數(shù)列題型總結(jié)(全)

數(shù)列題型歸納〔全〕題型一：求等差數(shù)列的公差或取值范圍例一：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，假設(shè)=4，=20，那么該數(shù)列的公差d等于變式一：等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列的的公差為變式二：等差數(shù)列的首項(xiàng)為31，假設(shè)從第16項(xiàng)開始小于1，那么此數(shù)列的公差d的取值范圍是題型二：求等比數(shù)列的公比例一：在等比數(shù)列中，，那么公比q的值為變式一：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，，成等差數(shù)列，假設(shè)=1，那么=〔〕變式二：設(shè)公比為q〔q>0〕的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)=3+2，=3+2,那么q=變式三：等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，成等差數(shù)列，那么的公比為題型三：求等差與等比數(shù)列的通項(xiàng)例1：〔1〕遞增的等差數(shù)列滿足，，那么=(2)等比數(shù)列為遞增數(shù)列，且，那么數(shù)列的通項(xiàng)公式=變式一：為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，=，，那么=變式二：兩個(gè)等比，，滿足，，，，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。例2：假設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么此數(shù)列的通項(xiàng)公式為變式一：數(shù)列的前n項(xiàng)和，那么其通項(xiàng)=；假設(shè)它的第k項(xiàng)滿足，那么k=變式二：數(shù)列的前n項(xiàng)和，(a為非零實(shí)數(shù))，那么是否是等差數(shù)列？是否是等比數(shù)列？題型四：等差等比數(shù)列的求和例：在等比數(shù)列〔n〕中，假設(shè)=1，，那么該數(shù)列的前10項(xiàng)和為變式一：是正數(shù)組成的等比數(shù)列，為前n項(xiàng)和，，那么=變式二：設(shè)f(n)=(n),那么f(n)=題型五：對(duì)于等比數(shù)列求和公式中q的討論例：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)成等差數(shù)列，求數(shù)列的公比q.變式一：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，那么其公比q等于變式二：求和題型六：對(duì)于奇偶項(xiàng)求和問題的討論例：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前n項(xiàng)和.變式一：數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求其前n項(xiàng)和.題型七：對(duì)于含絕對(duì)值的數(shù)列求和例：數(shù)列的前n項(xiàng)和=10n-,數(shù)列的每一項(xiàng)都有，求前n項(xiàng)和.變式一：在等差數(shù)列中，〔1〕求使<0的最小正整數(shù)n.(2)求的表達(dá)式。變式二：等差數(shù)列前三項(xiàng)的和為-3，前三項(xiàng)的積為8.〔1〕求等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔2〕假設(shè)成等比數(shù)列，求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和。題型八：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用等差數(shù)列等比數(shù)列例：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)，那么等于變式一：設(shè)數(shù)列，都是等差數(shù)列，假設(shè)變式二：在等差數(shù)列中，，那么該數(shù)列前11項(xiàng)和等于變式三：在等差數(shù)列中，，那么此數(shù)列的前13項(xiàng)之和等于變式四：在等差數(shù)列中，，那么數(shù)列的前9項(xiàng)之和=題型九：等差、等比數(shù)列的性質(zhì)應(yīng)用成等差數(shù)列例：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)，那么=變式一：設(shè)是等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，假設(shè)，那么變式二：設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，假設(shè)，那么題型十：利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解例：某等差數(shù)列共有10項(xiàng)，其奇數(shù)項(xiàng)之和為15，偶數(shù)項(xiàng)之和為30，那么其公差為變式一：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為377，項(xiàng)數(shù)n為奇數(shù)，且奇數(shù)項(xiàng)和與偶數(shù)項(xiàng)和之比為7:6，求中項(xiàng)。變式二：兩個(gè)等差數(shù)列和的前n項(xiàng)和分別是和,且，那么使得為整數(shù)的正整數(shù)n的個(gè)數(shù)是題型十一：利用等差等比數(shù)列的單調(diào)性求解例：數(shù)列是遞增數(shù)列，且對(duì),都有，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是變式一：數(shù)列中，如果存在，使得且成立〔其中k〕, 那么稱為的一個(gè)峰值?！?〕假設(shè)，那么的峰值為〔2〕，且存在峰值，那么實(shí)數(shù)t的取值范圍。例：在等差數(shù)列中，=20，前n項(xiàng)和為，且，求當(dāng)n取何值時(shí)，取最大值，并求此最大值。變式一：數(shù)列為等差數(shù)列，假設(shè)，且其前n項(xiàng)和取得最小值時(shí)，n=變式二：設(shè)等比數(shù)列的首項(xiàng)為，公比為q，那么<0且0<q<1是對(duì)于任意都有的條件。變式三：〔〕,那么在數(shù)列的前50項(xiàng)中最小項(xiàng)和最大項(xiàng)是題型十二：判斷和證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列〔1〕定義法：對(duì)于的任意正整數(shù)，驗(yàn)證〔〕為同一常數(shù)〔用于證明〕〔2〕通項(xiàng)公式法：假設(shè)，那么為等差數(shù)列；假設(shè)，那么為等比數(shù)列；〔3〕中項(xiàng)公式法：等差；等比。一：定義法：例：〔1〕設(shè)是等差數(shù)列，證明：數(shù)列〔c>0,是等比數(shù)列。〔2〕設(shè)是正項(xiàng)等比數(shù)列，證明〔c>0,是等差數(shù)列。變式一：數(shù)列的前n項(xiàng)和記為，〔n=2,3,4…〕,證明：數(shù)列是等比數(shù)列。變式二：定義在R上的函數(shù)f(x)和數(shù)列滿足以下條件：，，其中a為常數(shù)，k為非零實(shí)數(shù)。令是等比數(shù)列。二：中項(xiàng)公式法：例：數(shù)列滿足(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；〔2〕求數(shù)列的通項(xiàng)公式；〔3〕假設(shè)數(shù)列滿足,證明：數(shù)列是等差數(shù)列。變式一：等比數(shù)列的公比q=-0.5，〔1〕1．向量的三種線性運(yùn)算及運(yùn)算的三種形式。向量的加減法，實(shí)數(shù)與向量的乘積，兩個(gè)向量的數(shù)量積都稱為向量的線性運(yùn)算，前兩者的結(jié)果是向量，兩個(gè)向量數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量。每一種運(yùn)算都可以有三種表現(xiàn)形式：圖形、符號(hào)、坐標(biāo)語言。主要內(nèi)容列表如下：運(yùn)算圖形語言符號(hào)語言坐標(biāo)語言加法與減法+=-=記=(x1,y1)，=(x1,y2)那么+=(x1+x2,y1+y2)-=〔x2-x1,y2-y1〕+=實(shí)數(shù)與向量的乘積=λλ∈R記=(x,y)那么λ=(λx,λy)兩個(gè)向量的數(shù)量積·=||||cos<,>記=(x1,y1),=(x2,y2)那么·=x1x2+y1y22．重要定理、公式〔1〕向量共線定理：如果有一個(gè)實(shí)數(shù)使那么與是共線向量；反之，如果是共線向量，那么有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使。〔2〕平面向量根本定理；如果，是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于該平面內(nèi)任一向量，有且只有一對(duì)數(shù)數(shù)λ1，λ2，滿足=λ1+λ2?！?〕兩個(gè)向量平行：設(shè)=〔x1,y1〕，=(x2,y2)，那么∥x1y2-x2y1=0〔4〕兩個(gè)向量垂直：設(shè)=(x1,y1),=(x2,y2)，那么⊥x1x2+y1y2=0〔5〕線段定比分點(diǎn)公式:設(shè),那么設(shè)P〔x,y〕，P1〔x1,y1〕，P2〔x2,y2〕,那么1、平面向量∥，，求及夾角。2、向量=()和=()，．〔1〕求的最大值；〔2〕假設(shè)=，求的值．3、、、三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、、，，〔1〕假設(shè)，求角的值；〔2〕假設(shè)，求的值。穩(wěn)固練習(xí)1、假設(shè)為正方形，是的中點(diǎn)，且，那么=〔〕2、且，那么的值為〔〕3、△OAB中，=，=，=，假設(shè)=，t∈R，那么點(diǎn)P在〔〕A、∠AOB平分線所在直線上B、線段AB中垂線上C、AB邊所在直線上D、AB邊的中線上4、點(diǎn)C在線段AB的延長(zhǎng)線上，且等于 ( )A．3 B． C． D．5、設(shè)EQ\O(OM,\S\UP8(→))＝(1，EQ\f(1,2))，EQ\O(ON,\S\UP8(→))＝(0，1)，那么滿足條件0≤EQ\O(OP,\S\UP8(→))·EQ\O(OM,\S\UP8(→))≤1，0≤EQ\O(OP,\S\UP8(→))·EQ\O(ON,\S\UP8(→))≤1的動(dòng)點(diǎn)P的變動(dòng)范圍〔圖中陰影局部，含邊界〕是 〔〕22Oxy112Oxy112Oxy112Oxy11ABCD6、向量，，假設(shè)與的夾角為鈍角，那么的取值范圍是〔〕....7、.向量，且A,B,C三點(diǎn)共線，那么k=_________.8、與的夾角為，假設(shè)那么=.9、假設(shè)對(duì)n個(gè)向量，存在n個(gè)不全為零的實(shí)數(shù)k1，k2，…，kn，使得=成立，那么稱向量為“線性相關(guān)”.依次規(guī)定，請(qǐng)你求出一組實(shí)數(shù)k1，k2，k3的值，它能說明=(1,0),=(1,－1),=(2,2)“線性相關(guān)”：k1，k2，k3的值分別是，，.10、那么的坐標(biāo)是.11、設(shè)平面內(nèi)的向量點(diǎn)是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)取最小值時(shí)，的坐標(biāo)及的余弦值。12、設(shè)向量，，，，，與的夾角為，與的夾角為，且，求的值。參考答案二、1、1、∥，2、(1)．==∵，∴，∴．∴max=．(