2023-2024學(xué)年吉林省延吉市數(shù)學(xué)高二年級(jí)上冊(cè)期末經(jīng)典試題含解析

2023-2024學(xué)年吉林省延吉市數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。

3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.曲線y=e，+l上的點(diǎn)到直線尤-y—2=0的距離的最小值是。

A.3B.&

C.2D.20

2.已知函數(shù)了⑴在x=x0處的導(dǎo)數(shù)為((%)，則1而“*。+匈一”%)=()

Axf02Ax

A.2/'(x0)B「2廣伍)

《廣國)D.-gr(x(j

Y2

3.已知實(shí)數(shù)1,加,9成等比數(shù)列，則圓錐曲線上+丁=1的離心率為()

m

A.—B.2

3

C.好或2D.走或目

32

4.圓/+丁=4與圓C：(x—2y+(y—1)2=9的位置關(guān)系是()

A.內(nèi)切B.相交

C.外切D.相離

2

5.已知雙曲線方程為好―21=1,過點(diǎn)尸(1,1)的直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)，則符合題意的直線/的條數(shù)共有()

4

A.4條B.3條

C.2條D.1條

6.拋物線f=3＞焦點(diǎn)坐標(biāo)為。

7.設(shè)變量x,，滿足約束條件：｛x+2y<2,則z=x—3y的最小值（）

x>-2

A.-2BT

C.—6D.—8

22

8.過雙曲線4=1（。>0,匕>0）的左焦點(diǎn)R作圓。：好+9=/的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B,雙曲

a2b2

線的左頂點(diǎn)為C,若NACB=120。，則雙曲線的漸近線方程為（）

A.y=-J3xB.y=—6x

C._y=±A/3XD.y=±-^-x

9.2021年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，3月24日，中宣部發(fā)布中國共產(chǎn)黨成立100周年慶?；顒?dòng)標(biāo)識(shí)（如圖1）.其中“100”

的兩個(gè)“0”設(shè)計(jì)為兩個(gè)半徑為R的相交大圓，分別內(nèi)含一個(gè)半徑為r的同心小圓，且同心小圓均與另一個(gè)大圓外切（如

圖2）.已知R=3r,則由其中一個(gè)圓心向另一個(gè)小圓引的切線長(zhǎng)與兩大圓的公共弦長(zhǎng)之比為（）

長(zhǎng)IIR中S■其產(chǎn)竟O?以100■年\

TMC-?——?，ratty?fCM^

圖1圖2

A.QB.3

Zn2百

L?----兒)?----

23

10.直線2龍—y—1=0在y軸上的截距為()

A.-lB.1

11

C.—D.一一

22

11.已知圓G：(%—+(y—1)2=Q,圓Cz：x2+j2-4^/3X—4J+7=0,貝！1“〃=1”是“兩圓內(nèi)切”的()

A.充分必要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

222

12.在ABC中，角A5c所對(duì)的邊分別為ac,a=2,b+c=a+bc,貝！IABC外接圓的面積是（）

n4萬

A.—B.——

33

C.27rD.4萬

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

22

13.已知方程」—+一。=1,若此方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是；若此方程表示雙曲線，則實(shí)

5-mm+2

數(shù)機(jī)的取值范圍是.

x+y>1

14.若％,V滿足約束條件卜一丁2-1,則z=2x+y的最大值為.

x<2

22

15.設(shè)橢圓C:土+匕=1的左，右焦點(diǎn)分別為6，K，過工的直線/與C交于A,B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在X軸上方），且滿

84一

1

足A8=3鳥3,則直線/的斜率為.

16.已知一個(gè)四面體ABC。的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為9萬的球。的表面上，且AB=CD=a,

AC=AD=BC=BD=逐,則。=

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知函數(shù)/（x）=G?+x-lnx（aGH）

（1）當(dāng)a=l時(shí)，求/（無）在區(qū)間，,1］上的最值；

（2）若在定義域內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍

18.（12分）如圖1,已知矩形ABC。中，AB=3,BC=s/2,E為CD上一點(diǎn)且CE=20E.現(xiàn)將AD石沿著AE折

起，使點(diǎn)。到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PELBE，得到的圖形如圖2.

（1）證明為直角三角形；

（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)M在線段”上，判斷直線與平面尸CB位置關(guān)系，并說明理由.

19.（12分）已知函數(shù)/（犬）=2%—（%一/?）lnMb￡R）,g（犬）="+￡一1

(1)若函數(shù)/(尤)的圖象在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與y=x平行，求》的值;

(2)在(1)的條件下證明:Vx>0,/(%)<1?(%)

20.(12分)如圖是一拋物線型機(jī)械模具的示意圖，該模具是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，已知頂點(diǎn)深

(1)以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系(如圖)，求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)為滿足生產(chǎn)的要求，需將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm,求此時(shí)該磨具的口徑長(zhǎng)

21.(12分)在_ABC中，a,b,c分別是內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，滿足asinB=—J務(wù)cosA.

(1)求4

(2)若a=34，求ABC面積的最大值.

22.(10分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面ABC。，底面ABC。是直角梯形，其中AB±AD,

AB=AD=-BC^2,叢=4,E為棱BC上的點(diǎn)，且

24

_

U

A

(1)求證：DEL平面Q4C；

(2)求二面角A—PC—。的正弦值；

(3)設(shè)Q為棱CP上的點(diǎn)(不與C,p重合)，且直線QE與平面PAC所成角的正弦值為好，求黨的值.

5

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、D

【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為（%,e苑+1）,依題意即過切點(diǎn)的切線恰好與直線尤-丁-2=0平行，此時(shí)切點(diǎn)

到直線的距離最小，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得；

【詳解】解：因?yàn)閥=e,+1,所以＞'=e',設(shè)切點(diǎn)為（%，—+1）,貝”』=e*。=1,解得%=0,所以切點(diǎn)為（0,2）,

點(diǎn)（0,2）到直線x—y-2=0的距離d=4=2行，所以曲線y=d+1上的點(diǎn)到直線無一丁一2=0的距離的最小值

是20;

故選：D

2、C

【解析】利用導(dǎo)數(shù)的定義即可求出

【詳解】lim小。+時(shí)—小。）二./5+—卜/（X。）-Lf（x\

【詳解】觸2s一2觸（Xo+Ar）-xo一2

故選：C

3、C

【解析】根據(jù)Lm,9成等比數(shù)列求得加，再根據(jù)離心率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)閷?shí)數(shù)1,私9成等比數(shù)列，故可得相2=9,解得加=3或機(jī)=-3；

當(dāng)機(jī)=3時(shí)，工+/=1表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，此時(shí)6

當(dāng)m=—3時(shí)，工+丫2=i表示焦點(diǎn)在丁軸上的雙曲線，此時(shí)e=JTT5=2.

m

故選：C.

4、B

【解析】判斷圓心距與兩圓半徑之和、之差關(guān)系即可判斷兩圓位置關(guān)系.

【詳解】由（》-2）2+（,-1）2=9得圓心坐標(biāo)為人（2,1）,半徑R=3,

由/+/=4得圓心坐標(biāo)為。（0,0）,半徑廠=2,

|A（?|=-J5,R+r=5,R-r=l,

：.R-r<\AO\<R+r,即兩圓相交.

故選：B.

5、A

【解析】利用雙曲線漸近線的性質(zhì)，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.

2

【詳解】解：雙曲線尤2—21=1的漸近線方程為y=±2%,右頂點(diǎn)為(1,0).

4

①直線l:x=1與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

②過點(diǎn)P(1,1)平行于漸近線y=±2兄時(shí)，直線/與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)；

2

③設(shè)過P的切線方程為y-l=左(x-1)與雙曲線必一21=1聯(lián)立，

4

可得(4_左2)%2_2左0_左)尤_(1_k)2_4=0,

由A=0,即4左2(1—左『+4(4-/)[(1—左『+4]=0,解得左=g,直線/的條數(shù)為1.

綜上可得，直線/的條數(shù)為4.

故選：A,.

6、C

【解析】由拋物線方程確定焦點(diǎn)位置，確定焦參數(shù)。，得焦點(diǎn)坐標(biāo)

【詳解】拋物線必=3、，的焦點(diǎn)在)，軸正半軸，2夕=3,p=~,E=J因此焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,g)

2244

故選：C

7、D

【解析】如圖作出可行域，知可行域的頂點(diǎn)是A(-2,2)、B(；.》XC(—2,-2),

平移z=x—3y,當(dāng)z=x-3y經(jīng)過A時(shí)，

z=x-3)，的最小值為-8,故選D.

8、C

【解析】根據(jù)NACB=120。，OA=OC,可以得到NAFO=30。，從而得到。與c的關(guān)系式，再由。，b,c的關(guān)

系，進(jìn)而可求雙曲線的漸近線方程

【詳解】解：由NACB=120。，OA^OC,

則ZAOC=60°

E4是圓的切線，「./”。二？。。，

:.OF=2OC,:.c=2a,所以.二業(yè)-儲(chǔ)=嗎，

9、C

【解析】作出圖形，進(jìn)而根據(jù)勾股定理并結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系即可求得答案.

【詳解】如示意圖，

由題意，|0iQI=R+r=4r,則|0M|=-102M『=岳r,

又|0。|=史黑=2r，|OjE|=3r,所以|所|=24||"O『=2后,

后"。陽|V15rA/3

\EF\2底2

故選：C.

10、A

【解析】把直線方程由一般式2龍-丁-1=0化成斜截式，即可得到直線在y軸上的截距.

【詳解】由2x—y—1=0,可得y=2x—1,

則直線2x—y—1=0在y軸上的截距為

故選：A

11、B

【解析】先得出圓G，02的圓心和半徑，求出兩圓心間的距離，半徑之差，根據(jù)兩圓內(nèi)切得出方程，從而得出答案.

［詳解］圓G：(x_g)2+(y_1尸=a的圓心￡(&」)，半徑弓=6

Q:(x-2后+(y—2)2=9的圓心。2R石,2),半徑々=3

兩圓心之間的距離為(?1=’(2/一/『+(2—=2

兩圓的半徑之差為卜—目=|6-3

當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，G—3=2,解得。=1或。=25

所以當(dāng)a=l,可得兩圓內(nèi)切，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，不能得出a=l(可能a=25)

故“a=1”是“兩圓內(nèi)切”的充分不必要條件

故選:B

12、B

【解析】利用余弦定理可得sinA=*，然后利用正弦定理可得氏=恚，即求.

【詳解】因?yàn)榧?/=/+A，所以^+°2—々2=加，

右242_21

由余弦定理得，cosA」+：一。

2bc2

所以sinA=3,

2

a4

設(shè)ABC外接圓的半徑為尺，由正統(tǒng)定理得，2R=--=-f=,

sinA

2

所以R=不

所以A5C外接圓的面積是萬夫2=—.

3

故選:B.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、①.②.—2)u(5,+co)

【解析】分別根據(jù)橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征建立不等式即可求解.

5-m>0

【詳解】當(dāng)方程表示橢圓時(shí)，則有<m+2〉0=>-2<根<5且mw|,所以冽的取值范圍是，2,￡|ug,5)

5-mm+2

當(dāng)方程表示雙曲線時(shí)，則有(機(jī)+2)(5-m)<0=>(m+2)(m—5)>0n機(jī)<—2或機(jī)>5,所以加的取值范圍是

(-OO,-2)U(5,-H?).

故答案為：^_2,—,5^j；(―oo,—2)u(5,+co)

14、7

【解析】畫出約束條件所表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖象和直線在y軸上的截距，確定目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，代入即可求解.

x+y>\

【詳解】畫出不等式組x-y2-1所表示的平面區(qū)域，如圖所示，

x<2

目標(biāo)函數(shù)z=2x+y可化為y=-2x+z,

當(dāng)直線y=-2x+z過點(diǎn)A點(diǎn)時(shí)，此時(shí)直線y=-2x+z在y軸上的截距最大，

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)z=2x+y取得最大值，

x-y=-1

又由；,解得x=2,y=3,即42,3),

x=2

所以目標(biāo)函數(shù)的最大值為Zm^=2x2+3=7.

故答案為：7.

15、1

【解析】設(shè)出直線/的方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系以及求得直線/的斜率.

【詳解】橢圓^=832=4,02=4,c=2,6（2,0）,

由于A在x軸上方且直線I的斜率存在，所以直線/的斜率不為0,

設(shè)直線/的方程為了=陽+2,且加＞0,

x=my+2

由爐產(chǎn)消去X并化簡(jiǎn)得（2+7/）y2+4陽一4=0,

—+—=1

I84

設(shè)4(%),5(%,%),%＞?！?，

―A-YH-4

則%+%=二版①'*%=中②'

由于所以％=—g%③，

由①②③解得m=1

所以直線/的方程為x=y+2,y=x—2,斜率為1.

故答案為：1

16、272

【解析】由題意可得，該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)位于一個(gè)長(zhǎng)方體的四個(gè)頂點(diǎn)上,

設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高為x，％z,由題意可得：

x2+y2=a22

<V+Z2=5,據(jù)此可得：入2+y2+z2=W±￡i=(2R)2,

f+z2=52

則球的表面積：S=4?7?2=1。+〃x?=9%,

2

結(jié)合tz>0解得：a=2V2?

點(diǎn)睛：與球有關(guān)的組合體問題，一種是內(nèi)切，一種是外接.解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有

關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球

的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1),；(2).

【解析】(1)當(dāng)時(shí)，求出導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)得單調(diào)區(qū)間，即可求出在區(qū)間上的最值；

(2)由，分離參數(shù)得，根據(jù)函數(shù)得單調(diào)性作圖，結(jié)合圖像即可得出

答案.

【詳解】解：(1)當(dāng)時(shí)，，，

在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，

(2)，則

,?在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

,當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí),

作出函數(shù)和得圖像,

,由圖象可得,

18、(1)證明見解析

(2)答案不唯一，見解析

【解析】(1)利用折疊前后的線段長(zhǎng)度及勾股定理求證即可；

(2)動(dòng)點(diǎn)M滿足萬［=§時(shí)和篝=4,但力力；時(shí)兩種情況，利用線線平行或相交得到結(jié)論.

【小問1詳解】

在折疊前的圖中，如圖：

AB=3,BC=42,E為CD上一點(diǎn)且CE=2￡)E,

^ED=1,CE=2,:.BE=?AE=6,

折疊后石，所以尸5=又AP=及，

PB2+=AB2PB±PA,所以為直角三角形.

小問2詳解】

PMPN

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M在線段AP上，滿足詈=幾，同樣在線段網(wǎng)上取N,使得商=%，則〃/R,

29

當(dāng)2=—時(shí)，貝！JMN=—AB=2,又CE//AB且CE=2,所以上W//CE,且MN=CE,

33

所以四邊形CEMN為平行四邊形，所以ME//CN,又EMa平面PBC,所以此時(shí)ME//平面；

2

當(dāng)時(shí)，此時(shí)MN//CE,但MN力CE,

所以四邊形CEMN為梯形，所以ME與CN必然相交，所以ME與平面PBC必然相交.

PM2

綜上，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)”滿足——=—時(shí)，ME//平面PBC；

PA3

PM2

當(dāng)動(dòng)點(diǎn)M滿足=7=2,但彳*￡時(shí)，ME與平面相交.

iZT.J

19、(1)b=e；(2)證明見解析.

【解析】(1)由題意可得尸(e)=l,從而可求出b,

(2)先構(gòu)造函數(shù)s(x)="-x-1,利用導(dǎo)數(shù)可求得s(x)>。對(duì)任意x>0恒成立，/>%+1對(duì)任意%>0恒成立,

從而將問題轉(zhuǎn)化為只需證x—(x—e)In%,e對(duì)任意%>0恒成立，再次構(gòu)造函數(shù)〃(x)=x—(x—e)In%,利用導(dǎo)數(shù)求

出其最大值小于等于e即可

b

【詳解】(1)解：/(%)=2x-(x-b)In%,f\x)=1-In%+-

x

V函數(shù)f(x)的圖象在點(diǎn)(e,/(e))處的切線與丁=x平行，

b

f\e)=1—1H—=1,

e

解得Z?=e；

證明：(2)由(1)#f(x)=2x-(x-e)Inx

f(x)<g(x)即2x-(x-e)Inx<e"+e-1對(duì)任意x>0恒成立，

令s(x)=ex-x-1,則s'(x)=ex-1,

?.?當(dāng)尤>0時(shí)，s'(x)>s'(0)=0,

函數(shù)s(x)在(0,+s)上單調(diào)遞增，

s(0)=0,二s(x)>0對(duì)任意x>0恒成立，

即/>x+1對(duì)任意%>0恒成立，

/.只需證2x-(x-e)\nx,,x+1+e-l對(duì)任意%>0恒成立即可，

即只需證無一(x-e)ln%,e對(duì)任意%>0恒成立，

%—ce

=x-(x-e)\nx,貝!)/(%)=1-In%--------=——In%,

xx

由M(x)單調(diào)遞減，且/(e)=0知，

函數(shù)〃(九)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(G+8)上單調(diào)遞減，

:.“(%)111ax=u^e)=e,：.x-(x-e)InA;,e得證，

故不等式/(x)<g(x)對(duì)任意%>°恒成立

20、(1)x2=9y

(2)6君cm

【解析】(1)設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為f=20>，由題意可得拋物線過點(diǎn)(6,4),將此點(diǎn)代入方程中可求出0的值，從

而可得拋物線方程，

(2)設(shè)此時(shí)的口徑長(zhǎng)為2a(。>0),則拋物線過點(diǎn)(4,3),代入拋物線方程可求出。的值，從而可求得答案

【小問1詳解】

由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為Y=2py,

因?yàn)轫旤c(diǎn)深度4,口徑長(zhǎng)為12,所以該拋物線過點(diǎn)(6,4),

所以62=2px4,得2。=9,所以拋物線方程為12=9y；

【小問2詳解】

若將磨具的頂點(diǎn)深度減少1cm,設(shè)此時(shí)的口徑長(zhǎng)為2ag>0),

則可得"=9x3,得a=36,所以此時(shí)該磨具的口徑長(zhǎng)6G

【解析】(1)由正弦定理得tanA,再由A范圍可得答案；

(2)由余弦定理和基本不等式可得beW9,再由面積公式可得答案.

【小問1詳解】

asinB--也bcosA,由正弦定理得sinAsin3=-^3sin3cosA,

24

又sinBrO,所以tanA=—百，又Ae(O/),則A=與-；

【小問2詳解】

由余弦定理得27=/+°2+/70?3/?0,HPZ?c<9,

所以SA”=，6csinA?2叵，當(dāng)且僅當(dāng)〃=。，取“=”，

ABC24

所以面積的最大值為也

4

22、(1)證明見解析；(2)(；(3)

【解析】(1)由已知證得PA^AD,ABLAD,以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，根

據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示和線面垂直的判定定理可得證;

（2）根據(jù)二面角的空間向量求解方法可得