高一數(shù)學(xué)寒假（人教B版 第二冊(cè)）第04講 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)（學(xué)生卷）

第04講指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)【易錯(cuò)點(diǎn)總結(jié)】指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指數(shù)，a叫做被開方數(shù).(2)性質(zhì)：()n＝a(a使有意義)；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，＝a，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，＝|a|＝2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪(1)規(guī)定：正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0；0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.3.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，函數(shù)的定義域是R，a是底數(shù).(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象定義域R值域(0，＋∞)性質(zhì)過定點(diǎn)(0，1)，即x＝0時(shí)，y＝1當(dāng)x>0時(shí)，y>1；當(dāng)x<0時(shí)，0<y<1當(dāng)x<0時(shí)，y>1；當(dāng)x>0時(shí)，0<y<1在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)4.常用結(jié)論（1）畫指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)，.（2）在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的圖象越高，底數(shù)越大.對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)1.對(duì)數(shù)的概念如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作x＝logaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù).2.對(duì)數(shù)的性質(zhì)、換底公式與運(yùn)算性質(zhì)(1)對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則如果a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝logaM＋logaN；②loga＝logaM－logaN；③logaMn＝nlogaM(n∈R)；④logamMn＝logaM(m，n∈R，且m≠0).(3)換底公式：logbN＝(a，b均大于零且不等于1).3.對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域：(0，＋∞)值域：R當(dāng)x＝1時(shí)，y＝0，即過定點(diǎn)(1，0)當(dāng)x>1時(shí)，y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y<0當(dāng)x>1時(shí)，y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，y>0在(0，＋∞)上是增函數(shù)在(0，＋∞)上是減函數(shù)4.反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)與對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y＝x對(duì)稱.5.常用結(jié)論①.換底公式的兩個(gè)重要結(jié)論(1)logab＝；(2)logambn＝logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.②.在第一象限內(nèi)，不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象從左到右底數(shù)逐漸增大.③.對(duì)數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)的圖象過定點(diǎn)(1，0)，且過點(diǎn)(a，1)，，函數(shù)圖象只在第一、四象限.三、冪函數(shù)1.冪函數(shù)的定義一般地，形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α為常數(shù)．2.5個(gè)常見冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)函數(shù)y＝xy＝x2y＝x3y＝x－1定義域RRR{x|x≥0}{x|x≠0}值域R{y|y≥0}R{y|y≥0}{y|y≠0}奇偶性奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)非奇非偶函數(shù)奇函數(shù)單調(diào)性在R上單調(diào)遞增在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞增在(0，＋∞)上單調(diào)遞增在(－∞，0)和(0，＋∞)上單調(diào)遞減圖象過定點(diǎn)(0,0)，(1,1)(1,1)四、函數(shù)的應(yīng)用（二）1．幾類函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)二次函數(shù)模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0)指數(shù)函數(shù)模型f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)對(duì)數(shù)函數(shù)模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a>0且a≠1)冪函數(shù)模型f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0)“對(duì)勾”函數(shù)模型y＝x＋(a>0)2.三種函數(shù)模型的性質(zhì)函數(shù)性質(zhì)y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的單調(diào)性單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增增長(zhǎng)速度越來越快越來越慢相對(duì)平穩(wěn)圖象的變化隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與y軸平行隨x的增大，逐漸表現(xiàn)為與x軸平行隨n值變化而各有不同值的比較存在一個(gè)x0，當(dāng)x>x0時(shí)，有l(wèi)ogax<xn<ax【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：指數(shù)與指數(shù)函數(shù)1．不論實(shí)數(shù)為何值時(shí)，函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)，則這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B．C． D．2．已知指數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的值為（

）A．3 B．2 C． D．3．已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)是奇函數(shù)，則不等式解集為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)二：對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)4．求函數(shù)f(x)＝lg(x2－2x－3)的單調(diào)遞減區(qū)間（

）A． B． C． D．5．中國(guó)古代十進(jìn)制的算籌計(jì)數(shù)法在世界數(shù)學(xué)史上是一個(gè)偉大的創(chuàng)造.據(jù)史料推測(cè)，算籌最晚出現(xiàn)在春秋晚期戰(zhàn)國(guó)初年，算籌計(jì)數(shù)的方法是：個(gè)位?百位?萬位……的數(shù)按縱式的數(shù)碼擺出：十位?千位?十萬位……的數(shù)按橫式的數(shù)碼擺出.如7738可用算籌表示.縱式橫式1-9這9個(gè)數(shù)字的縱式與橫式的表示數(shù)碼如圖所示，則圖片表示的結(jié)果和下列相同的是（

）A． B． C． D．6．定義在上的函數(shù)，則滿足的x的取值范圍是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)三：冪函數(shù)7．冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上是減函數(shù)，則m的值為（

）A．﹣6 B．1 C．6 D．1或﹣68．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．9．若四個(gè)冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的部分圖象如圖，則的大小關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．考點(diǎn)四：函數(shù)的應(yīng)用10．某種溶液含有雜質(zhì)，為達(dá)到實(shí)驗(yàn)要求雜質(zhì)含量不能超過0.1%，而這種溶液最初雜質(zhì)含量為2%，若每過濾一次雜質(zhì)含量減少，則為使溶液達(dá)到實(shí)驗(yàn)要求最少需要過濾的次數(shù)為（可能用到的數(shù)據(jù)（lg2＝0.301，lg3＝0.4771）（）A．7 B．8 C．9 D．1011．我國(guó)的5G通信技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一是著名的香農(nóng)（Shannon）公式，香農(nóng)提出并嚴(yán)格證明了“在被高斯白噪聲干擾的信道中，計(jì)算最大信息傳送速率的公式，其中是信道帶寬（赫茲），是信道內(nèi)所傳信號(hào)的平均功率（瓦），是信道內(nèi)部的高斯噪聲功率（瓦），其中叫做信噪比．根據(jù)此公式，在不改變的前提下，將信噪比從99提升至，使得大約增加了60%，則的值大約為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．1559 B．3943 C．1579 D．251212．聲音的等級(jí)（單位：）與聲音強(qiáng)度（單位：）滿足.噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)，聲音的等級(jí)約為；一般說話時(shí)，聲音的等級(jí)約為，那么噴氣式飛機(jī)起飛時(shí)聲音強(qiáng)度約為一般說話時(shí)聲音強(qiáng)度的（

）A．105倍 B．108倍 C．1010倍 D．1012倍【基礎(chǔ)過關(guān)】一、單選題1．已知冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則（

）A．8 B． C．4 D．2．下列表示同一個(gè)函數(shù)的是（

）A．與 B．與C．與 D．與3．已知函數(shù)，則使的x的集合是（

）A． B． C． D．4．給出5個(gè)冪函數(shù)：①；②；③；④；⑤，其中定義域?yàn)榈氖牵?/p>

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④5．青少年視力是社會(huì)普遍關(guān)注的問題，視力情況可借助視力表測(cè)量.通常用五分記錄法和小數(shù)記錄法記錄視力數(shù)據(jù)，五分記錄法的數(shù)據(jù)L和小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)V滿足.已知某同學(xué)視力的小數(shù)記錄法的數(shù)據(jù)為1.6.則其視力的五分記錄法的數(shù)據(jù)約為（

）（）A．4.9 B．5.0 C．5.1 D．5.26．設(shè)函數(shù)，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不等實(shí)根，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象大致為（）A． B．C． D．8．已知函數(shù)滿足時(shí)恒有成立，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．函數(shù)與在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能為（

）A． B．C． D．10．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．在上為減函數(shù) B．在上為增函數(shù)C．函數(shù)定義域?yàn)?D．函數(shù)的增區(qū)間為三、填空題11．計(jì)算___．12．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________．四、解答題13．已知函數(shù)（且）.(1)求函數(shù)的定義域；(2)若時(shí)，函數(shù)的最大值比最小值大2，求的值.14．已知函數(shù)是奇函數(shù)．(1)求的值，判斷的單調(diào)性并用定義證明之；(2)若對(duì)任意的，不等式成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．15．有一種放射性元素，最初的質(zhì)量為，按每年衰減(1)求兩年后，這種放射性元素的質(zhì)量；(2)求年后，這種放射性元素的質(zhì)量（單位為：）與時(shí)間的函數(shù)表達(dá)式；(3)由（2）中的函數(shù)表達(dá)式，求這種放射性元素的半衰期（剩留量為原來的一半所需的時(shí)間叫作半衰期）．（精確到年，已知：，）【能力提升】一、單選題1．已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．2．函數(shù)的零點(diǎn)所在的大致范圍是（

）A． B． C． D．3．函數(shù)的圖象是（

）A． B．C． D．4．要測(cè)定古物的年代，可以用放射性碳法：在動(dòng)植物的體內(nèi)都含有微量的放射性14C．動(dòng)植物死亡后，停止了新陳代謝，14C不再產(chǎn)生，且原有的14C會(huì)自動(dòng)衰變，經(jīng)過5730年（14C的半衰期），它的殘余量只有原來的一半，經(jīng)過科學(xué)測(cè)定，若14C的原始含量為1，則經(jīng)過x年后的殘留量為y=0.999879x.用放射性碳法，測(cè)得我國(guó)遼東半島普蘭店附近的泥炭中發(fā)掘出的古蓮子中14C的殘余量占原來的87.9%，試推算古蓮子的生活年代約（

）（lg0.879≈-0.0560，lg0.999879≈-5.2553×10-5，結(jié)果保留整數(shù)）A．1033年前 B．1044年前 C．1055年前 D．1066年前5．已知?jiǎng)t關(guān)于的不等式的解集為（

）A． B． C． D．二、填空題6．函數(shù)的值域是，則的定義域可以是__________7．已知函數(shù)若方程恰有四個(gè)不同的實(shí)根，則的取值范圍是______.三、解答題8．已知函數(shù)(1)若關(guān)于x的不等式的