贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷 2卷(新高考專用)(解析版)

【沖鋒號(hào)-考場(chǎng)模擬】贏戰(zhàn)2023年高考數(shù)學(xué)模擬仿真卷02卷（新高考專用）

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考

證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上.

2.回答第I卷時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

3.回答第II卷時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.

4.測(cè)試范圍：高考全部?jī)?nèi)容

5.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

第I卷

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.已知集合/=8=卜》="-2"卜則/nB=（）

A.（0,2）B.（0,2]C.[0,2）D,[0,2]

【答案】B

【解析】集合4=k|y=5}={y|y>。},由4-2*20，解得：x<2,

故8={小42},則408=（0,2].

故選：B.

2.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=a+2i（awR）對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線y=-2x上，則2=（）

1+1

35

A.1B.iC.-iD.------i

22

【答案】B

【解析】復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2=。+2《°€2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（0,2）,

又在直線y=-2x上，所以2=-2.,解得。=7,

所以z=—l+2i,

口=7+21=（-1+-1）3

1+i1+i1+i（l+i）（1-i）2

故選：B.

3.《幾何原本》是古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得的一部不朽之作，其第十一卷中稱軸截面為等腰直角三角形的圓

錐為直角圓錐，若一個(gè)直角圓錐的體積是它的表面積的應(yīng)T倍，則該直角圓錐的高為（）

A.1B.V2C.2D.3

【答案】D

【解析】設(shè)直角圓錐的高為/?,底面圓的半徑為八母線長(zhǎng)為/,因?yàn)橹苯菆A錐的軸截面為等腰直角三角形,

所以r=〃,/=揚(yáng).因?yàn)橹苯菆A錐的體積是它的表面積的血-1倍，所以

"h解得人3.

乃/+乃〃/(1+6)3(1+⑨

故選：D.

4.在4SC中，角48、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知48。的面積為4,b=4,BA-JC=8，則。=()

A.y/2B.2V2c.2V10D.M

【答案】C

【解析】6=4,BA-AC=|BA||AC\cos(^-J)=-hccosA=8,5A/fBC=^-Z?csinA=4

/.ccos/I=-2①,csinA=2(2),

/.由①②得tanA=-\,

VJG(0,^)

.?“四

4

c—2^2?

j-34

/.a2=Z?2+c2-IbccosA=16+8-2x4x2^2cos—=40,

4

a=2>/10-

故選：C.

5.已知數(shù)列｛4"｝滿足q=1,出=3,a.=a“T+a,M(“wN*,“*2),則的022=()

A.-2B.1C.4043D.4044

【答案】A

【解析】由4=a?_t+an+i得%=a,+an+2,

兩式相加得a,+2=-%T，即a“+3=-a”，故。“+6=。”，

a

所以〃2022=。6=~i=一52-41)=-2.

故選：A.

6.若函數(shù)丁=/(》)的圖像與函數(shù)ksin,-：)的圖像有共同的對(duì)稱軸，且知y=/(x)在［0,間上單調(diào)遞減,

則機(jī)的最大值為()

【答案】D

［解析］y=sin(?一的對(duì)稱軸心_：=5+4萬(wàn)(AeZ),即x=1+4(4eZ),

函數(shù)y=/(x)的圖像對(duì)稱軸X=*+MAGZ),4=0時(shí)，對(duì)稱軸為X=“

因?yàn)閷?duì)稱軸兩側(cè)單調(diào)性相反，y=/(x)在［0,/n］上單調(diào)遞減，

所以［0,向在x=:的左側(cè)，此時(shí)m的最大值為:.

故選：D

22

7.已知橢圓C：:+匕=1(0＜機(jī)＜4),定點(diǎn)4(2,0),8(6,0),有一動(dòng)點(diǎn)尸滿足歸同=6歸川，若P點(diǎn)軌

m16

跡與橢圓C恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，則橢圓C的離心率的取值范圍為()

A(°，用B.陷。.隹1)D.加

【答案】D

【解析】設(shè)動(dòng)點(diǎn)尸(x,y),由題得J(X-6)2+V=W.J(X-2)2+「,

化簡(jiǎn)得/+『=12.

所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以26為半徑的圓.

因?yàn)槭c(diǎn)軌跡與橢圓C恰有4個(gè)不同的交點(diǎn)，

所以0〈機(jī)＜2/5.

所以橢圓C的離心率e=￡=如-"/＞屜-(2舟=1

a442

因?yàn)闄E圓的離心率ee(0,l),

所以橢圓C的離心率的取值范圍為

故選：D

8.設(shè)b=c=In,則①b,c的大小關(guān)系正確的是()

65546060

A.c<a<hB.c<b<a

C.b<c<aD.b<a<c

【答案】C

31133133

【解析】令/(x)=ln(x+1)--sinx,0<x<—,求導(dǎo)得/'(%)=------cosx,顯然:<----<1,ffij—cosx<—,

43x+1441+x44

i13

貝I」有/”(x)>0，即函數(shù)/(x)在(0《)上單調(diào)遞增，/U)>/(0)=0,即當(dāng)0<x<7時(shí)，ln(x+l)>-sinx,

334

ax=—€(o,-),于是得Ind>3sinL,因此c>6,

60360460

令g(x)="-ln(x+l),0<x<—?求導(dǎo)得g'(x)=二=---二=x，"+l_,

3406Vxx+16\lx(x+1)

顯然x-66+1=(Vx)2+￡(0,J')上單調(diào)遞減，x-6Vx+1>——-4=+1>0,

V404Uyio

即g'(x)>0,函數(shù)g(x)在(0二)上單調(diào)遞增，g(x)>g(0)=0,即當(dāng)0<x<］時(shí)，無(wú)>1心+1),

40403

=—e(o,—),于是得===LL>in且,即a>c,

604065/153丫6060

所以“，b,c的大小關(guān)系是b<c〈a.

故選：C

二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部

選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。

9.已知平面向量￡=(1,3)石=(2,)下列命題中的真命題有()

2

A.若￡〃石，則f=6B.若￡j_5，則/=

C.若同明，則r#D.若￡與B的夾角為:，則，=1

【答案】ABD

【解析】A：由￡〃B得f-6=0nf=6,故A正確,

_2

B：由Q_LB得2+3/=0=>/=-3,故B正確.

C：由卜卜W得,4+f2=J1Unf=±J^;故C錯(cuò)誤,

D：由「與1的夾角為￡得/+『‘，=當(dāng)d=1或(舍去)，故D正確,

4V10-V4+Z22

故選：ABD

10.如圖，圓錐OP的底面。的半徑，=2,母線/=右，點(diǎn)4B是。上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.尸Z8面積的最大值為2

B.218周長(zhǎng)的最大值為26+4

C.當(dāng)Z8的長(zhǎng)度為2時(shí)，平面尸45與底面所成角為定值

D.當(dāng)N8的長(zhǎng)度為2時(shí)，48與母線/的夾角的余弦值的最大值為手

【答案】BC

【解析】圓錐的底面半徑r=2,母線1=布,所以高0尸=6^=1，

5+5-16-3

畫(huà)出圓錐的軸截面.如下圖所示，cosNEPF=2x丁義君=彳<°，

jr

所以NE尸尸為鈍角，則存在4P8=

JT5

當(dāng)4PB=1時(shí)，5詠的面積取得最大值為所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

B選項(xiàng)，對(duì)于P/B的周長(zhǎng)2君+Z8,當(dāng)/B長(zhǎng)度為底面直徑長(zhǎng)度4時(shí),

產(chǎn)力8的周長(zhǎng)取得最大值為2A/?+4,所以B選項(xiàng)正確.

C選項(xiàng)，設(shè)。是的中點(diǎn)，則

由于/M=P8,O是的中點(diǎn)，所以尸DJ.4B，

所以ZODP是平面尸45與底面所成角，

由于/8=。4=。8=2,所以O(shè)/B是等邊三角形，

所以O(shè)￡>="OP=1,P。=2,所以N。。P=：為定值，C選項(xiàng)正確.

D選項(xiàng)，當(dāng)ABHEF時(shí)，，AB與母線PE的夾角是NPEO,

cosZP￡O=^==—>—,所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤.

亞55

故選：BC

11.已知圓。:（》-2）2+（廣3）2=4,恒過(guò)（1,3）的直線/與圓。交于尸，0兩點(diǎn).下列說(shuō)法正確的是（）

A.|「。|的最小值為20

B.PCP2e[6,8]

C.西的最大值為-2

D.麗?麗e[8—亞,8+布]（0為坐標(biāo)原點(diǎn)）

【答案】BCD

【解析】圓C：（x—2y+（y—3/=4的圓心為。（2,3）,半徑為2,

當(dāng)4（1,3）滿足（1-2『+（3-3）2=1<4,所以/（1,3）在圓。內(nèi),

所以，當(dāng)4C1P0時(shí)，|「。|取得最小值，如下圖所示,

=2百，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.

設(shè)B是尸。的中點(diǎn)，PCPQ=PC（2PB]=2[再]詞COSNP1一「I可

=2\PB\=L_L

由于2道[所卜4,12引而1416,所以定.而="e[6,8]，B選項(xiàng)正確.

所訟同.回SPCQ洞同嗎鼎旦=既用.

由于12:至]416,-8<8-|Pg|2<-4,所以而.詼=.匕卜4,_29

所以辦?西的最大值為-2,C選項(xiàng)正確.

而.麗=(麗+碉.(歷+閹=(歷+明(麗-幼=|/2-網(wǎng)2

二阿_(22_阿)=阿,珂_4@,

設(shè)5(xj),由|明，忸Cf=Mc/得:

(x-l[+(y-3『+(x-2『+(y-3『=1

整理得(x-1+(y-3)2=(；],所以B點(diǎn)的軌跡是以(川為圓心，半徑為方的圓,

I-+—cos0,3+—sin],0<0<2n,

1222)

所以畫(huà)二四2-4=(+(3《sin。]4-^cos。-2)+0{sin。-3

22)

=3sin6+cos8+8=8+J6~sin(0+(p),其中tane=g,

所以岳?麗=|萬(wàn)『+|5C|2-4€[8-710,8+710],D選項(xiàng)正確.

故選：BCD

12.定義在(o,+e)上的函數(shù)〃X)的導(dǎo)函數(shù)為/'(x),且/”(x)>與.則對(duì)任意為，Xe

2),+00),其中工產(chǎn)々，

則下列不等式中一定成立的是()

A./(e8)</(l)e-B.■」上學(xué)八2)

\X2)2

c./(x1+x2)>/(x,)+/(x2)D./(占)+/&)>//(a)+2/(七)

【答案】BCD

【解析】由題意可設(shè)g(x)=§,則g<x)=M'"/(x),

x>0,

礦(x)-/(x)>0,

.??g'(x)>0在(0,+8)上恒成立,所以g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

對(duì)于A：由于爐>1，所以g(e8)>g⑴，即、@)>型,所以/?)>/⑴鏟，故A不正確；

ex,1

1(1、/Z+—f

對(duì)于B：由于迎+―*2,當(dāng)且僅當(dāng)々=1時(shí)取等號(hào)，所以gx2+->g(2),即d一所以

3I^2)x+l_2

2

工2

>^1/(2),故B正確；

對(duì)于C：由g(X|+X2)>g(xJ得：,1+二)>9,即：

X1+x

+x2x}x}2

同理：-^-/(x,+x2)>/(x2).

兩式相加得:/(x,+x2)>/(x,)+/(x2),故c正確；

對(duì)于D：/(%)一%=—/(x2)-/(x2)=^-^-/(x2),

?X?X?a^2^2

兩式相減得：-/(X2)+/(X2)=/(%)

X?1^2*^11^2

所以/(再)-上/(不)-上/(々)+/(看)>°，

X\X2

YY

即/(XJ+/(X2)>>V(XJ+-L/(X2),故D正確.

X\X2

故選：BCD.

第II卷

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在中國(guó)農(nóng)歷中，一年有24個(gè)節(jié)氣，“立春”居首.北京2022年冬奧會(huì)開(kāi)幕正逢立春，開(kāi)幕式上“二十四節(jié)

氣”的倒計(jì)時(shí)讓全世界領(lǐng)略了中華智慧.墩墩同學(xué)要從24個(gè)節(jié)氣中隨機(jī)選取4個(gè)介紹給外國(guó)友人，則這4個(gè)節(jié)

氣中含有“立春”的概率為.

【答案】7

6

23x22x21

【解析】這4個(gè)節(jié)氣中含有“立春''的概率為：余=一。治乙乙，.

C./qxz.jxx16

4x3x2xl

故答案為：—

6

14.已知函數(shù)/(#=M匹上?+機(jī)是奇函數(shù)，則實(shí)數(shù)，"的值為_(kāi)__________

X-1

【答案】-1

【解析】由/(x)=ln土土。+機(jī)得

x—\

e(-x+l),e(x-l)

/(-x)=ln—---------+m=ln—-------+m,

x+l

V/(x)=lnW^+m是奇函數(shù),

.,?/(-x)+/(x)=0,

,e(x+l),

z.In--------+〃?+In-------H-m=0,

x-1x+l

即In「+2m=0，

/.2+2m=0,

解得〃z=T.

故答案為：-1.

ca

2cos—

15.若aw(0,乃),tana=----------,貝4Cosa

3-2sin—

2

【答案】:7

ca-?aa八a

2-cos—a2cos-2sin—cos2cos—

sma_2

【解析】***tana=222=2

GOsa-3-2sin-

3-2sin-l-2sin2-3-2sin-

2222

乂a￡(0,7V),—G(0,—),cos—>0,

222

.a

sin

].a1

2sin-=-cosa=1-2sin2—=1--=—

23

l-2sin2-3-2sin-299

22

7

故答案為：—

9

16.英國(guó)著名物理學(xué)家牛頓用“作切線”的方法求函數(shù)零點(diǎn)時(shí)，給出的“牛頓數(shù)歹在航空航天中應(yīng)用廣泛，若

數(shù)列｛》“｝滿足匕M=x“一荒十，則稱數(shù)列比｝為牛頓數(shù)列.如果函數(shù)/(X)=X2-4,數(shù)列優(yōu),｝為牛頓數(shù)歹IJ,

.+2

設(shè)4,=ln-----,且4=1,覆>2.則%=；數(shù)列列”｝的前〃項(xiàng)和為為,則$曲=

X.-2

【答案】222°2i.1

/（x“）V-4V+4

【解析】因?yàn)?(x)=V-4,所以/'(x)=2x,所以x”*產(chǎn)x.,所以

f'M2x“2x?

（￡+2）2

2

+2=±：±4+2=（%+2）;K+2_況_（X"+2）l（xn+2

X.V11_^2￡

n+\2=2=，所以匕+「2-（怎-2產(chǎn)-8,-2）2

2x,2相2X"2x?

2x.

2

+2

所以a,M=lnY%±-=lnx“+2I=21n*"+2=2/,

x“+|-2x?~21x,-2

即：a?+1=2a?,又4=1,所以數(shù)列｛a,J是以1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)歹U,

]_,2021

2021

所以a“=lx2i=2"T,所以％=2,S2021=-!^-=2-1.

故答案為:2；22021-1.

四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

17.（10分）

已知正項(xiàng)數(shù)列｛對(duì)｝的前〃項(xiàng)和為S“，且滿足a；=2d?S?-l.

(1)證明：數(shù)列⑸｝是等差數(shù)列;

(2)設(shè)數(shù)列，的前”項(xiàng)和為Z,，證明：Zoo>18

【解析】⑴當(dāng)〃22,〃wN*時(shí)，由端=2a￡-ln(S.-S."=2(S"-S,T)S,-ln0-S3=l，

所以數(shù)列代｝是等差數(shù)列；

(2)S；=2“「lnS；=l,山⑴可知數(shù)列博｝是等差數(shù)列，且公差為1,

所以S；=1+5-1)?1=〃，又因?yàn)閿?shù)列｛《,｝是正項(xiàng)數(shù)列，

所以s，，=冊(cè)，咤吐=今>=

7；0d>2(0-1)+2(6-￡)+…+2(>^F-j00)=2(VOT^1)>2(^5^1)=18.

18.(12分)

如圖，在四棱錐尸中，側(cè)面以。是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面P/。，平面P8C,E是4)的中點(diǎn),

AD//BC,AB1BC,AB=2BC=2.

(1)證明：？E_L平面P8C；

(2)求平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值.

【解析】(1)設(shè)平面PWc平面P8C=/,因?yàn)锳D力BC,8Cu平面尸8C,4DU平面PBC,所以/?！ㄆ?/p>

面PBC.

因?yàn)?Du平面以。，所以/￡)〃/.

因?yàn)槭?。是正三角形，E是7。的中點(diǎn)，所以PE2/。，所以PE_L/.

因?yàn)槠矫鍼AD1平面？8C,平面PADc平面PBC=1,尸Eu平面PAD,所以PE_L平面PBC.

(2)

連接CE,BE,則CE=/8=2,

因?yàn)椤窫_L平面/>8C,PCu平面28C,P8u平面尸8C,所以￡P(guān)_LPC,EPLPB，

因?yàn)镻E=5所以PC=YCE?-PE2=I,BE=JCE2+BC?=非，PB=\lBE2-PE2=41'所以

PC?+BC?=PB2，

所以PCJ.8C.

以P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以PE,PC所在直線分別為x,y軸，以過(guò)點(diǎn)P且平行于8c的直線為z軸，建立如圖所

示的空間直角坐標(biāo)系,則尸(0,0,0),百,0,1),5(0,1,1),C(0,l,0),￡>(73,0,-1),故力=(6,0,1),

麗=(0,1,1),1=(0,1,0),P5=(73,0,-1),

一/、[PA-m=5/3x+z=0廠

設(shè)平面玄8的法向量為機(jī)=(xj,z),貝叫_，令y=6,則z=—JLx=l,所以

PB?市=y+z=0

-.、PCii=y.=0r-

設(shè)平面尸8的法向量為〃=須,必,zj,則一二,令再=1,則z=G,必=0,所以

PD?而=&「Z\=G

而臼2_a

設(shè)平面PCO與平面以8所成的銳二面角的大小為。，則cosa=

川“2x幣7

所以平面PCD與平面PAB所成的銳二面角的余弦值為立

7

19.（12分）

在/8C中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,堊

----------T=-，點(diǎn)D是邊BC上的一,點(diǎn)、,且

cosC26+73。

sin/.BADsinZ.CAD3

--------+---------=一.

hcla

⑴求證：4D=g；

(2)若CD=2BD,求cos44Z)C.

COSA_ypia

【解析】⑴在A8C中,

cosC2b+yf3c

b1+c2-a2labJ5a

則_________x__________=________

2bca2+b1-c226+Jic

整理得〃+c2/=一瓜，則儂/=^^=4

又0<%<兀，則<=——

6

,.，一一」.丁一心、.包“口sinNG4Z)sinC,-CD-sinC

在力CO中，由正弦定理得--------=-----,則smNC4￡>=---------

CDADAD

,.c/ci,.Tr+，、,力日sinNBZZ)sinfiBDsinB

在中，由正弦/E理得--------=----，p|lsin/.BAD=---------

BDADAD

.sinZ.BADsinZG4Z)BD-sinBCD-sinC

貝M！]--------+---------=---------H---------=

bcAD-bAD-c

BD-sinACD-s'mA(BD+CD)X?一a*?_13_

ADaAD-aADaADa24。2z

a

則

3

D

(2)由CD=28D,可得8=2凡5。=1。，又力。=色

333

則cosZ.ADC=

2x-ax-a

33

由cosZ.ADC+cos/ADB=0

化丫+3丫*(La丫+&丫七

可得(3J13J——+U)U)——=0,解之得/_b2=2C2

2x1?X2?2x-axU

3333

又/=?,則。2=〃+。2+后。，

6

a2-b2=2c2\c=?

由2，2廠，可得r

a'=b~+c2+sJ3bca-y/lb

-x7/?2-b2

則cosZADC=?-------=-2-.............13

o124建,14

2x-ax—a—x/tr

339

20.(12分)

為了豐富孩子們的校園生活，某校團(tuán)委牽頭，發(fā)起同一年級(jí)兩個(gè)級(jí)部48進(jìn)行體育運(yùn)動(dòng)和文化項(xiàng)目比賽,

由/部、B部爭(zhēng)奪最后的綜合冠軍.決賽先進(jìn)行兩天，每天實(shí)行三局兩勝制，即先贏兩局的級(jí)部獲得該天

勝利，此時(shí)該天比賽結(jié)束.若N部、8部中的一方能連續(xù)兩天勝利，則其為最終冠軍；若前兩天/部、B

部各贏一天，則第三天只進(jìn)行一局附加賽，該附加賽的獲勝方為最終冠軍.設(shè)每局比賽4部獲勝的概率為

p(O<p<l),每局比賽的結(jié)果沒(méi)有平局且結(jié)果互相獨(dú)立.

(1)記第一天需要進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為X,求E(X),并求當(dāng)E(X)取最大值時(shí)°的值;

(2)當(dāng)p=；時(shí)，記一共進(jìn)行的比賽局?jǐn)?shù)為匕求以丫45).

【解析】(1)X可能取值為2,3.

P(X=2)^p2+(l-p)2=2p2-2p+\；

P(X=3)=2p(l-p)=-2p、2p.

故E(X)=2(2p2-2p+l)+3(-2p2+2目=-2p2+2p+2,

即E(X)=-2(p-；J+g,則當(dāng)p=；時(shí)，E(X)取得最大值.

(2)當(dāng)p=:時(shí)，雙方前兩天的比分為2：0或0：2的概率均為=

2224

比分為2：1或1：2的概率均為2x；x；x；=：.

P(r<5),則y=4或y=5.

y=4即獲勝方兩天均為2：0獲勝，不妨設(shè)/部勝，

概率為同理8部勝，概率為！4=上，

44164416

故尸(y=4)=2x《=:；

10O

y=5即獲勝方前兩天的比分為2:0和2：1或者2：0和0：2再加附加賽，

不妨設(shè)最終/部獲勝，

當(dāng)前兩天的比分為2：0和2：1時(shí)，

先從兩天中選出一天，比賽比分為2：1,三場(chǎng)比賽前兩場(chǎng)，X部一勝一負(fù)，第三場(chǎng)比賽”獲勝，另外一天

比賽比分為2：0,故概率為C；.(c；x]xRx任=(,

當(dāng)前兩天比分為2：0和0：2,附加賽4獲勝時(shí)，兩天中選出一天，比賽比分為2：0,

概率為

44216

故最終4部獲勝的概率為1+2=2，

81616

3

同理8部勝，概率為三，

16

IOO

131

所以尸(y?5)=尸(y=4)+Ry=5)=—二=-.

882

21.(12分)

已知雙曲線C：/■-《=1(心0/>0)的離心率為當(dāng)，A,8分別是C的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)卜,6)在C上，點(diǎn)

直線/O,8。與C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為尸，Q.

(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)證明：直線尸。經(jīng)過(guò)定點(diǎn).

【解析】(1)由題意得e=￡=如，

a2

5a2=4c2=4((J2+〃),

a2=4〃，

?.?點(diǎn)(4,6)在C上，

163

?'./下=1f'

43.

??薩丁=1'

解得〃=1,

。2=4,

雙曲線方程為三-/=]

4

(2)由(1)知/(—2,0),8(2,0),

直線/。的方程為y=?x+2）,

設(shè)尸（為,必），。紅2，%），將直線ZO的方程與C的方程聯(lián)立,

消去夕得（9-射2卜2-16￡葭-16?-36=0①，

9-4/x0

-A,=256r4+4（9-4r）（16r2+36）=1296>0'

3

當(dāng)好士彳時(shí)，方程①的兩根為X、,-2,

16r+36

9-4-

8/+18,12/

9-47，"-9-4。

’8『+1812/

即「

、9-4?，9-4〃

直線8。的方程為y=T（x-2）,與C的方程聯(lián)立，消去y得（1-4產(chǎn)卜2+16小-16/-4=（^,

1-4『工0

422

A2=256/+4(1-4r)(16/+4)=16>0

/W±—.

2

當(dāng)f力士;時(shí)，方程②的兩根為巧，2,

_12（_4/

當(dāng)直線尸。的斜率存在時(shí)，％=窘=矗離=一言T

9-4z21-4/

直線尸°的方程為