第2章 電磁場的基本規(guī)律

第2章電磁場的基本規(guī)律

電磁學有三大實驗定律：庫侖定律安培定律法拉弟電磁感應定律以此為基礎，麥克斯韋進行了歸納總結，建立了描述宏觀電磁現(xiàn)象的規(guī)律－麥克斯韋方程組2.1電荷守恒定律

自然界中最小的帶電粒子包括電子和質子一般帶電體的電荷量通常用q表示從微觀上看，電荷是以離散的方式出現(xiàn)在空間中的從宏觀電磁學的觀點上看，大量帶電粒子密集出現(xiàn)在某空間范圍內時，可假定電荷是以連續(xù)的形式分布在這個范圍中幾種表示法：體積中－電荷體密度

曲面上－電荷面密度

s曲線上－電荷線密度

l2.1.1電荷與電荷密度如何產生電子

體電荷密度：設分布于體積元

V′中的電荷電量為

q，則體電荷密度

的定義為

面電荷密度：設分布于面積元

S′中的電荷電量為

q，則面電荷密度

s的定義為

線電荷密度：設分布于線元

l′中的電荷電量為

q，則線電荷密度

l的定義為

點電荷：電量為q、集中在體積為零的幾何點上的電荷點電荷密度的

函數(shù)表示法

函數(shù)的定義和性質設坐標原點為O，選定空間某點的坐標為r（觀察點坐標），移動坐標r′(源點坐標)，R

=

r-r′。

函數(shù)的定義和性質如下：

用

函數(shù)表示點電荷體密度

設點荷q位于r′處，空間任意點r的電荷體密度可以表示成：

電流由定向流動的電荷形成，通常用

I

表示電流強度，定義為

當電荷速度不隨時間變化時，電流也不隨時間變化，此時稱為恒定（穩(wěn)恒）電流空間各點電荷的流動除快慢不同外，方向可能不同，僅用穿過某截面的電荷量無法描述電流的分布情況引入電流密度來描述電流的分布情況2.1.2電流及電流密度

體電流密度如圖，設P為空間中的任意點，過P取面積元dS。其中：J=

v

即為電流密度矢量，由此可以得到通過截面積S的電流設單位體積內有N個帶電粒子，所有粒子帶有相同的電荷q，且都以相同的速度v運動，體積中的總電荷將在dt

時間內經dS

流出柱體，可以得到dt時間內通過dS

的電荷量為其中：en為曲面S的法向單位矢量

反映空間各點電流流動情況的物理量，形成一個空間矢量場一般是時間t的函數(shù)，即J

=J(r,t)

J

在空間某點的方向為該點電流流動的方向

J

在空間某點的大小為單位時間內垂直通過單位面積的電量如有N種帶電粒子，電荷密度分別為

i，平均速度vi，則有關于體電流密度的說明

=0時可能存在電流。如導體中電荷體密度為0，但因正電荷不動，有式中Js=Jh

即為面電流密度，單位為A/m（安培/米）

如圖，設電流集中在厚度為h的薄層內流動，薄層的橫截面

S，en為表示截面方向的單位矢量。顯然穿過截面的電流為

面電流密度當電流集中在一個厚度趨于零的薄層（如導體表面）中流動時，電流被認為是表面電流或面電流，其分布情況用面電流密度矢量Js來表示。

Js是反映薄層中各點電流流動情況的物理量，它形成一個空間矢量場分布

Js在某點的方向為該點電流流動的方向

Js在某點的大小為單位時間內垂直通過單位長度的電量

當薄層的厚度趨于零時，面電流稱為理想面電流只有當電流密度J趨于無窮，面電流密度Js才不為零，即關于面電流密度的說明

線電流密度當電流沿一橫截面可以忽略的曲線流動，電流被稱為線電流。長度元dl上的電流Idl稱為電流元。

電荷守恒定律是電磁現(xiàn)象中的基本定律之一。實驗證明，電荷是守恒的，既不能被創(chuàng)造，也不能被消滅，它只能從一個物體轉移到另一個物體，或者從一個地方移動到另一個地方。取電流流動空間中的任意一個體積V，其中的電荷在單位時間內減少的數(shù)量應該等于流出包圍V的封閉曲面S的電流，即2.1.3電荷守恒定律與電流連續(xù)性方程電荷守恒定律積分形式

V靜止或固定1）當體積V為整個空間時，閉合面S為無窮大界面，將沒有電流經其流出，此式可寫成對電荷守恒定律的進一步討論即整個空間的總電荷是守恒的。此式也稱為電流連續(xù)性方程。2）利用高斯定理由

電荷守恒定律微分形式電流連續(xù)方程微分形式

3）積分形式反映的是電荷變化與電流流動的宏觀關系，而微分形式則描述空間各點電荷變化與電流流動的局部關系。4）空間中某點電荷密度變化，此點即成為電流的散度源，發(fā)出或匯集電流。5）當電流不隨時間變化時，稱為恒定電流（或穩(wěn)恒電流）。此時要求電荷分布與時間無關，即

對時間的偏導數(shù)為零，可以得到

恒定電流場是無散度場（無源場、無散場）恒定電流形成不間斷的閉合回路

例1在球面坐標系中，傳導電流密度為J=er10r-1.5(A/m2)

求：（1）通過半徑r＝1mm的球面的電流值；（2）在半徑r=1mm的球面上電荷密度的增加率；（3）在半徑r=1mm的球體內總電荷的增加率。解：（1）（2）在球面坐標系中（3）由電荷守恒定律得2.2真空中靜電場的基本規(guī)律2.2.1庫侖定律電場強度

庫侖定律描述真空中靜止點電荷q1和q2的相互作用力，其數(shù)學表達式為式中F12表示q1作用在q2上的靜電力，R12=r2－r1。

多個電荷對一個電荷的靜電力是各電荷力的矢量疊加，即

連續(xù)分布電荷系統(tǒng)的靜電力必須進行矢量積分只給出了作用力的大小和方向，沒有說明傳遞方式或途徑對庫侖定律的進一步討論

大小與電量成正比、與距離的平方成反比，方向在連線上庫侖定律的實驗驗證1785年,庫侖設計制作了一臺精巧的扭稱,它能夠測量小到的微弱作用力,庫侖用它來測量電荷之間的作用力,庫侖在他的論文中,詳細記述了同號電荷間排斥力的測量過程.異號電荷之間電引力的庫侖單擺實驗若將電力與距離的關系寫成其中是偏離平方反比的修正數(shù),則庫侖實驗得出的結果是Cavendish示零實驗解：將V分解成無數(shù)個體積元，各體積元可看成點電荷

(rˊ)dV，利用庫侖定律得q所受靜電力

對電荷分布在曲面或曲線上的情況，只需將電荷體密度、體積元和積分區(qū)域作相應的替換即可。如，對面電荷有

例:體積為V的區(qū)域中體電荷密度為

(rˊ)，空間r處有一個點電荷q，如圖所示。寫出V中的電荷作用在點電荷q上的靜電力表達式。如果電荷是分布在一個曲面或曲線上，靜電力的表達式又如何?

電場的定義電場是電荷周圍形成的物質，另外的電荷處于這個物質中時，會受到電場力的作用靜止電荷產生的電場稱為靜電場，隨時間發(fā)生變化的電荷產生的電場稱為時變電場

電場強度矢量電場中的單位正點電荷q0所受的電場力除了與自身所帶電量q0有關，還與所在點的電場有關，即有關系式

對電場強度的進一步討論

電場強度形成矢量場分布，各點相同時，稱為均勻電場電場強度是單位點電荷受到的電場力，它只與產生電場的電荷有關此式對靜電場和時變電場均成立

點電荷產生的電場單個點電荷在空間任意點激發(fā)的電場為

N個點電荷組成的電荷系統(tǒng)在空間任意點激發(fā)的電場為

連續(xù)分布的電荷系統(tǒng)產生的電場連續(xù)分布于體積V中的電荷在空間任意點r產生的電場為

面電荷和線電荷產生的電場只需在上式中將電荷體密度、體積元和積分區(qū)域作相應替換即可，如

線電荷

面電荷某些典型的場強值(V/m)室內電線附近:約地面附近:約120雷雨云附近:約電視顯像管內:約高壓電器擊穿空氣處:約X光管內:約氫原子的電子所在處:約脈沖的表面處:約鈾核的表面處:約例

圖中所示為一個半徑為r的帶電細圓環(huán)，圓環(huán)上單位長度帶電

l，總電量為q。求圓環(huán)軸線上任意點的電場。解：將圓環(huán)分解成無數(shù)個線元，每個線元可看成點電荷

l(r)dl，則線元在軸線任意點產生的電場為由對稱性和電場的疊加性，合電場只有z分量，則結果分析（1）當z→0，此時P點移到圓心，圓環(huán)上各點產生的電場抵消，E=0（2）當z→∞，R與z平行且相等，r<<z，帶電圓環(huán)相當于一個點電荷，有2.2.2靜電場的散度與旋度

靜電場的散度和高斯定理

設靜止電荷

分布在V區(qū)域中，空間任意點r的電場強度為利用關系式

兩邊取散度，由于與源座標無關，可將其移到積分號中，得①再利用函數(shù)的挑選性，得因已假設電荷分布在區(qū)域V內，故可將上式寫為:高斯定理的微分形式兩邊取體積分，考慮散度定理，有高斯定理的積分形式對靜電場高斯定理的討論

空間任意點電場的散度只與當?shù)氐碾姾煞植加嘘P靜電荷是靜電場的散度源，激發(fā)起擴散或匯集狀的靜電場穿過任意閉合面的電通量正比于閉合面所包圍的總電量電場散度與電場是不同的物理量無電荷處，源的強度(散度）為零，但電場不一定為零

靜電場的旋度和環(huán)路定理由于式①中微分算子與源座標無關，可以從積分號中提出，得兩邊取旋度，得當做任意標量

利用矢量恒等式得環(huán)路定理的微分形式利用斯托克斯公式，得環(huán)路定理的積分形式等式兩端在任意曲面S上進行面積分，有對環(huán)路定理的討論

空間中靜電場旋度處處為零，靜電場中不存在旋渦源，電力線不構成閉合回路靜電場沿任意閉合回路的積分都為零電場旋度和電場強度是不同的兩個物理量，從不同角度描述同一個物理對象雖然空間中電場的旋度處處為零，但電場卻可能存在，二者沒有必然的聯(lián)系

靜電場的性質矢量場的性質可以用其散度和旋度全面地描述。前者描述矢量場場線擴散的狀況，而后者則描述矢量場場線的形狀。有源場。電力線由電荷發(fā)出，電荷是電場的源無旋場。電力線不構成閉合回路有源無旋的靜電場呈現(xiàn)擴散狀的分布形式例電量Q均勻分布在半徑為a的球形區(qū)域中，求空間的電場分布、電場的散度和旋度。解：電量Q均勻分布在球形區(qū)域中，其體密度為高斯定理得得2.3真空中恒定磁場的基本規(guī)律恒定磁場由恒定電流產生，又稱靜磁場。2.3.1安培力定律磁感應強度

兩個電流元間的作用力真空中的兩個恒定電流元之間也存在相互作用力，其數(shù)學表達式為安培力定律的微分形式對微分形式安培力定律的討論

兩個電流元之間靜磁力的大小與電流元成正比、與距離的平方成反比，方向由電流元方向及二者連線方向確定

dF12≠－dF21，這與庫存侖定律不同。這是因為孤立的穩(wěn)恒電流元根本不存在，僅僅是數(shù)學上的表示方法而已

兩個電流環(huán)的相互作用力在回路C1上式積分，得到回路C1作用在電流元I2dl2上的力再在C2上對上式積分，即得到回路C1對回路C2的作用力安培力定律的積分形式②對安培力定律的討論

滿足牛頓第三定律只給出作用力的大小和方向，沒說明作用力如何傳遞

磁感應強度磁力是通過磁場來傳遞的電流或磁鐵在其周圍空間會激發(fā)磁場B，當另外的電流或磁鐵處于這個磁場中時，會受到力（磁力）的作用處于磁場中的電流元Idl所受的磁場力dF與該點磁場B、電流元強度和方向有關，即③

畢奧－薩伐爾定律設閉合回路C上通有穩(wěn)恒電流I，它在空間任意點r處產生的磁感應強度B，由②和③比較得畢奧－薩伐爾定律

體電流產生的磁場

運動電荷的磁場④某些典型磁場的B值(T)室內電線周圍:約地球磁場:約小磁針:約大型電磁鐵:約2實驗室磁場:太陽黑子:約0.3脈沖星表面磁場:約人體心臟:約例

有限長直線電流的磁感應強度。解：在導線上任取電流元Idl，其方向沿著電流流動的方向，即z方向。由比奧—薩伐爾定律，電流元在導線外一點P處產生的磁感應強度為其中當導線為無限長時，

1→0，

2→

2.3.2恒定磁場的散度與旋度

恒定磁場的散度和磁通連續(xù)性原理④等于零一個矢量⑤磁通連續(xù)性原理微分形式磁通連續(xù)性原理積分形式對磁通連續(xù)性原理的討論

靜磁場的散度處處為零，不存在磁力線的擴散源和匯集源磁場散度與磁感應強度是不同的物理量，磁場散度描述磁力線的分布特點，而不是磁場本身磁力線連續(xù)不斷，無頭無尾，穿過任何閉合面的通量為零

恒定磁場的旋度和安培環(huán)路定理對上式兩端取旋度,并利用適量恒等式得:(2.3.10)應用和函數(shù)的挑選性,上式右邊第二項可以表示為（13）利用恒等式和以及、可得（14）（15）將式（15）代入式（13）右邊第一項，并應用散度定理，得式中的S是區(qū)域V的邊界面。由于電流分布在區(qū)域V內，在邊界面S上，電流沒有法向分量，故（16）將式（14）和式（16）代入式（13），得安培環(huán)路定理積分形式再利用斯托克斯定理，并面積分變換成回路積分，得兩邊取面積分，得安培環(huán)路定理微分形式

恒定磁場的性質無源（無散）場。磁力線無頭無尾且不相交有旋場。電流是磁場的旋渦源，磁力線構成閉合回路對安培環(huán)路定理的討論

空間任意點磁場的旋度只與當?shù)氐碾娏髅芏扔嘘P恒定電流是靜磁場的旋渦源，電流激發(fā)旋渦狀的靜磁場，并決定旋渦源的強度和旋渦方向磁場旋度與磁場是不同的物理量，它們的取值沒有必然聯(lián)系。沒有電流的地方，磁場旋度為零，但磁場不一定為零任意回路上恒定磁場的回路積分，等于穿過回路所圍區(qū)域的總電流強度例無限長同軸線內導體的半徑為a，外導體的內半徑為b、厚度為t，內外導體分別通有電流I和－I。求各區(qū)域的磁感應強度、磁場的散度和旋度。解：由于電流沿z軸方向流動，所以磁場只有

分量。電流均勻分布在導體內，有在r<a區(qū)域，將安培環(huán)路定理應用于任意半徑為r的回路，有

在a<r<b區(qū)域在b<r<b+t區(qū)域

，有

在r>b+t區(qū)域，回路所圍電流強度為零，B=0計算機模擬的磁感應強度隨r的變化，圖中的c=b+t

求▽?B：在柱坐標系中，其中Br=Bz=0，各區(qū)域中B

與

無關，故各區(qū)域均有▽?B=0求▽×B：在柱坐標系中，考慮到B只有

分量且與z無關，有

可見，所有區(qū)域磁場散度都為零，旋度由電流密度確定。另外，磁場的散度、旋度和磁感應強度的取值沒有相互聯(lián)系2.4介質的電磁特性2.4.1

電介質的極化電位移矢量

當電場中放入電介質時，電介質在電場的作用下發(fā)生極化現(xiàn)象，介質中因極化出現(xiàn)電偶極矩，電偶極矩又要產生電場，疊加于原來電場之上，使電場發(fā)生變化。

介質極化的相關概念介質：內部存在不規(guī)則而迅速變化的微觀電磁場的帶電系統(tǒng)電偶極子和電偶極矩：由兩個相距l(xiāng)的等量異號點電荷±q

組成的帶電體系，其電特性用電偶極矩p=ql表示，是個矢量

介質分子的分類：無極分子和有極分子。在熱平衡時，分子無規(guī)則運動，取向各方向均等，宏觀上不顯出電特性

介質的極化：在外場影響下，無極分子變?yōu)橛袠O分子，有極分子的取向一致，宏觀上出現(xiàn)電偶極矩極化電荷（束縛電荷）：介質極化后，其表面和內部出現(xiàn)的宏觀電荷分布

極化強度矢量描述介質極化的程度，等于單位體積內的電偶極矩，即

極化電荷密度設分子的電偶極矩p=ql。凡負電荷處于體積中的電偶極子必定穿過面元dS，則正電荷將穿出體積。

顯然，經dS穿出體積的正電荷總量為在空間中任意取一個體積V，其邊界為S，則經S穿出V的正電荷量為，則V中出現(xiàn)的極化電荷qP為

在介質表面上，極化電荷面密度為

空氣介質en對介質極化問題的討論=常數(shù)時稱為均勻極化，此時介質內部不會出現(xiàn)極化電荷，極化電荷只會出現(xiàn)在介質表面上均勻介質內部一般不存在極化電荷自由電荷所在地一定有極化電荷出現(xiàn)

電位移矢量和電介質中的高斯定理當介質中出現(xiàn)極化電荷的時候，極化電荷會產生與自由電荷相同的電場，即有介質中的高斯定理

電介質的本構關系對于線性各向同性介質，有介質的本構關系

對于均勻介質，

為與坐標（位置）無關的常數(shù)線性介質，介電常數(shù)與電場強度無關，否則為非線性介質各向同性介質,介電常數(shù)與電場強度的方向無關，D與E同向

對于線性各向異性介質，有解：例

內外半徑分別為a和b的空心極化介質球中，已知極化強度，P0為常數(shù)，求

P和

SP。r=b球面上r=a球面上Oab例2.4.1

半徑為a的球形區(qū)域內充滿分布不均勻的體密度電荷，設其體密度為

(r)。若已知電場分布為式中的A為常數(shù)，試求電荷體密度

(r)。解：由高斯定律的微分形式，得將E的散度在球坐標系中展開，得2.4.2磁介質的磁化磁場強度

磁介質分子可等效地看作一個小的環(huán)電流，稱為分子電流。與介質中的電荷產生微觀電場一樣，分子電流會產生微觀磁場。當受到宏觀外磁場作用時，分子電流的分布會產生變化，從而出現(xiàn)宏觀的附加電流，并由此影響到原來的宏觀磁場。

磁介質磁化有關概念分子電流及磁矩：分子電流可看成載流小線圈或小電流環(huán)，其特性可用磁矩pm=i

S來表示，是個矢量介質的磁化：沒有外場時，分子電流無規(guī)則排列，取向均勻，介質不顯宏觀電流和宏觀磁矩。外加磁場時，磁矩取向沿磁場方向排列并趨于一致，介質出現(xiàn)宏觀磁矩和宏觀磁化電流磁化電流：介質磁化后內部和表面出現(xiàn)的宏觀電流JM和JSM

磁化強度矢量描述介質磁化的程度，等于單位體積內的分子磁矩，即

磁化電流密度在介質內部取曲面S，邊界為C，穿過S的總電流IM。顯然，只有被回路C穿過的分子電流對IM才有貢獻。

設dl是回路C上的一個線元，

S為分子電流環(huán)的面積。顯然，中心處于體積為

S·dl的柱體內的分子電流一定被回路C穿過，則被回路C穿過的分子總數(shù)為

另一方面，從S背面流出的電流IM可以表示為其中JM為磁化電流體密度。綜合兩式，得

在磁介質表面上，有

對介質磁化問題的討論

M=常數(shù)時稱為均勻磁化，此時磁介質內部不會出現(xiàn)磁化電流，磁化電流只會出現(xiàn)在磁介質表面上均勻磁介質內部一般不存在磁化電流

磁場強度和磁介質中的安培環(huán)路定理介質中的磁化電流會產生與恒定電流相同的磁效應，即有介質中的安培環(huán)路定理

磁介質的本構關系對于線性各向同性介質，有介質的本構關系

對于均勻磁介質，

為與坐標（位置）無關的常數(shù)線性介質，磁導率與磁場強度無關，否則為非線性介質各向同性介質,磁導率與磁場強度的方向無關，B與H同向

對于線性各向異性介質，有例2.4.3半徑為a的磁化介質球球心在坐標原點，磁化強度為，A和B為常數(shù)，求JM和JSM。解：r=a球面上所以z

e

Oereza例2.4.4內、外半徑分別為

內=a和

外=b的圓筒形磁介質中，沿軸向有電流密度為J=ezJ0的傳導電流。設磁介質的磁導率為

，求磁化電流分布。bazJ

解：利用安培環(huán)路定理得2.4.3導電媒質的傳導特性

歐姆定律在導電媒質中，電場強度E與電流密度J的關系為

焦爾定律

在導電媒質中，電場力使電荷運動，所以電場力要做功。設：電荷量

V，運動速度v，則電場力在時間

t內所做的功為電場做功的功率為功率密度（單位體積中的損耗功率）為體積為V的導電媒質內的損耗功率為焦爾定律的微分形式

歐姆定律

2.5電磁感應定律和位移電流

自從1820年奧斯特發(fā)現(xiàn)電流的磁效應之后，人們開始研究相反的問題，即磁場能否產生電流。

1831年法拉第發(fā)現(xiàn)，當穿過導體回路的磁通量發(fā)生變化時，回路中會出現(xiàn)感應電流和電動勢，且感應電動勢與磁通量的變化有密切關系，由此總結出了著名的法拉弟電磁感應定律。法拉弟電磁感應定律的表述當通過導體回路所圍面積的磁通量

發(fā)生變化時，回路中產生的感應電動勢

in的大小等于磁通量的時間變化率的負值，方向是要阻止回路中磁通量的改變，即2.5.1法拉第電磁感應定律式中負號表示感應電動勢總是要阻止磁通量的變化。已設感應電動勢正方向和磁通量正方向之間存在右手螺旋關系。設任意導體回路C圍成的曲面為S，其單位法向矢量為n，回路附近的磁感應強度為B，則穿過回路的磁通為

法拉第電磁感應定律的積分與微分形式電流由電荷定向運動形成，電荷定向運動是電場力作用的結果，即空間中存在感應電場Ein。

當一個單位正電荷在電場的作用下繞回路C一周時，電場力所做的功與電動勢之間的關系為＝電源對電荷做的功＝電源電動勢＝感應電動勢E

法拉第電磁感應定律的積分形式等式右端表示穿過S的磁通量隨時間的變化率，有兩種情況:(1)當回路靜止時：磁通量的變化由磁場隨時間變化引起，有

法拉弟電磁感應定律的微分形式庫侖電場，在任意回路上的線積分為零等式右端兩項分別對應磁場變化和導體運動的貢獻。當磁場不隨時間變化時，有

導體在磁場中運動時，其內部的電荷隨之運動，電荷受到的力為

感應電場是由于電荷在磁場中運動而形成的洛侖茲力

磁場變化項導體運動項(2)當導體回路C以速度v運動時（后面有證明）對法拉第電磁感應定律的討論

Ein是磁場隨時間變化而激發(fā)的(E=Ec+Ein)

時變電場(含感應電場)是有旋場，磁場隨時間變化處會激發(fā)旋渦狀的電場

變化的磁場會產生電場對任意回路（不一定有導體存在）成立磁場不隨時間變化時，有，與靜電場的形式相同(此時不存在感應電場)，可見靜電場是時變場的特殊情況法拉第電磁感應定律變化的磁場產生電場（感應電場）法拉第電磁感應定律的積分形式法拉第電磁感應定律的微分形式參見P91回路靜止法拉第電磁感應定律的微分形式磁場變化項導體運動項回路與磁場變化C1C2S2S1BdS3dl

當回路和磁場都變化時，電磁感應定律的證明假設環(huán)路C,在磁場B中由t的C1移動到的C2,于是利用Taylor公式展開于是C1C2S2S1BdS3dl當環(huán)路由C1移動到C2后,形成的體積由面積S1,S2和S3包圍,因此于是可得于是可得由于最終可得

（1），矩形回路靜止；xbaoyx均勻磁場中的矩形環(huán)L

（3）

且矩形回路上的可滑動導體L以勻速運動。

解(1)均勻磁場

隨時間作簡諧變化，而回路靜止，因而回路內的感應電動勢是由磁場變化產生的，故例2.5.1

長為a、寬為b的矩形環(huán)中有均勻磁場

垂直穿過，如圖所示。在以下三種情況下，求矩形環(huán)內的感應電動勢。

（2）矩形回路的寬邊b=常數(shù)，但其長邊因可滑動導體L以勻速運動而隨時間增大；

(3)矩形回路中的感應電動勢是由磁場變化以及可滑動導體L在磁場中運動產生的，故得

(2)均勻磁場

為恒定磁場，而回路上的可滑動導體以勻速運動，因而回路內的感應電動勢全部是由導體L在磁場中運動產生的，故得或

（1）線圈靜止時的感應電動勢；

解:

（1）線圈靜止時，感應電動勢是由時變磁場引起，故

（2）線圈以角速度ω

繞x

軸旋轉時的感應電動勢。例2.5.2

在時變磁場中，放置有一個axb的矩形線圈初始時刻線圈平面的法向單位矢量與成α角，如圖所示。試求：

xyzabB時變磁場中的矩形線圈

假定時，則在時刻t時，與y

軸的夾角，故

方法一：利用式計算

（2）線圈繞x軸旋轉時，的指向將隨時間變化。線圈內的感應電動勢可以用兩種方法計算。

上式右端第二項與(1)相同，第一項xyzabB時變磁場中的矩形線圈12234

方法二：利用式計算。2.5.2位移電流

靜態(tài)情況下的電場基本方程在非靜態(tài)時發(fā)生了變化，即

這不僅是方程形式的變化，而是一個本質的變化，其中包含了重要的物理事實，即變化的磁場可以激發(fā)電場。有兩個新的問題：靜態(tài)情況下的磁場基本方程在非靜態(tài)時是否也變化變化的電場是否能產生磁場即

或

矛盾的提出非靜態(tài)情況下，電荷分布隨時間變化，有

另一方面，假定非靜態(tài)情況下磁場的基本方程不變，有兩邊取散度

安培環(huán)路定理的修正位移電流的引入修正的思路：在方程的右端加入一個附加項Jd，即有步驟：

令：

顯然

矛盾解決

時變場的安培環(huán)路定理

位移電流，意義？

令

Jd

滿足

加入的

Jd應該具有合理的物理意義

對安培環(huán)路定理和位移電流的討論

時變場情況下，磁場仍是有旋場，但旋渦源除傳導電流外，還有位移電流位移電流代表電場隨時間的變化率，當電場發(fā)生變化時，會形成磁場的旋渦源，從而激發(fā)起旋渦狀的磁場

變化的電場會激發(fā)磁場，這就是位移電流的物理意義，同時也是所期望的位移電流是一種假想電流，由麥克斯韋用數(shù)學方法引入，它深刻提示了電場與磁場之間的聯(lián)系，由此建立了麥克斯韋方程組，奠定了電磁理論的基礎。近代無線電技術的應用，證實了麥克斯韋方程組的正確性，也證實了位移電流的假想安培環(huán)路定理的積分形式位移電流密度電位移矢量隨時間的變化率，能像電流一樣產生磁場，故稱“位移電流”。注：在絕緣介質中，無傳導電流，但有位移電流。在理想導體中，無位移電流，但有傳導電流。在一般介質中，既有傳導電流，又有位移電流。位移電流只表示電場的變化率，與傳導電流不同，它不產生熱效應。位移電流的引入是建立麥克斯韋方程組的至關重要的一步，它揭示了時變電場產生磁場這一重要的物理概念。

例2.5.3

海水的電導率為4S/m，相對介電常數(shù)為81，求頻率為1MHz時，位移電流振幅與傳導電流振幅的比值。

解：設電場隨時間作正弦變化，表示為則位移電流密度為其振幅值為傳導電流的振幅值為故式中的k為常數(shù)。試求：位移電流密度和電場強度。

例2.5.4

自由空間的磁場強度為

解自由空間的傳導電流密度為0，故由式,得

例2.5.5

銅的電導率、相對介電常數(shù)。設銅中的傳導電流密度為。試證明：在無線電頻率范圍內，銅中的位移電流與傳導電流相比是可以忽略的。而傳導電流密度的振幅值為通常所說的無線電頻率是指f=300MHz以下的頻率范圍，即使擴展到極高頻段（f=30～300GHz），從上面的關系式看出比值Jdm/Jm也是很小的，故可忽略銅中的位移電流。

解：銅中存在時變電磁場時，位移電流密度為位移電流密度的振幅值為2.6麥克斯韋方程組

微分形式麥克斯韋方程組由四個微分方程方程組成

兩個旋度方程：法拉弟電磁感應定律和安培環(huán)路定理

兩個散度方程：高斯散度定理和磁場散度定理（可以證明時變場時這兩個方程與靜態(tài)場時形式一樣）2.6.1麥克斯韋方程組的微分形式①②③④2.6.2麥克斯韋方程組的積分形式①②③④2.6.3介質的本構關系只含兩個場量的麥克斯韋方程麥克斯韋方程組的涵義

時變電場的激發(fā)源除電荷以外，還有變化的磁場；時變磁場的激發(fā)源除傳導電流以外，還有變化的電場

電場和磁場互為激發(fā)源，相互激發(fā)電場和磁場不再相互獨立，而是相互關聯(lián)，構成一個整體——電磁場，電場和磁場分別為電磁場的兩個分量

在離開輻射源（如天線）的無源空間中，電場和磁場仍可以相互激發(fā)，形成電磁振蕩并傳播，這就是電磁波麥克斯韋方程組預言了電磁波的存在，且已被事實證明

在無源空間中，兩個旋度方程右邊相差一個負號，正是這個負號使電場和磁場構成了相互激勵又相互約束的關系

解：(1)導線中的傳導電流為忽略邊緣效應時，間距為d

的兩平行板之間的電場為E=u/d

，則

例

2.6.1

正弦交流電壓源連接到平行板電容器的兩個極板上，如圖所示。(1)證明電容器兩極板間的位移電流與連接導線中的傳導電流相等；(2)求導線附近距離連接導線為r

處的磁場強度。CPricu平行板電容器與交流電壓源相接與閉合線鉸鏈的只有導線中的傳導電流，故得

(2)以r

為半徑作閉合曲線C，由于連接導線本身的軸對稱性，使得沿閉合線的磁場相等，故式中的S0為極板的面積，而為平行板電容器的電容。則極板間的位移電流為

例

2.6.2

在無源的電介質中，若已知電場強度矢量，式中的E0為振幅、ω為角頻率、k為相位常數(shù)。試確定k與ω

之間所滿足的關系，并求出與相應的其他場矢量。

解：是電磁場的場矢量，應滿足麥克斯韋方程組。因此，利用麥克斯韋方程組可以確定k與ω

之間所滿足的關系，以及與相應的其他場矢量。對時間

t積分，得由以上各個場矢量都應滿足麥克斯韋方程，將以上得到的H和D代入式2.7電磁場的邊界條件

麥克斯韋方程組可以應用于任何連續(xù)的介質內部在兩種介質界面上，介質性質有突變，電磁場也會突變需要知道并適當表示界面兩側電磁場的突變關系。通常把這種突變關系稱為電磁場的