2023年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)模擬試卷及答案解析

2023年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案；

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

I.若集合A={χ∣%?>0},B={-2,-1,I,2,3},則(CR∕∣)∩S=()

A.{-2,-1}B.{-1,1}C.{1,2,3}D.{-1}

2.已知條件p：直線x+2y-1=0與直線∕v+(α+])y-ι=o平行，條件q：a=?,則P是

4的()

A.充要條件B,充分不必要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

3.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線被圓x2+y2=4所截得的弦長為2√31則P=()

A.1B.√3C.2D.4

4.已知點(diǎn)尸是拋物線E：y1=2px(p>0)的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8是拋物線E上的

兩點(diǎn)，滿足I砌+1FBI=IO,FA+FB+FO=0,則P=()

A.1B.2C.3D.4

5.定義在(-1,1)上的函數(shù)/(x)滿足f(X)=g(x)-g(-x)+2,對任意的X”X2∈

(-1,1),X1≠X2,恒有[/'(制)-f(X2)](?l~X2)>0,則關(guān)于X的不等式/(3XH)

+f(X)>4的解集為()

1112

A.(一今，÷∞)B.(-?,O)C.(-8,-?)D.(4，0)

6.已知函數(shù)/(x)=2s譏Qx+看)?>0)的部分圖象如圖所示，則使/(α+x)-f(a-x)

=O成立的a的最小正值為()

第1頁共20頁

7.已知正項等比數(shù)列｛α.｝的前”項和為S,,且-αι,S2,S3成等差數(shù)列.若存在兩項

a,am,

j∏n^n￡N*）使得｛ajn?a11=8a/則WT■的最小值是（）

A.16B.2C.?D.&

33

8.正2022邊形力四2…/2022內(nèi)接于單位圓O,任取其兩個不同頂點(diǎn)4?,N∕,則I贏1+西I<1

的概率是（）

A676r675r674D673

?2021?2021"2021-2021

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.已知矩形/8CD中，AB=2,AD=X.若矩形的四個頂點(diǎn)中恰好有兩點(diǎn)為雙曲

線C的焦點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在雙曲線C上，則該雙曲線的離心率可為（）

A.√5B.??~1C.√5+2D.^H±L

22

（多選）10.已知復(fù)數(shù)Z1,Z2,滿足憶1∣?∣Z2∣≠O,下列說法正確的是（）

A.若團(tuán)∣=∣Z2∣,則Z[2=z

B.∣Z1+Z2∣≤∣Z1∣+∣Z2∣

C.若Z1Z26R,則-^-ER

z2

D.∣zιz2∣=∣zι∣∣z2∣

（多選）11.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3

個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以小，血和/3表示由甲箱取出的球

是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以B表示由乙箱取出的球是紅

球的事件，則下列結(jié)論正確的是（）

A.事件8與事件43=1，2,3）相互獨(dú)立

第2頁共20頁

b

?P(A1B)=22^

c?P(B);^∣-

O

D-P(A2∣B)?

(多選)12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),滿足/(x)”(2-x)=2,則下列結(jié)論正確

的是()

A./(x)的圖像關(guān)于x=l對稱

B./(x+4)Cx)

C.若函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，則C(X)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的解析式為/(x)=>x+l,則/(x)在區(qū)間(2,3)

上的解析式為/(X)=In(X-I)+1

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13?若A：=6C：(m€N*,m>4)-貝IJW=-------

14.設(shè)f(χ)J4'0<x<2,若/J)=∕(α+2),則α=_______.

3(χ-2)?x≥2

15.設(shè)隨機(jī)變量X?8(2,P),滿足P(X若y=2Y-l,則。(Y)=.

16

16.已知我國某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6.2022年3月份調(diào)查得知該省二、

三、四線城市房產(chǎn)均價為0.8萬元/平方米，方差為11.其中三、四線城市的房產(chǎn)均價分

別為1萬元/平方米，0.5萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10,8,則二線

城市房產(chǎn)均價為萬元/平方米，二線城市房價的方差為.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)已知函數(shù)f(X)力^Sin3XCOS3χ-cos?3(3>0)，其圖像上相

鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為平.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)記C的內(nèi)角/,B,C的對邊分別為4,b,c,a=4,bc=?2,/(/)=1.若

角”的平分線ZD交BC于。，求4。的長.

18.(12分)設(shè)S,為等差數(shù)列｛α,,｝的前〃項和，已知S3=α5,且及-2,ai,S5成等比數(shù)歹∣J?

第3頁共20頁

（1）求數(shù)列m”｝的通項公式；

（2）若brι=2-冏，求數(shù)列｛斯?6"｝的前〃項和7".

19.（12分）元旦期間，某轎車銷售商為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中

的一種，方案一：每滿6萬元，可減6千元；方案二：金額超過6萬元（含6萬元），可

搖號三次，其規(guī)則是依次裝有2個幸運(yùn)號、2個吉祥號的一個搖號機(jī)，裝有2個幸運(yùn)號、

2個吉祥號的二號搖號機(jī)，裝有1個幸運(yùn)號、3個吉祥號的三號搖號機(jī)各搖號一次，其優(yōu)

惠情況為：若搖出3個幸運(yùn)號則打6折，若搖出2個幸運(yùn)號則打7折；若搖出1個幸運(yùn)

號則打,8折；若沒有搖出幸運(yùn)號則不打折.

（1）若某型號的車正好6萬元，兩個顧客都選中第二中方案，求至少有一名顧客比選擇

方案一更優(yōu)惠的概率；

（2）若你評優(yōu)看中一款價格為10萬的便型轎車，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)

選擇哪種付款方案.

20.（12分）已知如圖，在多面體"CΔ尸中，AC=BC=2,ZACB=?20°,。為48的中

點(diǎn)，EF//CD,EF=?,8F，平面4EE

（1）證明：四邊形EEOC為矩形：

（2）當(dāng)三棱錐8EB體積最大時，求平面/E/與平面48E夾角的余弦值.

22

21.（12分）如圖，已知橢圓E：%+?=l（a>b>0）的離心率e2，由橢圓E的四

a2b22

個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為1&舊.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)N為橢圓E的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)Λ∕（-2α,0）且斜率不為0的直線/與橢圓E相交

于點(diǎn)8,C（點(diǎn)8在MC之間），若N為線段8C上的點(diǎn)，且滿足4?L3?,證明：

IMCIINCI

NANC=2/AMC.

第4頁共20頁

22.(12分)己知m∈N,加22,a,b為函數(shù)/(x)=—Cex-m)的兩個零點(diǎn)，a<b,曲線

m

y=f(x)在點(diǎn)(。，0)處的切線方程為y=g(x),其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當(dāng)x>0時,比較f(X)與g(X)的大?。?/p>

(2)若0<XI<X2,且/(xi)-f(X2)-n,證明：XO-Xl<上三+1由.

2?Inm

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2023年廣東省汕頭市高考數(shù)學(xué)模擬試卷

本試卷滿分150分。共22道題?？荚囉脮r120分鐘。

注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的學(xué)校、班級、姓名、考場號、座位號和考生號填

寫在答題卡上。將條形碼橫貼在每張答題卡右上角“條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上將對應(yīng)題目選項

的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不

能答在試卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目

指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先畫掉原來的答案，然后再寫上新答案;

不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考答案與試題解析

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只

有一項是符合題目要求的.

1.若集合A={χB={-2,-1,1,2,3},貝IJ(CR∕1)CB=()

A.{-2,-1}B.{-1,1}C.{1,2,3}D.{-1}

解：：集合A={χI喘?>o}=3χ<-2或x?l},

β={-2,-1,1,2,3},

.?.Cu∕={x∣-2≤x<l{,

.?.(CR/)∩8={-2,-1).

故選：A.

2.已知條件p：直線x+2y-1=0與直線/x+(q+ι)y-1=0平行，條件［：。=1,則P是

q的()

A.充要條件B.充分不必要條件

C.必要不充分條件D,既不充分也不必要條件

解：直線x+2y-1=0與直線勝什(α+i)V-I=O平行，

故α+l-2°2=0,解得α=l或當(dāng)α=l時，兩直線重合；

2

故P是夕的既不充分也不必要條件，

故選：D.

3.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線被圓x2+y2=4所截得的弦長為2√3,則P=()

A.1B.√3C.2D.4

第6頁共20頁

解：因為拋物線產(chǎn)=2*(p>0)的準(zhǔn)線方程為X=-里，

2

.,.(V^)2+(R)2=4,解得p=2.

2

故選：C.

4.已知點(diǎn)方是拋物線氏y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A,8是拋物線E上的

兩點(diǎn)，滿足∣E4∣+∣F3∣=10,FAΛ-∕?+FO=0,則P=()

A.1B.2C.3D.4

解：設(shè)4(xι,yι),B(X2,則∣F4∣+∣F8∣=%ι+3+%2+與=%ι+%2+P=1。，

①

由F4+FB+FO=0,知F4+FB+F。=(%ι+%2—岑，Yi+丫2)=。，所以不+&=

等②

聯(lián)立①②解得p=4,

故選：D.

5.定義在(-1,1)上的函數(shù)f(x)滿足f(x)=g(X)-g(-x)+2,對任意的Xi,X2∈

(-1,1),X1≠X2,恒有[f(Xl)-f(X2)](Xl-X2)>0,則關(guān)于X的不等式/(3x+l)

+f(X)>4的解集為()

1112

A.(一+∞)B.(一個0)C.(-8,_.)D.(-?/0)

解：對任意的XI，X2∈(-1，1),X1≠X2,恒有[f(XI)-/(X2)](Xl-X2)>0，所以f

(X)是增函數(shù)，

設(shè)h(x)=/G)-2=g(x)-g(-X),則h(x)為奇函數(shù)，且在(-1,1)上為增

函數(shù)，

所以不等式/(3χ+l)4∕(X)>4,等價于/(3x+l)-2÷∕,(x)-2>0,

即h(3x+1)+A(x)>0,亦即力(3x+l)>-A(X)=h(-x),

-1<3%+Kl

-l<x<l,解得一/VxVO,

{3%+1>—%

故選：B.

6.已知函數(shù)/(x)=2s譏(3x+^)?>0)的部分圖象如圖所示，則使/(α+x)-fCa-%)

第7頁共20頁

解：由函數(shù)/(x)=2sin(ωx+φ)的部分圖象知/(五*)=0,

即S譏3IKr+,)=°，由五點(diǎn)作圖可知3,1竽+V=2ττ+2∕cτr,kEZ,

AnZB24∕c+22.r

角不彳寸3=??，kWZ7,

又由圖象可知D方,所以7?五,解得3<薦

又ω>0,所以左=0,ω=2,

所以f(%)=2sin(2x+^).

因為/(α+x)-f(a-x)=0,即/(α+x)=∕(α-χ),

所以函數(shù)/G)關(guān)于直線X=Q對稱，

即有2α+'=[+kτr,keZ,解得α=竽+/keZ,

Tt

所以α的最小正值為z?

故選:A.

7.已知正項等比數(shù)列｛斯｝的前〃項和為S7,且-Q1,52,S3成等差數(shù)列.若存在兩項

a.a(m,n￡N*)使得Ja?a=8a∕則上閆的最小值是()

JIInVmnJLmn

A.16B.2C.妝D.?

33

解：；正項等比數(shù)列｛斯｝的前“項和為S”且-αι,S2,S3成等差數(shù)列.

.?.2S2=S3-m,公比4>0,

Λ2a?+2a?q=a?+a?q+a?q2-a↑,

即：q?-q-2=0,解得g=2,

?存在Cinncin9使得Ja?a=8a]，即。〃以"=64α∕,

Λ(ai?2w^1)(aι?2,rl)=64αι2,

第8頁共20頁

??川+〃=8,

?*?(?*+9-)(加+〃)]=工(10+旦曲)(10+6)=2,

mnmn88mn8

當(dāng)且僅當(dāng)"=3w=6,取等號.

即N=2,m=6,工法的最小值為2,

mn

故選：B.

8.正2022邊形小山…42022內(nèi)接于單位圓。,任取其兩個不同頂點(diǎn)小，4,則I贏.+QA'∣≤1

的概率是（）

A.JZLB.-θZLC.D.-θ?

2021202120212021

2

解：由10Ai+0Aj∣=≡?+0A.+20A10Aj=2+2cosZAi0Aj<1'

可得CoSNAiOA

因為0W∕4O4Wτt,所以，4L4/AjOAj《冗，

,

對于任意給定的向量"e?j（1≤j≤2022）滿足條件10Ai+OAj|41的向量的取法有

2冗.2兀一

3.20221-675

因此，I贏i+風(fēng)|41的概率為P蜻-

故選：B.

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個選項中，有

多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.

（多選）9.已知矩形/8CD中，AB=2,AD=?.若矩形的四個頂點(diǎn)中恰好有兩點(diǎn)為雙曲

線C的焦點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在雙曲線C上，則該雙曲線的離心率可為（）

A.√5B.遙7C.√5+2D.遙+]

22

22

解：設(shè)雙曲線方程為-_2_=[矩形48C。中，AB=2,AD=L矩形的四個頂點(diǎn)中恰

a2,b2?

好有兩點(diǎn)為雙曲線C的焦點(diǎn)，另外兩點(diǎn)在雙曲線C上，雙曲線經(jīng)過（1,1）,焦點(diǎn)坐標(biāo)

__L

（±1,0）,可得Ja2b2=1，解得α=近二1,

222

laab占

第9頁共20頁

所以，該雙曲線的離心率為g=-r?—=近」上.

a/-12

2

(14

-=11

2'2r

或雙曲線經(jīng)過(上，2),焦點(diǎn)坐標(biāo)(±工，0),可得I,ab,解得°=匹二2,

222,2,i

aj+u

b=~4r

?

所以，該雙曲線的離心率為￡=——=2+√5.

aA/5-2

2

或矩形對角線上的兩個頂點(diǎn)為焦點(diǎn)時，此時2c=*TT^=2α=2-l=l,此時離

心率為：e=-≡-=V5?

a

故選：ACD.

(多選)10.已知復(fù)數(shù)zι,Z2,滿足∣zι∣*2∣≠0,下列說法正確的是()

A-若忻∣=∣Z2∣,則Z[2=Z22

B.∣z1÷z2∣≤∣z1∣÷∣z2∣

C.若Z1Z2∈R,則一-∈R

z2

D.∣Z1Z2∣=∣21∣∣Z2∣

解：對選項4設(shè)Z]=l+i,Z2=近1

222

則IZlI=IZ2l=&，z1=(l+i)?,Z2=(√2i)=-2'不滿足Zj=Z??,

故工錯誤；

對選項&設(shè)zi,Z2在復(fù)平面內(nèi)表示的向量分別為￡Ht且；7,

4]，1Λy19LtOfV

當(dāng)Z1,Z2方向相同時，∣Z1+Z2∣=∣Z[∣+∣Z2∣,

當(dāng)三方向不相同時，Z+E∣<E∣+I^ζ卜

綜上∣Z1+Z2∣W∣Z1出Z2∣,故8正確；

對選項C,設(shè)zι=l+i,z2=l-i,Ziz2=(l+z)(I-/)=2∈R,

—??iiLllilL-=ieR,故C錯誤；

Z21-i(l-i)(l+i)

對選項設(shè)zι=α+b3z2=c+difa,b,c,d≠0,

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z↑Z2-(a+bi)(c+力)=(ac-bd)+(ad+bc)i,

則Iz]z2I=Y(ac-bd)2+(ad+bc)2=√(ac)^+(bd)^+(ad)^+(bc),

22222222,

Iz?IIz2I=Va+b?Vc+d=√(ac)+(bd)+(ad)+(bc)=∣z?z2I

故。正確.

故選：BD.

(多選)11.甲箱中有5個紅球，2個白球和3個黑球，乙箱中有4個紅球，3個白球和3

個黑球.先從甲箱中隨機(jī)取出一球放入乙箱，分別以小，血和血表示由甲箱取出的球

是紅球，白球和黑球的事件；再從乙箱中隨機(jī)取出一球，以8表示由乙箱取出的球是紅

球的事件，則下列結(jié)論正確的是()

A.事件8與事件4(i=l，2,3)相互獨(dú)立

B?P(A⑻*

c?P(B)?∣-

O

D?P%∣B)臉

解：由題意得尸(Jl)P(42)――^P(/3)='

2510

先小發(fā)生，此時乙袋中有5個紅球，3個白球和3個黑球，則P(8∣4)=-L,

11

先出發(fā)生，此時乙袋中有4個紅球，4個白球和3個黑球，則P(5∣4≈)??,

11

先刈發(fā)生，此時乙袋中有4個球，3個白球和4個黑球，則尸(用念)='，

11

：.PCA?B)=P(5μ∣)P(小)=-L,故8正確；

22

P(A2B)=P(B?A2)P(A2)P(m8)=P(8出)P(43)=&，

5555

P(B)=P(B∣A1)P(小)+P(8/2)P(A2)+P(8出)P(A3)=且，故C錯誤；

22

P(Ji)P(B)≠PCA?B),P(A2)≠P(A2B),P(A3)P(B)≠P(A3B),故/錯誤；

P(B∣A2)P(A2).?,故。正確.

P(B)45

故選：BD.

(多選)12.已知定義在R上的偶函數(shù)/(x),滿足/(x)4∕(2-χ)=2,則下列結(jié)論正確

的是()

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A.f(x)的圖像關(guān)于x=l對稱

B./(x+4)=∕(x)

C.若函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，則/(x)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增

D.若函數(shù)/(x)在區(qū)間(0,1)上的解析式為/(x)=lnx+l,則/(x)在區(qū)間(2,3)

上的解析式為.f(x)—In(X-I)+1

解：根據(jù)題意，依次分析選項：

對于4函數(shù)/(x)滿足/(x)4∕(2-χ)=2,則/Cr)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，A

錯誤；

對于8,/(x)是偶函數(shù)且滿足/是)+f<2-χ)=2,則有/(-χ)+/-(2-χ)=2,即

f(x)+f(x+2)=2,

同時有/(x+2)4∕(x+4)=2,則有/(x+4)=f(x),8正確；

對于C,函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,1］上單調(diào)遞增，且/(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)(1,1)對稱，則

f(x)在［1,2］上也是增函數(shù)，

又由/(x+4)=∕(x),則/(x)在區(qū)間［2021,2022］上單調(diào)遞增，C正確；

對于。，若x∈(2,3),X-2∈(0,1),則/(x-2)—In(x-2)+1,又由/(x)4/(X

-2)=2,則/(x)=2-In(χ-2)-1=1-In(χ-2),。錯誤；

故選：BC.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13?若A：=6C：(m￡N*,m>4>貝U機(jī)=_Z_.

解：由題意可得mCm-1)(∕n-2)=6?πt(∏rl)(πr2)(πτ3),

4×3×2×1

解得加=7或加=0(舍去)或〃?=1(舍去)或加=2(舍去)或m=3(舍去)，

故答案為：7.

14.設(shè)f(χ)=<'0<x<2,若/J)=/(α+2),則q=JL.

kj-

b(x-2),x>29-

解：Y函數(shù)f(x)=［4'0<x：2,

K；

［3(X-2),X≥2

.?.函數(shù)每一段均單調(diào)遞增，

又?.∕(α)=∕(α+2),

第12頁共20頁

?a=3(α+2-2),

.?α=工(O舍)，

9

故答案為：1.

9

15.設(shè)隨機(jī)變量X?8(2,p),滿足p(χ>l)=?^且若Y=NT-1,則。(X)=_巨_.

162

解：Y隨機(jī)變量X?8(2,p),

：.P(X=O)=1-P(X>l)=1--??.z?=(I-P)2,解得P=旦，

16164

?'?d(X)=2×τ^×(1~?)4

44o

-D(K)=D(2X7)=22D(X)=4×?4?

O/

故答案為：1.

2

16.已知我國某省二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6.2022年3月份調(diào)查得知該省二、

三、四線城市房產(chǎn)均價為0.8萬元/平方米，方差為11.其中三、四線城市的房產(chǎn)均價分

別為1萬元/平方米，0.5萬元/平方米，三、四線城市房價的方差分別為10,8,則二線

城市房產(chǎn)均價為2萬元/平方米,二線城市房價的方差為29.9.

解：設(shè)二線城市房產(chǎn)均價為X,方差為y,因為二、三、四線城市數(shù)量之比為1：3：6,

二、三、四線城市房產(chǎn)均價為0.8萬元/平方米，三、四線城市的房產(chǎn)均價分別為1萬元/

平方米，0.5萬元/平方米，

所以需x4?Xp?X°?&

解得：x=2(萬元/平方米)，

由題意可得上XΓv+(9-0只產(chǎn)葉且義口。+3_()8)2]+_LX[8+(0.5-0.8)2]=11,

解得：y=29.9.

故答案為：2；29.9.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(IO分)己知函數(shù)f(X)sin3Xcos3χ-cos?3(3>0)，其圖像上相

鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)間的距離為J443一.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式;

第13頁共20頁

(2)記448C的內(nèi)角4B,C的對邊分別為〃，b,cfa=4f從=12,f(A)=L若

角4的平分線4。交BC于。，求的長.

解(1因為

1√31/兀、

f(x)=V^Sin3XCOS°X-COS3XF=cSin23XFcos23X=Sin(2。χ--τ-)

ZNNb

設(shè)函數(shù)/(x)的周期為7,

2

由題意6尸+4=4+牛，

2

即(_2￡_)2=2L―,解得3=ι,

'23'4

Tr

所以f(x)=sin(2x-τ-)?

6

⑵由/(/)=1得：sin(2k-^^τ~)=1,

6

即2A1~=2k兀V~，k∈Z-解得A=k兀V~，k∈Z-

因為∕∈[0,π],所以A號，

因為N的平分線/。交BC于。，

所以SNBC=SAABD+sfCD，

.兀?兀.兀

^HΠT1-bcsin^^c1-AADn-sin—41-1?A?ArlD-sιn-?

/oΔbNb

可得AD=Ebc,

b+c

2222

由余弦定理得：,α=?+c-2bccosA=Cb+c)-3bcf而bc=12,

得(?÷c)2=52,

因此?????s?/g?

2√1313

18.(12分)設(shè)S,為等差數(shù)列｛z｝的前〃項和，已知S3=45,且02-2,。3,S5成等比數(shù)歹I」.

(1)求數(shù)列｛〃”｝的通項公式；

(2)若b=2飛離＞，求數(shù)列｛α,Jb"｝的前〃項和7".

解：(1)設(shè)等差數(shù)列｛α,,｝的公差為d,?.?S3="5,且B-2,。3,S5成等比數(shù)列.

.?.3αι+3d=αι+4d,(α2-2)S5,即(a]+2d)2=(ai+d-2)(5m+10d),

解得m=l,d=2；4ι=O=d(舍去).

?*?6f1=1,d=2；

第14頁共20頁

工=1+2(77-1)=2n-1.

(2)由(1)可得：s,=n(l+2n-l)=12,

λΛ

bn=2^"=2

.,.an*bn-(2n-1)?-A-

2n

；?數(shù)列｛“∕6"｝的前n項和T"=L+V-+且#??.+2rrJ.

222232n

-LT”—JL+一3一+.§,???+,2n.-3+2R-

2423242n2nH

?(l-?)

J2”紐I

相減可得：lτn=X+2(.?,+.?+—+.?..)-Zn-],=-lj-2X

2222232n2nH21」2nH

2

化為T〃=3-包旦.

2n

19.（12分）元旦期間，某轎車銷售商為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中

的一種，方案一：每滿6萬元，可減6千元；方案二：金額超過6萬元（含6萬元），可

搖號三次，其規(guī)則是依次裝有2個幸運(yùn)號、2個吉祥號的一個搖號機(jī)，裝有2個幸運(yùn)號、

2個吉祥號的二號搖號機(jī)，裝有1個幸運(yùn)號、3個吉祥號的三號搖號機(jī)各搖號一次，其優(yōu)

惠情況為：若搖出3個幸運(yùn)號則打6折，若搖出2個幸運(yùn)號則打7折：若搖出1個幸運(yùn)

號則打8折；若沒有搖出幸運(yùn)號則不打折.

（1）若某型號的車正好6萬元，兩個顧客都選中第二中方案，求至少有一名顧客比選擇

方案一更優(yōu)惠的概率；

（2）若你評優(yōu)看中一款價格為10萬的便型轎車，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)

選擇哪種付款方案.

解：（1）選擇方案二比方案一更優(yōu)惠，

則需要至少摸出一個幸運(yùn)球，

設(shè)顧客不打折即三次沒摸出幸運(yùn)球為事件兒

則2X2X3=X

n4×4×416

故所求概率P=I-P（A）P（A）=I-G?）2（4分）

Io256

⑵若選擇方案一，則需付款I(lǐng)o-0.6=9.4（萬元）.5分）

若選擇方案二，設(shè)付款金額為X萬元，

第15頁共20頁

則X可能的取值為6,7,8,10,

P(X=6)銖?*,P(X=7)=2X2X3+%:才2X2X1*,

P(X=8)∕X2X3+QE∕+2X2X1WP(XnO)喉,(9分)

故X的分布列為

X67810

P1573

^16^16____^16^16

所以E(X)=6XτjV+7X-^+8xI+10X-?=7.9375(萬元)＜》4(萬元)，

16161616

所以選擇第二種方案更劃算?（12分）

20.（12分）已知如圖，在多面體ZBCE尸中，AC=BC=2,ZJCS=120°,。為48的中

點(diǎn)，EF//CD,EF=I,8F，平面4EF.

（1）證明：四邊形ERoC為矩形；

（2）當(dāng)三棱錐/-8E尸體積最大時，求平面/EP與平面/8E夾角的余弦值.

解：（1）因為NZCB=120°,AC=BC=2,。為48的中點(diǎn)，

所以CΣ>"L∕8,且CA=BCSin30°=1,

又因為E尸=1,所以CD=EF,因為E/〃C。，

所以四邊形EFDC為平行四邊形，

因為8F_L平面NER￡7七平面/EF,所以BFLEF,所以CO_L8F,

因為4B=B,BF,ZBu平面48兄所以CO_L平面/8R。尸U平面/8尸,

所以C"DF,所以四邊形EEDC為矩形.

（2）由（1）可知I,EZtL平面48尸，8F_L平面ZER∕1F?5P≡AEF,

所以8尸,ZRAB=2√BC2-CD2=2√3,

所以三棱錐A-BEF的體積:

第16頁共20頁

V4SΛABFEF=?AFBF<?<AF2+BF2）?AB2=1,

當(dāng)且僅當(dāng)AF=BF時等號成立，此時FDLAB,

據(jù)（1）,以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以D4,CD,DF所在的直線為X,夕，Z軸建立空間直角

坐標(biāo)系Dxyz如圖所示：

由已知可得下列點(diǎn)的坐標(biāo)：A(√3,0,0),B(-√3,0,0),F(0,0,√5),

E(0,-1,√3),

所以瓶=(-2√^,0,0>AE=(-√3,-1,√3);

設(shè)平面的法向量為彘(χ,y>z)，則號至=-Fx-y+Ez=°.

m?AB=-2?∕3x=0

取y=?,則x=0,z—1,

所以平面/8E的一個法向量為?=(0,√3,1)，

因為而0,）是平面力E/的法向量，

二_M4

設(shè)平面4樣與平面ZHE夾角為e,貝IJCOSθI∏rBFI

~∣m∣-IBFI^2?√6^4

故平面AEF與平面ABE夾角的余弦值為亞.

eΛ,由橢圓E的四

ab2

個頂點(diǎn)圍成的四邊形的面積為16√ξ.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

第17頁共20頁

(2)設(shè)/為橢圓E的右頂點(diǎn)，過點(diǎn)Λ∕(-2α,0)且斜率不為。的直線/與橢圓E相交

于點(diǎn)8,C(點(diǎn)8在MC之間)，若N為線段BC上的點(diǎn)，且滿足匪工聿斗，證明：

IMCIINCI

因為?上」，b2+c2-a2,所以a=2c,b=V3c>

a2

所以c-1?,α=4,b=2V^,

22

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為二上=1.

1612

(2)證明：由(1)可知A/(-8,0),設(shè)直線/的方程為X=叩-8(機(jī)＞0),

22

其與橢圓E：卡■號3=1的交點(diǎn)為8(χι,??),C(X2,”)，

fX2y2

聯(lián)立416+12-L得（4+3〃於）/-48"ψ+144=0,

X=Iny-8

Δ=（48機(jī)）2-4（4+3加2）×144>0,即機(jī)>2,

Kepi48m144

為+丫2=二。，yl-y2=T^T'

4+3m4+3m

-

IMBy1cr,.y1*

設(shè)點(diǎn)N(X°，次)，因為A?