2023-2024學(xué)年遼寧省高二年級(jí)上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年遼寧省高二上冊(cè)期末考試數(shù)學(xué)模擬試題

一、單選題

1.直線2x+y+l=0和直線x+2y+l=0的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交但不垂直C.垂直D.重合

【正確答案】B

【分析】根據(jù)兩直線的方程求出各自的斜率，然后斜率的關(guān)系進(jìn)行判斷即可.

【詳解】方程2x+y+l=0可化為y=-2x-l,因此該直線的斜率尢=-2.

方程x+2y+l=0可化為y=因此該直線的斜率的=一；，

因?yàn)橛?&占能=除-1,所以這兩條直線相交但不垂直.

故選：B.

2.若直線/的方向向量與平面"的法向量的夾角等于110。，則直線/與平面a的所成的角等

于（）

A.20°B.70°C.110°D.以上均錯(cuò)

【正確答案】A

【分析】利用直線的方向向量與法向量的夾角與線面角的關(guān)系可求答案.

【詳解】因?yàn)橹本€/的方向向量與平面a的法向量的夾角等于110°,

所以直線/與平面a的所成的角為110。-90。=20。.

故選：A.

3.在平面內(nèi)，已知定點(diǎn)A及定直線/,記動(dòng)點(diǎn)P至I"的距離為d,則T4|=d”是“點(diǎn)P的軌

跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線/為準(zhǔn)線的拋物線”的（）

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

【正確答案】C

【分析】根據(jù)拋物線的定義和利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.

【詳解】“點(diǎn)戶(hù)的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線/為準(zhǔn)線的拋物線”="|尸川=""，反之不成立,

直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A,軌跡不是拋物線.因此“|尸川=?”是“點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)A為焦點(diǎn)，直線/為

準(zhǔn)線的拋物線”的必要不充分條件.

故選：C.

4.11+J卜-2F的展開(kāi)式中丁的系數(shù)為()

A.-512B.-172C.-160D.192

【正確答案】B

【分析】由11++}X-2)6=(X-2)6+±(X-2)6，根據(jù)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合二項(xiàng)

式定理求展開(kāi)式中產(chǎn)的系數(shù).

【詳解】因?yàn)?1+：}X-2)6=(X-2)6+)X-2)6,

因?yàn)?x-2)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)加=C：x6T(-2)3

所以(x-2y的展開(kāi)式中含/的項(xiàng)為C33(_2)3=-160x3,其系數(shù)為T(mén)60,

所以g?(x-2『的展開(kāi)式中含產(chǎn)的項(xiàng)為C?3?(-2)'=-12X3,其系數(shù)為-12,

所以(1+!)x-2)’的展開(kāi)式中丁的系數(shù)為-172.

故選：B.

5.正方體48co-44GA中，直線/月與平面zee/所成的角為()

A.30°B.45°C.60°D.90°

【正確答案】A

【分析】根據(jù)給定條件，作出直線與平面所成的角，再在三角形中求解作答.

【詳解】正方體/8CO-48CQ中，連接8alz￡=。，連接NO,如圖,

則有8Q_L4G，而平面N￡GA，BQu平面4與CQ1,即有用。，44,

又44門(mén)4￡=4，/4,4GU平面4CG4，因此與。，平面zee/,

則ZB.AO是直線ABX與平面ACC,A,所成的角,

在Rt月40中，ZAOBt=90°,=則有Z8/O=3(T,

所以直線/片與平面ZCG4所成的角為30。.

故選：A

6.用1,2,3,…,9這九個(gè)數(shù)字組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)中，各位數(shù)字之和為偶數(shù)的共有

()

A.120個(gè)B.600個(gè)C.720個(gè)D.840個(gè)

【正確答案】D

【分析】首先根據(jù)題意將問(wèn)題分成四位均為奇數(shù)和四位中兩位偶數(shù)兩位奇數(shù)兩種情況，然后

分別計(jì)算兩種情況所包含的四位奇數(shù)個(gè)數(shù)，最后根據(jù)分類(lèi)相加原理即可求出總共個(gè)數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，若想組成四位奇數(shù)且各位數(shù)字之和為偶數(shù)，分以下兩種情況：

(1)四位數(shù)均為奇數(shù)：包含A；=5x4x3x2x1=120種；

(2)四位數(shù)中兩位奇數(shù)兩位偶數(shù)：包含3*A；xA：=3x5x4x4x3=720種.

綜上所述一共包含120+720=840個(gè).

故選：D

22

7.已知橢圓C：5+￡=l(0<b<3)的左、右焦點(diǎn)分別為￡,用,P為橢圓上一點(diǎn)，且

/百空=60。，若耳關(guān)于/月至平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在橢圓C上，則△耳尸鳥(niǎo)的面積為()

A.6石B.343C.273D.73

【正確答案】C

【分析】設(shè)耳關(guān)于4尸月平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為0,結(jié)合角平分線的性質(zhì)可得△產(chǎn)(?耳是正三角

形，再運(yùn)用橢圓定義求得|「司，歸周，根據(jù)三角形面積公式求△耳尸鳥(niǎo)的面積即可.

【詳解】設(shè)橢圓卷+看=1(0<6<3)的長(zhǎng)半軸為“，貝必=3

設(shè)內(nèi)關(guān)于RE平分線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為。，

由橢圓對(duì)稱(chēng)性及角平分線性質(zhì)可知尸，區(qū),。三點(diǎn)共線且戶(hù)0|=|尸用

又因?yàn)?耳程=1,所以ap。片是正三角形，

設(shè)|「制=|。耳|=|P0|=m,

由橢圓定義可得|「制+|率|=2a=6,|。耳|+用=6,

又|尸。|=|「乙|+|。段,

所以|「。|=12一|「周一|0周=12-2m,

所以m=4,即歸耳|=4,|叫|=2,

所以6的面積S=；|尸用忸聞sinNRPB=gx4x2><#=毋.

故選：C.

8.我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離

分家萬(wàn)事休事實(shí)上，很多代數(shù)問(wèn)題可以都轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題加以解決，歹回n,與

J(x-q)2+0-6)2相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題,可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)(x))與點(diǎn)(a,b)之間的距離的幾何問(wèn)題.

已知點(diǎn)"(看,必)在直線4：y=x+2,點(diǎn)，(%,%)在直線4：了=》上，且腦V_L4,結(jié)合上述

-2

觀點(diǎn)，Jx；+（必一4）~+^（x2-5）-i-y2的最小值為（）

A.逑B.C.歷-夜D.5

22

【正確答案】D

【分析】根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)加（士,必）到點(diǎn)N（0,4）的距離與點(diǎn)火馬,8）

到點(diǎn)8（5,0）的距離和，過(guò)點(diǎn)A作力C_L4,垂足為C,證明|NM|=|CN|,由|OV|+|A?|>|C5|

求目標(biāo)函數(shù)最小值.

【詳解】由已知&+（必一4『表示點(diǎn)用（國(guó),必）到點(diǎn)力（0,4）的距離，

22

所以擊；+（乂―4）2+y/（x2-5）+y2=IM41+1|.

過(guò)點(diǎn)A作/C1小垂足為C,

因?yàn)橹本€人的方程為x7+2=0,4（0,4）,

所以|閡=與譽(yù)1=應(yīng)，

又直線4：y=x+2與直線4：y=x平行，MN1/1,

所以阿

所以MV〃4C,|MN|=|/C|,

所以四邊形AMNC為平行四邊形，

所以MM=|GV|,

所以業(yè)+（弘-4丫+他-5）2+為2=|CN|+|NB|,

又|CN|+|NB閆C8|,

當(dāng)且僅當(dāng)CN,8三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立，

所以當(dāng)點(diǎn)N為線段CB與直線乙的交點(diǎn)時(shí)，

M+（必-4）2+-5『+%2取最小值,最小值為|C8|,

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)4（0,4）與直線4垂直的直線的方程為y=-x+4,

y=-x+4X=1

聯(lián)立y…2，可得

)=3'

所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1,3）,所以|C8|=J（5—+（0-3）2,

所以也；+回-4）2+/々_5）2+%2的最小值為5,

故選：D.

本題解決的關(guān)鍵在于根據(jù)兩點(diǎn)距離公式將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求線段的距離和問(wèn)題，進(jìn)一步結(jié)合

圖形將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間的距離問(wèn)題.

二、多選題

9.已知雙曲線/-（=皿2/。*時(shí)火€2）,則不因。的變化而變化的是（）

A.頂點(diǎn)坐標(biāo)B.漸近線方程C.焦距D.離心率

【正確答案】BD

【分析】將雙曲線方程整理為標(biāo)準(zhǔn)方程，寫(xiě)出頂點(diǎn)坐標(biāo)，漸近線方程，焦距和離心率，，判

斷是否因。改變而變化，即可得解.

2"）

【詳解】整理雙曲線方程可得V-----—=1，

sin*3sin26?

所以“=卜而。|,b=>/3|sin0\,c=>/4siii2Q=2|sin0|，

所以頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-卜山外0）或（卜inO|,O）,A錯(cuò)誤;

漸近線方程為y=±Ex,B正確;

該雙曲線焦距為：4卜in9|,C錯(cuò)誤；

c2|sin0\

離心率為：e=,==2,D正確；

不因6改變而變化的是離心率與漸近線方程.

故選：BD.

10.下列有關(guān)排列數(shù)、組合數(shù)的等式中，正確的是()

Am

A.C：=UB.(〃+2)(〃+l)A：=A：：；

nl

C.C*=C：+C："|D.2"=C：+C：+C：+...+&

【正確答案】BC

【分析】對(duì)于AC,根據(jù)組合數(shù)的公式即可;對(duì)于B,根據(jù)排列數(shù)的公式即可;對(duì)于D,根據(jù)二

項(xiàng)式定理即可.

A/H

【詳解】對(duì)于A,C：=d,故A錯(cuò)誤；

ml

對(duì)于B("+2)(〃+1)A：=(〃+2)AW=A：：；,故B正確；

對(duì)于C,組合數(shù)的性質(zhì)，C竄=c：+c：'，故C正確；

對(duì)于D,由二項(xiàng)式定理知，(l+l)"=C：+C,+C：+C：+—+C：=2",故D錯(cuò)誤；

故選：BC.

11.已知點(diǎn)火。,0),點(diǎn)8(3,2),點(diǎn)尸在拋物線/=4x上，則()

A.當(dāng)°=1時(shí)，|/訓(xùn)最小值為1B.當(dāng)a=l時(shí)，|P7|+|P8|的最小值為4

C.當(dāng)a=3時(shí)，|/訓(xùn)的最小值為3D.當(dāng)a=3時(shí)，|尸/卜歸卻的最大值為2

【正確答案】ABD

【分析】由題意，根據(jù)拋物線的定義，作圖，結(jié)合點(diǎn)到直線距離以及三角形三邊法則，利用

兩點(diǎn)距離公式，可得答案.

【詳解】當(dāng)。=1時(shí)，作拋物線_/=4x的準(zhǔn)線=過(guò)P作尸C，/,過(guò)8作8OJJ,如

下圖所示:

可得41,0）恰為拋物線的焦點(diǎn),由拋物線定義可得尸/nPCnXp+lNl,

則P/+尸8=PC+P828O=4,故A、B正確;

當(dāng)a=3時(shí)，連接如下圖所示:

2

設(shè)則pA=J(X_3)2+(±2GO『=4C-2X+9當(dāng)x=l時(shí)，P4取得最小值為

20，故C錯(cuò)誤；

則4-，8《48=1（3-3）2+（2-0）2=2,當(dāng)P在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，等號(hào)成立，故D

正確.

故選：ABD.

12.過(guò)直線%x+y+4=0（左＞0）上一點(diǎn)M作圓C:x2+_/-2y=0的兩條切線.切點(diǎn)分別為

48,若四邊形M4C8周長(zhǎng)的最小值是6,則（）

A.%=2B.N4W8的最大度數(shù)為60。

C.直線Z3必過(guò)點(diǎn)（-|1）D.|/用的最小值為華

【正確答案】ACD

【分析】由圓的切線的性質(zhì)可得四邊形M4a的周長(zhǎng)/=2yj\MCf-l+2,再求\MC\的最小值,

結(jié)合條件列方程求左，判斷A,求乙4M8的余弦及其最小值，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)求NZM8的

最大度數(shù)，判斷B,求過(guò)點(diǎn)M,4c,8的圓的方程，再求其與圓C的公共弦方程，確定其所

過(guò)定點(diǎn)坐標(biāo)，判斷C,利用等面積法可得|“卻=2,己，由此可求|力卻的最小值，判斷

D.

【詳解】因?yàn)榉匠蘤+y2-2y=0可化為/+(尸1『=1,

所以圓W+/-2y=0的圓心為C(O,l),半徑廠=1,

所以|C4|=|CB|=L

因?yàn)槁?M5為圓產(chǎn)+y2-2夕=0的切線，切點(diǎn)分別為45,

所以K4J.C4M5J.C8,

所以\MA\^\MB\,\MA\-JWC|2-\CA(=，

如圖四邊形可C8的周長(zhǎng)/=21M4|+2|CN|=2yl\MCf-l+2，

因?yàn)樗倪呅嗡?cB周長(zhǎng)的最小值是6,

所以|MC|的最小值為有，

所以點(diǎn)C到直線桁+y+4=0(*>0)的距離為有，

所以匠少;技

小+1

所以％=2,A正確；

\AC\

ZAMB=2ZAMC,&必配=命=函1,

所以cos/LAMB=cos2ZAMC=l-2sin2ZAMC=1——二

加以阿「，

所以當(dāng)\MC\取最小值V?時(shí)，cosZAMB取最小值為丁

31

即(cos=->y=cos60c,

又余弦函數(shù)V=cosx在(0,兀)上單調(diào)遞減，

所以(4M6)皿<60°,B錯(cuò)誤；

因?yàn)?M5_LC8,

所以點(diǎn)M,4cB四點(diǎn)共圓，且線段為該圓的直徑，

設(shè)〃-2a-4),

過(guò)點(diǎn)也,4C,8的圓的方程為（x4J+（y+號(hào)耳=扣2+92—5）2],

化簡(jiǎn)可得f-or+V+（2。+3）?—2。-4二0,

因?yàn)閳A工?-辦+/+（2。+3）y-2。-4=0與圓f+/-2y=o相交，

將圓一一奴+j?+（2。+3）^—2。-4二0與圓工2+/-2y=o方程相減可得

or-（2a+5）y+2々+4=0,

化簡(jiǎn)可得。（x-2y+2）-5y+4=0,

故直線48的方程為Q（x_2y+2）-5歹+4=0,

因?yàn)镸C的面積5=：|歷4|。|=:忖。卜用，

所以如需得

所以當(dāng)MG取最小值逐時(shí)，M卻取最小值為05,D正確;

故選：ACD.

本題為直線與圓的綜合問(wèn)題，涉及直線外一點(diǎn)到直線的最小距離，直線過(guò)定點(diǎn)，圓的切線的

性質(zhì)，相交圓的公共弦的求法等方面，難度較大.

三、填空題

13.平面內(nèi)，一條直線至多與雙曲線號(hào)_z=1有個(gè)交點(diǎn).

a

【正確答案】2

【分析】根據(jù)直線與雙曲線方程，聯(lián)立求根，可得答案.

m2y2

【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，可設(shè)直線方程為》=山，將其代入雙曲線方程

/一記

22

則梟卡j整理可得＜/=從（加2一^）,顯然當(dāng)/-/＞o時(shí)，方程由兩個(gè)不相等的實(shí)

根，

則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)；

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，可設(shè)直線方程為、=丘+〃，將其代入雙曲線方程二■-與=1,

ah

則3（心+,〃）-=],整理可得（62-02左2卜2-勿2h工-/〃2-/62=0,

a2b2

顯然當(dāng)從-/相#。，且△=（2a%〃y+4（/_//）任〃?+//）＞0時(shí)，該方程有兩個(gè)不相

等的實(shí)根，

則此時(shí)直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

故2.

14.在四面體/BCD中，E是棱CD的中點(diǎn)，且礪=x^+y%+z而，則x+y+z的值為

【正確答案】0

【分析】利用空間向量加減法法則，把所用茄、衣、而表示出來(lái)，即可求出結(jié)果.

如圖所示，因?yàn)镋是棱C。的中點(diǎn)，

所以屁=；麗+；前西-碼+；（就-碉=_方+；就+；而，

貝ijx=_l,y=g,z=],

所以x+y+z=O,

故0.

15.某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車(chē)去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個(gè)年級(jí)各兩名，分

乘甲、乙兩輛汽車(chē).每車(chē)限坐4名同學(xué)（乘同一輛車(chē)的4名同學(xué)不考慮位置），其中大一的攣生

姐妹需乘同一輛車(chē)，則乘坐甲車(chē)的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來(lái)自同一年級(jí)的乘坐方式共有

種（有數(shù)字作答）.

【正確答案】24

【詳解】由題意，第一類(lèi)，大一的攣生姐妹在甲車(chē)上，甲車(chē)上剩下兩個(gè)要來(lái)自不同的年級(jí)，

從三個(gè)年級(jí)中選兩個(gè)為C；,然后分別從選擇的年級(jí)中再選擇一個(gè)學(xué)生，為CG，故有

C；C；C=3x2x2=12種.

第二類(lèi)，大一的攣生姐妹不在甲車(chē)上，則從剩下的3個(gè)年級(jí)中選擇一個(gè)年級(jí)的兩名同學(xué)在甲

車(chē)上，為C；,然后再?gòu)氖Ｏ碌膬蓚€(gè)年級(jí)中分別選擇一人（同第一類(lèi)情況），這時(shí)共有

C；CC=3x2x2=12種

因此共有24種不同的乘車(chē)方式

16.底面為矩形的直四棱柱“中，AB=2a,BC=AA=4,點(diǎn)E在棱上

且滿(mǎn)足荏=2麗,￡G分別為棱8C,CG的中點(diǎn)，P是底面”8內(nèi)一點(diǎn)，若直線PBJ與平

面EFG垂直，則點(diǎn)A到平面的距離的大小是.

【正確答案】生叵

5

【分析】根據(jù)條件建立適當(dāng)?shù)目臻g坐標(biāo)系，利用空間向量得到坐標(biāo)，進(jìn)而利用等體積轉(zhuǎn)化求

得點(diǎn)面距離.

【詳解】如圖所示以。為中心建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)尸（x,"0）,

4（4,2跖4）、《4,半,0）、42,2跖0）、G（0,2跖2）,

.?.麗=（L-y,4再=-2,平,0）、守=（2,0,-2）

V直線尸與，與平面萬(wàn)尸G垂直，

2/7

?EF=Q2.8+8-亍尸0,解得：「二；即尸(0,0,0)

-GF=08-2x-8=0I1

設(shè)點(diǎn)A到平面PBB,的距離為d,則有：

七-加=；x4x2#x4=匕,一廢止=gxdxJ（24"x4:.d=

故嶇

5

四、解答題

17.在二項(xiàng)式（x+十）展開(kāi)式中，前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為79.

⑴求〃的值；

（2）若展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為言，求實(shí)數(shù)。的值.

【正確答案】⑴"=12

（2）a=2

【分析】（1）由二項(xiàng)式定理求前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，列方程即可求得；

（2）由二項(xiàng)式定理求（如+，=）的通項(xiàng)4…由此可求常數(shù)項(xiàng)，由條件列方程求。即可.

【詳解】（1）二項(xiàng)式［+熹）的展開(kāi)式的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為c：,c；,c3

因?yàn)檎归_(kāi)式中的前三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于79,

所以有C：+C,+C：=l+"+”"；j）=79,

即〃2+〃_156=0,

解得〃=12或〃=-13.

因?yàn)?>0,所以“=12.

（2）因?yàn)檎归_(kāi)式的通項(xiàng)為

o,I,---,12

令12-%=0,得r=9,所以常數(shù)項(xiàng)為/(1J，

。二至

由已知C%

aJ128

整理得絆=言

所以“=2.

18.①經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(-3,2)；②與x軸相切，半徑為2；③被直線y=2平分.從這三個(gè)條件中任選

一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并完成解答.

問(wèn)題：己知圓”經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(1,2),點(diǎn)5(7,4),

(1)求圓M的方程;

(2)若經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-3,6)的直線/與圓”相切，求直線/的方程.

注：如果選多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【正確答案】⑴條件選擇見(jiàn)解析，(X+1)2+?-2)2=4

(2?=-3或3》+4歹-15=0

【分析】(1)選①把三個(gè)點(diǎn)代入圓的一般方程求得結(jié)果；②利用圓心在線段4B的中垂線上

以及與x軸相切，半徑為2確定圓心坐標(biāo)，寫(xiě)出圓的方程；③圓心在線段48的中垂線上和

直線y=2上，求出圓心坐標(biāo)及半徑，寫(xiě)出圓的方程.

(2)分成直線/斜率存在與不存在兩種情況進(jìn)行討論，利用d=/?進(jìn)行求解.

【詳解】(1)選①.設(shè)圓〃的方程為/+V+Dx+￡>+F=0,

因?yàn)閳AM經(jīng)過(guò)三點(diǎn)4(1,2),8(-1,4),C(-3,2),

'5+￡>+2￡+F=0

所以，17-O+4E+尸=0,解得O=2,E=-4,F=1.

13-3O+2E+尸=0

所以圓河的方程為產(chǎn)+/+2x-4)，+1=0,即(x+l)2+(y-2)2=4.

選②.由點(diǎn)力(1,2),8(-1,4),得線段的中垂線方程為夕=x+3.

則圓心M在直線P=x+3上，

設(shè)圓〃的圓心坐標(biāo)為(。,。+3),

又由圓M與x軸相切，可知圓心〃在x軸上方

由半徑為2,得。+3=2,所以“=一1.

所以圓〃的方程為(x+ir+(y-2)2=4.

選③.由點(diǎn)4。，2),8(-1,4),得線段48的中垂線方程為'=x+3.

則圓心在直線y=x+3上，

因?yàn)閳A〃被直線y=2平分，則圓心M在直線y=2上.

由二廠3解得所以圓心"坐標(biāo)為(T，2)，

所以半徑r=2,

所以圓M的方程為(x+iy+O-2)2=4.

(2)當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為》-6=Mx+3),

即fcv-y+3左+6=0.

\2k+4|3

因?yàn)橹本€/與圓M相切，所以』」=2,解得A=_：,

y)k2+14

所以直線/的方程為3x+4y-15=0.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=-3,符合題意；

綜上，直線/的方程為x=-3或3x+4y-15=0.

19.如圖所示的幾何體是圓錐的一部分，其中PO是圓錐的高，尸0=4,底面是扇形

滿(mǎn)足。/=2,408=90。，點(diǎn)C為弧的中點(diǎn).

p

（1）求證：平面平面POC；

（2）求直線PC與平面PAB所成的角的正弦值.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析；

八2M-2石

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明上平面尸。C,再利用面面

垂直的判定推理作答.

（2）以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算作答.

【詳解】（1）依題意，平面/O8,/8u平面/O8,有PO上AB,又點(diǎn)C為弧N5的

中點(diǎn)，即有。

且20門(mén)0。=0,尸0,。。匚平面20。，則48工平面POC,又/5u平面尸

所以平面P/8,平面POC.

（2）以。為原點(diǎn)，刀，礪，無(wú)的方向分別作為x，V，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如

圖,

則4(2,0,0),8(0,2,0),P(0,0,4),C(6',虛,0),

所以方=(-2,2,0),萬(wàn)=(-2,0,4),定=(&,或,-4),

r/、n-AB=—2x+2y=0(、

設(shè)平面48的法向量為〃=x,y,z),則_-，取z=l,得萬(wàn)=2,2』,

n-AP=-2x+4z=0

設(shè)直線PC與平面48所成的角為61,則

疝叫,。即，的|=第=等2710~275

15

所以直線PC與平面P4B所成角的正弦值為2回一26

15

20.如圖，直角梯形N8C。中，AB//CD,AB1BC,AB=BC=2CD=4,E為8c的中點(diǎn).

平面/BCD外一點(diǎn)P滿(mǎn)足：PA=2,PB=2y/5,且PEJ.BD.

（1）證明：尸N_L平面Z5C。；

（2）存在線段P8上一點(diǎn)“，使得二面角的余弦值為也，求三棱錐的

9

體積.

【正確答案】（1）證明見(jiàn)解析

【分析】（1）利用勾股定理.，可得尸/L/lB,再利用全等三角形以及線面垂直判定以及性質(zhì)

定理，可得4,8。，結(jié)合線面垂直判定定理，可得答案.

（2）由題意，建立空間直角坐標(biāo)系，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，求得平面的法向量，根據(jù)公式，可得

答案.

【詳解】（1）如圖，連接/瓦/E與5。的交點(diǎn)記為點(diǎn)。，

p

:AB=BC,BE=；BC=2=CD,NABE=/BCD=900,

ABE=BCD,:.NBAE=NCBD,

■：/ABD+ZCBD=90",/ABD+ZBAE=90ZAOB=90",即BD1AE,

又QBDA.PE,且尸En/E=E,PE,/Eu平面融E,

8。_L平面尸/E,又P/u平面RIE,???班），尸4

???PA2+AB2=20=PB\:.PA1AB,XvBDc\AB=B,BD,4Bu平面/BCD,

.?.PN_L平面/BCD.

（2）如圖，以8為原點(diǎn)，848C所在直線分別為'J軸，平行于4P為z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系，

則8（0,0,0）,Z（4,0,0）,C（0,4,0）,P（4,0,2）,E（0,2,0）,Z）（2,4,0）,

pz，、

.?.9=（4,0,2）,設(shè)麗=力而（04441）,貝IJ而7=（4/1,0,22）,即點(diǎn)

M（42,0,22）

則由=（42,-2,2/1）,而=（2,2,0）,

設(shè)平面。的法向量勺=(x,y,z),

"i?ED=2x+2y=0

由＜取x=2,則〃]=（4,—人―24—1）,

?1?EM=4Ar-2y+2Az=0

易知，平面NOE的一個(gè)法向量為％=(0,0,1)，

???二面角”-DE-A的余弦值為—，

9

I——I除%|I2A+1I5石

1T同網(wǎng)j2-+(2/l+l)29

整理得213-42-1=0,解得2=(舍)或2=；.

.?.麗=；麗，此時(shí)點(diǎn)M為線段8尸靠近點(diǎn)3的三等分點(diǎn)，

121

???點(diǎn)M到平面瓦比的距離〃=§。力=§,又SBDE=&DC.BE=2,

14

二棱錐M—BDE的體積為—,SBDE,〃=§.

,”22

21.已知/(-1,0),點(diǎn)8(1,0)在橢圓。+==1伍>6>0)上，/(0,1)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn).經(jīng)過(guò)

ab

點(diǎn)尸的直線/與橢圓交于兩點(diǎn)，/與X軸交于點(diǎn)尸，直線/C與8。交于點(diǎn)。.

(2)當(dāng)點(diǎn)尸異于點(diǎn)48點(diǎn)，求OP-OQ.

【正確答案】⑴y=±V5x+l

(2)1

【分析】(1)由條件求橢圓方程，設(shè)直線/的方程為y=Ax+l,利用設(shè)而不求法求弦長(zhǎng)|c。,

列方程求A；

(2)求直線4C,8。的方程，聯(lián)立求點(diǎn)。的坐標(biāo)，結(jié)合數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算公式求麗?麗.

【詳解】(1)由題意，h=\,c=l,

所以/=從+。2=2,

所以橢圓的方程為已+x2=l

2

依題意，直線/與坐標(biāo)軸不垂直且不經(jīng)過(guò)48兩點(diǎn),

設(shè)/的方程為，=履+1（左HO,左H±l）,

y=kx+\,

由，「2_消去〉整理得(d+2)^+2h一1=0,

萬(wàn)+x.

因?yàn)橹本€/過(guò)點(diǎn)尸（0,1）,所以肩>0恒成立,

設(shè)。（士,必）,￡>（々,%），則

2

由|C￡>|=Vl+F-A/（X,+X2）-4XIX2=J1+公.赳二+』=逑'

解得％=±&,

所以/的方程為^=±缶+1.

（2）直線4c的斜率為e<=當(dāng)，故其方程為y=—（x+i）,

司+1X14-1

直線8。的斜率為怎故其方程為丁=\"-1），

x2-1x2-1

尸告y（x+i），

由'兩式相除得

產(chǎn)六（X-1），

工2-1

%+1_%（內(nèi)+1）_（京2+1）（項(xiàng)+1）_去］々+乜+玉+1

X-1%（工2-1）（g+1）（工2一1）打工2一村+'2-1'

X。+1_kxx4-kx+X14-1

即122

xQ-\kx]x2-AXj+x2-1

2k2k

由2+/=7---得znX]=1---

12k2+21公+2

_代貨3）,I

x+l

故o一左2+22〃+22

2k\,

二j二；咚叫+（人小一"

解得x°=-k,又2(-%0

t^OP'OQ=xpxQ=_；(_左)=1