湖南省邵陽市2022-2023學(xué)年高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題 含解析

2023年邵陽市高三第二次聯(lián)考試題卷

數(shù)學(xué)

一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的）

3-i

1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)-1+i（i為虛數(shù)單位）對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】C

【解析】

【分析】先化簡復(fù)數(shù)為代數(shù)形式，再判斷對應(yīng)的點所在的象限即可.

【詳解】依題意=J]+$（_>；）=-2τ,對應(yīng)的點為（一2,-1）在第三象限.

故選：C.

2.已知集合Z=B=[m+l,2m-l].若“xe8”是“xeZ”的充分不必要條件，則機(jī)的取值

范圍是（）

A.（-∞,3]B.（2,3]C.0D.[2,3]

【答案】B

【解析】

【分析】若“xeB”是“xeZ”的充分不必要條件，則BA,列出不等式組求解即可.

【詳解】若”是“xeZ”的充分不必要條件，則BA,

陽+1<2加一1

所以』+12-2,解得2<m≤3,即加的取值范圍是（2,3].

2加一1≤5

故選：B.

3.已知向量z=（l,3）,6=（1,-1）,C=（4,5）.若Z與5+形垂直，則實數(shù)2的值為（）

244

A.—B.—C.2D.----

19117

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算，垂直向量的坐標(biāo)運算，可得答案.

【詳解】由題意，?+∕l?=(l+4∕l,5Λ-l),由Z與否+4"垂直，則[倒+&)=0,

2

g[Jl+4Λ+3×(5Λ-l)=0,解得；I=歷.

故選：A.

∣log5jr∣,0<X<5,

4.已知函數(shù)/(x)=<若存在實數(shù)X1,巧，X,%(%<%<X<X),滿足

-cos—X,5≤x≤15.341234

(5J

/(xl)=∕(x2)=∕(x3)=∕(x4),則X]X2X3X4的取值范圍是()

B.(0,100)D.(75,100)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，畫出圖象，即可圖象以及函數(shù)的對稱性即可求解臨界位置，即可求解.

【詳解】畫出/(χ)的圖象如下圖：

—cos"=_cos]XJ

由題意可知

-Iog5xi=Iog5x2=>xlx2=1,由圖象可知X3,X4關(guān)于直線

X=IO對稱，所以X3+Z=2O,因此XlX2七5=WS，

當(dāng)一CoSlFX3)=-COS(FX4)=1時，*3=5,兀=15,此時X3X4=75,

(π}(兀、八…1525”Q375

Izx

?-COS∣yX3I=-COsIyX4I=O?,X3=~^4=~'此時X3Z=，

當(dāng)存在∣使得/(再)=/(工)/(》)(，時，此時

X,X2,Xi,X4(χ<X2<X3<X4)2=3=/(%)=4€°1)

X1X2X3X4=X3X4∈

故選：C

5.黨的二十大報告提出全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興.為振興鄉(xiāng)村經(jīng)濟(jì)，某市一知名電商平臺決定為鄉(xiāng)村的特色產(chǎn)品

開設(shè)直播帶貨專場.該特色產(chǎn)品的熱賣黃金時段為2023年2月1至4月1日，為了解直播的效果和關(guān)注度,

該電商平臺統(tǒng)計了已直播的2023年2月1日至2月5日時段的相關(guān)數(shù)據(jù)，這5天的第X天到該電商平臺專

營店購物人數(shù)ρ（單位：萬人）的數(shù)據(jù)如下表：

日期2月1日2月2日2月3日2月4日2月5日

第X天12345

人數(shù)y（單位:萬人）75849398100

依據(jù)表中的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，該電商平臺直播黃金時間的天數(shù)X與到該電商平臺專營店購物的人數(shù)J（單位：萬人）

具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，經(jīng)計算得，到該電商平臺專營店購物人數(shù)V與直播天數(shù)X的線性回歸方程為

y=6Ax+a.請預(yù)測從2023年2月1日起的第38天到該專營店購物的人數(shù)（單位：萬人）為（）

A.312B.313C.314D.315

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心，建立方程，可得參數(shù)，即可得答案.

-1+2+3+4+5、-75+84+93+98+100C八

【詳解】由題意,X=-------------------=3,y--------------------------------=90，

55

將（3,90）代入「=6.4%+。，可得90=6.4x3+α,解得α=70.8,

線性回歸直線方程為j=6.4x+70.8,將x=38代入上式，j=6.4χ38+70.8=314?

故選：C.

χ2

6.己知橢圓、+

l（α>b>O）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,半焦距為c.在橢圓上存在點尸使得

ab2

.f=?∕w，則橢圓離心率的取值范圍是()

sin/-PFxF1sin^PF2F1

A.[√2-l,l)B.(√2-l,l)C,(θ,√2-l)D.(θ,√2-l]

【答案】B

【解析】

cSinZPF2F,IPGlIPGlll2ac

【分析】由正弦定理及橢圓定義得一=.=EV=C，得儼片=一絲，結(jié)合

1l

aSinZPF1F2?PF2?2a-\PF]?'a+c

仍居∣e(α-c,α+c),得關(guān)于e的不等式，從而求出e的范圍.

,accSinNPF,KIPEjIPKl,,2ac

【詳解】由二~=-~>得一=.=3—EFT，得zIPKl=-------，

11

sinAPFxF2sinZPF2F1aSmZPFlF2?PP2?2α-∣尸用Q+C

又IP￡Ie(α—c,α+c),貝IJa-c<------<a+c,

a+c

a2-c1<2ac<(α+c)2,BPe2+2e-1>O>

又ee(O,l),.?.ee(?/l-L1).

故選：B.

7.如圖所示，在矩形力BC。中，AB=BAD=I,/尸_L平面力SCD,且Z/7=3,點E為線段CO

(除端點外)上的動點，沿直線NE將A。/E翻折到AD'ZE,則下列說法中正確的是()

A.當(dāng)點E固定在線段CQ的某位置時，點。C的運動軌跡為球面

B.存在點E，使/81平面。'/E

C.點A到平面BCE的距離為坦

2

√B√io^

D.異面直線E尸與SC所成角的余弦值的取值范圍是

【答案】D

【解析】

【分析】當(dāng)點E固定在線段CD的某位置時，線段/E的長度為定值，AD'LD'E,過。，作。'HlZE于

點”，，為定點，。力的長度為定值，由此可判斷A；無論E在CD(端點除外)的哪個位置，AB均

不與ZE垂直，即可判斷B；以刀，AD'萬?為X，y，Z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面BCE

的法向量為兀由點A到平面BC尸的距離公式d=jηψ1求解，即可判斷C；設(shè)E(j3∕l,l,θ),Λ∈(0,1),

利用向量夾角公式求解，即可判斷D.

選項A：當(dāng)點E固定在線段CQ的某位置時，線段ZE的長度為定值，AD'1D'E-過。，作。7/，ZE于

點，，”為定點，D'H的長度為定值,且在過點”與ZE垂直的平面內(nèi)，故。C的軌跡是以4為圓

心，為半徑的圓，故A錯；

選項B：無論E在CO(端點除外)的哪個位置，46均不與/E垂直，故ZB不與平面ZO'E垂直，故B

錯；

選項C：以方，而，刀為x,y,z的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則4(0,0,0),F(0,0,3),5(√3,θ,θ),

C(√3,l,θ).

BC=(0,1,0),BF=(-√3,0,3),AB=(√3,0,0)，

,、n-BC=y=0_-

設(shè)平面BCF的法向量為"→=(x,κz),.?.<一—L，取〃=(百r,0/)，

nBF=-y∣3x+3z=0

則點A到平面BCF的距離為d故C錯;

選項D：設(shè)E("M,0),Λ∈(O,1),元=(0,1,0),麗=卜后,—1,3),設(shè)收與BC所成的角為

故D正確.

故選：D.

8.若不等式In(X-I)≥0對任意xe[2e+l,+e)恒成立，則正實數(shù)f的取值范圍是()

ln2In2+1ln2ln2+l

A,--------+∞B.,+8C.

2e+l92e+l2e+l,2e+l

【答案】B

【解析】

【分析】由題意得加隆6心卜山(》—1)恒成立，令/(x)=xe'(x>l),貝∣J∕(fx"∕(ln(x-1))恒成

立，利用/(x)的單調(diào)性可得及NIn(X-1)在χN2e+l時恒成立，即f≥電9二D(XN2e+l)恒成立，構(gòu)

造函數(shù)g(x)=蛇二D(X≥2e+l),由其單調(diào)性得g(x)≤g(2e+l)=也±?,即可得出答案.

X2e+1

【詳解】因為xN2e+l,忙”一(1一B)In(X—1)≥0恒成立，

即rxe,γ>(x-l)ln(x-l)=eM(I)?In(x-1)恒成立.

令f(x)=xex(x>O),則/(ZX)≥∕(ln(x-1))恒成立.

因為/"(x)=(x+l)e'〉0恒成立，故/(x)單調(diào)遞增，

所以∕xNIn(X-1)在χ≥2e+l時恒成立，

.?.t>In(X7)(X>2e+1)恒成立.

ln(x-l)

令g(x)=(x≥2e+1)?

X

,/?——In(X-I)

g(尤)一-一:x-(x-l)ln(x-l)

X2X2(x-l)

令〃(X)=X-(X-I)In(X-I)(X≥2e+l),則〃'(x)=-ln(x-l)<O

.?."x)單調(diào)遞減.???/z(x)<〃(2e+l)=2e+l—(2e+l—l)?ln(2e+l—1)=1—2eln2=l—eln4<0,即

F(X)<o,

.?.g(x)單調(diào)遞減，故g(x)≤g(2e+l)=絆里.

則正實數(shù)，的取值范圍是用?,+001.

2e+lJ

故選：B.

【點睛】方法點睛：不等式恒成立問題常見方法：①分離參數(shù)法：分離出函數(shù)中的參數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為求新

函數(shù)的最值或范圍.若αN∕(x)恒成立，則α≥∕(x)gt;若α<∕(x)恒成立，則α≤∕(x)mπl(wèi);②最值

法:通過對函數(shù)最值的討論得出結(jié)果.若∕3≥0恒成立，則/(x)mm≥0;若/(x)≤0恒成立，則f(x)ma≤°;

③分段討論法：對變量X進(jìn)行分段討論，然后再綜合處理.

二、多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有多項

是符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得。分)

—1———■3——

9.在正方體力3CE>-44GA中，AE=-AAi,CF=-CCi,則()

A.NEBF為鈍角

B.AD1VAxC

C.ED〃平面BQ尸

D.直線EF與平面BBxCxC所成角的正弦值為I

【答案】BCD

【解析】

前.而______

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算cosNBER=Illl判斷A；通過計算位?蘋=O判斷B；

?BE??BF?

求出平面與。尸的法向量通過驗證由G=O判斷c；皮是平面的一個法向量，借助向量夾

角公式可判斷D.

【詳解】令44∣=4,以。為原點，分別以所在直線為XZ軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

5(4,4,0),￡(4,0,1),F(0,4,3),礪=(0,-4,1),旃=(-4,0,3)，

BEBF3

CoSNBER=同時=《而＞0,則NEBR為銳角，故A錯誤；

?.?/(4,0,0),Z)l(0,0,4),A1(4,0,4),C(0,4,0)西=(-4,0,4),1^=(-4,4,-4)，

.?.∕D∣?&C=-4x(—4)+0x4+4x(—4)=0,/.AD11A1C,故B正確;

Z)(0,0,0),5l(4,4,4),5,F=(-4,0,-1),JS1D1=(-4,-4,0),ΛD=(-4,0,-1),

nBF=0f-4x-z=0

設(shè)平面BQ尸的法向量為萬=(x∕,z),.?.1

萬.麗=o,[_4x_”=0

不妨設(shè)X=1,則y=-l,z=-4,”=(L-I,-4)，

.?.^5.^=-4×l+0×(-l)+(-l)×(-4)=0,

.?,EDln>又EDa平面B∣D∣F,則Ez)〃平面用。尸，故C正確；

OCJ_平面88cle,則皮=(0,4,0)是平面64GC的一個法向量，又而=(-4,4,2)，

EFDC]62

則直線EF與平面BBlGC所成角的正弦值為,,=--=-,故D正確.

EF^DC6x43

故選：BCD.

10.若函數(shù)/(x)=2cos<ur(cos5—sin5)-l(ω>0)的最小正周期為兀，則()

A.∕j一二]=一如B./(x)在號]上單調(diào)遞增

[24)2124」

JΓJT

C.7(x)在0,y內(nèi)有5個零點D./(X)在一H上的值域為

【答案】BC

【解析】

【分析】根據(jù)二倍角公式化簡/(X)=后cos05+由周期可得/(x)=√Σcos12x+Ej,代入即

可判斷A,根據(jù)整體法即可判斷BD,令/(x)=0,根據(jù)CoS(2x+：)=0即可求解滿足條件的零點，即可

判斷C.

【詳解】

/(x)=2cos69x(cos^x-sin0>x)-l=2cos26υx-2cos6υxsin^x-l=cos269x-sin269x=也CGS26υx+—

由最小正周期為兀，可得兀=T?n/=1,故/(x)=JIcos(2x+：),

對于AJ卜鼾岳。S注+；卜屬吟當(dāng)故A錯誤;

Tr37Γτr/TT7TT

對于B當(dāng)x∈時，2x+-∈—?[π,2π],止匕時/(x)單調(diào)遞增，故B正確;

對于C,令/(x)=JΣcos(2x+S=O=>cos(2x+?j=O,

TrirTrSTT

所以2x+一=±一+2hτnX=—+Aπ,或X=-----+kτι,k∈Z,

4288

當(dāng)XeOW時，滿足要求的有X?萼,χ=等,χ=挈,χ=孚，故有5個零點，故C正確;

2OO8OO

對于D,當(dāng)x∈-時，2x+：e一:《，則CoS(2x+：)e-?,l,?,/'(%)∈[-1,Λ∕2J,所

以D錯誤.

故選：BC.

11.已知點P為定圓。上的動點，點A為圓0所在平面上的定點，線段4尸的中垂線交直線OP于點。，

則點。的軌跡可能是()

A.一個點B.直線C.橢圓D.雙曲線

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)分類討論思想，分點A在圓內(nèi)、圓上、圓外三種情況，結(jié)合橢圓、雙曲線的定義，可得答案

【詳解】分以下幾種情況討論：設(shè)定圓。的半徑為R,

①當(dāng)點A在圓。上，連接04,則IoH=IoH,所以點。在線段工尸的中垂線上，由中垂線的性質(zhì)可知

?AQ?=?PQ?.

又因為點0是線段NP的中垂線與OP的公共點，此時點。與點。重合，

此時，點0的軌跡為圓心。；故A正確；

②當(dāng)點A在圓。內(nèi)，且點A不與圓心。重合，連接Z。，由中垂線的性質(zhì)可得=尸

所以，|。旬+1。。I=IoZl+1。Pl=IoPl=R〉|。4

此時，點。的軌跡是以點出。為焦點，且長軸長為R的橢圓，故C正確；

③當(dāng)點A在圓。外：連接N。，由中垂線的性質(zhì)可得IoH=|00|,

所以，||例一IQOII=II叫一∣03==R<,

此時，點。的軌進(jìn)是以點力,。為焦點，且實軸長為尺的雙曲線.故D正確.

故選：ACD.

12.已知函數(shù)/(x)=e'ln(x+l),/'(X)是/(;V)的導(dǎo)數(shù)，則()

A.函數(shù)y=∕'(x)在(0,+功上單調(diào)遞增

B.函數(shù)y=∕'(x)有唯一極小值

C.函數(shù)V=/(X)-X在(TO)上有且只有一個零點，，且

D.對于任意的X1,∕?°，+8)，/(Xl+》2)>/(否)+/(9)恒成立

【答案】ABD

【解析】

【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用二次導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷導(dǎo)函數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而判斷選項A,B；構(gòu)造函數(shù)，

利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性并證明不等式，進(jìn)而判斷選項C5D.

【詳解】∕,(x)=ejt?ln(l+x)+ex,——=evIn(1+%)+——,

1+X1+X

g(x)=∕'(x)=e'In。+》)+=；則")="hψ+χ)+=-宙

21

設(shè)力(X)=l∏(l+x)-I-------------------------

l+χ(l+χ)

122X2+1

力'(X)=>0.

1+7(l+x)^"(l+x)3(l+x)3

則函數(shù)MX)在(―1,+8)上單調(diào)遞增，A(x)≥Λ(0)=l>0,因此g'(x)〉0對任意的Xe(O,+8)恒成立,

所以g(x)在(0,+e)上單調(diào)遞增，故選項A正確;

又M—g)=—ln2+4—4<0,所以/?(—g)7(0)<0,則存在α∈(-；,0),使得Ma)=0.在xe(-l,α)

時，/?(x)<0；xe(α,+oo)時，Λ(x)>0；

所以函數(shù)/'(X)在(Ta)單調(diào)遞減，在(α,+s)單調(diào)遞增,

故/'(X)有唯一極小值，故選項B正確；

令加(X)=/(x)-x=evln(x+l)-x,-l<%<0,

則加'(x)=e*ln(l+x)+?j-----1=∕,(x)-l,

所以函數(shù)W(x)在(Ta)單調(diào)遞減，在(a,+8)單調(diào)遞增，

且"(0)=0,則有加(α)<0.

又wj,(e2-1)=ee1(—2+e2)—1>ec^l?e—1=ec—1>0?

因此存在Xoe(片2-l,α),使得加'(x0)=0,

當(dāng)一l<x<xf)時，m(x)>0,當(dāng)XO<x<0時，∕√(x)<0,

于是得函數(shù)〃[(x)在(T,x0)上單調(diào)遞增，在仇,0)上單調(diào)遞減，則加(XO)>"(0)=0.

又w(e^3-l)=-3ec",^'-e^3+l<-3e^'-e^3+1<0.

從而存在唯一fe(e-3-l,Xo),使得加?)=0.

顯然當(dāng)f<x<O時，加(χ)>0,當(dāng)一l<χ<∕時，加(x)<0.

II1?1,1、

又〃ZJe1n2+Ξ,令WzXx)=I1n》一萬(工一?,

V/()=l-l--L

γx,X2Ix1

因此函數(shù)V(X)在(0,+8)上單調(diào)遞減，“撲V⑴=0,

有哈翳2)_3?

4Ve

即/＜一；＜0,從而函數(shù)機(jī)(X)=/(x)-X在x∈(T,0)上有唯一零點fw(-l,-g

函數(shù)v=∕(χ)-χ在(T,0)上有且只有一個零點f，且.€卜1,一3),故選項C錯誤;

XI>0,X2>0,

X_X=v2

/(x1+^2)~/(I)/(2)e"**In(I+玉+W)-e'ln(l+x1)-e?ln(l+x2),

JC+X2ArX2

設(shè)θ(X)=/(x+x2)-/(x)-/(x2)=eln(l+x+x2)-eln(l+x)-eln(l+x2),x>o,

則0'(X)=e'+上ln(l÷x+x)d-------------evln(l÷x)+---=g(?+^)""^(x)

21+X+X^y1+X2

由選項A知,g(x)在(0,+的上單調(diào)遞增，而x+%2>x>0,則g(x+%2)>g(x)，

即有o'(x)=g(x+x2)-g(x)>0，因此函數(shù)e(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，

*(須)>0。，即有〃再+&)>

^(0)=∕(x2)-∕(0)-∕(x2)=-∕()=/(XI)+∕(Λ2),

所以對任意的X],e(0,+°o),總滿足/(x∣+X2)>∕(x∣)+∕(x2),故選項D正確.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問題，方法如下：

(1)直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式/(x)>g(x)(或/(x)<g(x))轉(zhuǎn)化為證明/(x)-g(x)>O(或

/(χ)-g(χ)＜o(jì))，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)人(X)=/(χ)-g(χ);

(2)適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；

(3)構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)論構(gòu)造輔助函數(shù).

三、填空題(本大題4小題，每小題5分，共20分)

13.若α>0,b>0,a+b=9,則36理+ci@的最小值為____.

ab

【答案】8

【解析】

【分析】由已知條件變形史+@=%土2+3=4+絲+3，然后利用基本不等式求解.

abahab

【詳解】若。>0,b>09a+b=9,

則迎+@=%地+巴=4+竺+3≥4+2、但W=8,當(dāng)且僅當(dāng)。=6,6=3時取等號，

ababab?ab

則史+3的最小值為8.

ab

故答案為：8.

14.在數(shù)學(xué)中，有一個被稱為自然常數(shù)(又叫歐拉數(shù))的常數(shù)eχ2.71828.小明在設(shè)置銀行卡的數(shù)字密碼

時，打算將自然常數(shù)的前6位數(shù)字2,7,1,8,2,8進(jìn)行某種排列得到密碼.如果排列時要求兩個2相鄰,

兩個8不相鄰，那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有個.

【答案】36

【解析】

【分析】根據(jù)相鄰問題用捆綁法和不相鄰問題用插空法即可求解.

【詳解】如果排列時要求兩個2相鄰，兩個8不相鄰，

兩個2捆綁看作一個元素與7,1全排列，排好后有4個空位，兩個8插入其中的2個空位中，注意到兩個

2,兩個8均為相同元素，

那么小明可以設(shè)置的不同密碼共有A；?Cj=36.

故答案為：36.

15.已知直線/是曲線y=ln(x—2)+2與y=ln(x-l)的公切線，則直線/與X軸的交點坐標(biāo)為.

【答案】(五詈，0)

【解析】

【分析】利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的切線方程，由題意，建立方程組，可得答案.

【詳解】設(shè)直線/與曲線V=In(X+2)+2和y=ln(x-l)分別相切于4(x∣∕J,8(%,外)兩點，

分別求導(dǎo)，得V=',4=一匚，

x-2x-1

故Ay-[ln(x∣-2)+2]=------(?-??),整理可得V=x+ln(x-2)+2---——.

-1

X1—2,x∣2X12

??JQ

同理得/號―In(X「1)=K(X―芍)，整理可得'=**+山小—1)一道

因為直線/為兩曲線的公切線,

113

所以《Xj—2%2—?,解得V2

5

ln(x1-2)+2--^4-=ln(x2-l)--^-芭

X]N?2

3+ln2

所以直線/的方程為y=2x—3-ln2,令y=0,則X=-----

2

則直線/與X軸的交點坐標(biāo)為

故答案為:8M

16.已知數(shù)列｛%｝滿足q=2,陽由=2("+2)4("∈N"),設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項和為S”，則數(shù)列｛α,,｝

的通項公式為凡=，S.+2

【答案】①.(M2+n)?2,(^,②.(〃2-〃+2"

【解析】

2(〃+2),利用累乘法得%=%χ"χ2χ…x-￡=(∕+").2"T,通過錯位相

【分析】由題得NiL=

%Mqa2%

減法求得S,,,進(jìn)而得出答案.

2(w+2)

【詳解】因為〃4,+∣=2(〃+2)%,且q=2κθ,所以爭

n

則當(dāng)〃≥2時,

a.a,a32x32x42×(π+l)

ll-2n2,,I

al=a,×^×-×???×——=2×-----×-X--…---XT——e-n(π+l)?2^'=(M+W)?2^.

?1aI%12(〃-1)

又當(dāng)〃=1時，q=2符合上式,

故生=(〃2+")?2"T.

由S“=q+%+???+α,,=(1X2)X20+(2X3)X2∣+…+〃(n+1)?2"T①

2S,,=lχ2χ2∣+?→(〃-1"2"T+”("+I)?"②

,,2,,lΠl(fā)23,r

φ-(2)^-Sn=2-M(∕7+l)?2+4?2'+6?2+???+2H?2^=-M(W+1)?2+(l?2+2?2+3?2+???+n?2).

令Z,=I?2∣+2?22+32+…+〃2,③

Λ27；,=1?22+2?23+???+(H-1)?2,,+H?2Λ+',④

,,+l

③一④得一7；=2∣+Q2+23+…+2")—小2向=2(；_；)_〃.2向=(-w+l)?2-2

Λ/；,=(/?-l)?2n+'+2.

故_5,=_〃(〃+1>2"+(〃―1)2川+2,

則S“=(〃2_〃+2).2"-2,即5.+2=(〃2_〃+2).2".

故答案為：(〃2+〃)?2"τ,(〃2一〃+2)?2".

四、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.已知S“為數(shù)列｛q｝的前“項和，α∣=2,Sn+i=Sn+4an-3,記6.=l0g2(%-1)+3.

(1)求數(shù)列也,｝的通項公式；

(2)已知q,=(T)”"?魯人，記數(shù)列｛.｝的前〃項和為7；,求證：Tll≥^.

4Pn+l21

【答案】(1)a=2"+l("eN")

(2)證明見解析

【解析】

【分析】(1)利用S“與%的關(guān)系，整理數(shù)列｛4｝的遞推公式，根據(jù)構(gòu)造法，可得通項，可得答案；

(2)寫出數(shù)列｛q,｝的通項，利用裂項相消，可得北，分奇偶兩種情況，可得答案.

【小問1詳解】

由SX=SZ,+乜一3,得SN—S“=M—3.

???%+∣=44”一3,貝IJ4+1T=4(?！耙?)?Λαl-1=2-1=1,

數(shù)列是以1為首項，4為公比的等比數(shù)列，

22

.?.%-1=4'i=2-(〃∈N*).?.?bn=Iog2(α,,-1)+3,

2n2

bιι=log22^+3=2"+l("eN'

【小問2詳解】

4+1

???cz,=(-ιy"

b,b,+ι

------2"+2----=?-f—!—+―!-]

???If"(2tt+l)(2n+3),72(2〃+12n+3)

Λ7；=c1+c2+c3+-+Cn

?

2

12

當(dāng)〃為奇數(shù)時,>—>

621

當(dāng)〃為偶數(shù)時，η,=∣[∣-τ47∣-｛北｝是遞增數(shù)列，???4,z心

2132"+3J2137J21

綜上得：ζ,>∣r.

18.人類從未停下對自然界探索的腳步，位于美洲大草原點C處正上空100百m的點尸處，一架無人機(jī)正

在對獵豹捕食羚羊的自然現(xiàn)象進(jìn)行航拍.已知位于點C西南方向的草從A處潛伏著一只饑餓的獵豹，獵豹

正盯著其東偏北15。方向上點B處的一只羚羊，且無人機(jī)拍攝獵豹的俯角為45。，拍攝羚羊的俯角為60。，假

設(shè)4,B,C三點在同一水平面上.

(1)求此時獵豹與羚羊之間的距離48的長度；

(2)若此時獵豹到點C處比到點8處的距離更近，且開始以25m∕s的速度出擊，與此同時機(jī)警的羚羊以

20m∕s的速度沿北偏東15。方向逃跑，已知獵豹受耐力限制，最多能持續(xù)奔跑600m,試問獵豹這次捕獵是

否有成功的可能?請說明原因.

【答案】(1)分類討論，答案見解析；

(2)不能捕獵成功，原因見解析.

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，作圖，結(jié)合圖中的幾何元素，利用三角函數(shù)以及正弦定理，結(jié)合分類討論思想，

可得答案；

(2)由題意作圖，設(shè)出時間，利用余弦定理，整理方程，利用零點存在性定理，可得答案.

【小問1詳解】

由題意作圖如下:

則Z^PC=45°,ZCBP=60o,/"C=45°—15°=30°

PCPC

AC==100√3m,BC==IOOm.

tanNAPCtanZCBP

ACBC

由正弦定理,可得sinNABC=~

SinNABCsinZ.BAC2

因此NNBC=60°或120。,

當(dāng)N∕8C=60。時，4CB=90。，獵豹與羚羊之間的距離為ZB=4AC?+BC?=20Om,

當(dāng)48C=120°,ZACB=30。=NBAC,獵豹與羚羊之間的距離為力B=BC=IOOm.

【小問2詳解】

由題意作圖如下:

設(shè)捕獵成功所需的最短時間為/,

在AAS。中，BQ=20z,AQ=25t,/8=200,ZABQ=UOo.

由余弦定理得：625r=400』+20()2-2x20/X2OOX

整理得：9∕2-160∕-1600=0?

方法1：設(shè)/(7)=9/—160/—1600,顯然/(0)<0,/<0,

因獵豹能堅持奔跑最長時間為24s,且/（24）=-256<0.

.?.獵豹不能捕獵成功.

19.如圖所示，在四棱錐尸—48CZ）中，底面ZBCD是等腰梯形，AB//CD,ZB=28=4.平面PZB，

平面Z88,O為48的中點，ZDAOΛAOP=60o,OA=OP,E,F,G分別為6C,PD,PC

的中點.

（1）求證：平面尸CD_L平面ZFG3；

（2）求平面尸。E與平面/8CD所成銳二面角的正切值.

【答案】（1）證明見解析

⑵短

5

【解析】

【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理以及性質(zhì)定理，結(jié)合面面垂直判定定理，可得答案;

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量計算公式，可得答案.

【小問1詳解】

如圖所示，取力。的中點，，連接HP,

在等腰梯形48CZ)中，AB1/CD,/8=4,CD=2,ZDAO60°.

為/8的中點，即有四邊形Sa)O是平行四邊形,

/.ODUBC,NDOA=ZCBO=NDAO=60°.

.?.AiOZO為正三角形，.?.ZD=2,HDlAO.

在A"。尸中，OA=OP=2,NZOP=60°,

，△/。尸為邊長為2的正三角形，.?.ZP=2,PHLAO.

.,.AP=AD,又尸為Fo的中點，.?.∕77,PD?

VHDlAO,PHLAO,HDCPH=H,HD,PHu平面PHD，

4。J■平面尸〃。，即/8人平面PM).「PDu平面PHD，.「NB，尸￡>.

而G為尸C中點，則FGHCD/1AB,又；4Fc4B=4,AF,AFGB,：.PDmAFGB.

,：PDU平面PCD,：.平面PCD1平面AFGB.

【小問2詳解】

?/PH±AB,平面PASL平面ZBCZ),平面P48C平面/BCD=ZB,PHU平面P4B，

.*.PH_1_平面Z8CD,

...由(1)知，PH,HD,48兩兩垂直,

以，為坐標(biāo)原點，HD,HB,HP所在直線分別為X軸，y軸，Z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

3

則H(0,0,0),∕(θ,θ,√3),Z)(√3,θ,θ),E,,U,

22/

于是而=(0,0,√J),P5=(√3,0,-√3),DE當(dāng)?

設(shè)平面PDE的法向量為?=(x,y,z)，

v??_?/?z-0,

亢PD=O,

則萬(也,

則一即《√35取x=5,=5,5b

n-DE=0,------%+—y=0,

22

設(shè)平面PDE與平面ABCD所成銳二面角為θ,

?/麗為平面ZBC。的一個法向量,

.?.cos。=卜OS瓦麗〃'H"5√35

√53'

.?.Sine=Jl—cos?。=芝,tan6=?^?=迫

√53cos。5

，平面PDE與平面48CZ)所成銳二面角的正切值為空.

5

20.為響應(yīng)習(xí)近平總書記“全民健身”的號召，促進(jìn)學(xué)生德智體美勞全面發(fā)展，某校舉行校園足球比賽.根

據(jù)比賽規(guī)則，淘汰賽階段，參賽雙方有時需要通過“點球大戰(zhàn)”的方式?jīng)Q定勝負(fù).“點球大戰(zhàn)”的規(guī)則如

下：

①兩隊各派5名隊員，雙方輪流踢點球，累計進(jìn)球個數(shù)多者勝:

②如果在踢滿5輪前，一隊的進(jìn)球數(shù)已多于另一隊踢滿5輪最多可能射中的球數(shù)，則不需要再踢（例如：

第4輪結(jié)束時，雙方“點球大戰(zhàn)”的進(jìn)球數(shù)比為2:0,則不需要再踢第5輪）；

③若前5輪“點球大戰(zhàn)”中雙方進(jìn)球數(shù)持平，則從第6輪起，雙方每輪各派1人踢點球，若均進(jìn)球或均不

進(jìn)球，則繼續(xù)下一輪，直到出現(xiàn)一方進(jìn)球另一方不進(jìn)球的情況，進(jìn)球方勝出.

假設(shè)每輪點球中進(jìn)球與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響.

（1）假設(shè)踢點球的球員等可能地隨機(jī)選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地選擇球門的

左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確，左右兩邊將球撲出的可能性為工，中間方向

5

3

撲出的可能性為三?若球員射門均在門內(nèi)，在一次“點球大戰(zhàn)”中，求門將在前4次撲出點球的個數(shù)X的

5

分布列和數(shù)學(xué)期望.

（2）現(xiàn)有甲、乙兩隊在淘汰賽中相遇，需要通過“點球大戰(zhàn)”來決定勝負(fù).設(shè)甲隊每名隊員射進(jìn)點球的概

32

率均為一，乙隊每名隊員射進(jìn)點球的概率均為彳，若甲隊先踢，求甲隊恰在第4輪取得勝利的概率.

43

4

【答案】（1）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為一；

9

、125

（2）——

768

【解析】

【分析】（1）根據(jù)二項分布的概率計算公式即可求解

（2）根據(jù)前3輪比分為1:0,2:0,2:1,3:1,3:2時，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法計算公式即可逐

一求解.

【小問1詳解】

p（每次撲出點球）=-×-×-+-×-×-+-×-×-=-.

3353353359

X的所有可能取值為0,1,2,3,4....P（X=0）=C；x1*x]∣?）=黑牛.

P(X=I)=CI

P(X=2)=C；

P(X=3)=0

P(X=4)=C：

.?.X的分布列

X01234

40962048384321

P

65βT6561656165616561

14

.?.E(X)=4xg=3

【小問2詳解】

若甲隊恰在第4輪取得勝利，則前3輪結(jié)束時比分可能為1:0,2:0,2:1,3:1,3:2.分別記前3輪

比分為1:0,2:0,2:1,3:1,3:2且甲隊恰在第4輪取得勝利，事件分別為兒B,C,D,E.

311

X-X-=--------

SX臥眇窗43768

23

P(B)=C；X

p(c)=c3×(∣)×rc3×r(∣)×lxr?=?

尸(0=[Rχc;XgX2

P(E)=G)xC；X(I)=急=費

故尸（甲隊恰在第4輪取得勝利）=—+—+—+—+—=—

768768768768768768

125

.?.甲隊恰在第4輪取得勝利的概率為——.

768

X2

21.已知雙曲線C：J—=l（0<α（10,6）0）的右頂點為A,左焦點E（—c,0）到其漸近線隊+即=0的

Crb2

距離為2,斜率為g的直線∕∣交雙曲線C于4B兩點,且Ha=qe.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）過點T（6,0）的直線4與雙曲線C交于P,。兩點，直線“產(chǎn)，/0分別與直線x=6相交于M,N兩

點，試問：以線段MN為直徑的圓是否過定點?若過定點，求出定點的坐標(biāo)；若不過定點，請說明理由.

【答案】（1）工一竺.=1

94

(2)以線段MN為直