．角α的正弦、余弦與正切，都稱為α的三角函數(shù)．[點撥]1．在任意角的三角函數(shù)的定義中，應(yīng)該明確：α是一個任意角，其范圍是使函數(shù)有意義的實數(shù)集．2．要明確sinα是一個整體，不是sin與α的乘積，它是“正弦函數(shù)”的一個記號，就如f(x)表示自變量為x的函數(shù)一樣，離開自變量的“sin”“cos”“tan”等是沒有意義的．正(余)弦與正切在各象限的符號當(dāng)α的終邊不落在坐標(biāo)軸上即α≠eq\f(kπ,2)(k∈Z)時，你能判斷sinα，cosα，tanα在各象限的符號嗎？提示：由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個任意角，它的終邊上異于原點的任意點P(x，y)，r＝eq\r(x2＋y2)，則sinα＝eq\f(y,r)，cosα＝eq\f(x,r)，tanα＝eq\f(y,x).由r＞0可知，當(dāng)α為第一象限角時，y＞0，x＞0，故sinα＞0，cosα＞0，tanα＞0，同理可得當(dāng)α在其他象限時三角函數(shù)值的符號，如圖所示．1．三角函數(shù)的符號規(guī)律(記憶口訣)一全正、二正弦、三正切、四余弦．2.三角函數(shù)值α落在坐標(biāo)軸上sinαcosαtanαα＝2kπ(k∈Z)010α＝2kπ＋π(k∈Z)0－10α＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)10不存在α＝2kπ＋eq\f(3π,2)(k∈Z)－10不存在正弦線、余弦線和正切線1．在平面直角坐標(biāo)系中，任意角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作PM⊥x軸，過點A(1，0)作單位圓的切線，交α的終邊或其反向延長線于點T，如圖所示．(1)試求P點的坐標(biāo)；(2)能否用向量直觀表示sinα，cosα，tanα.提示：(1)P(cosα，sinα)(2)根據(jù)三角函數(shù)的定義，用向量eq\o(MP,\s\up6(→))，eq\o(OM,\s\up6(→))，eq\o(AT,\s\up6(→))表示sinα，cosα，tanα.2．三角函數(shù)線的方向是如何規(guī)定的？提示：方向與x軸或y軸的正方向一致的為正值，反之，為負值．3．三角函數(shù)線的長度和方向各表示什么？提示：長度等于三角函數(shù)值的絕對值，方向表示三角函數(shù)值的正負．圖示正弦線角α的終邊與單位圓交于點P，過點P作PM垂直于x軸，eq\o(MP,\s\up6(→))稱為正弦線余弦線eq\o(OM,\s\up6(→))稱為余弦線正切線過點A(1，0)作單位圓的切線，這條切線必然平行于y軸，設(shè)它與α的終邊或其反向延長線相交于點T，eq\o(AT,\s\up6(→))稱為正切線正弦線、余弦線和正切線都稱為三角函數(shù)線．【知識預(yù)習(xí)】考點一：三角函數(shù)的定義1．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，.故選：C2．已知角的終邊經(jīng)過點，則角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為角的終邊經(jīng)過點，則，，所以.故選：D.3．若角的終邊過點，則（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】由題意可得在第四象限，則為正數(shù)，且，，，所以選項A，B，C錯誤；正確，故選：D4．若，則點位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【詳解】∴點在第二象限.故選:.5．若，則所在的象限是A．二、四 B．一、二 C．一、四 D．二、三【答案】C【詳解】，或.若且，則角為第一象限角；若且，則角為第四象限角.綜上所述，角為第一或第四象限角.故選：C.考點二：單位圓與三角函數(shù)線6．已知角α的正切線是長度為單位長度的有向線段，那么角α的終邊在A．直線y＝x上 B．直線y＝－x上C．直線y＝x上或直線y＝－x上 D．x軸上或y軸上【答案】C【詳解】解：因為角α的正切線是長度為單位長度的有向線段，所以得tanα＝±1，故角α的終邊在直線y＝x上或直線y＝－x上，故選C．7．如圖所示，P是角α的終邊與單位圓的交點，PM⊥x軸于M，AT和A′T′均是單位圓的切線，則下列關(guān)于角α的說法正確的是（

）A．正弦線是PM，正切線是A′T′B．正弦線是MP，正切線是A′T′C．正弦線是MP，正切線是ATD．正弦線是PM，正切線是AT【答案】C【詳解】由正弦線、正切線的定義可知，MP是正弦線，AT是正切線.故選：C8．若和分別是角的正弦線和余弦線，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】在單位圓中畫出角的正弦線和余弦線，如圖所示，則.故選：C.9．，，的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】作出弧度角的正弦線、余弦線和正切線如下圖所示，則，，，其中虛線表示的是角的終邊，，則，即.故選：D.10．已知角的正弦線和余弦線長度相等，且的終邊在第二象限，則A．0 B．1 C． D．【答案】C【詳解】由條件知，且，，∴，于是．【對點訓(xùn)練】一、單選題1．若為第二象限角，則下列各式恒小于零的是A． B． C． D．【答案】B【詳解】如圖，作出的三角函數(shù)線，顯然，且,∵，，∴．∴，即.故選B.2．若，以下不等式成立的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】當(dāng)時，，，，所以.故選A.3．下面四個不等式中不正確的為A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：A，如圖，利用三角函數(shù)線可知，所對的弧長為，，∴，A對；B，由于,，B錯；C，如圖，，則，C對；D，，D對；故選：B．4．下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】作出單位圓，用三角函數(shù)線進行求解，如圖所示，有，所以，故選：A.5．若為第四象限角，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【詳解】為第四象限角，依據(jù)三角函數(shù)定義，則有，故選：B6．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則（

）A． B．1 C．2 D．【答案】C【詳解】由題意，解得．故選：C．7．若點在角的終邊上，則tan＝（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：∵點在角的終邊上，∴.故選:B.8．已知角的終邊經(jīng)過點，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由三角函數(shù)的定義可得.故選：B.二、多選題9．(多選)下列說法正確的有（

）A．當(dāng)角的終邊在軸上時，角的正切線是一個點B．當(dāng)角的終邊在軸上時，角的正切線不存在C．正弦線的始點隨角的終邊位置的變化而變化D．余弦線和正切線的始點都是原點【答案】ABC【詳解】根據(jù)三角函數(shù)線的概念，ABC都是正確的，只有D不正確；因為余弦線的始點在原點，而正切線的始點在單位圓與軸正半軸的交點上.故選：ABC10．下列四個選項，正確的有（

）A．在第三象限，則是第二象限角B．已知扇形OAB的面積為4，周長為10，則扇形的圓心角（正角）的弧度數(shù)為C．若角的終邊經(jīng)過點，則D．【答案】ABD【詳解】對A：由題可得，則屬于第二或者第四象限；，則屬于第二或者第三象限或角度終邊落在軸的負半軸上；故屬于第二象限，A正確；對B：設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，圓心角對的弧長為，則，，解得，又，即，解得，B正確；對C：根據(jù)題意可得，故C錯誤；對D：因為，，故，故，D正確.故選：ABD.三、填空題11．用三角函數(shù)線比較與的大小，結(jié)果是______.（用“>”連接）【答案】##【詳解】解：，中，根據(jù)三角函數(shù)線的定義得出：，，．故答案為：.12．若角的終邊過點，則__________.【答案】##－1.4【詳解】角的終點過點，則由定義可得，.所以故答案為：.四、解答題13．分別作出下列各角的正弦線?余弦線和正切線.(1);

(2).【答案】(1)見解析(2)見解析【詳解】解:(1)設(shè)的終邊與單位圓交于點P,過作垂直于x軸的直線交的終邊于點T,過P作軸,交x軸于M,如圖(1)所示,則是正弦線,是余弦線,是正切線.

(1)

(2)(2)同(1),過作垂直于x軸的直線,交的終邊的反向延長線于點T,如圖(2)所示,則是正弦線,是余弦線,是正切線.14．（1）如果，，則是第幾象限角．（2）若，則是第幾象限角．（3）若與異號，則是第幾象限角．（4）若與同號，則是第幾象限角．【答案】（1）第一象限角；（2）第二或第三象限角；（3）第二或第四象限角；（4）第一或第二象限角.【詳解】（1），，，由知：為第一象限角；（2），，是第二或第三象限角；（3）與異號，即或，是第二或第四象限角；（4）與同號，即或，是第一或第二象限角.15．已知角的頂點為原點O，始邊與x軸的非負半軸重合．若角的終邊過點，且，(1)判斷角的終邊所在的象限；(2)求和的值．【詳解】（1）由題意知，點P到原點O的距離，∴．∵，∴，∴，∴，∴角的終邊在第二或第三象限.（2）當(dāng)角的終邊在第二象限時，；當(dāng)角的終邊在第三象限時，.【提升作業(yè)】一、單選題1．已知角的終邊經(jīng)過點，且，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：因為，所以，解得，所以.故選：B.2．已知角，角，終邊上有一點，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【詳解】因為，所以，即點在第三象限，且，且，所以.故選：D3．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為（

）A． B． C．1或 D．或【答案】D【詳解】由題意可得：點P與原點間的距離，∴.當(dāng)時，則，故；當(dāng)時，則，故.故選：D.4．設(shè)，和分別是角的正弦線、余弦線和正切線，則下列式子正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】分別作角的正弦線、余弦線和正切線，如圖所示，∵，，，∴．故選：B．5．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，???分別是單位圓上的四段弧，點在其中一段上，角以為始邊，為終邊.若，則所在的圓弧是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由下圖可得：有向線段為余弦線，有向線段為正弦線，有向線段為正切線.A選項：當(dāng)點在上時，，，故A選項錯誤；B選項：當(dāng)點在上時，，，，故B選項錯誤；C選項：當(dāng)點在上時，，，，故C選項正確；D選項：點在上，，故D選項錯誤.故選：C.二、填空題6．已知角，則的大小關(guān)系為__________．【答案】##【詳解】如下圖示，在單位圓中，軸，軸，且，所以，，，△的面積，扇形的面積，△的面積，由圖知：，故.故答案為：7．若角滿足，則的終邊在第______象限.【答案】三【詳解】解：，又角滿足，于是可得的終邊在第三象限.故答案為：三.三、解答題8．已知角的終邊經(jīng)過點，且滿足．(1)若為第二象限角，求值；(2)求的值．【答案】(1)；(2)或或.【詳解】（1）由三角函數(shù)的定義，可知，解得或，∵α為第二象限角，∴m＞0，所以m＝，∴；（2）由（1）知或，當(dāng)時，，所以；當(dāng)時，，，所以；當(dāng)時，，，所以.綜上所述，的取值為或或．9．（1）已知是第二象限角，試判斷的符號．（2）若，求的終邊的位置．【答案】（1）；（2）的終邊在第二、三象限或在