2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)高二年級下冊期中數(shù)學(xué)模擬試題（含解析）

2023-2024學(xué)年河北省承德市雙灤區(qū)高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)模擬試題

一.單選題（每個5分，共40分.）

L二項式（3"一2）的展開式中第5項的系數(shù)為（）

64

A.C：。B.C*C.C^O3?(-2)D-CfG2)5

【正確答案】C

【分析】根據(jù)題意寫出二項式（3x-2）∣°的展開式的通項，令4=4即可求出第5項的系數(shù).

【詳解】根據(jù)題意，二項式（3x-2）”的展開式的通項為:

i

7i+1=Cf0(3x)'°-(-2)?

64

當左=4時，二項式（3x-2）”的展開式中第5項的系數(shù)為：C;O3?（-2）,

故選：C.

2.盒中裝有10個乒乓球，其中5個新球，5個舊球，不放回地依次取出2個球使用，在第一次摸出新球

的條件下，第二次也取到新球的概率為（)

3142

A.-B.—C.一D.-

51095

【正確答案】C

【分析】根據(jù)條件概率求解公式即可得解.

【詳解】設(shè)第一次摸出新球為事件A,第二次取到新球為事件B.

515-14

則P(N)=一=_,P(B)=-----=-

v7102`/10-19

14

P(AB)2X9=4

則尸（8M）=

尸(Z)?~9

2

故選：C.

本題考查了條件概率公式的簡單應(yīng)用，條件概率的求法，屬于基礎(chǔ)題.

3.在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便

「4「6

的村莊數(shù)，則下列概率中等于u√-的是（)

J5

A.P(X=2)B.P(X<2)

C.P(X=4)D.P(X<4)

【正確答案】C

【分析】

根據(jù)超幾何分布列式求解即可.

【詳解】X服從超幾何分布，P(X=k)=故k=4,

故選：C.

3

4.已知函數(shù)/(χ)的導(dǎo)函數(shù)為/(x),若/(x)=3#'(2)+lnx+]X,則/'(2)=()

?I

A.—1B.1C.-----D.~

22

【正確答案】A

【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令x=2計算可得.

3

【詳解】因為/(x)=3M?'(2)+lnx+∕X,

13

所以/'(x)=3∕'(2)+-+：,

X2

I3

所以/'(2)=3∕'(2)+5+5,解得/'(2)=-l.

故選：A

已知。=坐，b=L,=網(wǎng)則b,的大小關(guān)系為(

5.C3,α,C)

2e9

A.a>b>cB.a>c>b

C.b>a>CD.b>c>a

【正確答案】C

【分析】根據(jù)已知，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性比較函數(shù)值的大小.

.Q-In2In41IneIn9LL2—、出，皿“、InX

【詳解】因rlx為lQ=-----=-----，bf=—=,c=，所以構(gòu)制函數(shù)/(X)=------，

24ee9x

因為r(x)=匕少，由r(x)=上段>o有：o<χ<e,

XX

由/'(X)=匕坐<0有：x>e,所以/(x)=W?在(e,+00)上單調(diào)遞減，

XX

因為α=M=苧=/(4)，6=i=-=/(e),C=萼=/(9),

Z4ee9

因為9>4>e,所以b>a>c,故A,B,D錯誤.

故選：C.

6.若多項式x?+M。=/+%(χ+])+…+%(χ+1)+Q]o(χ+[),則%=()

A.9B.IOC.-9D.-10

【正確答案】D

【分析】

利用二項式定理的系數(shù)，先求父。的系數(shù)，再由%?U+%°?量，可求，的系數(shù)，即可得答案.

9

【詳解】多項式χ2+χ∣°=%+q(χ÷l)+...÷tz9(χ+l)+t∕10(x+l)'°,

等號右側(cè)只有最后一項Go(x+I)H)的展開式中含有儲°，并且Xn)的系數(shù)為q0,等號左側(cè)XK)的系數(shù)是1，

?β?%0=1；

又，的系數(shù)在右側(cè)后兩項中，/的系數(shù)為“/仁+為.如,左側(cè)χ9的系數(shù)是0,

.,.4/9+10=0,Clg-—10.

故選：D.

本題主要考查二項式定理的運用，搞清各項系數(shù)是解決本題關(guān)鍵，屬于中檔題.

7.設(shè)函數(shù)/(X)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為了'(X),且函數(shù)/(X)在X=—2處取得極小值,則函數(shù)J=礦(X)

的圖象可能是()

【分析】根極值與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系確定/'(X)在X=-2附近的正負，得見「'(X)的正負，從而確定正確選項.

【詳解】由題意可得/'(-2)=0,而且當xe(-∞,-2)時，∕,(χ)<0,止匕時礦(x)>0,排除B、D；

當x∈(-2,0)時，/C(χ)>O,此時，礦(X)<0,若XG(O,÷oo),礦(X)〉0,

所以函數(shù)y=M'(x)的圖象可能是C.

故選：C

8.己知函數(shù)/(x)=,2,x∕g,g(χ)=∕(χ)-α,若函數(shù)g(x)有3個不同的零點，則實數(shù)“

I-x*^+6x-6,x>2

的取值范圍為

A.(1,2)B.(1,3)C.[1,2]D.[1,3]

【正確答案】B

【分析】函數(shù)g(x)=∕(x)-。有3個不同的零點，即函數(shù)/(X)的圖象與直線夕=。有三個交點，畫出函

數(shù)/(x)的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可得出答案.

2∣x^'∣V<2

【詳解】函數(shù)/(x)=(,一

-X+6x-6,x>2

當x≤2時，/(x)=24"其圖象可以看成是由y=2區(qū)的圖象向右平移1個單位得到的.

畫出函數(shù)/(χ)的圖象如圖所示.

函數(shù)g(x)=∕(x)-α有3個不同的零點，即函數(shù)/(χ)的圖象與直線N=&有三個交點.

當X=1時函數(shù)/(χ)有極小值/(1)=1,當X=3時函數(shù)/(χ)有極大值/(3)=3,

所以實數(shù)。的取值范圍為(1,3),

故選：B.

本題主要考查函數(shù)的零點問題，根據(jù)零點個數(shù)求參數(shù)的范圍，關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔題.

二、多選題(共20分，全部正確每題5分，只部分正確得2分.)

9.下列求導(dǎo)不正確的是()

A.(In7),=∣V、

B.二X

2x+1>

C?(2sinx-3y=2cosxD.(XCoSX)=Cosx-xsinx

【正確答案】AB

【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，以及導(dǎo)數(shù)的運算法則求導(dǎo)，即可得出答案.

【詳解】對于A項，(ln7)'=0,故A項錯誤；

2X(2X+1)-2X22χ2+2x≠χ,故B項錯誤;

對于B項,ι

、2x+1,(2x+l)2(2x+l)

對于C項,（2SirLr_3）=（2SinX）=2cosx>故C項正確;

對于D項,（XCoSX）=X，cosx+x（cosX）=Cosx-Xsinr，故D項正確.

故選：AB.

10.對任意實數(shù)X,有（2尤-3）9=%+6。-1）+/（尤-1）2+。3（》一以+—+。9（工一1）9?則下列結(jié)論成立

的是（）

A.au=1B.%=-144

C./+/+/+L+%=1D.4—q+ɑ2—%+.,?-09=-3^

【正確答案】BCD

【分析】由二項式定理，采用賦值法判斷選項ACD,轉(zhuǎn)化法求指定項的系數(shù)判斷選項B.

【詳解】由（2*一3）9=4+/（工一1）+。2（》-1）2+%（8-1）3+3+%（工一1）9，

當X=I時，（2-3）9=α0,α0=-l,A選項錯誤；

9

當x=2時，（4-3）=α0+?,+α2H------1-09,HPa0+ai+a2+L+α9=1,C選項正確；

當X=O時，（—3）9=4—α∣+α,—%+-----a§,即40—q+4—4+，—a。=-39>D選項正確：

99922

（2X-3）=[-1+2（X-1）],由二項式定理，?2=C^（-l）-2=-144,B選項正確.

故選：BCD

11.某企業(yè)生產(chǎn)的12個產(chǎn)品中有10個一等品、2個二等品，現(xiàn)從這批產(chǎn)品中任意抽取4個，則其中恰好有

1個二等品的概率為（）

A.l-?±≤?c0+CC°

C：2

~12

【正確答案】AD

【分析】根據(jù)超幾何分布概率公式直接求解即可.

【詳解】從12個產(chǎn)品中任意抽取4個，基本事件總數(shù)為C1個;

其中恰好有1個二等品的基本事件有C；C；0個，

CIC3

，恰好有1個二等品的概率P=-?√1

C12

/+%。

也可由對立事件計算可得

P=I-C：2

故選：AD.

12.已知函數(shù)/(x)的定義域為R,其導(dǎo)函數(shù)/'(X)的圖象如圖所示，則對于任意M，&eR(?,≠?))

B?(xι-χ2)[∕(xι)-∕(?)]>0

+/㈤

D.fX+w]J(XJ

2)2

【正確答案】AD

【分析】由導(dǎo)數(shù)的圖象，分析原函數(shù)的圖象，根據(jù)原函數(shù)圖象判斷AB選項，根據(jù)圖象的凹凸性判斷CD

選項.

【詳解】由導(dǎo)函數(shù)圖象可知，/'(x)<0,且其絕對值越來越小，

因此函數(shù)/(X)的圖象在其上任一點處的切線的斜率為負，并且從左到右，切線的傾斜角是越來越大的鈍

角，由此可得/(X)的圖象大致如圖所示.

選項A、B中，由f(x)的圖象可知其割線斜率/(XJ)恒為負數(shù),即西一馬與f(χj一/"(%)異

X1-X2

號，故A正確，B不正確；選項C、D中，/上士玉表示X=』乜對應(yīng)的函數(shù)值，即圖中點8的縱

12J2

坐標，/(XJ+/(々)表示X=須和X=/所對應(yīng)的函數(shù)值的平均值,即圖中點4的縱坐標，顯然有

f(x∣+w]</(xj+∕(x2),

?2√2

故C不正確，D正確.

故選：AD.

三、填空題(每小題5分，共20分)

13.設(shè)Iim〃2+以)_/(23)=_2,則曲線丁=/(》)在點(2,/(2))處的切線的傾斜角是

δx→0?χ

【正確答案】—

4

【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義，化簡整理，可得/'(2)=-1,根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案.

【詳解】因為Iim/—γ),1,m/(2+Ax)-∕?(2)+∕(2)-/(2…)

Δ^→O?r??→θAx

Ay

=l?m"2+)TQ)+Iim〃2Zr⑵=2八2)=-2,

?TO?r?v→o—?r

所以八2)=-1,

則曲線V=/(X)在點(2,7(2))處的切線斜率為-1,即tana=—1,

又a∈[0,不)

3TT

所以所求切線的傾斜角a為

4

,,3π

故一

4

14.55^5除以8,所得余數(shù)為.

【正確答案】7

【分析】由55=56-1,運用二項式定理，結(jié)合整除的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】依題意，

5555555453254055

55=(56-1)=Cθ556(-1)°+C'ss56(-1)'+?56(-1)+???+C^56'(-1)+C^56(-1)

因為56能被8整除，所以55、5除以8,所得的余數(shù)為.7+8=7

故7.

is.已知隨機變量X的分布列如下表：若隨機變量丫滿足y=3X-ι,則y的數(shù)學(xué)期望為

【正確答案】2

【分析】利用分布列的性質(zhì)，求得α=1,結(jié)合公式求得隨機變量X的期望，進而求得隨機變量y的期望.

6

【詳解】由分布列的性質(zhì)，可得L+L+α=l,解得α=,

326

則E(X)=OXJ+lχ,+3XL1,

326

又因為y=3x-ι,

所以E(y)=3E(X)-l=2.

故2

16.為了推動農(nóng)業(yè)高質(zhì)量發(fā)展，實施一二三五計劃，棗陽市政府將棗陽市劃分成①湖培生態(tài)農(nóng)業(yè)區(qū)，②桐

柏山生態(tài)農(nóng)業(yè)區(qū)，③數(shù)字農(nóng)業(yè)區(qū)，④生態(tài)走廊區(qū)和⑤大洪山生態(tài)農(nóng)業(yè)區(qū)五個發(fā)展板塊（如下圖），現(xiàn)用四

種顏色給各個板塊著色，要求有公共邊界的兩個板塊不能用同一種顏色，則不同的著色方法有

種.

【正確答案】72

【分析】按先后順序分別涂區(qū)域③④①②⑤，確定每個區(qū)域的涂色方法種數(shù)，結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可得

結(jié)果.

【詳解】先涂區(qū)域③，有4種選擇，接下來涂區(qū)域④，有3種選擇，

接下來涂區(qū)域①②，涂區(qū)域①有2種選擇，涂區(qū)域②有1種選擇，

最后涂區(qū)域⑤，有3種選擇，

由分步計數(shù)原理可知，不同的著色方法種數(shù)為4x3x2x1x3=72種.

故答案為.72

四、（本部分六個題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.甲、乙、丙3臺車床加工同一型號的零件，甲加工的次品率為6%,乙、丙加工的次品率均為5%,加

工出來的零件混放在一起.已知甲、乙、丙加工的零件數(shù)分別占總數(shù)的25%,30%,45%.

(1)任取一個零件，求它是次品的概率；

(2)如果取到的零件是次品，求它是丙車床加工的概率.

【正確答案】⑴0.0525

3

(2)

7

【分析】(1)利用全概率公式即可求得任取一個零件是次品的概率；

(2)利用條件概率公式即可求得如果取到的零件是次品則它是丙車床加工的概率.

【小問1詳解】

設(shè)B="任取一個零件是次品"，AW="零件為甲車床加工”，

A乙="零件為乙車床加工”，A內(nèi)="零件為丙車床加工”，

則?！?平U4乙U4丙,且4甲，4乙，力丙，兩兩互斥，

根據(jù)題意得尸(4利)=0?25,P(&)=0.3,P(4Q=0.45,

P(81%)=0?06,P⑻&)=P(81&)=0.05.

由全概率公式得

P(B)=P(褊)P(例4)+P(Z乙)P(B∣4)+P(&)(尸(例4)

=0.25X0.06+0.3×0.05+0.45X0.05=0.0525.

【小問2詳解】

由題意知“如果取到的零件是次品，它是丙車床加工的概率”

就是計算在B發(fā)生的條件下事件4內(nèi)發(fā)生的概率.

*I0、_P(4W)_P(&"B』丙)_045X0.05_3

內(nèi)P(B)P(B)0.0525

n2

18.已知/(x)=(l+2x)展開式的二項式系數(shù)和為64,且(1+2x)"=a。+a}x+a2x+???+anx".

(1)求々的值；

(2)求(l+2x)”展開式中二項式系數(shù)最大的項;

(3)求4+2%+3%+L+"%的值.

【正確答案】⑴%=60；

⑵160X3;

(3)2916.

【分析】(1)由題可得〃=6,然后根據(jù)二項展開式的通項即得：

(2)由題可知第四項的二項式系數(shù)最大，然后根據(jù)展開式的通項即得；

,25

(3)由題可得∕(x)=12(l+2x)5=q+2a2x+3aix+???+βa6x,然后利用賦值法即得.

【小問1詳解】

V(l+2x)”的展開式的所有項的二項式系數(shù)和為2"=64，

；.n=6,

故(1+2x)6展開式中第三項為：7；=C>F-2.(2χ)2=60f,

所以生=60；

【小問2詳解】

1b

V(1+2x)"=(1+2x)6=a0+axx+a2xH-----Fa6x,

.?.第四項的二項式系數(shù)最大，

n3

所以(1+2x)展開式中二項式系數(shù)最大的項7；=C：?亡3.(2x)3=160X5

【小問3詳解】

fl

因為/(x)=(l+2x)—cιn+GiX÷U-2.X^÷■??÷ct(ix>

25

.?./'(X)=I2(1+2x)、=q+2a2x+3aixH----Fβa6x,

令X=1,可得q+la2+3%H-----l-6a6=12×3^=2916.

2

19.假定某射手每次射擊命中目標的概率為;.現(xiàn)有3發(fā)子彈，該射手一旦射中目標，就停止射擊，否則就

一直獨立地射擊到子彈用完.設(shè)耗用子彈數(shù)為X.

(1)求X的概率分布；

(2)分別求均值E(X)和方差P(X).

1338

【正確答案】(1)見解析；(2)E(X)W,r(?)=-.

【分析】(1)由題意X的所有可能取值為1,2,3,分別求出相應(yīng)的概率，進而可得分布列;

(2)由題意結(jié)合均值公式、方差公式直接運算即可得解.

【詳解】(1)由題意得X的所有可能取值為1,2,3,

P(X=l)=g,P(Z=2)=(1-∣)×∣=∣,P(X=3)=(I-IJX(I-I]=：

所以X的概率分布為：

X123

22

P?

399

22113

(2)由題意均值E(X)=IX++=

方差%(X)=g1l131+∣(213I+M313

本題考查了離散型隨機變量分布列、均值及方差的求解，考查了運算求解能力，屬于中檔題.

20.給定函數(shù)/(x)=(x+l)β?

(1)判斷函數(shù)/(χ)的單調(diào)性，并求出/(X)的極值；

(2)畫出函數(shù)/5)的大致圖象；

(3)求出方程/(x)="(αeR)的解的個數(shù)

【正確答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,+8)；單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,—2),極小值,/(-2)=-二；

e

(2)答案見詳解；(3)當a<—3時，解為0個；當α=-二或α≥0時，解為1個；當—4<α<0時,

ee'e

解為2個

【分析】(1)求出導(dǎo)函數(shù)/'(x),再由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.

(2)由函數(shù)的單調(diào)性、極值即可作出圖象.

(3)利用數(shù)形結(jié)合法即可求解.

【詳解】(1)由/(x)=(x+l)e",定義域為R

f?x)=e'+(x+l)e*=(x+2)ex,

令/心)>0,即χ>-2,

令∕,(x)=0,即x=-2,

令/'(x)<0,即X<-2,

所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-2,+∞)；

單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,-2),x=-2為極小值點，

所以函數(shù)的極小值為/(-2)=-?.

(2)函數(shù)/(x)的大致圖象，如圖所示：

(3)方程解的個數(shù)等價于歹=∕(x)于V=α的交點個數(shù).

作出/(x)與N=α的圖象，

a(aeR)的解為O個;

當α=；或ɑ≥O時，方程/(x)=α(αwR)的解為1個;

當一∕<α<0時，方程/(x)=α(αwH)的解為2個；

21.已知函數(shù)/(x)=X-Hn%,g(χ)=-匕@，(αeH)

⑴若α=l,求函數(shù)/(x)的極值；

(2)設(shè)函數(shù)MX)=/(x)-g(x),求函數(shù)MX)的單調(diào)區(qū)間.

【正確答案】(1)見解析；(2)見解析.

?_1

【分析】(1)/(x)的定義域為(0,+8),當4=1時，/'(χ)=q-,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值可知/(x)

在X=I處取得極小值1.函數(shù)沒有極大值.

(2)由函數(shù)的解析式可知o(χ)=χ+匕,//(χ)=(χ+∣)[χjι+,)],分類討論可得：①當

XX

?！狄?時，MX)在(0,l+α)上單調(diào)遞減，在(l+α,+∞)上單調(diào)遞增；②當α≤-l時，函數(shù)MX)在(0,+s)

上單調(diào)遞增.

【詳解】(I)/(χ)的定義域為(0,+8),

當q=l時，f(x)^x-lnx,X)=

XX

X(0,1)1”)

/'3—0+

/(x)單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增