高一數(shù)學(xué)《異面直線》教學(xué)設(shè)計(jì)

異面直線

教材分析

異面直線是立體幾何中十分重要的概念.研究空間點(diǎn)、直線和平面之間的各種位置關(guān)系必

須從異面直線開(kāi)始.

教材首先通過(guò)實(shí)例讓學(xué)生弄懂“共面”、"異面”的區(qū)別，正確理解“異面”的含義，進(jìn)而介紹

異面直線所成角及異面直線間的距離，這樣處理完全符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律.處理好這節(jié)內(nèi)容，

可以比較容易地引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)由平面宜觀到空間想象的過(guò)渡.

教學(xué)重點(diǎn)是異面直線的概念，求異面直線所成的角和異面直線間的距離是這節(jié)的難點(diǎn).

教學(xué)目標(biāo)

1.理解異面直線的概念，了解空間中的直線的三種位置關(guān)系.

2.理解異面直線所成的角、異面直線間的距離的意義，體會(huì)空間問(wèn)題平面化的基本數(shù)學(xué)思

想方法.

3.通過(guò)異面直線的學(xué)習(xí)，使學(xué)生逐步養(yǎng)成在空間考慮問(wèn)題的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能

力.

任務(wù)分析

空間中的兩條直線的位置關(guān)系，是在平面中兩條直線位置關(guān)系及平面的基本性質(zhì)基礎(chǔ)上提

出來(lái)的.學(xué)生對(duì)此已有一定的感性認(rèn)識(shí)，但是此認(rèn)識(shí)是膚淺的.同時(shí)，學(xué)生空間想象能力還較

薄弱.因此，這節(jié)內(nèi)容課應(yīng)從簡(jiǎn)單、直觀的圖形開(kāi)始介紹.“直觀”是這節(jié)內(nèi)容的宗旨.多給學(xué)

生思考的時(shí)間和空間，以有助于空間想象能力的形成.異面直線所成的角的意義及求法，充分

體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想.要讓學(xué)生通過(guò)基本問(wèn)題的解決，進(jìn)一步體會(huì)異面直線所成的角、異面

直線間的距離的意義及其基本求法.

教學(xué)設(shè)計(jì)

?、問(wèn)題情境（1）

1.同一平面內(nèi)的兩條直線有幾種位置關(guān)系？空間中的兩條直線呢？觀察教室內(nèi)的日光燈

管所在直線與黑板的左右兩側(cè)所在直線的位置或觀察天安門(mén)廣場(chǎng)上旗桿所在直線與長(zhǎng)安街所在

直線的位置.

2.如圖15-1,長(zhǎng)方體ABCD—AIBIGDI中，線段A【B所在直線與線段CQ所在直線的位

置關(guān)系如何？

A

AB

15-1

二、建立模型（1）

1.首先引導(dǎo)學(xué)生觀察實(shí)例或幾何模型，進(jìn)而發(fā)現(xiàn)，空間兩直線除平行或相交外，還有一種

位置關(guān)系：存在兩條直線既不平行又不相交，即不能共面的兩直線，并在此基礎(chǔ)匕總結(jié)出異面

直線的定義.

2.在學(xué)生討論歸納異面直線定義的基礎(chǔ)上，教師概括：我們把不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩

條直線叫作異面直線.

強(qiáng)調(diào)：（1）所謂異面，即不共面，所以它們既不平行，也不相交.

（2）“不共面”，指不在任何一個(gè)平面內(nèi)，關(guān)鍵是，任何”二字.

3.先讓學(xué)生總結(jié)空間中兩條直線的位置關(guān)系，然后教師明晰.

（1）共面與異面.共面分為平行和相交.

（2）有無(wú)公共點(diǎn).有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)-----相交直線，無(wú)公共點(diǎn)平行直

線和異面直線.

4.異面直線的畫(huà)法.

先讓學(xué)生體會(huì)下列圖形，并讓其指出哪些更為直觀.

顯然,圖15-2或圖15-3較好.

因此，當(dāng)表示異面直線時(shí)，以平面襯托可以顯示得更清楚.

三、問(wèn)題情境（2）

刻畫(huà)兩條平行直線位置通常用距離，兩條相交直線通常用角度，那么，如何刻畫(huà)兩條異面

直線的相對(duì)位置呢？容易想象要用角和距離，如何定義異面直線的角和距離呢？下面探究一個(gè)

具體的問(wèn)題：

如圖，在正方體ABCD—A|B|C|D|中,

圖15-5

1.我們知道AB與A|B是共面的，它們成的角是45。，那么異面直線AB與DC所成的角

定義為多少度的角比較合理呢？

2.回憶我們已學(xué)過(guò)的“距離”概念，發(fā)現(xiàn)“距離”具有“最小性”，現(xiàn)在直線AB和DC上各取

一點(diǎn)，這兩點(diǎn)必然存在距離，試問(wèn)在這所有可能的距離中，是否存在兩點(diǎn)，這兩點(diǎn)間距離最短？

進(jìn)一步思考：如何定義異面直線AB和DC間的距離？

四、建立模型（2）

在學(xué)生充分討論、探究的基礎(chǔ)上，抽象概括出異面直線所成的角和異面直線間的距離的概

念.

1.異面直線a與b所成的角

已知兩條異面直線a,b.經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)0,作直線a，〃a,b'//b,我們把a(bǔ)，與9所成的銳

角（或直角），叫作異面直線a與b所成的角.

強(qiáng)調(diào)：（1）“空間角”是通過(guò)"平面角'’來(lái)定義的.

（2）“空間角”的大小，與空間點(diǎn)O的選取無(wú)關(guān)，依據(jù)是“等角定理”.為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O常取

在兩條異面直線中的一條上.

（3）異面直線所成角的范圍是0。〈旺90。.

（4）異面直線垂直的意義.今后所說(shuō)的兩直線垂直，可能是相交直線，也可能是異面直線.

2.對(duì)于問(wèn)題2,學(xué)生討論，可以發(fā)現(xiàn)：線段BC是在異面直線AB和DC上各任取一點(diǎn)，

且兩點(diǎn)間的距離為異面直線AB和DC間的最小值.此時(shí).，我們就說(shuō)BC的長(zhǎng)度就是AB和DC

的距離.

引導(dǎo)學(xué)生觀察、分析線段BC與AB,DC之間的關(guān)系，得出公垂線段定義：和兩條異面直

線都垂直且相交的線段.

強(qiáng)調(diào)：（1）“垂直”與"相交”同時(shí)成立.

（2）公垂線段的長(zhǎng)度定義為異面直線間的距離.

五、解釋?xiě)?yīng)用

［例題］

1.如圖，點(diǎn)D是AABC所在平面外一點(diǎn)，求證直線AB與直線CD是異面直線.

圖】5-6

注：主要考查異面直線的定義，這里可考慮用反證法證明.要讓學(xué)生體會(huì)用反證法的緣由.

2,已知：如圖，已知正方體ABCD—ABCTT

W15-7

（1）哪些棱所在直線與直線BA，是異面直線？

（2）直線BA，和CC，的夾角是多少？

(3)哪些棱所在直線與直線AA，垂直？

(4)直線BB，與DC間距離是多少？注:主要是理解、鞏固有關(guān)異面直線的?些基本概念.解

題格式要規(guī)范，合理.

［練習(xí)］

1.如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂

直？

2.垂宜于同?條直線的兩條宜線是否平行？

3.與兩條異面直線都相交的兩條直線的位置關(guān)系是怎樣的？

4.已知：如圖，在長(zhǎng)方體ABCD—ABCD，中，AB=2>/^,AD=2?,AA，=2.

(1)BC和AC，所成角是多少度？

(2)AA，和BC所成角是多少度？

(3)AA，和BC所成的角和距離是多少？

(4)AB與BC所成的角是多少？

(5)AC與BD所成的角是多少？

四、拓展延伸

1.判斷異面直線除了定義之外，還有如下依據(jù)：過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)和平面外一點(diǎn)的直線與平面

內(nèi)不過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線.請(qǐng)給以證明.

2.設(shè)點(diǎn)P是直線1外的一定點(diǎn)，過(guò)P與I成30。角的異面直線有條.(無(wú)數(shù))

3.已知異面直線a與b成50。角，P為空間任一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)P且與a,b所成的角都是30。

的直線有條.(2)

若a與b所成的角是60。，65。和70。呢？

教學(xué)反思

這篇案例設(shè)計(jì)基本符合新課程的理念.案例首先通過(guò)直觀的圖形引出定義，這樣有利于學(xué)

生的接受.然后探索了異面直線所成角與異面直線間距離的概念.探索過(guò)程有利于激發(fā)了學(xué)生

的學(xué)習(xí)熱情，體驗(yàn)科學(xué)思維