廣東省梅州市沙頭角中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析

廣東省梅州市沙頭角中學(xué)高二數(shù)學(xué)理下學(xué)期摸底試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.要從10名女生與5名男生中選出6名學(xué)生組成課外活動小組，則符合按性別比例分層抽樣的概率為（）Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．參考答案：C略2.已知直線與圓交于,兩點(diǎn)，且（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），則實(shí)數(shù)的值為（ ）A.2 B. C.2或－2 D.或參考答案：C詳解：∵OA⊥OB，OA=OB，∴△AOB為等腰直角三角形，又圓心坐標(biāo)為（0，0），半徑R=2，∴AB=.∴圓心到直線y=﹣x+a的距離d=AB==，∴|a|=2，∴a=±2．故答案為：C．

3.有一段演繹推理是這樣的:“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線;已知直線平面,直線平面,直線∥平面,則直線∥直線”的結(jié)論顯然是錯誤的,這是因為

(

)

A.大前提錯誤

B.小前提錯誤

C.推理形式錯誤

D.非以上錯誤

參考答案：A直線平行于平面,則直線可與平面內(nèi)的直線平行、異面、異面垂直.大前提錯誤.4.已知在平面直角坐標(biāo)系數(shù)xOy上的區(qū)域D由不等式組給定。若M(x,y)為D上的動點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(,1)，則z=·的最大值為A、3

B、4

C、3

D、4

參考答案：D5.已知橢圓x2+=1與雙曲線共焦點(diǎn),則實(shí)數(shù)a的值為(

)A.1

B.2

C.4

D.5參考答案：C6.若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對稱，則的解析式可能為A. B. C. D.參考答案：C【分析】依次對選項求導(dǎo)，再判斷導(dǎo)數(shù)的奇偶性即可得到答案?！驹斀狻繉τ贏，由可得，則為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對稱；故A不滿足題意；對于B，由可得，則，所以為非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故B不滿足題意；對于C，由可得，則為偶函數(shù)，關(guān)于軸對稱，故C滿足題意，正確；對于D，由可得，則，所以非奇非偶函數(shù)，不關(guān)于軸對稱，故D不滿足題意；故答案選C【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的求法，奇偶函數(shù)的判定，屬于基礎(chǔ)題。7.一水池有2個進(jìn)水口，1個出水口，進(jìn)出水速度如圖甲、乙所示.某天0點(diǎn)到6點(diǎn)，該水池的蓄水量如圖丙所示.（至少打開一個水口）給出以下3個論斷：①0點(diǎn)到3點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②3點(diǎn)到4點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③4點(diǎn)到6點(diǎn)不進(jìn)水不出水.則一定能確定正確的論斷是（

）A．①

B．①②

C．①③

D．①②③參考答案：A略8.函數(shù)的最小正周期是()A.

π

B.

2π

C.

4π

D.參考答案：C9.已知，則(

)A.

B.

C.

D.

參考答案：B略10.若雙曲線的一個焦點(diǎn)到一條漸近線的距離等于焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數(shù)，則=

.參考答案：試題分析：∵1<ln3<2,∴==.考點(diǎn)：1.分段函數(shù)；2.對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).12.已知直線過拋物線的焦點(diǎn)，且與的對稱軸垂直，與交于，兩點(diǎn)，，為的準(zhǔn)線上的一點(diǎn)，則的面積為______．參考答案：36設(shè)拋物線的解析式，則焦點(diǎn)為，對稱軸為軸，準(zhǔn)線為，直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，，是與的交點(diǎn)，又軸，，，又點(diǎn)在準(zhǔn)線上，設(shè)過點(diǎn)的垂線與交于點(diǎn)，，．故答案為36．13.（不等式選講）已知，則實(shí)數(shù)的取值范圍為

。參考答案：14.雙曲線x2﹣2y2=4的離心率為．參考答案：

【分析】化簡雙曲線方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，然后求解離心率即可．【解答】解：雙曲線x2﹣2y2=4的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，可得a=2，b=，則c=，所以雙曲線的離心率為：e=．故答案為：．15.已知空間三點(diǎn)A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積是．參考答案：【考點(diǎn)】向量在幾何中的應(yīng)用．【專題】計算題．【分析】求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而可得模長即向量的夾角，由此可計算以AB，AC為邊的平行四邊形的面積．【解答】解：∵A（0，2，3），B（﹣2，1，6），C（1，﹣1，5），∴=（﹣2，﹣1，3），=（1，﹣3，2），||=，||=∴cos∠BAC==，∴∠BAC=60°…（4分）∴S=×sin60°=故答案為：【點(diǎn)評】本題考查向量背景下平行四邊形的面積的計算，關(guān)鍵是求向量的坐標(biāo)及模長．16.設(shè)平面點(diǎn)集，則所表示的平面圖形的面積為

參考答案：17.設(shè)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，若函數(shù)y＝f(x＋1)為偶函數(shù)，且當(dāng)x≥1時，有，則的大小關(guān)系是

．參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，點(diǎn)(a，b)在直線上．（1）求角C的值；（2）若，求△ABC的面積．參考答案：（1）；（2）【分析】（1）代入點(diǎn)到直線的方程，根據(jù)正弦定理完成角化邊，對比余弦定理求角；（2）將等式化簡成“平方和為零”形式，計算出的值，利用面積公式計算的面積.【詳解】解：（1）由題意得，由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，結(jié)合，得.（2）由，得，從而得，所以的面積.【點(diǎn)睛】本題考查正、余弦定理的簡單應(yīng)用，難度較易.使用正弦定理進(jìn)行角化邊或者邊化角的過程時，一定要注意“齊次”的問題.19.如圖所示，一輛汽車從A市出發(fā)沿海岸一條直公路以100km/h的速度向東勻速行駛，汽車開動時，在A市南偏東30°方向距A市600km的海上B處有一快艇與汽車同時出發(fā)，要把一份稿件送給這輛汽車的司機(jī).問快艇至少以多大的速度，以什么樣的航向行駛才能最快把稿件送到司機(jī)手中？參考答案：解：如圖所示，設(shè)快艇以的速度從處出發(fā)，沿方向，小時后與汽車在處相遇.在中，，，，，由余弦定理，∴，整理得：.當(dāng)時，，∴.∴快艇至少以的速度行駛時才能最快把稿件送到司機(jī)手中.當(dāng)時，在中，，，，∴，∴.故快艇至少以的速度，以北偏東60°的方向（與垂直）航行才能最快把稿件送達(dá)司機(jī)手中.20.直線L:與橢圓C:交于A、B兩點(diǎn),以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).(1)若k=1,且四邊形OAPB為矩形,求的值;(2)若=2,當(dāng)k變化時(k∈R),求點(diǎn)P的軌跡方程.參考答案：（1），，（2）設(shè)，略21.如圖，P-ABC是底面邊長為1的正三棱錐，D，E，F(xiàn)分別為棱長PA，PB，PC上的點(diǎn)，截面DEF∥底面ABC，且棱臺DEF-ABC與棱錐P-ABC的棱長和相等.（棱長和是指多面體中所有棱的長度之和）（1）證明：P-ABC為正四面體；（2）若，求二面角的大小；（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）（3）設(shè)棱臺DEF-ABC的體積為V，是否存在體積為V且各棱長均相等的直平行六面體，使得它與棱臺DEF-ABC有相同的棱長和？若存在，請具體構(gòu)造出這樣的一個直平行六面體，并給出證明；若不存在，請說明理由.（注：用平行于底的截面截棱錐，該截面與底面之間的部分稱為棱臺，本題中棱臺的體積等于棱錐P-ABC的體積減去棱錐P-DEF的體積.）參考答案：（1）證明見解析；（2）；（3）存在，證明見解析.（注：所構(gòu)造直平行六面體不唯一，只需題目滿足要求即可）【分析】（1）根據(jù)棱長和相等可知，根據(jù)面面平行關(guān)系和棱錐為正三棱錐可證得，進(jìn)而證得各棱長均相等，由此得到結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)，連接，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)和線面垂直判定定理可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可知，從而得到即為所求二面角的平面角；易知，從而得到，在中根據(jù)長度關(guān)系可求得，從而得到結(jié)果；（3）設(shè)直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為，根據(jù)正四面體體積為，可驗證出；又所構(gòu)造六面體體積為，知，只需滿足即可滿足要求，從而得到結(jié)果.【詳解】（1）棱臺與棱錐的棱長和相等平面平面，三棱錐為正三棱錐

為正四面體（2）取的中點(diǎn)，連接，

，平面，

平面平面

為二面角的平面角由（1）知，各棱長均為1

為中點(diǎn)

即二面角的大小為：（3）存在滿足題意的直平行六面體，理由如下：棱臺的棱長和為定值6，體積為設(shè)直平行六面體的棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為則該六面體棱長和為6，體積為正四面體體積為：

時，滿足要求故可構(gòu)造棱長均為，底面相鄰兩邊夾角為的直平行六面體即可滿足要求【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何知識的綜合應(yīng)用，涉及到正四面體的證明、二面角的求解、存在性問題的求解等知識；此題對考生的思維能力的要求較高，對學(xué)生的空間想像