2022-2023學(xué)年山西省名校高二（下）聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2022-2023學(xué)年山西省名校高二(下)聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項(xiàng)中，選出符合題目的一項(xiàng))

1.在數(shù)列｛%｝中，?1=2,誓i=W1,則。3=()

τan71

A.4B.6C.8D.12

2.已知函數(shù)y=f(χ)的導(dǎo)函數(shù)y=∕'(x)的圖象如圖所示，則()

A./(x)在區(qū)間(—2,1)上單調(diào)遞增

B.f(x)在區(qū)間(-2,5)上有且僅有2個(gè)極值點(diǎn)

C./(x)在區(qū)間(-2,5)上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)

D.f(x)在區(qū)間(1,3)上存在極大值點(diǎn)

3.已知橢圓C：芷+==1的離心率為澤則C的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為()

mzn+62

A.8√2B,4√2C.2√2D.4

4.設(shè)等差數(shù)列｛arι｝,｛為｝的前n項(xiàng)和分別為Sn,Tn,若M=蕓?則￡?=()

IγιTITD"10

A?B—C—D—

11112646

5.拉格朗日中值定理是微分學(xué)的基本定理之一，定理內(nèi)容如下：如果函數(shù)/(x)在閉區(qū)間

上的圖象連續(xù)不間斷，在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)的導(dǎo)數(shù)為尸(X),那么在區(qū)間(α,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,

使得f(b)-f(α)=f'(c)(b-α)成立,其中C叫做f(x)在［α,b］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”.根據(jù)

這個(gè)定理，可得函數(shù)/(乃=0-2)》》在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為()

A.0B.1C.2D.3

6.若過(guò)點(diǎn)P(2,4)且斜率為k的直線/與曲線y=V￥中有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值不可

能是()

344

C2

A.4-5-3-D.

7.已知數(shù)列｛c?｝,α1=∣>αn+ι=2an-αnαn+1,若數(shù)列｛尹魯[■｝的前n項(xiàng)和為Sn,則

52023=()

A---------——B---------——C?--------——D----------—

2021d2O22c20232024

A?32+l'32+1?32+l??32+l

8.已知函數(shù)/(x),g(x)的定義域均為R,g'(x)為g(x)的導(dǎo)函數(shù)，且/(x)+g'(x)=2,/(x)-

√(4-x)=2,若g(x)為偶函數(shù)，則((2022)+g'(2024)=()

A.0B.1C.2D.4

二、多選題(本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項(xiàng)符合題目要求)

aaa=

9.已知｛<?｝為等差數(shù)列，ι+3+5-108,a2+a4+a6=-102,則()

A.｛an｝的公差為2B.｛斯｝的公差為3

C.｛∣ajJ｝的前50項(xiàng)和為1390D.｛|總｝的前50項(xiàng)和為1290

10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，PAl平面ABCD,48〃CD,P

/.ABC=AB=PA=2,BC=CD=4,M為PC的中點(diǎn)，/；?v

順)∕?v.-.-?β

A.直線CM與力。所成角的余弦值為黑

B.直線BM與平面PBC所成角的正弦值為手

C.二面角P—BC-M的余弦值為尊

D.點(diǎn)M到直線BC的距離為2√5

11.已知函數(shù)/^(x)=XmX+1,g(x)=e^^x+ax,若f(x)與g(x)的圖象上有且僅有兩對(duì)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，則a的取值可能是()

A.eB.e+2C.3D.4

12.意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子的繁殖問(wèn)題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣的一列數(shù)：1,1,2,

3,5,8,13,21,....該數(shù)列的特點(diǎn)如下：前兩個(gè)數(shù)均為1,從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于

它前面兩個(gè)數(shù)的和.人們把這樣的一列數(shù)組成的數(shù)列｛ajl｝稱(chēng)為斐波那契數(shù)列，現(xiàn)將｛an｝中的各

項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝,數(shù)列｛arι｝的前n項(xiàng)和為無(wú)，數(shù)列｛g｝的

前Tl項(xiàng)和為〃，下列說(shuō)法正確的是()

?-°2023=°B?^2023=1349

C.Ct]+。3++a2023=a2024D.52023=a2024—?

三、填空題(本大題共4小題，共20.0分)

13.己知函數(shù)f(x)=cos2x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)￠,/C))處的切線方程為—.

14.古希臘哲學(xué)家芝諾提出了如下悖論：一個(gè)人以恒定的速度徑直從力點(diǎn)走向B點(diǎn)，先走完

總路程的二分之一，再走完剩下路程的二分之一，如此下去，會(huì)產(chǎn)生無(wú)限個(gè)“剩下的路程”，

因此他有無(wú)限個(gè)“剩下路程的二分之一”要走，這個(gè)人永遠(yuǎn)走不到終點(diǎn)，因古代人們對(duì)無(wú)限

認(rèn)識(shí)的局限性，所以芝諾得到了錯(cuò)誤的結(jié)論.設(shè)IABl=S,這個(gè)人走的第n段距離為αjl,則滿(mǎn)

足這個(gè)人走的前n段距離的總和Sn∈(蓋,鬻)的正的一個(gè)值可以為_(kāi).

15.用數(shù)學(xué)的眼光看世界就能發(fā)現(xiàn)很多數(shù)學(xué)之“美”.現(xiàn)代建筑講究線條感，曲線之美讓人稱(chēng)

奇.衡量曲線彎曲程度的重要指標(biāo)是曲率，曲線的曲率定義如下：若f'(χ)是/(χ)的導(dǎo)函數(shù)，

UIf”(X)I

/''(X)是f'(x)的導(dǎo)函數(shù)，則曲線y=/(X)在點(diǎn)(XJ(X))處的曲率K=(i+(∕(χ))2,若曲線/(X)=

/+mX和g(??=正在QI)處的曲率分別為K],K2ι則*=___-

16.已知拋物線C：y2=2pχ(p>0)的焦點(diǎn)為F,P(2,l)為拋物線C內(nèi)側(cè)一點(diǎn)，M為C上的一

動(dòng)點(diǎn)，IMPl+IMFl的最小值為則P=—,該拋物線C上一點(diǎn)4(非頂點(diǎn))處的切線，與圓M：

(X+2)2+y2=4相切,則MFl=—.

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)

17.(本小題10.0分)

在數(shù)列｛a71｝中，a1=3,an+1-an=2n+3.

(1)求M；

(2)設(shè)勾=誦大]求數(shù)列｛%｝的前Ti項(xiàng)和S7l?

18.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(x)=Inx-

(1)若f(x)在(0,+8)上單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

(2)若a=1,試問(wèn)過(guò)點(diǎn)(0,1)向曲線y=/(x)可作幾條切線？

19.(本小題12.0分)

如圖,在四棱柱ABCD-4ιBιG5中,側(cè)棱AiAL^ABCD,AB∕∕DC,AB1AD,AD=CD=2,

AA1=AB=4,E為棱M的中點(diǎn).

(1)證明：BC1C1E.

(2)設(shè)由=4屈(0<X<1),若Cl到平面BBlM的距離為管，求人

20.(本小題12.0分)

已知等比數(shù)列滿(mǎn)足%=是。的等差中項(xiàng)，數(shù)列的前項(xiàng)和為

｛an｝1,&3+12,｛α∏｝nSn.

(I)求｛a*｝的通項(xiàng)公式；

求數(shù)歹的前項(xiàng)和

(2)∣J｛(2n-l)Srι｝n

21.(本小題12.0分)

法國(guó)數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日創(chuàng)立的的法幾何學(xué)》對(duì)世界各國(guó)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展影響深遠(yuǎn).在雙

曲線真-《=l(α>b>O)中，任意兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，它的圓心

是雙曲線的中心，半徑等于實(shí)半軸長(zhǎng)與虛半軸長(zhǎng)的平方差的算術(shù)平方根，這個(gè)圓被稱(chēng)為蒙日

圓.已知雙曲線C：圣―?=l(a>b>O)的實(shí)軸長(zhǎng)為6,其蒙日?qǐng)A方程為/+y2=1.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)。為雙曲線C的左頂點(diǎn)，直線/與雙曲線C交于不同于。的E,F兩點(diǎn)，若以EF為直徑的圓

經(jīng)過(guò)點(diǎn)D,且。GJ.E尸于G,證明：存在定點(diǎn)H,使IGHl為定值.

22.(本小題12.0分)

已知函數(shù)/(X)=磊?

(1)求/(x)在(-3,+8)上的極值；

(2)若VXe(-3,+8),3≤ax2-2x,求α的最小值.

答案和解析

1.【答案】B

i1

【解析】解：在數(shù)列｛即｝中，a1=2,?±=?,

ann

則幺±1=%

人」九+1n,

又？=2,

即號(hào)=2,

則=6,

故選：B.

由已知可得需=*又?=2,然后求解即可.

本題考查了數(shù)列的遞推式，屬基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：由導(dǎo)函數(shù)y=/。)的圖象可知，

當(dāng)X∈(-2,-1)U(2,4)時(shí),尸(X)<0,

當(dāng)％∈(-1,2)U(4,5)時(shí)，［(X)>0,

???∕(x)在(-2,-1),(2,4)上單調(diào)遞減,￠(-1,2),(4,5)上單調(diào)遞增.

則/Q)在區(qū)間(-2,1)上不單調(diào)，故A錯(cuò)誤；

/Q)在區(qū)間(-2,5)上有且僅有3個(gè)極值點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

/Q)在區(qū)間(-2,5)上零點(diǎn)個(gè)數(shù)不確定，故C錯(cuò)誤；

/(x)在區(qū)間(1,3)上存在極大值點(diǎn)，故。正確.

故選：D.

由導(dǎo)函數(shù)的圖象可得原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)得答案.

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，考查數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：???橢圓C的離心率為苧

=?解得m=2,

√m+62

故橢圓C：二+上J=1的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2√τn+6=4&,

mm+t>

故選：B.

根據(jù)橢圓的方程，即可得出答案.

本題考查橢圓的性質(zhì)，考查對(duì)應(yīng)思想，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

19(勺+。]9)

【解析】解：根據(jù)條件：*OlQ察2010=%毀+。19*嬴"W[T■"i9'=滬I]9=?z×l?V+2o=條11

2

故選：A.

根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式可得出產(chǎn)=滬，然后即可得出答案.

DIO119

本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前幾項(xiàng)和公式，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.【答案】B

【解析】解：/(2)=/(1)=0,?∕,(c)=0,

令/'(%)="X+~~="X+1—I=0,則仇％=：—1,在同一坐標(biāo)系內(nèi)分別畫(huà)出函數(shù)y=Lnx和

y=2-1的圖象如下圖所示：

JX

???方程欣=：-1只有一個(gè)解,

???y'(c)=o只有一個(gè)解，

???函數(shù)/(%)=(%—2)伍X在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù)為L(zhǎng)

故選：B.

根據(jù)條件可得出/'(c)=0,∕,(x)=Inx+1-1,根據(jù)圖象可判斷方程)x=Z-1的解的個(gè)數(shù)，從

而可得出函數(shù)/(x)=(x—2)伍X在［1,2］上的“拉格朗日中值點(diǎn)”的個(gè)數(shù).

本題考查了基本初等函數(shù)和積的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)公式，根據(jù)圖象判斷方程解的個(gè)數(shù)的方法，理解拉格

朗日中值點(diǎn)的定義，考查了計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】B

【解析】解：如圖,

曲線y=√4-%2即％2+y2=4(y>0)表示以。為圓心，2為半徑的上半圓，

∣-2∕C+4∣_

因?yàn)橹本€Z：y=ZQ-2)+4即Jcr-y-2k+4=0與半圓相切，所以舊匚一，解得k=不

4—∏

因?yàn)镻(2,4),?(-2,0),所以曷1,

又直線與曲線y=有且只有一個(gè)交點(diǎn)，所以k>kp4或k=

所以實(shí)數(shù)/C的取值范圍是(l,+8)u{3.

故選：B.

根據(jù)半圓的切線性質(zhì)，結(jié)合點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解，然后根據(jù)圖象即可求解.

本題考查了直線與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：由an+1=2a-aa,可得t?+ι=

nnn+11~1~un

兩邊取倒數(shù)，可得S-=J(；+1),

an+lNan

即有含一I=XA-1)，

則*T=*T)G)z=G)"，

即有α7l=備?,

n

an_2_11

2n+1+l=(2n+l)(2n+1+l)=27f+T-2n+1+l>

Illl11Il

所以S2023=E_y+g_§+…=

故選：D.

由原數(shù)列的遞推式可得αn+ι=等，兩邊取倒數(shù)，再兩邊同時(shí)減去L結(jié)合等比數(shù)列的定義和通

??ɑn

項(xiàng)公式，由數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，計(jì)算可得所求和.

本題考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和數(shù)列的裂項(xiàng)相消求和，考查轉(zhuǎn)化思想和運(yùn)算能力，屬于中

檔題.

8.【答案】C

【解析】解：依題意,因?yàn)間(x)為偶函數(shù),所以g(x)=g(τ),所以g'(x)=-g'(r),所以g'(x)

為奇函數(shù)月.g'(0)=0,

因?yàn)閒(x)+g'(x)=2,/(x)-√(4-x)=2,令X=2,則有伶T%?U—V

解得(f2)=2,

因?yàn)閒(χ)-g'(4-χ)=2,

所以/(X+4)-g'(τ)=2,又g'(x)=-g'(τ),

所以f(x+4)+g'(x)=2,

由管+1‘甯‘藍(lán)=2'得"乃=，。+4)，所以/O)是以4為周期的周期函數(shù)，

所以f(2022)=/(2)=2,

由瑞二歌二二得匹)+或1)=。,

又g'(%)=-√(-χ)>所以g'(4-X)=g'(-%),

所以g'(x)=g'[x+4),

所以g'(x)是以4為周期的周期函數(shù)，所以g'(2024)=g'(0)=0,

所以f(2022)+g'(2024)=/(2)+g'(0)=2+0=2.

故選：C.

根據(jù)g(χ)為偶函數(shù)，得出g'(χ)為奇函數(shù)，再根據(jù)已知式中對(duì)自變量賦值求出/(χ),g(χ)的周期即

可求解.

本題主要考查抽象函數(shù)及其應(yīng)用，函數(shù)的奇偶性與周期性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，屬

于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：｛α∏｝為等差數(shù)列，ɑ?+α3+ɑ?=-108,a2+a4+a6=-102,

???伊1黑=一：鬻解得的=一40,d=2,故A正確，B錯(cuò)誤;

(3Ql+9d=-102

an=-40+2(n-1)=2n—42,

由c?=2n—42≥0,得n≥21,

???｛∣αn∣｝的前50項(xiàng)和為:

Tn=S50-2S20=50×(-40)+2-2[20X(-40)+X2]=1290,故C錯(cuò)誤，。正

確.

故選：AD.

利用等差數(shù)列的前幾項(xiàng)和公式、通項(xiàng)公式能求出結(jié)果.

本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題.

10.【答案】BC

【解析】解：以4為原點(diǎn)，中點(diǎn)和4的連線、48所在直線，AP所在

直線，分別為X軸，y軸，Z軸，

建立空間直角坐標(biāo)系,則P(0,0,2),8(0,2,0),C(4,2,0),M(2,-l,l),

D(4,-2,0),

于是祝=(2,3,-I)，AD=(4,-2,0),設(shè)MC,4。所成的角為0,則

祟，故錯(cuò)誤；

cosθ=,I"硬1I=z-?z-=A

?MC?-?AD?√14×2√570人0

麗=(2,-3,1),Pfi=(0,2,-2).瓦f=(4,2,-2),設(shè)平面PBC的法向量元=(X,y,z),可得

(PB?n=2y-2z=0

[PC-n=4x+2y-2z=0

令y=l,則元=(0,1,1),故直線BM與平面PBC所成角的正弦值為：∣cos<BM,n>\=

卜3+l∣_√7故B正確;

√2×√4+9+f―

設(shè)平面BCM的法向量為：m=(α,fa,c),BC=(4,0,0),祝=(2,3,-1),則

(BC?m=4a=0

IMd?m=2α÷3?-C=O

令b=1,則沆=(0,1,3),設(shè)二面角P-BC-M的平面角為α,由題可知α為銳角，則CoSa=ICOSV

萬(wàn)

mtn>\=雪黑=4=第，故C正確；

1∣τn∣?∣n∣x^×√105

設(shè)點(diǎn)M到直線BC的距離為d,cos<BM,BC>=-??-=-?-=手，

?BM???BC?√14×47

則d=IBMISin<麗,近>=gxJl-(^?)2=√Tθ>故。錯(cuò)誤.

故選：BC.

建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出對(duì)應(yīng)直線的方向向量、平面的法向量，根據(jù)公式計(jì)算即可.

本題考查空間向量在立體幾何問(wèn)題中的應(yīng)用，屬于中檔題.

11.【答案】BD

【解析】解：因?yàn)槿?(χ)與g(χ)的圖象上有且僅有兩對(duì)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)，

所以f(X)與-g(-x)在(。，+8)上有兩個(gè)交點(diǎn)，即KbIX+1=-ex+ax(x>0)有兩個(gè)零點(diǎn)，整理得

a+1

Q—ITLXH-------，

X

只需滿(mǎn)足y=α與y=Inx+，工(X>0)有兩個(gè)交點(diǎn)即可，

令∕ι(x)=Inx+(x>0)?則有∕ι'(X)=I，^l^?F-

所以Xe(0,1),∕ι,(x)<0,∕ι(x)單調(diào)遞減;χ∈(l,+8)時(shí)，h'(x)>0,∕ι(χ)單調(diào)遞增，

?∕ι(x)在X=1處取得最小值九(1)=e+1,

所以只需。>0+1々3.73即可.

故選：BD.

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為/(X)與-g(-X)在(0,+8)上有兩個(gè)交點(diǎn)，可構(gòu)造函數(shù)研究.

本題考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，

12.【答案】BC

【解析】解：由題意可得數(shù)列｛arj｝滿(mǎn)足αrι+αn+1=an+2,

將｛即｝中的各項(xiàng)除以2所得的余數(shù)按原來(lái)的順序構(gòu)成的數(shù)列記為｛%｝，

則瓦=1,電=1,b3=0,

依次類(lèi)推：仿4-2=L?k-l=1?壇α=°，∕C∈N+,

對(duì)于選項(xiàng)A，力2023=63x675-2=瓦=1，即選項(xiàng)A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)5,T2023=674×(1÷1+O)÷1=1349,即選項(xiàng)8正確；

對(duì)于選項(xiàng)Ga2024—a2023=a2022,a2022—a2021=a2Q20,a2020—a2019=a2018,???a2~aI=°，

上式累加可得。2024=ɑl+@3+…+。2023,即選項(xiàng)C正確；

a

對(duì)于選項(xiàng)D,S2Q23—(。2024—1)=%+。2+a3÷???÷2021+1≠0，即選項(xiàng)。錯(cuò)誤，

故選：BC.

abb

先閱讀題意，可得數(shù)列｛αn｝滿(mǎn)足α∏+n+l=Qn+2，則63上-2=1，3k-l=1，3k=°，k6N,

然后結(jié)合累加法逐一判斷即可得解.

本題考查了數(shù)列的遞推式，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題.

13.【答案】y=-2(x—》

【解析】解：∕,(x)=-2sin2x,則/'(》=-2SiW=-2,

又/《)=CoS/0,

則所求切線方程為y=-2(χ-≡).

故答案為：y=-2(x-J).

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得切線的斜率，再由點(diǎn)斜式得解.

本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】7(7、8、9,只需寫(xiě)出一個(gè)答案即可)

【解析】解：由題意得的=IBan+1=?,

當(dāng)n≥2時(shí)，α7l=2滬，

所以Qn=Sn-Sn-1=(S-2αn+1)-(S-2αn),

1

化簡(jiǎn)得Qn+ι=-αn,

所以數(shù)列｛即｝是公比為:，首項(xiàng)為5的等比數(shù)列，

所以Sn=I喀=S[l-g)nb

12

因?yàn)镾n≡喘，繪)，所以蓋<1一(扔<端，

即焉<(?>n<7?P所以100<2"<1000,又neM

11.UUULΛJLUU

所以幾的取值可以為7、8、9.

故答案：7(7、8、9,只需寫(xiě)出一個(gè)答案即可).

根據(jù)題意知數(shù)列｛arι｝是公比為a首項(xiàng)為:的等比數(shù)列，求出前n項(xiàng)和，列出不等式即可求正整數(shù)n的

取值.

本題考查根據(jù)數(shù)列的前n項(xiàng)和作差求通項(xiàng)公式，等比數(shù)列的定義與求和公式的應(yīng)用，屬中檔題.

15.【答案】2福

【解析】解：/(x)=X2+Inx,則∕7(x)=2x+?,∕,,(x)=2-

,,,170)|i

???∕(1)=3,∕(1)=1,Ki=-s=—-3=10號(hào)，

(1+(∕,(1))2)2(1+9)2

Irl1?13

g(x)=y[χ=χ2^則g'(%)=5%"^2,g"(κ)=一彳％-2，

/z?11ZZ—I。"⑴I_4_2之_S

.?吟1，g(I)=F七-D2"函-國(guó)-2X52,

_3

則號(hào)=??=JX=2-∣.

Q2x5-22

故答案為：24.

由函數(shù)/(X)和g(χ),分別求出f'(χ),∕''(χ)以及g'(χ)和g''(χ),代入曲率公式計(jì)算，化簡(jiǎn)求值即可.

本題以新定義為載體，主要考查了導(dǎo)數(shù)的求解，屬于中檔題.

16.【答案】3歲

O

【解析】解：由題意，拋物線C：y2=2pχ的準(zhǔn)線方程為X=一1

設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的投影為D,

根據(jù)拋物線的定義可知IMFl=?MD?,

則∣MP∣+∣M/I=IMPI+∣M0∣2∣PD∣,當(dāng)M,P,D三點(diǎn)共線時(shí)有最小值,

結(jié)合圖像可知IPDl的最小值即為點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離d=xp+≡=2+∣=^=>p=3;

可得拋物線C：y2=6χ,焦點(diǎn)F(∣,0),

在拋物線上取一點(diǎn)A(α,√6∏),設(shè)拋物線在點(diǎn)4的切線的方程為y-√6^=k(x-α),

聯(lián)立拋物線方程，J=2ak2-2√6α∕c+3=0,解得k=喘，

所以切線的方程為y—標(biāo)=磊-α),

整理得3x—y[βay+3α=0，

又因?yàn)榍芯€與與圓M：(x+2)2+y2=4相切，設(shè)切點(diǎn)為B,

由圓M的方程可知圓心M(—2,0),r=2,

則出Ml=甘提?=2,解得α=0(舍去)或α=等所以4譚,2舊)，

同理，點(diǎn)4關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A育,-2√I6)也符合題意，

則IAFl=J(y-∣)2+(±2W=牌=/

故答案為：3；管

O

設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的投影為。，根據(jù)拋物線的定義可知IMPl+IMFl=IMP|+|MD當(dāng)M,P,D≡

點(diǎn)共線時(shí)有最小值，結(jié)合圖像列出方程即可求出P的值；進(jìn)而可得拋物線方程和焦點(diǎn)坐標(biāo)，在拋物

線上取一點(diǎn)4(2夜)，設(shè)拋物線在點(diǎn)A的切線的方程為y-√^H=k(x-α),聯(lián)立拋物線方程，利

用Z=0求出斜率，得到切線方程，再根據(jù)圓心到切線方程的距離等于半徑，列出等式求得α的值，

得到4點(diǎn)坐標(biāo)，同理，點(diǎn)4關(guān)于X軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)4也符合題意，利用兩點(diǎn)間距離公式即可求解∣4F∣.

本題考查了拋物線的方程和性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系，屬于中檔題.

17.【答案】解：(1)在數(shù)列｛%l｝中，的=3,an+1-an=2n+3,

則當(dāng)九≥2時(shí)，Qn=(Qn-CZn-?)+(?-ι—即一2)+…+(。2—Ql)+=(2∏+1)+(2∏—

1)÷...+5+3=n(n+2),

又％=3滿(mǎn)足上式，

即αn=n(n+2)；

_,.n

(2)已知勾=而嬴,

則%=

n(n+l)(n+2)n+1n+2

則無(wú)=G_p+q-Χ)+…+(,-M)

即數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和S“=T一焉.

【解析】(I)由已知可得當(dāng)n≥2時(shí),Qn=(αn-QnT)+(%IT-Qn-2)+???+(。2-。1)+=

(2n+1)+(2n—1)+…+5+3=π(π+2),然后判斷Ql滿(mǎn)足上式即可；

(2)由已知可得瓦=麗晶麗=+一擊，然后累加求和即可?

本題考查了利用數(shù)列遞推式求數(shù)列的通項(xiàng)公式，重點(diǎn)考查了裂項(xiàng)求和，屬基礎(chǔ)題.

18.1答案】解：(1)??,f(%)=Inx—x2^a="%—∣x+?在(°，+8)上單調(diào)遞減，

—x2+2x-2α

"(?=；_A爰=≤O恒成立,

?*?2α≥(—+21χ)mα%,

又當(dāng)X>O時(shí)，t(x)=-X2+2X=—(%—I)2÷1≤1(當(dāng)且僅當(dāng)％=1時(shí)取等號(hào))，

?2α≥1,

即實(shí)數(shù)ɑ的取值范圍為故,+8)；

(2)若α=l,貝IJf(X)=Inx—；(久>0),

尸⑴=2G?

設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)與曲線/(X)相切的直線與f(χ)的切點(diǎn)坐標(biāo)為(XO,y°),

,1=--x1

則yo-1=∕(x0)(?-θ)>BRin?-∣?+?-?-o=-1?-?.

7

整理得)Xo+f-2=0,

xO

令h(x)=Inx+：-2(x>0),

W(χ)=i-?=?,

令〃(%)=0,得％=2,

???九(X)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+8)上單調(diào)遞增，

17

又嶼)=2-ln2>0,∕ι(2)=ln2-l<0,h(e2)=￡>0，

???∕l(x)與X軸有兩個(gè)交點(diǎn)，

.??過(guò)點(diǎn)(0,1)向曲線y=/(X)可作2條切線.

χ2a2

【解析】(1)依題意，得/'(X)=~^~≤0恒成立=當(dāng)X>0時(shí)，α≥(-%+2x)max,從而可得

答案；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)(0,1)與曲線g(X)相切的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為(XO,%)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出過(guò)點(diǎn)(0,1)

的切線方程，整理可得m出+二-2=0,令九(X)="X+2—2(%>0),求導(dǎo)分析，可得答案.

?θX

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

19.【答案】證明：⑴以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AD,AA1,AB所在直線為X軸，y軸，z軸，建立空

間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

則B(0,0,4),D(2,0,0),C(2,0,2),E(0,2,0),C1(2,4,2),Bl(0,4,4),

所以前=(2,0,-2)，弱=(2,2,2),

所以近?EC?=2×2+0+2×(-2)=0?

所以近1南，即BCIClE；

解：(2)因?yàn)槲?(0,4,0)，CF=(-2,2,-2)-

所以麗=阮+而=芯+2方=(2-2λ,2λ,-2-2λ),

設(shè)平面BBlM的法向量為元=(x,y,z),

所以付竺=°,即八，n，令X=I+九解得記=(1+尢。，1一4)，

因?yàn)橥摺龌?(2,0,-2),

I瓦片叫4A

所以G到平面BBlM的距離dj=-=-p?,

J2+2%

4Λ2√5

由題意可知=解得;I=；1.

J2+2*3

【解析】(1)以a為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD,441，AB所在直線分別為X軸，y軸，Z軸，建立如圖所示的空

間直角坐標(biāo)系，求出相應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再利用比?EC1=O即可證得BC1C1E;

(2)先求出平面BBlM的一個(gè)法向量，再利用點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.

本題主要考查了利用空間向量證明兩直線垂直，以及求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)已知等比數(shù)列｛αzι｝滿(mǎn)足的=1,。3+1是。2,的等差中項(xiàng)，

則2(%+1)=α2+a4,

設(shè)數(shù)列｛an｝的公比為q,

即2(q2+1)=q+q3,

即q=2,

則斯=2n~1;

(2)由(1)可得Sn=?y=2n-l>

n

則(2n-l)5n=(2n-1)?2-(2n-1),

設(shè)Xn為數(shù)列｛(2n-1)?2rι｝的前n項(xiàng)和，L為數(shù)列｛2n-1｝的前兀項(xiàng)和，

貝IJXn=1×21+3×22+...+(2n-3)X2n-1+(2n-1)×2n,

23n+1

則2X7J=l×2+3×2+...+(2n-3)x2"+(2n-1)×2,

兩式相減可得-X"=l×21+2×(22+23+...+2n)-(2n-1)×2π+1-(2n-1)×2n+1,

即一Xn=2+2×處Cq-(2n-1)×2n+1，

n

即Xrj=(2n-3)x2+ι+6,

又〃=n(l+｝-l)=M,

n+12

即數(shù)列｛(2n-I)STl｝的前n項(xiàng)和7；=Xn-Yn=(2n-3)×2-n+6.

【解析】(1)設(shè)數(shù)列｛c?｝的公比為q,由已知可得2(q2+i)=q+q3,然后求解即可；

7ln

(2)由(1)可得Sn=≥?=2-l.則Qn-I)Sn=(2n-1)?2-(2n-1),設(shè)XJI為數(shù)列｛(2n-

1—2

7t

l)?2｝的前n項(xiàng)和,Kn為數(shù)列｛2n-l｝的前n項(xiàng)和,然后求出X”、%即可得解.

本題考查了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，重點(diǎn)考查了錯(cuò)位相減法求和，屬中檔題.

21.【答案】(1)解：???雙曲線C：^-?=l(a>b>0%<^^的6,.??2a=6,.?.a=3.

Y雙曲線。的蒙日?qǐng)A方程為%2+y2=1,...02_辦2=1,

???b=2√2?

???c的標(biāo)準(zhǔn)方程為餐_*=i.

(2)證明:設(shè)E(xι,%),F(x2,y2).

當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，設(shè)，：y=kx+m,

Zy-

I

1kx+m,

?惇-

—y2_消去％得(8—9k2)x2—18kmx—(9m2+72)=O,

—

\至T

則/=(18?m)2+4(9m2+72)(8-9∕c2)>0,即徵2-9k2+8>0,

_18km

x+X

12-8-9k2

且一

-9/一72

%2=

8-9k2

???癥?而=(%ι+3)(x2+3)+y1y2=0,

??2