2023年中考九年級數(shù)學提高練習-相似三角形(含答案)

2023年中考九年級數(shù)學高頻考點拔高訓練一相似三角形

1.如圖所示，在矩形MBCN中，點N是邊MN的中點，MB=6cm,BC=

16cm.點。由點/出發(fā)沿/8方向向點8勻速運動，同時點E由點8出發(fā)沿BC方

向向點C勻速運動，它們的速度均為ICm∕s.連接QE,設(shè)運動時間為t(s)(0<t<

10),解答下列問題：

(1)求證：ZXAMB=?ANC；

(2)當/為何值時，SBDE的面積為7.5cm2;

(3)在點。，E的運動中，是否存在時間3使得ABDE與AABC相似？若存

在，請求出對應的時間若不存在，請說明理由.

2.如圖是由邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格，/、B、C、。四點均在正方形網(wǎng)格的格

點上，線段/8、CQ相交于點O.

(1)請在網(wǎng)格圖中畫出兩條線段(不添加另外的字母)，構(gòu)成一對相似三角形，并

用“□”符號寫出這對相似三角形：

(2)線段工。的長為.

3.如圖，在口ABCD中，點E在BC邊上，點F在DC的延長線上，且口DAE=口F.

(1)求證：匚ABE□□ECF;

(2)若AB=3,AD=7,BE=2,求FC的長.

4.如圖，已知：AD為匚ABC的中線，過B、C兩點分別作AD所在直線的垂線段BE

和CF,E、F為垂足，過點E作EG□AB交BC于點H,連結(jié)HF并延長交AB于點

Po

(1)求證：DE=DF

(2)若BH-.HC=11:5；①求：DF:DA的值；②求證：四邊形HGAP為平行

四邊形。

5.如圖，在ΔABC中，點E分別在邊AB、AC上，且4。=3,AC=

6,AE=4,AB=8.

(1)如果BC=rI,求線段DE的長；

(2)設(shè)ΔDEC的面積為a,求ΔBDC的面積(用α的代數(shù)式表示).

6.如圖，□ABC內(nèi)接于□。且AB=AC,延長BC至點D,使CD=CA,連接AD交

匚0于點E,連接BE、CE.

(2)填空：①當□ABC的度數(shù)為時，四邊形AOCE是菱形：②若AE

=6,EF=4,DE的長為.

7.如圖，在直角坐標系中，直線y=-2x+4分別交X軸，y軸于點E,F,交直線

y=x于點P,過線段OP上點A作X軸，y軸的平行線分別交y軸于點C,直線EF

于點B.

(2)當AC=AB時，求點P到線段AB的距離.

8.如圖，Rt□ABC中，DACB=90o,AC=6cm,BC=8cm,動點P從點B出發(fā)，在BA

邊上以每秒5cm的速度向點A勻速運動，同時動點Q從點C出發(fā)，在CB邊上以每秒

4cm的速度向點B勻速運動，運動時間為t秒(O<t<2),連接PQ.

(1)若匚BPQ與匚ABe相似，求t的值；

(2)連接AQ,CP,若AQ□CP,求t的值.

9.已知：四邊形ABCD內(nèi)接于O0,對角線AC平分□BAD.

(1)如圖1,求證：BC=CD;

(2)如圖1,若AD+AB=√2AC,四邊形ABCD的面積為8,求AC的值;

(3)如圖2,連接BD,把□ABD沿著BD翻折得到口FBD,延長CF、AD交于點

G,若CG∕∕BD,AD=2,求CG的長.

10.如圖，

圖1圖2圖3

(1)某學?！爸腔鄯綀@，，數(shù)學社團遇到這樣一個題目：如圖1,在口ABC中，點O在

線段BC上，□BAO=20o,OAC=80o,Ao=6√3,BO：CO=L3,求AB的

長.經(jīng)過社團成員討論發(fā)現(xiàn)，過點B作BD匚AC,交AO的延長線于點D,通過構(gòu)造

□ABD就可以解決問題(如圖2),請回答：□ADB=o,AB=.

(2)請參考以上思路解決問題：如圖3,在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相

交于點O,AC□AD,A0=6√3,CABC=□ACB=750,BO：OD=I:3,求DC的

長.

11.如圖1,已知點O在四邊形ABCD的邊AB上，且OA=OB=OC=OD=2,OC

平分BOD,與BD交于點G,Ae分別與BD、OD交于點E、F.

(1)求證：OC□AD;

(2)如圖2,若DE=DF,求第的值;

(3)當四邊形ABCD的周長取最大值時，求器的值.

12.如圖，在Rt□ACB中，DC=%。，AC=4cm,BC=3cτn,點P由B出發(fā)沿BA方向

向點4勻速運動速度為ICTn/s;點Q由4出發(fā)沿/C方向向點C勻速運動，速度為2cm/s；

連接PQ?若設(shè)運動的時間為t(s)(O<I:<2),解答下列問題:

4—?QC

(1)當t為何值時，點4在PQ垂直平分線上？

(2)當t為何值時，HAPQ為直角三角形？

(3)是否存在某一時刻3使線段PQ恰好把Rt口ACB的面積平分？若存在，求出

此時t的值；若不存在，說明理由.

13.如圖，在直角坐標系中，直線AB分別與X軸、y軸交于B、A兩點，OA、OB的

長是關(guān)于X的一元二次方程X2-12x+32=0的兩個實數(shù)根，且OB>OA,以O(shè)A為一邊

作如圖所示的正方形AoCD,CD交AB于點P.

(1)求直線AB的解析式;

(2)在X軸上是否存在一點Q,使以P、C、Q為頂點的三角形與口ADP相似？若

存在，求點Q坐標；否則，說明理由；

(3)設(shè)N是平面內(nèi)一動點，在y軸上是否存在點M,使得以A、C、M、N為頂點

的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點M的坐標；否則，請說明理由.

14.如圖，AC、BD為□0的直徑，且AC口BD,P、Q分別為半徑OB、OA(不與端

點重合)上的動點，直線PQ交O于M、N.

(1)比較大小：COS□OPQsin□OQP；

(2)請你判斷MP—NP與OP?cos□OPQ之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

(3)當匚APO=60°時，設(shè)MQ=m?MP,NQ=n?NP.

①求m+n的值；

②以O(shè)D為邊在OD上方構(gòu)造矩形ODKS,已知OD=I,0S=√3-1,在Q點的

移動過程中，1+〃噓MP_缶恒為非負數(shù),請直接寫出實數(shù)C的最大值.

15.如圖，AB是□O的直徑，點C在□O上，CD與口O相切，ADLBC,連結(jié)OD,

AC.

(1)求證：匚B=匚DCA；

(2)若tanB=卓，OD=3√6，求口0的半徑長.

16.如圖，O的弦AC與BD互相垂直于點E,OA交ED于點F.

(2)如圖(2),當AC=CD時，求證：AB=BF;

(3)如圖(3),在(2)的條件下，點P,Q在CD上，點P為CQ中點，□POQ=

□OFD,DF=EC,DQ=6,求AB的長.

答案解析部分

1.【答案】(1)證明：?.?四邊形MBCN是矩形，

??.LM=LN=90。，MB=NC

又??,點A是邊MN的中點，

??.AM=AN

???△AMB三AANC

(2)解：分別過點D、A作D/FBC、AGlBC,垂足為F、G,如圖:

v?AMB≤ΔANC

：.AB=AC,

???MB=6,BC=16

???BG=8/???AG—6

AB=AC=10

VAD=BE—t,??.BD=10—t,

DF

?*?-———-1-0-~--t-

610

解得DF=∣(10-t)

1

???S2DE=EBE?DF=7.5

.?.∣(10-t)?t=15解得t=5.

答：t為5秒時，ABDE的面積為7.5cm2.

(3)解：存在.理由如下：

①當BE=DE時，ABDEFBCA,

BE_BDg∏t_10-t

而=阮即TU=T6^'

解得t=瑞，

②當BD=DE時，△BDESXBAC,

BE_BD∏∏t_10-t

BC=AB16=~10~9

解得t=瞿.

答：存在時間t為患或整秒時，使得ABDE與AABC相似.

2.【答案】(1)解：如圖，連接AC,BD,

由格點圖可得BD□AC,

/.△AOCBOD,

(2)等

3.【答案】(1)證明：如圖.

Y四邊形ABCD是平行四邊形，

.?.AB□CD,ADDBC.

ΛCB=CECF,□DAE=□AEB.

XV□DAE=□F,

ΛCAEB=DF.

ΛCABE□□ECF.

(2)解：,.?ABE□□ECF,

.AB_BE

'"EC^CF

,：四邊形ABCD是平行四邊形，

ΛBC=AD=8.

ΛEC=BC-BE=8-2="6."

.5_2

?,6=CF-

.r∏12

'-CF=T.

4.【答案】(1)證明：YAD是口ABC的中線，.?.BD=CD,

Y匚FDC和匚EDB是對頂角，二匚FDC=口EDB,

又TBEAE,CFIIAE,ΛIIDFC=DDEB=90°,

???匚BDE□□CDF（AAS）,ΛDE=DF

（2）解：設(shè)BH=IlxlHC=5%則BD=CD=^BC=8x

DH=3x,HC=5%

①：EHLAB

二匚EDH□□ADB.?彩=器=於DE=DF

.DF_3

,,DA^8

②?.符=∣.?.篙=∣?.澆=∣ΛFH□ACΛPH□AC

VEG□ABΛ四邊形HGAP為平行四邊形

5.【答案】（1）解：'JAD=3,AC=6,AE=4,AB=8,

Λ。E1

a=-=-

C82

???A=二A,

???匚ADE匚ACB,

.DE_1

**BC=2'

?：BC=7

，DE=J

（2）解：Y第二工=2

EC6-4

?SAADE_4E_p

一阮一''

?SADEC=Q，

??ADE=2a

V□ADECACB

?SdADE_A2

.2a=1

??SABDC+0+2Q4，

:?S&BDE=5Q.

6.【答案】（1）證明：VAB=AC,CD=CA,

ΛCABC=□ACB,AB=CD,

Y四邊形ABCE是圓內(nèi)接四邊形，

???匚ECD=口BAE,□CED=□ABC,

?.?匚ABC=□ACB=口AEB,

：,CED=IIAEB,

Λ□ABE□□CDE(AAS)；

(2)60°；9

.??點P的坐標為(耨)；

(2)解：???直線y=-2x+4分別交X軸，y軸于點E,F,

???E(2,0),尸(0,4),

?.OE=2,OF=4,

延長BA交X軸于D,

設(shè)A[afa),

AC=AB=a,

???點A在直線OP上，

:?AC=AD=a,

:?BD=2a,

VBD//OF,

???△EDB△EFO,

t,OE^OF

2—a_2a

??=T

?α=1,

???點P到線段AB的距離=∣-1=J.

22

8.【答案】（1）解：根據(jù)勾股定理得：BA=√6+8

分兩種情況討論:

①當口BPQ□□BAC時，黑=祟，

DADL

VBP=5t,QC=4t,AB=10,BC=8,

?5t_84t

，解得，t=l,

②當□BPQ□□BCA時，煞=晉，

DCDA

?5t8-4￡紹7日t-32

???^=F-'解得'Q41;

Λt=l或言時，□BPQ□□BCA

(2)解：過P作PMLBC于點M,AQ,CP交于點N,如圖所示:

貝IJPB=53PM=3t,MC=8-43

V□NAC+□NCA=90o,□PCM+□NCA=90o,

ΛCNAC=□PCM,

VLACQ=DPMC,

???匚ACQ□匚CMP,

.AC_CQ

.?.$=等，解得t=

9.【答案】(1)證明：如圖1,???AC平分匚BAD,

Λ□BAC=□DAC,

：.BD=CD

ΛBC=CD.

(2)解：如圖所示，延長AB至點E,使BE=AD,連接EC,

??四邊形BACD為圓的內(nèi)接四邊形，

?□ABC+□ADC=180o,Λ□EBC=DADC,

??BC=CD,

??ACD□匚ECB(SAS),

??EC=AC,

∕AD+AB=√2AC,

?AE=√2AC=√2EC,

?AC2+EC2=AE2,

，ECA=90o,

?'?S∕ACE=^i4C2=8,

ΛAC=4.

(3)解：V□ADB=□FDB,CF□BD,

???匚DFG=口BDF,匚G=口BDA,

Λ□DFG=□G,

JAD=DF=DG,

VAD=2,ΛDF=DG=2,

???D為AG的中點，

V□DCG=□BDC,CBDC=□BAC=□CAG,

ΛLDCG=□CAG,

又?.?□G=口CGA,Λ□DCG□□ACG,

?DG_CG日口2_CG

,'CG^AG'即CG=T'

ΛCG=2√2.

IO.【答案】(1)80；8√3

(2)解：過點B作BE□AD交AC于點E,如圖3所示:

D

'O

C

圖3

VAC□AD,BE□AD,

ΛCDAC=□BEA=90o,

VCAOD=□EOB,

.?AOD□□EOB,

.BO_E0_BE

"OD=AO=DA

VBO：OD=I:3,

.EO_BE__1

^A0=DA=3

VAO=6√3,

ΛEO=IA0=2√3，

ΛAE=A0+E0=6√3+2√3=8√3,

V□ABC=□ACB=75o,

ΛCBAC=30o,AB=AC,

ΛAB=2BE,

在Rt□AEB中，BE2+AE2=AB2,BR(8√3)?+BE』(2BE)2,

解得：BE=8,

.?AB=AC=16,AD=3BE=24,

在Rt□CAD中，AC2÷AD2=DC2,BP162+242=DC2,

解得：DC=8√13.

IL【答案】(1)證明：???AO=OD,

Λ□OAD=□ADO,

VOC平分□BOD,

ΛCDOC=□COB,

又V□DOC÷□COB□=□OAD÷LADO,

???匚ADo=口DOC,

ΛCO□AD;

(2)解：VOA=OB=OC,

.?ADB=90o,

???LAOD和匚ABD是等腰直角三角形,

ΛAD=√2AO,

VDE=DF,

Λ□DFE=DAED,

Y匚DFE=口AFO,

Λ□AFO=□AED,

?/AOF=□ADE=90o,

Λ□ADE□□AOF,

圖2

VOD=OB,□BOC=□DOC,Λ□BOC□□DOC(SAS),JBC=CD,

設(shè)BC=CD=X,CG=m,則0G=2-m,

VOB2-OG2=BC2-CG2,

(2-m)2=x2-m2,解得：m=iχ2,ΛOG=2—iχ2,

VOD=OB,LIDOG=□BOG,JG為BD的中點，

又?.?0為AB的中點，.?.AD=2OG=4-∣χ2,

二四邊形ABCD的周長為2BC+AD+AB=2x+4-∣χ2÷4=-∣χ2+2x+8=

-4(x-2)2+lθ?

???—O,.?.x=2時，四邊形ABCD的周長有最大值為10..?.BC=2,

.?.匚BCO為等邊三角形，ΛCBOC=60o,VOC□AD,Λ□DAC=□COB=60o,

Λ：ADF=□DOC=60o,□DAE=30o,ΛDAFD=90°,二若=孚，DF=?

DA,

?DE2√3

12.【答案】(1)解：?.?在Λt?ΛCFφ,匚C=90°,AC=4cm,BC=3cm,

???AB=yjAC2+BC2=√42+32=5(cm)，

由題意得：BP=tcm,AQ=2tcm,

???AP=AB-BP=(5—t)cm,

當點A在PQ垂直平分線上時，貝IjAP=ZQ,即5T=23

解得t=|，

當t=I時，點A在PQ垂直平分線上.

(2)解：①當NZQP=90。時，?A=?A,NAQP=ZC=90。,

.?.ΔAQP~ΔACB,

.AQ_AP∏2t5-t

"AC^AB,g即彳-一丁’

解得t=當

②當NAPQ=90°時，NA=ZA,Z.APQ=ZC=90°,

APQ-ΔACB,

APAQH∏5—t2t

????c=?'即丁=虧’

解得t=卷

.?.綜上所述，當t為學或患時，AAPQ為直角三角形.

(3)解：如圖，過點P作PHL4C于”，

.??PHIlBC,

???△APH—△ABC,

PH_AP即粵=5-t

=ABf丁

解得P”=3-∣t,

11

PH-X2X

2-2-L(3-?ξt),即y=-，產(chǎn)+3C(OVtV2),

在PQ把4面積平分，則SAAPQ=2^?ABCf

311

t2+3t=XX3X4

-5-2-2-

得

舶

VO<t<2,

?-5-√5

??t^-τ~,

.?.存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt△4CB的面積平分，此時t的值為空.

13.【答案】(1)解：解方程%2-12%+32=0可得χ=4或x=8,VOA.OB的長是

關(guān)于X的一元二次方程/-i2x+32=0的兩個實數(shù)根，且OB>OA,ΛOA=4,

0B=8,ΛA(0,4),B(-8,0),設(shè)直線AB解析式為y=kx+b,

(D—4，

解得I2，直線AB解析式為y=鼻+4；

伍=4,2

(2)解：：四邊形AoCD為正方形，/.AD=CD=OC=OA=4,ΛC(-4,0),在

y=∣x+4中，令x=-4,可得y=2,ΛPC=PD=2,設(shè)Q(x,0),則CQ=IX+4],*/

以P、C、Q為頂點的三角形與口ADP相似，二有□PCQ口匚PDA和口PCQ□□ADP兩

種情況，①當口PCQ□□PDAH寸，則有為=器，即I=在抖，解得x=0或

x=-8,此時Q點坐標為(-8,0)或(0,0)；②當□PCQ□□ADP時,則有憑=器，

即k+ii,解得χ=-3或x=-5,此時Q點坐標為(-3,0)或(-5,0)；綜上可知存

在滿足條件的點Q,其坐標為(-8,0)或(0,0)或(-3,0)或(-5,0)；

(3)解：由題意可設(shè)M(0,y),VA(0,4),C(-4,0),.,.AC=4√2,當AC為菱

形的一邊時，則有AC=AM,S[J∣y-4∣=4√2，解得y=4±4√2,此時M點坐標為

(0,4+4√2)或(0,4-4√2);當AC為菱形的對角線時，則有MA=MC,由題意

可知此時M點即為O點，此時M點坐標為(0,0)；綜上可知存在滿足條件的M點，

其坐標為(0,4+4√2)或(0,4-4√2)或(0，0).

14.【答案】(1)=

(2)解：過點O作。Gj_MN,交MN于點G

C

GM=GN

.?MP-NP=(GM÷GP)一(GN-GP)=2GP

VOGIMN

?*?OP?cos?OPQ=OP×-Qp=GP

：.MP-NP=20P?cos?OPQ;

(3)解：點O作。G,MN,交MN于點G,連接BN、MD,AP

VMQ=m?MP,NQ=n?NP

.*.m+n

=MQNQ

~~MP~NP

MP-PQNP-PQ

=-MP-+-^NP-

11

=2+PQ加麗)

MP-NP

=2+PQxNPxMP

根據(jù)(2)的結(jié)論，得MP-NP=2GP

PQxGP

.*.m+n=2+2

NP×MP

■:乙GPO=乙OPQ,Z.PGO=?POQ=90°

Λ△PGOFPOQ

???笳暇，即GPXPQ=OP2

?:乙BNM=乙BDM,乙BPN=(MPD

Λ△BNPSAMDP

.NP_BP

??訴=而

VOB=OD=OA

：.NPXMP=BPXDP=(OB-OP)(OD+OP)=OB2-OP2

??CAPO=60o

∩Δ—

?,?tanZ.∕lPO=市=√3

：.OA=WOP

.,?OB=√3OP

：.NP×MP=OB2-OP2=2OP2

.??τn+n=2+2x^^=2+2><嘉=3;

②實數(shù)c的最大值為2√Σ?

15.【答案】(1)證明：連結(jié)OC.

YCD與□0相切，OC為半徑，

ΛC2+□3=90o,

TAB是□0的直徑，

ΛCACB=90o,

Λ□l+□B=90o,

XVOA=OC,

Λ□l=□2,

Λ□3=□B,

即B=DCA.

(2)解：VAD□BC,AB是匚O的直徑,

Λ□DAC=□ACB=90o,

V□l+□B=90o,□2+□3=90o,□1=□2,

."B=3,

ΛCABC□□DCA,

.AC_BC

,'DC"AB'

,.?B的正切值為呼，

設(shè)AC=√5fc,BC=2k,貝IJAB=3k,

??_2

,,~DC=3'

?3√5∕c

??DnCr=~T~

在ODC中，OD=3√6，OC=?AB=∣k,

222

Λ(3^)+(∣fc)=(3√6)，

，解得：k=2,

???口0的半徑長為3.

16.【答案】(1)證明：如圖1,延長Ao交O于M,連接DM,則AM是口0直徑,

???匚AMD+□MAD=900

VAC□BD,

"AEB=90。，

Λ□BAC+□ABD=90o,

V□ABD=□AMD,

□AMD+ZMAD=90o,

.?BAC=□MAD,

即匚BAC=口OAD；

(2)證明：如圖2,

???BAC÷CAO=OAD+；ICAO,

ΛCBAF=□CAD,

?.,ABD=□ACD,

ΛCABF□□ACD,

.AB_BF

??衣=R

VAC=CD,

ΛAB=BF；

(3)解：連接OC、OD,在線CA上取Q∣,使得CQl=DQ=6,連接QQ∣,OQ1,線

段QQI和線段0交于點P,再過圓心0作OOI□AC于點如圖：

c

由(2)知：□ABF□□ACD,

ΛCEFA=□CDA,

V□CDA=□EAD

Λ□EAD=DEFA,

又?.?□AEF=匚DEA=90°,

，匚EFA□E2EAD,

.EF_AE

-AE=DE9

VAC=CD,EC=DF,

.?.AE=AC-EC=CD-EC=CD-DF,

;DE=EF+DF,

,EF_CD-DF

a*CD-DF=FF+DF,

J(CD-DF)2=EF(EF+DF)①，

Y