人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)尖子生培優(yōu)必刷題專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問(wèn)題(原卷版+解析)

八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問(wèn)題題型一平行四邊形中的折疊問(wèn)題題型一平行四邊形中的折疊問(wèn)題【例題1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E、F分別在邊AD與BC上，將四邊形EFCD沿EF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，若∠APE＝36°．則∠BFQ等于（）A．36° B．32° C．24° D．18°【變式1-1】如圖，先將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點(diǎn)E，B′，C′在同一直線上，再將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，則∠AEG＝度．【變式1-2】有一張平行四邊形紙片ABCD，已知∠B＝75°，按如圖所示的方法折疊兩次，則∠BCF的度數(shù)等于（）A．60° B．55° C．50° D．45°【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點(diǎn)A恰好落在CD上的點(diǎn)F，若△BCF的周長(zhǎng)為14，CF的長(zhǎng)為3，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【變式1-4】如圖，E、F分別是?ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，EF＝8，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的高是（）A．4 B．43 C．8 D．82【變式1-5】在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，沿EF折疊平行四邊形，使線段CD落在直線AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D1，若BD1＝2，則AD的長(zhǎng)為．【變式1-6】如圖，將平行四邊形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D'處，折痕為AE．再將△AD'E翻折，點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)A'處，連接AA'，若AD＝2，則線段AA'的長(zhǎng)為．【變式1-7】如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，（1）求證：AE＝AF；（2）求證：△ABE≌△AGF．【變式1-8】如圖，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D到AB邊上的點(diǎn)D'處，折痕交CD邊于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形BCED'是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，求證：AE2+BE2＝AB2．題型二矩形中的折疊問(wèn)題題型二矩形中的折疊問(wèn)題【例題2】(2023春?武城縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【變式2-1】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF．若AD=3，則菱形AECFA．23 B．33 C．4【變式2-2】(2023春?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．123 D．163【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A．95 B．125 C．165【變式2-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，則折痕FG的長(zhǎng)為．【變式2-5】(2023春?莆田期中）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF＝4，PH＝3，則矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為（）A．10 B．11 C．12 D．15【變式2-6】(2023春?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．4【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，沿EF將矩形折疊，使A、C重合，AC與EF交于點(diǎn)H．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面積．【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G．（1）求證：GF＝GC；（2）若AB＝3，AD＝4，求線段GC的長(zhǎng)．題型三菱形中的折疊問(wèn)題題型三菱形中的折疊問(wèn)題【例題3】如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE．則∠BEC'的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【變式3-1】如圖，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，將菱形ABCD折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為（）A．125 B．245 C．365【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，E是邊AD上一點(diǎn)，直線OE交BC于點(diǎn)F，將菱形沿直線EF折疊，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，若AE＝4，則B′F的長(zhǎng)為．【變式3-3】如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，將菱形沿EF折疊，點(diǎn)B正好落在AD邊的點(diǎn)G處．若EG⊥AC，則FG的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．33 D．32【變式3-4】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝4，BD＝43，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與O重合，折痕為EF．則五邊形AEFCD的周長(zhǎng)是（）A．14 B．16 C．4+43 D．8+83【變式3-5】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕為EF，若BC＝4，BG＝3，則GE的長(zhǎng)為．【變式3-6】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與點(diǎn)B，D重合），折痕為EF，若DG＝2，BG＝6，則△BEG的面積為（）A．2235 B．2135 C．題型四正方形中的折疊問(wèn)題題型四正方形中的折疊問(wèn)題【例題4】(2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【變式4-1】如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線段AF的長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【變式4-2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長(zhǎng)是（）A．3 B．158 C．1 【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，且B'C＝3，求AM的長(zhǎng)．【變式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在AB上，且BE＝2AE，將△ADE沿DE對(duì)折至△DEF，延長(zhǎng)EF交BC于H，連接DH，BF．（1）求證：CH＝FH；（2）求BH的長(zhǎng)；（3）求△FBH的面積．【變式4-5】如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長(zhǎng)為2，求：（1）FN的長(zhǎng)；（2）EN的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【變式4-6】如圖，點(diǎn)F在正方形ABCD的AD邊上，連接BF．把△ABF沿BF折疊，與△GBF重合．連接AG并延長(zhǎng)交CD于點(diǎn)E，交BF于點(diǎn)H．（1）證明：BF＝AE；（2）若AB＝15，EC＝7，求GE的長(zhǎng)．【變式4-7】如圖，將對(duì)角線BD長(zhǎng)為162的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在DC邊的中點(diǎn)Q處，點(diǎn)A落在P處，折痕為EF．（1）求線段AB和線段CF的長(zhǎng)；（2）連接EQ，求EQ的長(zhǎng)．【變式4-8】通過(guò)折紙活動(dòng)，可以探索圖形的性質(zhì)，也可以得到一些特殊的圖形．如圖，取一張正方形紙片ABCD，第一次先將其對(duì)折，展開后進(jìn)行第二次折疊，使正方形右下角的頂點(diǎn)C落在第一次的折痕EF上點(diǎn)G處，折痕為BH試探究∠CBH、∠GBH、∠GBA三個(gè)角之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)《第十八章平行四邊形》專題與平行四邊形有關(guān)的折疊問(wèn)題題型一平行四邊形中的折疊問(wèn)題題型一平行四邊形中的折疊問(wèn)題【例題1】如圖，在平行四邊形ABCD中，∠A＝120°，點(diǎn)E、F分別在邊AD與BC上，將四邊形EFCD沿EF進(jìn)行折疊，使點(diǎn)D落在AB邊上的點(diǎn)P處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，若∠APE＝36°．則∠BFQ等于（）A．36° B．32° C．24° D．18°【分析】由平行四邊形的性質(zhì)可得∠B＝∠D＝60°，∠C＝120°，由折疊性質(zhì)可得∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，從而可得∠BPQ＝84°，由三角形內(nèi)角和定理可得∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠A＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，∠C＝∠A＝120°，由折疊性質(zhì)可得：∠EPQ＝∠D＝60°，∠PQF＝∠C＝120°，∵∠APE＝36°，∴∠BPQ＝180°﹣∠APE﹣∠EPQ＝84°，∵∠BPQ+∠B＝∠PQF+∠BFQ，∴∠BFQ＝∠BPQ+∠B﹣∠PQF＝84°+60°﹣120°＝24°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是明確折疊前后對(duì)應(yīng)圖形的角度相等．【變式1-1】如圖，先將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點(diǎn)E，B′，C′在同一直線上，再將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，則∠AEG＝度．【分析】利用翻折和平角定義易得組成∠AEF的兩個(gè)角的和等于平角的一半，得出∠AEF＝90°，再利用將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，得出∠AEG＝∠GEA′進(jìn)而得出答案．【解答】解：根據(jù)沿直線折疊的特點(diǎn)，△ABE≌△AB′E，△CEF≌△C′EF，∴∠AEB＝∠AEB′，∠CEF＝∠C′EF，∵∠AEB+∠AEB′+∠CEF+∠C′EF＝180°，∴∠AEB′+∠C′EF＝90°，∵點(diǎn)E，B′，C′在同一直線上，∴∠AEF＝90°，∵將折疊的紙片沿EG折疊，使AE落在EF上，∴∠AEG＝∠GEA′=12∠故答案為：45．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)，利用折疊的性質(zhì)：折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等得出對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式1-2】有一張平行四邊形紙片ABCD，已知∠B＝75°，按如圖所示的方法折疊兩次，則∠BCF的度數(shù)等于（）A．60° B．55° C．50° D．45°【分析】由折疊可得∠CED＝90°＝∠BCE，即可得到∠DCE＝15°，由折疊可得∠DCF＝2×15°＝30°，即可得到∠BCF＝60°．【解答】解：由折疊可得，∠CED＝90°＝∠BCE，又∵∠D＝∠B＝75°，∴∠DCE＝15°，由折疊可得，∠DCF＝2×15°＝30°，∴∠BCF＝60°，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問(wèn)題以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．【變式1-3】如圖，平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，以BE為折痕，將△ABE折疊，使點(diǎn)A恰好落在CD上的點(diǎn)F，若△BCF的周長(zhǎng)為14，CF的長(zhǎng)為3，則△DEF的周長(zhǎng)為（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】由折疊的性質(zhì)得出BF＝AB，EF＝AE，由△BCF的周長(zhǎng)得出BC+DC＝11，即可求出△DEF的周長(zhǎng)．【解答】解：由折疊的性質(zhì)得：△FBE≌△ABE，∴BF＝AB，EF＝AE，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AD＝BC，∵△BCF的周長(zhǎng)為14，∴BC+BF+CF＝14，∴BC+DC＝14﹣3＝11，∴△DEF的周長(zhǎng)＝DE+EF+DF＝DE+AE+DC﹣CF＝AD+DC﹣CF＝11﹣3＝8；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、三角形周長(zhǎng)的計(jì)算；熟練掌握翻折變換和平行四邊形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理計(jì)算是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式1-4】如圖，E、F分別是?ABCD的邊AD、BC上的點(diǎn)，EF＝8，∠DEF＝60°，將四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，ED′交BC于點(diǎn)G，則△GEF的高是（）A．4 B．43 C．8 D．82【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠GEF＝∠DEF＝60°，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到∠GFE＝∠DEF＝60°，則可判斷△GEF為等邊三角形，作EH⊥GF于H，如圖，利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系計(jì)算出EH即可．【解答】解：∵四邊形EFCD沿EF翻折，得到EFC'D′，∴∠GEF＝∠DEF＝60°，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠DEF＝60°，∴△GEF為等邊三角形，作EH⊥GF于H，如圖，在Rt△EFH中，HF=12EH=3HF＝43即△GEF的高是43．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．【變式1-5】在?ABCD中，∠A＝60°，AB＝4，點(diǎn)E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)，沿EF折疊平行四邊形，使線段CD落在直線AB上，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C1，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D1，若BD1＝2，則AD的長(zhǎng)為．【分析】分兩種情況討論：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，再根據(jù)30度角直角三角形的性質(zhì)求出AD長(zhǎng)．【解答】解：①當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，∵BD1＝2，∴AD1＝4﹣2＝2，∵∠A＝60°，∴∠ADD1＝30°，∴AD＝2AD1＝2×2＝4；②當(dāng)點(diǎn)D在線段AB延長(zhǎng)線上時(shí)，∵BD1＝2，∴AD1＝4+2＝6，∵∠A＝60°，∴∠ADD1＝30°，∴AD＝2AD1＝2×6＝12；故答案為4或12．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了軸對(duì)稱，熟練運(yùn)用30度角直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1-6】如圖，將平行四邊形紙片ABCD折疊，使得點(diǎn)D落在AB邊上的D'處，折痕為AE．再將△AD'E翻折，點(diǎn)A恰好落在BC的中點(diǎn)A'處，連接AA'，若AD＝2，則線段AA'的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，得出AD'＝DE，而AD'∥DE，進(jìn)而得到四邊形ADED'是平行四邊形，由折疊可得，D'E垂直平分AA'，即可得出△AA'B是直角三角形，再根據(jù)∠B＝∠D'A'B，得到D'A'＝D'B＝2，即AB＝2+2＝4，最后在Rt△AA'B中，運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算即可得到AA'的長(zhǎng)．【解答】解：由折疊可得，∠DAE＝∠D'AE，AD＝AD'＝2，∵AB∥CD，∴∠DEA＝∠D'AE，∴∠DAE＝∠DEA，∴AD＝DE＝2，∴AD'＝DE，而AD'∥DE，∴四邊形ADED'是平行四邊形，∴AD∥D'E，由折疊可得，D'E垂直平分AA'，∴AA'⊥AD，又∵AD∥BC，∴AA'⊥BC，∴△AA'B是直角三角形，∵AD'＝A'D'＝2，∴∠D'AA'＝∠D'A'A，又∵∠D'AA'+∠B＝90°，∠D'A'A+∠D'A'B＝90°，∴∠B＝∠D'A'B，∴D'A'＝D'B＝2，∴AB＝2+2＝4，又∵A'是BC的中點(diǎn)，BC＝AD＝2，∴A'B＝1，∴AA'=A故答案為：15．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問(wèn)題，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角對(duì)等邊以及勾股定理的運(yùn)用，解題時(shí)注意：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．【變式1-7】如圖，將平行四邊形ABCD紙片沿EF折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，（1）求證：AE＝AF；（2）求證：△ABE≌△AGF．【分析】（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CEF＝∠AEF，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠CEF＝∠EFA，根據(jù)等量關(guān)系可得∠AEF＝∠EFA，根據(jù)等角對(duì)等邊即可求解；（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，可得AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，根據(jù)折疊的性質(zhì)，可得AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，所以AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，由等量代換可得∠BAE＝∠GAF，得到AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，得到∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，AAS可證△ABE≌△AGF．【解答】（1）證明：由折疊的性質(zhì)可得∠CEF＝∠AEF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠CEF＝∠EFA，∴∠AEF＝∠EFA，∴AE＝AF；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝CD，∠BAD＝∠BCD，又根據(jù)題意得：AG＝CD，∠EAG＝∠BCD，∴AB＝AG，∠BAD＝∠EAG，∴∠BAE＝∠GAF，又∵AB∥CD，AE∥GF，AD∥BC，∴∠BEA＝∠EAF＝∠GFA，在△ABE與△AGF中，∠BEA=∠GFA∠BAE=∠GAF∴△ABE≌△AGF（AAS）．【點(diǎn)評(píng)】此題是折疊問(wèn)題，是中考中的常見題目．解此題首先要注意折疊前后的部分全等，即對(duì)應(yīng)角與對(duì)應(yīng)邊都相等．解此題還要注意平行四邊形的性質(zhì)的求解方法．【變式1-8】如圖，將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D到AB邊上的點(diǎn)D'處，折痕交CD邊于點(diǎn)E，連接BE．（1）求證：四邊形BCED'是平行四邊形；（2）若BE平分∠ABC，求證：AE2+BE2＝AB2．【分析】（1）利用翻折變換的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)得出∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，進(jìn)而利用平行四邊形的判定方法得出四邊形DAD′E是平行四邊形，進(jìn)而求出四邊形BCED′是平行四邊形；（2）利用平行線的性質(zhì)結(jié)合勾股定理得出答案．【解答】證明：（1）∵將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊，使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處，∴∠DAE＝∠D′AE，∠DEA＝∠D′EA，∠D＝∠AD′E，∵DE∥AD′，∴∠DEA＝∠EAD′，∴∠DAE＝∠EAD′＝∠DEA＝∠D′EA，∴∠DAD′＝∠DED′，∴四邊形DAD′E是平行四邊形，∴DE＝AD′，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB平行且等于DC，∴CE平行且等于D′B，∴四邊形BCED′是平行四邊形；（2）∵BE平分∠ABC，∴∠CBE＝∠EBA，∵AD∥BC，∴∠DAB+∠CBA＝180°，∵∠DAE＝∠BAE，∴∠EAB+∠EBA＝90°，∴∠AEB＝90°，∴AE2+BE2＝AB2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，得出四邊形DAD′E是平行四邊形是解題關(guān)鍵．題型二矩形中的折疊問(wèn)題題型二矩形中的折疊問(wèn)題【例題2】(2023春?武城縣期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，將矩形沿AC折疊，則重疊部分△AFC的面積為（）A．12 B．10 C．8 D．6【分析】∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，得△AD′F與△CBF面積相等，設(shè)BF＝x，列出關(guān)于x的關(guān)系式，解得x的值即可解題．【解答】解：∵△AD′C≌△CBA，∴△AD′F≌△CBF，∴△AD′F與△CBF面積相等，設(shè)BF＝x，則（8﹣x）2＝x2+42，64﹣16x+x2＝x2+16，16x＝48，解得x＝3，∴△AFC的面積=12×故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等的性質(zhì)，矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中正確計(jì)算BF的值是解題的關(guān)鍵．【變式2-1】將矩形紙片ABCD按如圖所示的方式折疊，恰好得到菱形AECF．若AD=3，則菱形AECFA．23 B．33 C．4【分析】根據(jù)翻折的性質(zhì)可得∠DAF＝∠OAF，OA＝AD，再根據(jù)菱形的對(duì)角線平分一組對(duì)角可得∠OAF＝∠OAE，然后求出∠OAE＝30°，再利用勾股定理求出OE，可得AE，再根據(jù)菱形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：由翻折的性質(zhì)得，∠DAF＝∠OAF，OA＝AD=3在菱形AECF中，∠OAF＝∠OAE，∴∠OAE=1∴AE＝2OE，在Rt△AOE中，由勾股定理得：OA2+OE2＝AE2，∴3+OE2＝4OE2，∴OE＝1或OE＝﹣1（舍去），∴AE＝2OE＝2，∴菱形AECF的面積＝AE?AD=23故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定理，含30°角的直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)并求出∠OAE＝30°是解題的關(guān)鍵．【變式2-2】(2023春?越秀區(qū)校級(jí)期中）如圖，把矩形ABCD沿EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊的B′處，若AE＝2，DE＝6，∠EFB＝60°，則矩形ABCD的面積是（）A．12 B．24 C．123 D．163【分析】在矩形ABCD中根據(jù)AD∥BC得出∠DEF＝∠EFB＝60°，由折疊的性質(zhì)可得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝60°．根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出A′B′＝AB＝23，然后根據(jù)矩形的面積公式列式計(jì)算即可得解．【解答】解：在矩形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠B′EF＝∠EFB＝60°，由折疊的性質(zhì)得∠A＝∠A′＝90°，A′E＝AE＝2，AB＝A′B′，∠A′EF＝∠AEF＝180°﹣60°＝120°，∴∠A′EB′＝∠A′EF﹣∠B′EF＝120°﹣60°＝60°．在Rt△A′EB′中，∵∠A′B′E＝90°﹣60°＝30°，∴B′E＝2A′E，而A′E＝2，∴B′E＝4，∴A′B′＝23，即AB＝23，∵AE＝2，DE＝6，∴AD＝AE+DE＝2+6＝8，∴矩形ABCD的面積＝AB?AD＝23×8＝163故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，翻折變換的性質(zhì)，兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等的性質(zhì)，解直角三角形，作輔助線構(gòu)造直角三角形并熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式2-3】如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊，使點(diǎn)B落在矩形內(nèi)點(diǎn)F處，連接CF，則CF的長(zhǎng)為（）A．95 B．125 C．165【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC＝90°，根據(jù)勾股定理求出答案．【解答】解：連接BF，∵BC＝6，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝3，又∵AB＝4，∴AE=A由折疊知，BF⊥AE（對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線必垂直于對(duì)稱軸）∴BH=AB×BE則BF=24∵FE＝BE＝EC，∴∠BFC＝90°，∴CF=6故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．【變式2-4】如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝18，把矩形折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，則折痕FG的長(zhǎng)為．【分析】連接BD，在Rt△ABD中，求得BD的長(zhǎng)，在Rt△ADF中運(yùn)用勾股定理求得DF的長(zhǎng)，即可得到DF長(zhǎng)，最后在Rt△DOF中求得FO的長(zhǎng)，即可得到答案．【解答】解：如圖，連接BD，交FG于O，則由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，F(xiàn)G垂直平分BD，Rt△ABD中，BD=A由折疊可得DO=12BD＝310，∠BFO＝∠由AB∥CD可得，∠DFO＝∠BGO，∴∠DFO＝∠BGO，∴BF＝BG，即△BFG是等腰三角形，∴BD平分FG，∴OF＝OG，由折疊知，BF＝DF，設(shè)BF＝DF＝x，則AF＝18﹣x，在Rt△ABF中，（18﹣x）2+62＝x2，解得x＝10，即DF＝10，∴Rt△DOF中，OF=D∴FG＝2FO＝210．故答案為：210．【點(diǎn)評(píng)】本題是折疊問(wèn)題，主要考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理以及矩形的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)勾股定理列方程求解．【變式2-5】(2023春?莆田期中）如圖所示，把矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，若∠FPH的度數(shù)恰好為90°，PF＝4，PH＝3，則矩形ABCD的邊BC的長(zhǎng)為（）A．10 B．11 C．12 D．15【分析】利用折疊的性質(zhì)得到BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，再利用勾股定理得到FH＝5，即可求解BC．【解答】解：∵矩形紙條ABCD沿EF，GH同時(shí)折疊，B，C兩點(diǎn)恰好落在AD邊的P點(diǎn)處，∴BF＝PF＝4，CH＝PH＝3，∵∠FPH＝90°，∴FH=P∴BC＝BF+FH+CH＝4+5+3＝12，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)和勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理和折疊的性質(zhì)求出FH，BF，CH．【變式2-6】(2023春?大觀區(qū)校級(jí)期中）如圖，矩形ABCD中，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，點(diǎn)E為射線DC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△ADE沿AE折疊得到△AD′E，連接D′B，當(dāng)△AD′B為直角三角形時(shí)，DE的長(zhǎng)為（）A．1或4 B．43或9 C．1或9 D．4【分析】注意題目表述為射線DC，所以分為兩種情況，一種是點(diǎn)E在線段DC上，另一種是點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上，利用勾股定理分別求解即可．【解答】解：①如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在線段DC上時(shí)，∵∠ED′A＝∠D＝∠AD′B＝90°，∴B，D′，E三點(diǎn)共線，∵S△ABE=12×AB×AD=1∴BE＝AB＝5，∵BD′=A∴DE＝D′E＝BE﹣BD′＝5﹣4＝1；②如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在DC的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵∠AD′B＝∠BCE＝90°，AD′＝AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴BD′＝4，設(shè)CE＝x，則：D′E＝DE＝x+5，∴BE＝D′E﹣BD′＝x+1，∵CE2+BC2＝BE2，∴x2+32＝（x+1）2，解得：x＝4，∴DE＝CD+DE＝5+4＝9，綜上，DE的值為1或9．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是分兩種情況討論，特別時(shí)第二種比較容易遺漏．【變式2-7】如圖，在矩形ABCD中，沿EF將矩形折疊，使A、C重合，AC與EF交于點(diǎn)H．（1）求證：AE＝AF；（2）若AB＝4，BC＝8，求△ABE的面積．【分析】（1）依據(jù)平行線的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)，即可得到∠AFE＝∠AEF，進(jìn)而得出AE＝AF．（2）設(shè)BE＝x，則AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得方程，即可得到BE的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形面積計(jì)算公式求解．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD矩形，∴AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEC，由折疊的性質(zhì)得：∠AEF＝∠FEC，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF．（2）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可得AE＝EC，設(shè)BE＝x，則AE＝EC＝8﹣x，在Rt△ABE中，根據(jù)勾股定理可得：AB2+BE2＝AE2，即42+x2＝（8﹣x）2，解得：x＝3，∴BE＝3，∴S△ABE=12AB?BE【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了折疊問(wèn)題以及矩形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題的方法是設(shè)要求的線段長(zhǎng)為x，然后根據(jù)折疊和軸對(duì)稱的性質(zhì)用含x的代數(shù)式表示其他線段的長(zhǎng)度，選擇適當(dāng)?shù)闹苯侨切?，運(yùn)用勾股定理列出方程求出答案．【變式2-8】如圖，在矩形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，將△ABE沿AE折疊后得到△AFE，點(diǎn)F在矩形ABCD內(nèi)部，延長(zhǎng)AF交CD于點(diǎn)G．（1）求證：GF＝GC；（2）若AB＝3，AD＝4，求線段GC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接GE，根據(jù)點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)以及翻折的性質(zhì)可以求出BE＝EF＝EC，然后利用“HL”證明△GFE和△GCE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）設(shè)GC＝x，表示出AG、DG，然后在Rt△ADG中，利用勾股定理列式進(jìn)行計(jì)算即可得解；【解答】解：（1）連接GE，∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE＝EC，∵△ABE沿AE折疊后得到△AFE，∴BE＝EF，∴EF＝EC，∵在矩形ABCD中，∴∠C＝90°，∴∠EFG＝90°，∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，EG=EGEF=EC∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），∴GF＝GC；（2）設(shè)GC＝x＝FG，則DG＝3﹣x，∵AF＝AB＝3，∴AG＝3+x，在Rt△ADG中，由勾股定理得，42+（3﹣x）2＝（3+x）2，解得x=4即線段GC的長(zhǎng)為43【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，翻折的性質(zhì)以及中點(diǎn)四邊形的綜合應(yīng)用，找出三角形全等的條件EF＝EC是解題的關(guān)鍵．解題時(shí)注意：對(duì)角線互相垂直的四邊形的中點(diǎn)四邊形是矩形，以及對(duì)角線相等的四邊形的中點(diǎn)四邊形是菱形．題型三菱形中的折疊問(wèn)題題型三菱形中的折疊問(wèn)題【例題3】如圖，在菱形紙片ABCD中，∠A＝60°，折疊菱形紙片ABCD，使點(diǎn)C落在DP（P為AB中點(diǎn)）所在的直線上，得到經(jīng)過(guò)點(diǎn)D的折痕DE．則∠BEC'的大小為（）A．20° B．25° C．30° D．35°【分析】連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A＝60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點(diǎn)，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP＝30°，∠ADC＝120°，∠C＝60°，進(jìn)而求出∠PDC＝90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù)．【解答】解：如圖，連接BD，∵四邊形ABCD為菱形，∠A＝60°，∴△ABD為等邊三角形，∠ADC＝120°，∠C＝60°，∵P為AB的中點(diǎn)，∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP＝∠BDP＝30°，∴∠PDC＝90°，∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE＝∠PDE＝45°，∠DEC＝∠DEC′，在△DEC中，∠DEC＝∠DEC′＝180°﹣（∠CDE+∠C）＝75°，∴∠BEC'＝180°﹣∠DEC﹣∠DEC′＝30°，故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【變式3-1】如圖，菱形ABCD中，AB＝10，AC＝12，將菱形ABCD折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合，折痕與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，則EF的長(zhǎng)為（）A．125 B．245 C．365【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和勾股定理可求出BD，再根據(jù)菱形的面積可求出答案．【解答】解：如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，OA＝OC=12AC＝6，OB＝在Rt△AOD中，由勾股定理得，OD=A∴BD＝2OD＝16，∴S菱形ABCD=12AC?BD＝AB?即12×12×16＝10∴EF=48故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查菱形的性質(zhì)，翻折變換，求出菱形的對(duì)角線BD的長(zhǎng)是解決問(wèn)題的前提，掌握菱形的面積的計(jì)算方法是得出答案的關(guān)鍵．【變式3-2】如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，AC＝16，BD＝12，E是邊AD上一點(diǎn)，直線OE交BC于點(diǎn)F，將菱形沿直線EF折疊，點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A′、B′，若AE＝4，則B′F的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，由AC＝16，BD＝12，即可計(jì)算出BC的長(zhǎng)，易證△AOE≌△COF，可得AE＝CF＝4，再根據(jù)翻折的性質(zhì)即可得出答案．【解答】解：∵AC＝16，BD＝12，∴BO=12BD=1∴BC＝10，∵四邊形ABCD是菱形，∴△AOE≌△COF（ASA），∴AE＝CF＝4，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，B′F＝BF＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．故答案為：6．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了翻折變換（折疊問(wèn)題）及菱形的性質(zhì)，熟練掌握翻折變換（折疊問(wèn)題）及菱形的性質(zhì)進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式3-3】如圖，已知四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為6的菱形，且∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，BC邊上，將菱形沿EF折疊，點(diǎn)B正好落在AD邊的點(diǎn)G處．若EG⊥AC，則FG的長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．33 D．32【分析】如圖，設(shè)AC與EG交于點(diǎn)O，F(xiàn)G交AC于H．只要證明FG⊥AD，即可FG是菱形的高，求出FG即可解決問(wèn)題．【解答】解：如圖，設(shè)AC與EG交于點(diǎn)O，F(xiàn)G交AC于H．∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD＝120°，∴∠B＝∠D＝60°，∴△ABC、△ACD是等邊三角形，∴∠CAD＝∠B＝60°，∵EG⊥AC，∴∠GOH＝90°，∵∠EGF＝∠B＝60°，∴∠OHG＝30°，∴∠AGH＝90°，∴FG⊥AD，∴FG是菱形的高，即等邊△ABC的高=32×故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換、等邊三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是證明線段FG是菱形的高，記住等邊三角形的高=32a（【變式3-4】如圖，菱形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，AC＝4，BD＝43，將菱形按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B與O重合，折痕為EF．則五邊形AEFCD的周長(zhǎng)是（）A．14 B．16 C．4+43 D．8+83【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，由勾股定理可求AB＝4，由折疊的性質(zhì)可求OF＝CF＝BF＝2，由三角形中位線定理可求EF＝2，即可求解．【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，AO＝CO＝2，BO＝DO＝23，∴AB=A∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∵折疊，∴BF＝OF，∴∠FOB＝∠FBO，∴∠FCO＝∠FOC，∴OF＝CF，∴OF＝CF＝BF＝2，同理可得BE＝OE＝AE＝2，∴EF=12∴五邊形AEFCD的周長(zhǎng)＝4+4+2+2+2＝14，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，菱形的性質(zhì)，勾股定理，三角形中位線定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．【變式3-5】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A恰好落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與B、D重合），折痕為EF，若BC＝4，BG＝3，則GE的長(zhǎng)為．【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，以及∠ABC＝120°，可以得到△ABD△BCD都是等邊三角形，通過(guò)作高，構(gòu)造直角三角形利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：∵菱形ABCD中，∠ABC＝120°，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠A＝60°，∴AB＝BC＝CD＝DA＝BD＝4，即△ABD是等邊三角形，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥BD，垂足為H，設(shè)BE＝x，則EH=32x，BH=在Rt△EHG中，EG＝EA＝4﹣x，GH＝3?12x，EH=由勾股定理得，EG2＝GH2+EH2，即（4﹣x）2＝（3?12x）2+（32x解得x=7∴EG＝4?7故答案為：135【點(diǎn)評(píng)】考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，根據(jù)折疊和菱形等邊三角形的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化直角三角形的勾股定理求解，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【變式3-6】如圖，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，將菱形折疊，使點(diǎn)A落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G處（不與點(diǎn)B，D重合），折痕為EF，若DG＝2，BG＝6，則△BEG的面積為（）A．2235 B．2135 C．【分析】作EH⊥BD于H，根據(jù)折疊的性質(zhì)得到EG＝EA，根據(jù)菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定定理得到△ABD為等邊三角形，得到AB＝BD，設(shè)BE＝x根據(jù)勾股定理列出方程，即可解決問(wèn)題．【解答】解：作EH⊥BD于H，由折疊的性質(zhì)可知，EG＝EA，由題意得，BD＝DG+BG＝8，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝AB，∠ABD＝∠CBD=12∠∴△ABD為等邊三角形，∴AB＝BD＝8，設(shè)BE＝x，則EG＝AE＝8﹣x，在Rt△EHB中，BH=12x，EH=在Rt△EHG中，EG2＝EH2+GH2，即（8﹣x）2＝（32x）2+（6?12x解得，x=145，即BE∴EH=3∴△BEG的面積為12故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、勾股定理、解直角三角形，掌握翻轉(zhuǎn)變換是一種對(duì)稱變換，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵．題型四正方形中的折疊問(wèn)題題型四正方形中的折疊問(wèn)題【例題4】(2023春?永嘉縣校級(jí)期末）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，折痕為MN，則線段CN的長(zhǎng)是（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN＝x，則DN＝NE＝8﹣x，CE＝4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長(zhǎng)．【解答】解：由題意設(shè)CN＝xcm，則EN＝（8﹣x）cm，又∵CE=12DC＝4∴在Rt△ECN中，EN2＝EC2+CN2，即（8﹣x）2＝42+x2，解得：x＝3，即CN＝3cm．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查翻折變換的問(wèn)題，折疊問(wèn)題其實(shí)質(zhì)是軸對(duì)稱，對(duì)應(yīng)線段相等，對(duì)應(yīng)角相等，找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-1】如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊中點(diǎn)E處，點(diǎn)C落在點(diǎn)Q處，折痕為FH，則線段AF的長(zhǎng)是（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根據(jù)△AEF是直角三角形利用勾股定理求解即可．【解答】解：由折疊可得DF＝EF，設(shè)AF＝x，則EF＝8﹣x，∵AF2+AE2＝EF2，∴x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查折疊問(wèn)題；找到相應(yīng)的直角三角形利用勾股定理求解是解決本題的關(guān)鍵．【變式4-2】如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，將正方形折疊，使頂點(diǎn)D落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH，若BE：EC＝3：1，則線段CH的長(zhǎng)是（）A．3 B．158 C．1 【分析】由折疊的性質(zhì)得DH＝EH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，再由BE：EC＝3：1得CE＝2，然后由勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠C＝90°，BC＝CD＝4，由折疊的性質(zhì)得：EH＝DH，設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝4﹣x，∵BE：EC＝3：1，∴CE=14在Rt△ECH中，由勾股定理得：EH2＝EC2+CH2，即（4﹣x）2＝12+x2，解得：x=15即CH=15故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)、翻折變換的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為9的正方形紙片，將其沿MN折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上的點(diǎn)B'處，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)A'，且B'C＝3，求AM的長(zhǎng)．【分析】設(shè)AM＝x，連接BM，MB′，求出DB′＝6，然后在Rt△ABM和Rt△MDB′中，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)AM＝x，連接MB，MB'，如圖所示：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD＝9，∵B'C＝3，∴DB'＝6，在Rt△ABM中，AB2+AM2＝BM2，在Rt△MDB'中，MD2+DB'2＝B'M2，由折疊的性質(zhì)得：MB＝MB'，∴AB2+AM2＝BM2＝B'M2＝MD2+DB'2，即92+x2＝（9﹣x）2+62，解得：x＝2，即AM＝2．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和正方形的性質(zhì)，由勾股定理得出方程是解題的關(guān)鍵．【變式4-4】已知正方形ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E在AB上，且BE＝2AE，將△ADE沿DE對(duì)折至△DEF，延長(zhǎng)EF交BC于H，連接DH，BF．（1）求證：CH＝FH；（2）求BH的長(zhǎng)；（3）求△FBH的面積．【分析】（1）由折疊的性質(zhì)可得AD＝DF＝DC，∠DAE＝∠EFD＝90°＝∠DCB，由“HL”可證Rt△DCH≌Rt△DFH，可得CH＝FH；（2）由勾股定理可求BH的長(zhǎng)；（3）由三角形的面積關(guān)系可求解．【解答】證明：（1）∵將△ADE沿DE對(duì)折至△DEF，∴AD＝DF，∠DAE＝∠EFD＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝AD，∠DCB＝90°∴DF＝DC，且DH＝DH，∴Rt△DCH≌Rt△DFH（HL）∴CH＝FH；（2）∵AB＝6，BE＝2AE，∴AE＝2，BE＝4，∵EH2＝BE2+BH2，∴（CH+2）2＝16+（6﹣CH）2，∴CH＝3，∴BH＝3；（3）∵S△BEH=12BE×BH＝6，且EF＝2，∴△FBH的面積=65×【點(diǎn)評(píng)】本題考查了翻折變換，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，證明Rt△DCH≌Rt△DFH是本題的關(guān)鍵．【變式4-5】如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)邊中點(diǎn)所在的直線對(duì)折后展開，折痕為MN，再過(guò)點(diǎn)B折疊紙片，使點(diǎn)A落在MN上的點(diǎn)F處，折痕為BE．若AB的長(zhǎng)為2，求：（1）FN的長(zhǎng)；（2）EN的長(zhǎng)．（結(jié)果保留根號(hào)）【分析】（1）根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)求出BM、BF，根據(jù)勾股定理計(jì)算即可；（2）由折疊可得，AE＝FE，在Rt△NEF中，運(yùn)用勾股定理列方程求解，即可得到EN的長(zhǎng)．【解答】解：（1）由折疊的性質(zhì)可知，BM=12BC＝1，BF＝BA＝2，