山東省濟寧市2022-2023學年高二上學期期末數學試題(學生版+解析)

2022-2023學年度第一學期質量檢測高二數學試題2023.02本試卷共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考試號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1若直線與直線平行，則()A. B. C. D.2.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為()A.內切 B.相交 C.外切 D.外離3.假設，且與相互獨立，則()A. B. C. D.4.已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.5.已知數列為等比數列，且是與的等差中項，若，則該數列的前5項和為()A.2 B.10 C.31 D.626.已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.7.已知拋物線，過的焦點且斜率為2的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點，若點的縱坐標為4，則拋物線的標準方程為()A. B.C. D.8.已知數列為等差數列且，數列的前項和為，則()A B. C. D.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是()A.直線在軸上的截距是B.直線的傾斜角是C.直線恒過定點D.過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為10.拋擲兩枚質地均勻的正四面體骰子，每個骰子四個面的點數分別為，分別觀察底面上的數字，記事件“第一枚骰子底面數字為奇數”，事件“第二枚骰子底面數字為奇數”，事件“兩枚骰子底面數字之和為偶數”，事件“兩枚骰子底面數字之和為奇數”，下列判斷中正確的是()A.事件與事件互斥B.事件與事件互為對立事件C.事件與事件相互獨立D.11.已知等比數列前項和為，且，數列的前項積為，則下列結論中正確的是()A.數列是遞增數列 B.C.的最大值為 D.的最大值為12.已知為雙曲線的右焦點，直線與該雙曲線相交于兩點(其中在第一象限)，連接，下列說法中正確的是()A.的取值范圍是B.若，則C.若，則點的縱坐標為D.若雙曲線的右支上存在點，滿足三點共線，則的取值范圍是三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數列的前項和為，且，則_______.14.如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且為中點，若.則__________.15.如圖所示?點為橢圓頂點，為的右焦點，若，則橢圓的離心率為__________.16.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為__________.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.在空間直角坐標系中，已知向量，其中分別是平面與平面的法向量.(1)若，求.的值；(2)若且，求的值.18.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.(1)求圓的標準方程；(2)求直線被圓截得的弦的長.19.某班級從3名男生和2名女生中隨機抽取2名同學參加學校組織的校史知識競賽.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；(2)若抽到的2名同學恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答對每道題的概率均為，女生乙答對每道題的概率均為，甲和乙各自回答兩道題，且甲?乙答對與否互不影響，各題的結果也互不影響.求甲答對2道題且乙只答對1道題的概率.20.已知數列滿足：，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.21.如圖，在直三棱柱中，，點滿足.(1)當時，求與所成角的余弦值；(2)是否存在實數使得平面與平面的夾角為.22.已知橢圓，點為橢圓上頂點，設直線過點且與橢圓交于兩點，點不與的頂點重合，當軸時，.(1)求橢圓的方程；(2)設直線與直線的交點分別為，求的取值范圍.2022-2023學年度第一學期質量檢測高二數學試題2023.02本試卷共4頁.滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考試號等填寫在答題卡和試卷指定位置上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若直線與直線平行，則()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據兩直線平行可得出關于實數的等式，由此可解得實數的值.【詳解】由于直線與直線平行，則，解得.故選：D.2.已知圓：，圓：，則兩圓的位置關系為()A.內切 B.相交 C.外切 D.外離【答案】B【解析】【分析】根據圓的方程確定圓心及半徑，由兩圓圓心距離與半徑的關系判斷位置關系.【詳解】由題設，：，：，∴，半徑；，半徑；∴，即兩圓相交.故選：B3.假設，且與相互獨立，則()A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據獨立事件的并事件的概率公式計算.【詳解】由與相互獨立，則.故選︰B．4.已知雙曲線，拋物線的焦點為，拋物線的準線與雙曲線的兩條漸近線分別交于點，若為正三角形，則雙曲線的漸近線方程為()A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據雙曲線方程，把漸近線表示出來，推出兩點坐標，利用為正三角形，列方程解系數既可.【詳解】雙曲線的兩條漸近線方程為，拋物線的焦點為，準線方程為，不妨取，，為正三角形，由對稱性可知，直線傾斜角為，則，解得，所以雙曲線的兩條漸近線方程為.故選：C5.已知數列為等比數列，且是與的等差中項，若，則該數列的前5項和為()A.2 B.10 C.31 D.62【答案】D【解析】【分析】根據等比數列的基本量求出公比，然后求.【詳解】設等比數列的公比為，因為是與的等差中項所以即，又，所以即，所以所以故選：D6.已知平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，則直線與平面所成角的正弦值為()A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據線面角的向量法求解即可.【詳解】因為平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，所以直線與平面所成角的正弦值為.故選：A.7.已知拋物線，過的焦點且斜率為2的直線交拋物線于兩點，以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點，若點的縱坐標為4，則拋物線的標準方程為()A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由拋物線，可知焦點為，準線為，設直線的方程為，，，聯立直線與拋物線方程組，根據韋達定理可得，，結合題意可得點的縱坐標為4，進而得到，進而求解.【詳解】由拋物線，可知焦點為，準線為，設直線的方程為，，，聯立方程組，可得，所以，，以為直徑的圓與拋物線的準線相切于點，設的中點為，則有，因為點的縱坐標為4，所以點的縱坐標為4，即，則，又，所以，即拋物線的標準方程為.故選：D.8.已知數列為等差數列且，數列的前項和為，則()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意可得，求出與公差，根據等差數列的通項公式即可求解.【詳解】由數列的前項和為，得，即，設公差為，則，解方程得(負值舍去)，..故選:C.二?多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列說法中正確的是()A.直線在軸上的截距是B.直線的傾斜角是C.直線恒過定點D.過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為【答案】AC【解析】【分析】對于A，令，求出，即可判斷；對于B，求出直線的斜率，進而可得傾斜角，即可判斷；對于C，直線方程可化為，再令即可判斷；對于D，分直線過原點和不過原點兩種情況討論即可判斷.【詳解】對于A，令，則，所以直線在軸上的截距是，故A正確；對于B，直線的斜率為，所以其傾斜角為，故B錯誤；對于C，直線化為，令，得，所以直線恒過定點，故C正確；對于D，當直線過原點時，直線方程為，當直線不過原點時，設直線方程，將代入解得，此時直線方程為，所以過點且在.軸?軸上的截距相等的直線方程為或，故D錯誤.故選：AC.10.拋擲兩枚質地均勻的正四面體骰子，每個骰子四個面的點數分別為，分別觀察底面上的數字，記事件“第一枚骰子底面數字為奇數”，事件“第二枚骰子底面數字為奇數”，事件“兩枚骰子底面數字之和為偶數”，事件“兩枚骰子底面數字之和為奇數”，下列判斷中正確的是()A.事件與事件互斥B.事件與事件互為對立事件C.事件與事件相互獨立D.【答案】BCD【解析】【分析】利用對立事件、互斥事件、相互獨立事件的意義及古典概率判斷各選項即可.【詳解】兩枚骰子底面數字之和為偶數包含了兩枚骰子底面數字均為奇數的可能，所以事件與事件可能同時發(fā)生，故A錯誤；“兩枚骰子底面數字之和為偶數”和“兩枚骰子底面數字之和為奇數”一定會發(fā)生一個事件，另一個不發(fā)生(它們概率之和為1)，所以事件與事件互為對立事件，故B正確；由且，即，所以事件與事件相互獨立，故C正確；，，故D正確.故選：BCD.11.已知等比數列的前項和為，且，數列的前項積為，則下列結論中正確的是()A.數列是遞增數列 B.C.的最大值為 D.的最大值為【答案】BC【解析】【分析】由已知遞推等式，利用等比數列的性質，解出首項與公比，得到數列通項，即可研究數列特征，驗證選項是否正確.【詳解】等比數列的前項和為，且，當時，；當時，，設等比數列公比為，則有，解得，所以，，數列是遞減數列，故A選項錯誤，B選項正確；數列的前項積為，則，當，；當，，即，；，，所以的最大值為，C選項正確，D選項錯誤.故選：BC.12.已知為雙曲線的右焦點，直線與該雙曲線相交于兩點(其中在第一象限)，連接，下列說法中正確的是()A.的取值范圍是B.若，則C.若，則點的縱坐標為D.若雙曲線的右支上存在點，滿足三點共線，則的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對于A，根據漸近線分析即可求解；對于B，結合對稱性，雙曲線定義即可求解；對于C，結合對稱性可知為直角三角形，，結合雙曲線定義及勾股定理，可得，進而求解；對于D，根據臨界情況，直線方程為：，聯立方程組，可得，進而求解.【詳解】對于A，雙曲線的漸近線方程為，因為直線與雙曲線相交于，所以的取值范圍是，故A正確；對于B，設為雙曲線的左焦點，連接，由對稱性知，，又，所以，故B正確；對于C，結合選項B，知為直角三角形，且，所以，化簡得，設點A的縱坐標為，則，故C不正確；對于D，當直線的斜率為時，直線的方程為：，聯立方程組，得，又，所以，所以雙曲線的右支上存在點，滿足三點共線，則的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知等差數列的前項和為，且，則_______.【答案】【解析】【分析】根據等差數列通項公式和求和公式列出方程組，求出首項和公差，求出.【詳解】設公差為，則，解得：，故.故答案為：-614.如圖所示，在空間四邊形中，，點在上，且為中點，若.則__________.【答案】##【解析】【分析】根據題意可得，又，從而可求解.【詳解】因為為中點，所以.所以.因為，所以.故答案為:.15.如圖所示?點為橢圓的頂點，為的右焦點，若，則橢圓的離心率為__________.【答案】【解析】【分析】利用橢圓得到頂點和右焦點的坐標，然后利用垂直可得，利用可得，求解即可【詳解】由橢圓可得，所以，因為，所以，即，所以，所以，因為，所以故答案為：16.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別相交于兩個動點，則點的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，為該動圓的直徑,，可列等式得方程.【詳解】因為動圓圓心在軸上移動，且該動圓始終經過點和，所以，為該動圓的直徑,又因為點在該動圓上，所以，，即，所以，點的軌跡方程為.故答案為：四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明?證明過程或演算步驟.17.在空間直角坐標系中，已知向量，其中分別是平面與平面的法向量.(1)若，求.的值；(2)若且，求的值.【答案】(1)(2)或【解析】【分析】(1)根據平面平行，得到空間向量平行，列出方程組，求出答案；(2)根據平面垂直，得到空間向量垂直，結合，列出方程組，求出答案.【小問1詳解】分別是平面與平面的法向量且，，令，即所以，解得：.【小問2詳解】分別是平面與平面的法向量且，，即，，又，所以或.18.已知圓的圓心在直線上，且與直線相切于點.(1)求圓的標準方程；(2)求直線被圓截得的弦的長.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)設圓的標準方程為，列出的方程組解決.(2)求出圓心到直線的距離，半徑圓心到直線的距離，弦的一半構成直角三角形解決.【小問1詳解】設圓的標準方程為圓的圓心在直線上，且與直線相切于點解方程組得所以，圓C標準方程為【小問2詳解】圓心到直線的距離又.所以，直線被圓截得的弦的長為.19.某班級從3名男生和2名女生中隨機抽取2名同學參加學校組織的校史知識競賽.(1)求恰好抽到1名男生和1名女生的概率；(2)若抽到的2名同學恰好是男生甲和女生乙，已知男生甲答對每道題的概率均為，女生乙答對每道題的概率均為，甲和乙各自回答兩道題，且甲?乙答對與否互不影響，各題的結果也互不影響.求甲答對2道題且乙只答對1道題的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)列舉法求出古典概率；(2)分別求出甲答對2道題，乙只答對1道題的概率，再根據獨立事件概率乘法公式求出答案.【小問1詳解】記3名男生分別為名女生分別為，則隨機抽取2名同學的樣本空間為，記事件恰好抽到1名男生和1名女生”則事件；【小問2詳解】設事件“甲答對2道題”，事件乙只答對1道題”，根據獨立性假定，得，.，所以甲答對2道且乙只答對1道題的概率是.20.已知數列滿足：，且.(1)求數列的通項公式；(2)求數列的前項和.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)由數列遞推式可得，作差可得，確定數列為等差數列，即可求得其通項公式；(2)由(1)可得，利用錯位相減法即可求得數列的前項和.【小問1詳解】由,得，作差得，，即，又且，，數列為等差數列，又，所以數列的公差為，故數列的通項公式為.【小問2詳解】，，，作差得，，，所以，.21.如圖，在直三棱柱中，，點滿足.(1)當時，求與所成角的余弦值；(2)是否存在實數使得平面與平面的夾角為.【答案】(1)(2)【解析】【分析】以點為坐標原點，分別以的方向為軸，軸的正方向，建立空間直角坐標系．(1)代入數據，表示出與的方向向量，利用異面直線方向向量與夾角的