2023年高考數(shù)學搶分秘籍（新高考專用）1 排列組合題型歸類（9大題型）（解析版）

秘籍01排列組合題型歸類

r高考預測

概率預測☆☆☆☆☆

題型預測選擇題、填空題食☆☆☆☆

考向預測排列組合題型考察

事應試秘籍

排列組合和二項式定理是高考熱點知識點，有了多選題型后常和概率結合起來考察，所以需要考生對

于排列組合的基礎題型有所了解，以及一些特殊的方法，這塊有很多固定的題型，當然在掌握題型的基礎

上還需要明白其原理，能夠冷靜分析，合理運用好排列組合的解題思維。

【題型一】人坐座位模型1：相鄰捆綁與不相鄰插空

人坐座位模型：

特征：1.一人一位；2、有順序；3、座位可能空；4、人是否都來坐，來的是誰；5、必要時，座位拆遷，剩

余座位隨人排列。

主要典型題：1.捆綁法;2.插空法；3.染色。

出現(xiàn)兩個實踐重疊，必要時候，可以使用容斥原理來等價處理：

容斥原理〃(AU8)=〃(A)+MB)-〃(AcB)

:典例剖析

1.在某班進行的歌唱比賽中，共有5位選手參加，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能連著出場，

且女生甲不能排在第一個，那么出場順序的排法種數(shù)為

A.30B.36C.60D.72

【答案】C

【分析】記事件A:2位男生連著出場，事件8:女生甲排在第一個，利用容斥原理可知所求出場順序的排法

種數(shù)為6-[“(A)+〃(8)-〃(4c8)],再利用排列組合可求出答案.

【詳解】

記事件A:2位男生連著出場，即將2位男生捆綁，與其他3位女生形成4個元素，所以，事件A的排法種數(shù)

為〃(A)=&&=48,

記事件5:女生甲排在第一個，即將甲排在第一個，其他四個任意排列，所以，事件B的排法種數(shù)為

"(B)=8=24,

事件ACB:女生甲排在第一位，且2位男生連著，那么只需考慮其他四個人，將2位男生與其他2個女生形

成三個元素，所以，事件AB的排法種數(shù)為用A；=12種，

因此，出場順序的排法種數(shù)8—〃（Au8）=8-[〃（A）+〃（8）—“（4c8）]

=120—(48+24-12)=60種，故選C.

2.（2023?福建?統(tǒng)考模擬預測）中國救援力量在國際自然災害中為拯救生命作出了重要貢獻，很好地展示了

國際形象，增進了國際友誼，多次為祖國贏得了榮譽.現(xiàn)有5支救援隊前往A,B,C等3個受災點執(zhí)行救援

任務,若每支救援隊只能去其中的一個受災點，且每個受災點至少安排1支救援隊,其中甲救援隊只能去B,

C兩個數(shù)點中的一個，則不同的安排方法數(shù)是（）

A.72B.84C.88D.100

【答案】D

【詳解】若甲去B點，則剩余4人，可只去AC兩個點，也可分為3組去A,5c3個點.

當剩余4人只去A,C兩個點時，人員分配為1,3或2,2,

此時的分配方法有C；C-A；+,Aj=14；

A；

當剩余4人分為3組去AB,C3個點時，先從4人中選出2人，即可分為3組，然后分配到3個小組即可,

此時的分配方法有C1A；=36,

綜上可得，甲去B點，不同的安排方法數(shù)是14+36=50.

同理，甲去C點，不同的安排方法數(shù)也是50.

所以，不同的安排方法數(shù)是50+50=100.

故選：D.

3.（2023春?湖南,高三長郡中學校聯(lián)考階段練習）某高校計劃在今年暑假安排編號為A,B,C,D,E,F

的6名教師，到4個不同的學校進行宣講，每個學校至少安排1人，其中8,。必須安排在同一個學校.則

不同的安排方法共有（）

A.96種B.144種C.240種D.384種

【答案】C

【詳解】將這6名教師分成四組，再分配到不同的學校.若教師人數(shù)依次為3,1,1,1,則不同的安排方法種數(shù)

為：C：xA：=96種;

若教師人數(shù)依次為2,2,1,1,則不同的安排方法種數(shù)為：C；xA：=144種,

故不同的安排方法共有96+144=240種.

故選：C.

『名校模擬

1.（2023?遼寧盤錦?盤錦市高級中學校考一模）有3名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯誤的是（）

A.任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種

B.全體站成一排，男生互不相鄰有1440種

C.全體站成一排，女生必須站在一起有144種

D.全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種.

【答案】C

【詳解】對于A：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有C；x2x1=70種,

故A正確；

對于B：先排女生，將4名女生全排列，有A：種方法，

再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個空位中任選3個空位排男生，有A；種

方法，故共有A：?A；=1440種方法，故B正確.

對于C：將女生看成一個整體，考慮女生之間的順序，有A：種情況，

再將女生的整體與3名男生在一起進行全排列，有A：種情況，

2.（2023?云南昭通?統(tǒng)考模擬預測）2022年11月初，新冠疫情突襲昭通市魯?shù)榭h，昭通市統(tǒng)一指揮、眾志

成城，構筑起抗擊疫情的堅固堡壘.現(xiàn)有甲、乙等5名醫(yī)務人員參加某小區(qū)社區(qū)志愿服務活動，他們被分派

到核酸檢驗和掃碼兩個小組，且這兩個組都至少需要2名醫(yī)務人員，則甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的

分配方案有（）

A.8種B.10種C.12種D.14種

【答案】C

【詳解】先將甲、乙兩名醫(yī)護人員分配到兩組，有A；=2種方案，再將剩下的3名醫(yī)務人員分到核酸檢驗

和掃碼兩個小組，有C；A；=6種方案，所以甲、乙兩名醫(yī)務人員不在同一組的分配方案有2x6=12種方案.

故選：C.

故共有A：?A：=576種方法，故C錯誤.

對于D：若甲站在排尾則有A：種排法，若甲不站在排尾則有A；A；A；種排法,

故有A：+A：A；A；=3720種排法，故D正確;

故選：C.

3.（2023春?重慶沙坪壩,高三重慶八中?？茧A段練習）文字的雛形是圖形，遠古人類常常通過創(chuàng)設一些簡單

的圖形符號，借助不同的排列方式，表達不同的信息，如圖.如果有兩個""，兩個和兩個"".把它們從

上到下擺成一列來傳遞一些信息，其中第一個位置確定為"同一種圖形不相鄰，那么可以傳遞的信息數(shù)

量有（）

A.8個B.10個C.12個D.14個

【答案】B

【詳解】列舉得：....X-X-x..JX,.：x?x-,_xX,^X_x,

..x「rx,dX，x,.：X)xA,?xX..,

共10種，

故選:B.

【題型二】人坐座位模型2：染色（平面、空間）

染色問題：

1.用了幾種顏色

2.盡量先從公共相鄰區(qū)域開始。

空間幾何體L可以“拍扁”，轉化為平面圖形

?典例剖析

1.（2023春?全國?高二專題練習）如圖所示某城區(qū)的一個街心花園，共有五個區(qū)域，中心區(qū)域E已被設計為

代表城市特點的一個標志性塑像，要求在周圍A8CO四個區(qū)域中種植鮮花，現(xiàn)有四個品種的鮮花可供選擇，

要求每個區(qū)域只種一個品種且相鄰區(qū)域所種品種不同，則不同的種植方法的種數(shù)為（）

A.12B.24C.48D.84

【答案】D

【詳解】由題意可知：四個區(qū)域最少種植兩種鮮花，最多種植四種，所以分一下三類：

當種植的鮮花為兩種時：A和C相同，8和￡＞相同，共有A；=12種種植方法；

當種植鮮花為三種時：A和C相同或8和。相同，此時共有2C；A；=2x4x6=48種種植方法；

當種植鮮花為四種時：四個區(qū)域各種一種，此時共有A：=4x3x2xl=24種種植方法，

綜上：則不同的種植方法的種數(shù)為12+48+24=84種，

故選：D.

2.（2022春?山東煙臺?高二煙臺二中?？茧A段練習）某景區(qū)內(nèi)有如圖所示的一個花壇，此花壇有9個區(qū)域需

栽種植物，要求同一區(qū)域中種同一種植物，相鄰的兩塊種不同的植物，且圓環(huán)的3個區(qū)域種植綠色植物，

中間的6個扇形區(qū)域種植鮮花.現(xiàn)有3種不同的綠色植物和3種不同的鮮花可供選擇，則不同的栽種方案共

有（）

A.400種B.396種C.380種D.324種

【答案】B

【詳解】圓環(huán)的3個區(qū)域種植綠色植物共有q=6種.如圖.中間的6個區(qū)域種植鮮花可分為3類:

第一類，A,C,E均種相同植物，有'=3x2x2x2=24種;

第二類，A,C,E種2種不同植物，有外=4"仁*2、1X1=36種；

第三類，ACE種的植物各不相同，有M=A；xlxIxl=6種.

故由乘法原理和加法原理得到不同的栽種方案共有6x（24+36+6）=396種.

故選：B

3.如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色

可供使用，則不同的染色方法種數(shù)是（）

A.420B.210C.70D.35

【答案】A

【解析】【分析】

將不同的染色方案分為：AC相同和AC不同兩種情況，相加得到答案.

【詳解】

按照那CO的順序：

當AC相同時：染色方案為5x4x3x1x3=180

當AC不同時：染色方案為5x4x3x2x2=240

不同的染色方案為：420種

故答案為A

學名校模擬

1.（2023秋,遼寧丹東?高二統(tǒng)考期末）如圖所示為某公園景觀的一隅，是由ABCDE五處區(qū)域構成，現(xiàn)為了

美觀要將五處區(qū)域用鮮花裝飾，要求相鄰區(qū)域種植不同色的鮮花，有4種顏色鮮花可供選用，則不同的裝飾

方案數(shù)為（）

ABC

D

E

A.216B.144C.128D.96

【答案】B

【詳解】區(qū)域B有4種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域A有.3種顏色鮮花可供選擇，區(qū)域。有3種顏色鮮花可供選

擇，

區(qū)域C、E各有2種顏色鮮花可供選擇,

由分步乘法計數(shù)原理可知，不同的裝飾方案數(shù)為4x3x3x2x2=144利L

故選：B.

2.（2023?江蘇?高二專題練習）用紅、黃、藍3種顏色給如圖所示的6個相連的圓涂色，若每種顏色只能涂

2個圓，且相鄰2個圓所涂顏色不能相同，則不同的涂法種數(shù)為（）

A.24B.30C.36D.42

【答案】B

【詳解】分2類（先涂前3個圓，再涂后3個圓.）：第1類，前3個圓用3種顏色，后3個圓也用3種顏

色，有A：C；C；=24種涂法；第2類，前3個圓用2種顏色，后3個圓也用2種顏色，有C；C；=6種涂法.綜

上，不同的涂法和數(shù)為24+6=30.

故選：B.

3.（2021春?廣東佛山?高二校聯(lián)考階段練習）某同學對如圖所示的小方格進行涂色（一種顏色），若要求每

行、每列中都恰好只涂一個方格，則不同的涂色種數(shù)為（）

C.24D.48

【答案】C

【詳解】由題意可知：不同的涂色種數(shù)為：^=4x3x2x1=24,

故選：C

【題型三】分配問題：球不同，盒不同

球不同，盒不同（主要的）

方法技巧：盒子可空，指數(shù)基形式，盒的球次累，盒子不可空"先分組再排列”分類討論

注意平均分組時需要除以組數(shù)的全排列。

:典例剖析

1.將5個不同的小球放入3個不同的盒子，每個盒子至少1個球，至多2個球，則不同的放法種數(shù)有（）

A.30種B.90種C.180種D.270種

【答案】B

【詳解】先考慮第一類，即3個盒子放球的個數(shù)為：1,2,2,則

第1個盒子有：以=5,

第2個盒子有：C；=6,

第3個盒子有：《=1,

，第一類放法種數(shù)為5x6x1=30,

不同的放法種數(shù)有N=3x30=90.

2.將編號分別為1,2,3,4,5的5個小球分別放入3個不同的盒子中，每個盒子都不空，則每個盒子中所

放小球的編號奇偶性均不相同的概率為

【答案】C

【詳解】由題知，要求每個盒子都不空，則3個盒子中放入小球的個數(shù)可分別為3,1,1或2,2,1,

若要求每個盒子中小球編號的奇偶性不同則只能是2,2,1,

且放入同一盒子中的兩個小球必須是編號為一奇一偶，

6

P-

故所求概率為25

C；A；+等A；

故答案選C

3.將A,B,C,。四個小球放入編號為1,2,3的三個盒子中，若每個盒子中至少放一個球且A,8不能放

入同一個盒子中，則不同的放法種數(shù)為（）

A.15B.30C.20D.42

【答案】B

【詳解】當放入一個盒子的是A,C時，有A；=6種不同的放法

當放入一個盒子的是A,D時，有A；=6種不同的放法

當放入個盒子的是瓦C時，有父=6種不同的放法

當放入一個盒子的是B,D時，有用=6種不同的放法

當放入一個盒子的是C，。時，有K=6種不同的放法

貝I］共有6x5=30種不同的放法

故選：B

十名校模擬

1.（2023春?浙江杭州?高二浙江大學附屬中學期中）第19屆亞運會將于2023年9月23日至10月8日在杭

州舉行.甲、乙等5名杭州亞運會志愿者到羽毛球、游泳、射擊、體操四個場地進行志愿服務，每個志愿者只去

一個場地，每個場地至少一名志愿者，若甲去羽毛球場，則不同的安排方法共有（）

A.6種B.60種C.36種D.24種

【答案】B

【詳解】①羽毛球場安排2人，除中外的其余4人每人去一個場地，不同安排方法有A：種，

②羽毛球場只安排1人（甲），其余4人分成3組（211）再安排到剩余3個場地，不同安排方法有C；A；種，

所以不同的安排方法有A：+C：A；=24+36=60種.

故選：B.

2.（2023春?高二課時練習）高三年級的四個班到甲、乙、丙、丁、戊五個工廠中的一個工廠進行社會實踐，

其中工廠甲必須有班級去，每班去何工廠可自由選擇，則不同的分配方案有（）

A.360種B.420種

C.369種D.396種

【答案】C

【詳解】解：方法1：直接法

以甲工廠分配班級情況進行分類，共分為四類：

第一類，四個班級都去甲工廠，此時分配方案只有1種情況；

第二類，有三個班級去甲工廠，剩下的班級去另外四個工廠，其分配方案共有C；A：=4x4=16（種）；

第三類，有兩個班級去甲工廠，另外兩個班級去其他四個工廠，其分配方案共有C：x42=6x4x4=96（種）;

第四類，有一個班級去甲工廠，其他班級去另外四個工廠，其分配方案有C；x4、=4*=256（種）.

綜上所述，不同的分配方案有1+16+96+256=369（種）.

方法2：間接法先計算四個班自由選擇去何工廠的總數(shù)，再去除甲工廠無人去的情況，

即：5x5x5x5-4x4x4x4=369（種）方案.

故選：C

3.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）數(shù)學與生活密不可分，在一次數(shù)學討論課上，老師安排5名同學講述圓、

橢圓、雙曲線、拋物線在實際生活中的應用，要求每位學生只講述一種曲線，每種曲線至少有1名學生講

述，則可能的安排方案的種數(shù)為（）

A.240B.480C.360D.720

【答案】A

【詳解】解：有四種曲線，要求每位學生只講述一種曲線,

c；c；c；c

則5名同學分成2,1,1,1四組，共有=10種情況,

再將四組學生分配給四種曲線，一共有A：=24種情況,

則可能的安排方案的種數(shù)為10x24=240種,

故選：A.

【題型四】分配問題：球同，盒不同

球相同，盒子不同

方法技巧：盒子不可空用擋板法，盒子可空用接球法。

?典例剖析

1.將7個相同的球放入4個不同的盒子中，則每個盒子都有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.20D.48

【答案】C

【詳解】解：將7個相同的球放入4個不同的盒子中，即把7個相同的球分成4組，

因為每個盒子都有球，

所以每個盒子至少乂一個球，不妨將7個球擺成一排，中間形成6個空，只需在這6個空插入3個隔板將

它們隔開，即分成4組，不同插入方法共有C：=20種，

所以每個盒子都有球的放法種數(shù)為20.

故選：C.

2.將5個相同的球放入3個不同的盒子中，可以存在盒子沒有球的放法種數(shù)為（）

A.22B.25C.21D.48

【答案】C

【詳解】解：假設三個盒子中都存在一個球，借出來變成5個球和3個虛擬的球分配到三個不同的盒子中

的問題，因為有借有還，所以是不可空的問題再用擋板法。

將8個球擺成一排，中間形成7個空，只需在這7個空插入2個隔板將它們隔開,不同插入方法共有C；=21

種，

所以每個盒子都有球的放法種數(shù)為21.

故選：C.

3.把20個相同的小球裝入編號分別為①②③④的4個盒子里，要求①②號盒每盒至少3個球，③④號

盒每盒至少4個球，共有種方法.

A.C；B.dC.C；A：D.

【答案】A

【詳解】設四個盒子中裝的小球個數(shù)分別為a,b,c,d,則a+b+c+d=20,要求①②號盒每盒至少3

個球，③④號盒每盒至少4個球，令vv=a-2,x=b-2,y=c-3,z=d-3,則w,x,y,z都大于

或等于1,且w+x+y+z=10,問題相當于將10個球分成四部分，在10個球的9個間隔里選三個隔開，有

種方法，故選擇A

孕名校模擬

1.（2016?山東?高三階段練習）現(xiàn)有三本相同的語文書和一本數(shù)學書，分發(fā)給三個學生，每個學生至少分得

一本，問這樣的分法有種（）

A.36B.9C.18D.15

【答案】B

【詳解】解：分配方案為（2,1,1）,其中有且僅有一個學生拿兩本書，

若他拿兩本語文書，則此時共有種分法；

若他拿一本語文書一本數(shù)學書，則此時共有C；種分法;

因此共有C；A；+C；=9種分法.

故選：B.

2.（2022秋,遼寧本溪?高二?？茧A段練習）中國空間站已經(jīng)進入正式建造階段，天和核心艙、問天實驗艙和

夢天實驗艙將在2022年全部對接，形成“〃字結構.在中國空間站建造階段，有6名航天員共同停留在空間

站，預計在某項建造任務中，需6名航天員在天和核心艙、問天實驗艙和夢天實驗艙這三個艙內(nèi)同時進行工

作，由于空間限制，每個艙至少1人，至多3人，則不同的安排方案共有（）

A.360種B.180種C.720種D.450種

【答案】D

【詳解】方案一：每個艙各安排2人，共有3=90（種）不同的方案:

方案二：分別安排3人，2人，1人,共有C：C；C；A；=360（種）不同的方案.

所以共有90+360=450（種）不同的安排方案.

故選：D.

（多選）3.（2022春?江蘇蘇州?高二?？计谥校┫铝姓f法正確的為（）

A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有種不同的分法；

B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有種不同的分法;

C.6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，有10種不同的分法；

D.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少—■本，有540種不同的分法.

【答案】ACD

【詳解】對于A,6本不同的書中，先取2本給甲，再從剩余的4本中取2本給乙，

最后2本給丙，共有種不同的分法，故A正確：

對于B,6本不同的書中，先取1本作為?組，再從剩余的5本中取2作為?組，

最后3本2作為一組，共有C：C；C；=60種，再將3分給甲、乙、丙三人，

共有=360種,故B不正確；

對于C,6本相同的書分給甲、乙、丙三人，利用擋板法=10種；

對于D,6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，分3種情況討論:

①一人4本，其他兩人各1本，共有C：C；C；C：=90；

②一人1本，一人2本，一人3本，共有=360種，

③每人2本，共有C：C：C；=90,

故共有90+360+90=540種.

故選：ACD

【題型五】代替元法：最短路徑

左右上下移動的最短距離，可以把移動方向看做字母，比如，向右是字母A,向上是字母B,則移動幾步就

是幾個A,與B相同元素排列

代替元法：標記元素為數(shù)字或字母，重新組合，特別適用于“相同元素”

?典例剖析

1.如圖，一只螞蟻從點A出發(fā)沿著水平面的線條爬行到點C,再由點C沿著置于水平面的正方體的棱爬行至

頂點8,則它可以爬行的不同的最短路徑有（）條

A.40B.60C.80D.120

【答案】B

【詳解】試題分析：螞蟻從A到C需要走五段路，其中三縱二豎，共有=10條路徑，從C至共有3x2=6

條路徑，根據(jù)分步計數(shù)乘法原理可知，螞蚊從A到8可以爬行的不同的最短路徑有10x6=60條，故選B.

2.一只小蜜蜂位于數(shù)軸上的原點處，小蜜蜂每一次具有只向左或只向右飛行一個單位或者兩個單位距離的能

力，且每次飛行至少一個單位.若小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，則小蜜蜂不同的

飛行方式有多少種？

A.5B.25C.55D.75

【答案】D

【詳解】

由題意知：小蜜蜂經(jīng)過5次飛行后，停在數(shù)軸上實數(shù)3位于的點處，共有以下四種情形：

一、小蜜蜂在5次飛行中，有4次向正方向飛行，1次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，英有C；=5種

情況；

二、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行一個單位，1次向正方向飛行，且每次飛行兩個單

位，1次向負方向飛行，且每次飛行兩個單位，共有C；C；C：；=20種情況；

三、小蜜蜂在5次飛行中，有1次向正方向飛行每次飛行一個單位，2次向正方向飛行，且每次飛行兩個單

位，2次向負方向飛行，且每次飛行一個單位，共有CC；C=30種情況；

四、小蜜蜂在5次飛行中，有3次向正方向飛行每次飛行兩個單位，有1次向負方向飛行且飛行兩個單位，

有1次向負方向飛行且飛行一個單位，共有C；A；=20種情況；

故而共有5+20+30+20=75種情況，

故選：D.

（多選）3.（2023?江蘇?高二專題練習）2021年高考結束后小明與小華兩位同學計劃去老年公寓參加志愿者

活動.小明在如圖的街道E處，小華在如圖的街道尸處，老年公寓位于如圖的G處，則下列說法正確的是

（）

————————

E

A.小華到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為4條

B.小明到老年公寓選擇的最短路徑條數(shù)為35條

C.小明到老年公寓在選擇的最短路徑中，與到尸處和小華會合一起到老年公寓的概率為II

D.小明與小華到老年公寓在選擇的最短路徑中，兩人并約定在老年公寓門口匯合，事件A：小明經(jīng)過尸；

事件&從尸到老年公寓兩人的路徑?jīng)]有重疊部分（路口除外），則P（8|A）=尚

【答案】BC

【詳解】由圖知，要使小華、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移

動，

A：小華到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)為C；=3條，

錯誤；

B：小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為C；=35條，

正確：

C：小明到F的最短路徑走法有=6條，再從尸處和小華一起到老年公寓的路徑最短有3條，而小明到老

年公寓共有35條，所以到尸處和小華會合?起到老年公寓的概率為*=塌，正確；

D：由題意知：事件A的走法有18條即P（A）=￡,事件由⑶的概率外人修卜竺然之，所以

3535x335

尸（例4）=為「=5,錯誤.

故選：BC

學名校模擬「

1.（2023?全國?高二專題練習）夏老師從家到學校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由

于夏老師不知道楊高路有一段在修路導致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開那段維修的路,

如圖，假設夏老師家在M處，學校在N處，A8段正在修路要繞開，則夏老師從家到學校的最短路徑有（）

條

N

M

A.23B.24C.25D.26

【答案】D

【詳解】由Af到N的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有C；=35條路,

由M到A的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有C；=3條路，

由B到N的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有C；=3條路,

所以由M到N不經(jīng)過AB的最短路在有笛-C；C；=26.

故選：D.

（多選）2.（2023秋?江西吉安?高二江西省萬安中學?？计谀┤鐖D，小明、小紅分別從街道的E、F處出

發(fā)，到位于G處的老年公寓參加志愿者活動，則（）

□G?

□

□

￡

?

A.小紅到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為3

B.小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35

C.若小明不經(jīng)過尸處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為32

D.若小明先到戶處與小紅會合，再與小紅一起到老年公寓參加志愿者活動，則小明到老年公寓可以選擇的

最短路徑條數(shù)為18

【答案】ABD

【詳解】由圖知，要使小紅、小明到老年公寓的路徑最短，則只能向上、向右移動，而不能向下、向左移

動，

對于選項A,小紅到老年公寓需要向上1格，向右2格，即小華共走3步其中1步向上，所以最短路徑條數(shù)

為C；=3條，故A正確;

對于選項B,小明到老年公寓需要向上3格，向右4格，即小明共走7步其中3步向上，最短路徑條數(shù)為C；=35

條，故B正確；

對于選項D,小明到F的最短路徑走法有=6條，再從尸處和小紅一起到老年公寓的路徑最短有3條，所

以到F處和小紅會合一起到老年公寓的共有6x3=18條路徑，故D正確；

對于選項C,由選項D可知，小明不經(jīng)過產(chǎn)處，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為35-18=17,

故選項C不正確.

故選：ABD

3.（2022秋?上海徐匯?高二上海市南洋模范中學校考期末）有一道路網(wǎng)如圖所示，通過這一路網(wǎng)從4點出發(fā)

不經(jīng)過C、D點到達B點的最短路徑有種.

【答案】24

【詳解】

如圖，由已知可得，應從A點，先到E點,再到戶點，最后經(jīng)點G到8點即可.

第一步：由A點到E點，最短路徑為4步,最短路徑方法種類為=4；

第二步：由E點到尸點，最短路徑為3步,最短路徑方法種類為=3；

第三步：由尸點經(jīng)點G到8點，最短路徑為3步，最短路徑方法種類為C；C：=2.

根據(jù)分步計數(shù)原理可得，最短路徑有4x3x2=24種.

故答案為：24.

【題型六】代替元法：空車位停車等

這類題大多可以用字母元來代替轉化為簡單的問題從而解決問題。

?典例剖析

1.某單位有8個連在一起的車位，現(xiàn)有4輛不同型號的車需要停放，如果要求剩余的4個車位中恰好有3個

連在一起，則不同的停放方法的種數(shù)為（）

A.240B.360C.480D.720

【答案】C

【詳解】給8個車位編號：1,2,3,4,5,6,7,8,

當1,2,3號為空時，有4xA：種停放方法；

當2,3,4號為空時，有3xA：種停放方法；

當3,4,5號為空時,有3xA：種停放方法;

當4,5,6號為空時，有3xA：種停放方法;

當5,6,7號為空時，有3xA：種停放方法;

當6,7,8號為空時，有4x4：種停放方法;

所以不同的停放方法的種數(shù)為4A：+3A：+3A：+3A：+3A；+4A：=20A：=20x24=480種.

故選：C.

方法二代替元法：四輛車標記為ABCD,四個空車位，三個組合一起，標記為3,剩余一個標記為1,則變成

數(shù)字1,3與四個字母排列，且數(shù)字不相鄰，插空法即可禺8=480

2.馬路上有編號為1,2,3,4,5,6,7,8,9的9盞路燈，為節(jié)約用電，可以把其

中的三盞路燈關掉，但不能同時關掉相鄰的兩盞或三盞，也不能關掉兩端的路燈，滿足條件的關燈辦法有

種

【詳解】直接代替無法，標記為123456與AAA排列，只選不排。為

3.現(xiàn)有一排10個位置的空停車場，甲、乙、丙三輛不同的車去停放，要求每輛車左右兩邊都有空車位且甲

車在乙、丙兩車之間的停放方式共有種.

【答案】40

【詳解】先將甲、乙、丙三輛不同的車排列，使得甲車在乙、丙兩車之間，有2種排法，再將剩余的7個

空車位分為4組，分別排在甲、乙、丙三輛車形成的四個空上，有1,1,1,4；1,1,2,3；1,2,2,2

三種分組方法，則不同的分組方法共有用+C：=20種，由分步乘法計數(shù)原理得不同的停放方式共有

2x20=40種.

『名校模擬

1.（2023?上海?高二專題練習）某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩

輛車停放在相鄰車位的方法有種.

【答案】120

【詳解】從3輛車中挑出2輛車排列好之后進行捆綁看作一個元素，有A；=6種方法；

另一輛看作另一個元素，這兩個元素不相鄰，將這兩個元素插入另外4個車位形成的5個空位中，有A；=20

種，

因此共有A；A：=120種.

故答案為：120

2.（2023?江蘇?高二專題練習）某停車場行兩排空車位，每排4個，現(xiàn)有甲、乙、丙、丁4輛車需要泊車,

若每排都有車輛停泊，且甲、乙兩車停泊在同一排，則不同的停車方案有（）

A.288種B.336種C.384種D.672種

【答案】D

【詳解】甲乙兩車停泊在同一排，丙、丁兩車停泊在同一排時，2A>A；種方案，

丙、丁選?輛與甲、乙停泊在同一排，另輛單獨-排，2A[A]A；種方案，

所以共有2A；.A：+2A；?A：?A；=672種方案.

故選：D

3.甲、乙、丙、丁、戊五位媽媽相約各帶一個小孩去觀看花卉展，她們選擇共享電動車出行，每輛電動車只

能載兩人，其中孩子們表示都不坐自己媽媽的車，甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，則她們坐車不同的搭配

方式有

A.12種B.11種C.10種D.9種

【答案】B

【詳解】

設五位媽媽為ABCDE,五個小孩為必cde,對五個小孩進行排練后坐五位媽媽的車即可，

由于甲的小孩一定要坐戊媽媽的車，故排列的第五個位置一定是。，

對其余的四個小孩進行排列：

bcde,bced,bdce,bdec,becd,bedc；

chde,ched,cdbe,cdeh,cehd,cedb；

dhce,dhec,dcbe,dceb,dehc,dech?

ebcd,ebdc,ecbd,ecdb,edbc,edcb.

共有24中排列方法，其中滿足題意的排列方法為：

bcde,bdec,bedc,cdbe,cdeb,cedb,dcbe,dceb,debc,ecdb,edbc,

共有11種.

本題選擇8選項.

【題型七】環(huán)排問題：直排策略

環(huán)排問題即為手拉手圍一圈的模型，此類問題以一人為中心考慮，比如三人手拉手圍一圈，以其中一人為

中心將其一分為二，即變成中間兩人全排列問題，再合起來即為--圈。

?典例剖析

1.（2022春?江蘇蘇州?高二昆山震川高級中學?？计谥校┈F(xiàn)有8個人圍成一圈玩游戲，其中甲、乙、丙三人

不全相鄰的排法種數(shù)為（）

A.B.A；-A〉A；C.D.A；-A；.A；

【答案】D

【詳解】8個人圍成一圈，有'=A；種.

其中甲、乙、丙三人相鄰，看做一個整體，由

所以甲、乙、丙三人不全相鄰的排法種數(shù)為A；-A>A；.

故答案為：D

2.（2022?全國?高三專題練習）A,B,C,D,E,尸六人圍坐在一張圓桌周圍開會，A是會議的中心發(fā)言人，

必須坐最北面的椅子，B,C二人必須坐相鄰的兩把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，則不同的座次有（）

A.60種B.48種C.30種D.24種

【答案】B

【詳解】首先，A是會議的中心發(fā)言人，必須坐最北面的椅子，

考慮8、C兩人的情況，只能選擇相鄰的兩個座位，位置可以互換，

根據(jù)排列數(shù)的計算公式，得到，4A；,接下來，考慮其余三人的情況，

其余位置可以互換，可得A；種，最后根據(jù)分步計數(shù)原理，得到4xA；xA；=48種，

故選B.

『名校模擬

1.（2021春,遼寧?高三校聯(lián)考階段練習）已知甲、乙、丙三位同學圍成一個圓時，其中一個排列“甲乙丙”與

該排列旋轉一個或幾個位置后得到的排列“乙丙甲"或"丙甲乙"是同一個排列.現(xiàn)有機位同學，若站成一排,

且甲同學在乙同學左邊的站法共有6（）種，那么這位同學圍成一個圓時，不同的站法總數(shù)為（）

A.24B.48C.60D.120

【答案】A

【詳解】因站成一排時甲在乙左與甲在乙右的站法數(shù)相同，而m位同學站成一排有M，則＜4：=60,解

得m=5,

甲、乙、丙三位同學圍成一個圓，“甲乙丙〃、“乙丙甲〃或〃丙甲乙”是同一排列，

其中每一個排列可以拆成以任意一個人為排首的直線排列3個，3人圍成一個圓的排列數(shù)為;A；,

由此可得〃個人圍成一個圓的排列數(shù)為」A,；,5位同學圍成一個圓的排列數(shù)為!々=24.

n5

故選：A

2.（2018春?北京海淀?高二統(tǒng)考期中）有這5名同學圍成一圈，從A起按逆時針方向依次循環(huán)

報數(shù)，規(guī)定：A第一次報的數(shù)為1,B第一次報的數(shù)為3.此后，后一個人所報的數(shù)總是前兩個人所報的數(shù)的

乘積的個位數(shù)字，如此繼續(xù)下去.則A第10次報的數(shù)應該為

A.2B.4C.6D.9

【答案】D

【詳解】第一輪五人依次報數(shù)為：第二輪五人依次報數(shù)為：第三輪五人

1,3,3,9,7；3,1,3,3,9；

依次報數(shù)為：7,3,1,3,3；第四輪五人依次報數(shù)為：9,7,3,1,3；第五輪五人依次報數(shù)為：3,9,7,

3,1；第六輪五人依次報數(shù)為：3,3,9,7,3；第七輪五人依次報數(shù)為：1,3,3,9,7；與第一輪重復，

所以第十輪五人依次報數(shù)為：9,7,3,1,3；即A第10次報的數(shù)應該為9,選D.

【題型八】數(shù)列思想：上樓梯等

1.斐波那契數(shù)列數(shù)列構造求解

2.可以把臺階轉化為數(shù)字化型，一次一階，記為數(shù)字1,一步兩階記為數(shù)字2,以此類推，這樣上臺階轉化

為數(shù)字1,2,。。排列，注意重復元素的排列

7典例剖析

1.欲登上第10級樓梯，如果規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，則不同的走法共有

A.34種B.55種

C.89種D.144種

【答案】C

【詳解】解法1：分類法：

第一類：沒有一步兩級，則只有一種走法；

第二類：恰有一步是一步兩級，則走完10級要走9步，9步中選一步是一步兩級的，有=9種可能走法；

第三類：恰有兩步是一步兩級，則走完10級要走8步，8步中選兩步是一步兩級的，有C；=28種可能走

法；

依此類推，共有-C；+C：=89,故選(C).

解法2：遞推法：

設走3級有a,：種走法，這些走法可按第一步來分類，

第一類：第一步是一步一級，則余下的“一1級有a—種走法；

第二類：第一步是一步兩級，則余下的“一2級有a針:種走法，

于是可得遞推關系式a。=0-1-,又易得的=La：=2，由遞推可得可：=89,故選(C).

2.斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列.因數(shù)學家列昂納多?斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子

數(shù)列”，指的是這樣一個數(shù)列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、.....,在數(shù)學上，斐波那契數(shù)列以如下被遞

推的方法定義：=/⑵=1，/(〃)=/(〃—1)+/(〃-2乂〃22,這種遞推方法適合研究生活中

很多問題.比如：一六八中學食堂一樓到二樓有15個臺階，某同學一步可以跨一個或者兩個臺階，則他到二

樓就餐有()種上樓方法.

A.377B.610C.987D.1597

【答案】C

【詳解】由題意若只有一個臺階，則有/(1)=1種上樓方法；

若有兩個臺階，則有"2)=2種上樓方法；

若有三個臺階，則有/(3)=3種上樓方法；

若有四個臺階，則有/(4)=5種上樓方法；

以此類推：

若要到達第"個臺階，前一步可能在第個臺階上再跨一臺階上去，也可能是在第個2個臺階上跨兩個臺

階上去，

回滿足"〃)="〃-1)+/(〃-2乂〃22,〃€叱)，符合斐波那契數(shù)列的規(guī)律，由此規(guī)律列舉出前15項：

1>2、3、5、8、13、21、34、55、89、144,233、377、610、987

團有15個臺階，則他到二樓就餐有987種上樓方法.

故選：C.

3.設整數(shù)數(shù)列為,電，…，4。滿足4o=3q,生+/=2。5，且4+|€{1+0,2+《},，=1,2,…,9,則這樣的數(shù)

列的個數(shù)為.

【答案】80

【詳解】設々=4+i-4e{l,2}（i=l,2,,9）,則有2囚=4（,-4=4+仇++4…①，

b2+b3+b4=a5-a2=a^-a5=b5+也+4…②，

用f表示么也也中值為2的項數(shù)，

由②知，r也是4也也中值為2的項數(shù)，其中f《{0,1,2,3},

所以打,打，也的取法數(shù)為（C；丫+（C；丫+（C；丫+（C；丫=20,

取定瓦也，也后,任意指定仇也的值，有2?=4種方式.

由①知,應取偽w{l,2}使得。］+&+L+%為偶數(shù)，

而這樣的4的取法是唯一的，并且確定了整數(shù)4的值，

進而數(shù)列4,4，，仇唯一對應一個滿足條件的數(shù)列4，%，，?,?,

綜上可知，滿足條件的數(shù)列的個數(shù)為20x4=80.

故答案為：80.

譽名校模擬

1.（2020?上海?高三專題練習）某幢樓從二樓到三樓的樓梯共10級，上樓可以一步上一級，也可以一步上

兩級，若規(guī)定從二樓到三樓用8步走完，則方法有（）

A.45種