2023年廣東省廣州市高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷及答案解析

2023年廣東省廣州市高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題。（本大題12題，每題5分，共60分）

1.（5分）錢(qián)大姐常說(shuō)“便宜沒(méi)好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.（5分）若曲線0x2+"y2=l為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)”,〃滿足（）

?1

A.a2>b2B.-<-C.0<a<bD.0<h<a

ab

3.（5分）已知/（x）=?r3+αr2+（α+6）x+l既有極大值又有極小值，則a的取值范圍為（）

A.a<-1≡ga>2B.-3<a<6C.-l<a<2D.“<-3或4>6

4.（5分）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A,B,C,D,E五部分著色，相鄰部分不

能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則符合這些要求的不同著

色的方法共有（）

AB

CD

E

A.500種B.520種C.540種D.560種

X2V2

5.（5分）設(shè)雙曲線一7—f=1（。>0,b>0）的一條漸近線與拋物線y=f+l只有一個(gè)公

azbz

共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

5√5

A.-B.5C.—D.√5

42

6.（5分）下列語(yǔ)句不是命題的有（)

①/-3=0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？③3+1=5；（4）5χ-3>6.

A.①③④B.①②③C.①②@D.②③④

7.（5分）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到一座燈塔P的南偏西75°距塔68

海里的M處，下午2時(shí)達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這艘船航行的速度為（）

北

17√6

A.海；里/時(shí)B.34√δ海里/時(shí)

2

17√2

c?F海里/時(shí)D.34√Σ海里/時(shí)

TT

8.（5分）若函數(shù)/（x）=AX+xcosx在區(qū)間（0,—）上單調(diào)遞增,則k的最小值是（）

π

A.IB.-1D.一

CT2

9.（5分）拋擲一枚骰子，A表示事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，8表示事件：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,

則事件A與3的關(guān)系是（）

A.互斥B.相互獨(dú)立

C.既互斥又相互獨(dú)立D.既不互斥又不相互獨(dú)立

10.（5分）若橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則該橢圓的離心率是（）

1√2

A.B.一

22

√3

C.D.以上都不正確

2

11.（5分）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.回歸分析中，相關(guān)指數(shù)網(wǎng)的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小

B.若一組觀測(cè)值（xι,yι）,（孫”），…，（X/?,如）滿足》=如+。+⑹（i=l,2,,??,〃）,

若4?恒為0,則R2=1

C.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法

D.畫(huà)殘差圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定是編號(hào)

12.（5分）已知兩圓Ci：（x+4）2+y2=2,Cr.（χ-4）2+√=2,動(dòng)圓M與兩圓Ci,。2都

相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（）

22

Xyr

A.x=0B.————=I（X≥Λ∕2）

214、J

X2y2X2y2

C.---D.———=1或X=0

214214

二、填空題。（本大題4題，每題5分，共20分）

13.（5分）在aABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是mb,c,若g,b,C成等差數(shù)列，B

3

=30°,Z?ABC的面積為一,則b=

2

14.（5分）若等差數(shù)列｛如｝的圖象是平行于尤軸的直線上的均勻分布的一群孤立的點(diǎn)，則數(shù)

列｛斯｝的公差d0（填或“=

15.（5分）從0,2,3,5這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，并按從小到大的

順序把這些兩位數(shù)排列起來(lái)，則52是第個(gè)數(shù).

16.（5分）利用等式kCA=nCA=（l≤k≤n,k,n∈N*）可以化簡(jiǎn)

1?C?+2?C^21+…+?1?C^2nl=τιCn-ι+九?^n-ι21+τι?22+…+τι?271-1=

?1

n（l+2）n^1=n?3n-1.等式kC^=有幾種變式，如：工C，二：=Y；又如將〃+1

KTt

賦給〃，可得到上瑞+1=5+1）以-1,“?，類(lèi)比上述方法化簡(jiǎn)等式：

?n?I+I?n?（1）2+??n-（1）3+…+Vy?n'（1）n+1=-

三、解答題。（本大題6題，17題10分，18-22每題12分，共70分）

Cm2+2m-15

17.（10分）是否存在實(shí)數(shù)m,使復(fù)數(shù)Z=（機(jī)2-,-）（——---------）/為純虛數(shù)？若

π6+mz-4

存在，求出機(jī)的值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

18.（12分）已知（√≡+∣）”的展開(kāi)式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

（I）求該展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；

（11）求該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

19.（12分）（1）設(shè)集合A={M-2-α<x<α,?>0）,已知p：1∈Aq?.2∈A,若p,q有

且只有

一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)。取值范圍；

（2）己知p：4x+m<0,0/-χ-2>0,且P是q的充分條件，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

20.（12分）下表是關(guān)于某設(shè)備的使用年限（年）和所需要的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元）的幾組統(tǒng)

計(jì)數(shù)據(jù)：

X23456

y2.23.85.56.57.0

（1）請(qǐng)?jiān)诮o出的坐標(biāo)系中畫(huà)出上表數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;

（2）請(qǐng)根據(jù)散點(diǎn)圖，判斷y與X之間是否有較強(qiáng)線性相關(guān)性，若有求線性回歸直線方程

y=bx+a；

（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用為多少？

2

（參考數(shù)值:∑f=1xiyi=112.3xi=80）

（參考公式：小士號(hào)產(chǎn)=金答箸：α”一⑻）

21?(12分)已知/(x)是H上的單調(diào)遞增函數(shù)，且/(q)÷∕(-?)>/(-?)+/(?).求

證：a>b.

22.(12分)已知圓Ci：(x+3)2+夕=1和圓C2：(χ-3)2+√=9,動(dòng)圓/同時(shí)與圓CI及

圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.

2023年廣東省廣州市高中學(xué)業(yè)水平考試數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題。（本大題12題，每題5分，共60分）

1.（5分）錢(qián)大姐常說(shuō)“便宜沒(méi)好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【解答】解：“不便宜”不一定能得到“好貨”，

“好貨不便宜”是“便宜沒(méi)好貨”的逆否命題，

根據(jù)互為逆否命題的真假一致得到：“好貨”="不便宜”，

所以“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件，

故選：B.

2.（5分）若曲線or2+/；/=1為焦點(diǎn)在X軸上的桶圓，則實(shí)數(shù)小6滿足（）

11

A.a72>b71B.-<-C.0<a<bD.0<b<a

ab

%2y2

【解答】解：由題意，曲線αx2+勿2=1可化為丁+缶=1.

ab

?.?曲線/+W=I為焦點(diǎn)在X軸上的橢圓，

11

，—>一>0，

ab

C.b>a>G,

故選：C.

3.（5分）己知八X）=X3+αr2+（α+6）x+l既有極大值又有極小值，則”的取值范圍為（）

A.“V-1或α>2B.-3<a<6C.-?<a<2D.n<-3或α>6

【解答】解：若F（X）=x3+αx2+（α+6）x+1既有極大值又有極小值，

則（X）=3x1+2ax+（α+6）=0有兩個(gè)不等的實(shí)根

即△=（2?）2-12（α+6）>0

解得-3或a>6

故選：D.

4.（5分）如圖所示，用不同的五種顏色分別為A,B,C,D,E五部分著色，相鄰部分不

能用同一種顏色，但同一種顏色可以反復(fù)使用，也可不使用，則符合這些要求的不同著

色的方法共有（）

AB

CD

E

A.500種B.520種C.540種D.560種

【解答】解：先涂A,則A有5種涂法，再涂3,因?yàn)?與4相鄰，所以3的顏色只要

與4不同即可，有4種涂法

同理C有3種涂法，。有3種涂法，E有3種涂法

由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，符合這些要求的不同著色的方法共有為5X4X3X3X3=540

故選：C.

%2V2

5.（5分）設(shè)雙曲線直一言=1（α>0,?>0）的一條漸近線與拋物線y=∕+l只有一個(gè)公

共點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（）

5√5-

A.-B.5C.—D.√r5

42

22

【解答】解：雙曲線，一底=1（40,b>0）的一條漸近線為產(chǎn)/

_b

由方程組y=RX,消去y,

,=/+1

X2--x+1=0有唯一解，

a

所以Δ=（-）2-4=0,

a

所以T=2,e=W=6^=Jl+02=底

故選：D.

6.（5分）下列語(yǔ)句不是命題的有（）

①/-3=0；②與一條直線相交的兩直線平行嗎？③3+1=5；④5χ-3>6.

A.①③④B.①②③C.①②@D.②③④

【解答】解：①？-3=0,無(wú)法判斷真假，故①不是命題；

②由命題的概念知，命題不能是疑問(wèn)句，故②不是命題；

③3+1=5,這個(gè)語(yǔ)句不成立，因?yàn)檫@個(gè)語(yǔ)句能判斷真假，故③是命題；

④5χ-3>6,無(wú)法判斷真假，故④不是命題.

故選：C.

7.（5分）如圖，一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到一座燈塔P的南偏西75°距塔68

海里的M處，下午2時(shí)達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這艘船航行的速度為（）

C.-------海里/時(shí)D.34√Σ海里/時(shí)

2

【解答】解：由題意知NMPN=750+45o=120o,NPNM=45；

√3_

在aPMN中，由正弦定理，得MN=68x??=34遙.

√2

?

又由M到N所用時(shí)間為14-10=4（小時(shí)），

...船的航行速度V=學(xué)=苧（海里/時(shí)）；

故選：A.

8.（5分）若函數(shù)fG）=Ax+xcosx在區(qū)間（0,一）上單調(diào)遞增，則k的最小值是（

2

π

A.1B.-1C」D.一

J22

π

【解答】解：f’(x)=4+CoSX-XSinJGxE(0,一),

2

令，（X）>0,得：女>xsirtv-COSX,

π

令g（X）=xsinx-cosx,xE（0,—）,

.?.g'（X）=2sinx+xcosx>0,

Tr

：.g（x）在（0,一）單調(diào)遞增，

2

πT1

:Bg（-）=2?

故選：D.

9.（5分）拋擲一枚骰子，A表示事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，8表示事件：”出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”,

則事件A與8的關(guān)系是（）

A.互斥B.相互獨(dú)立

C.既互斥又相互獨(dú)立D.既不互斥又不相互獨(dú)立

【解答】解：因?yàn)閽仈S一枚骰子，A表示事件：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，8表示事件：“出現(xiàn)3點(diǎn)

或6點(diǎn)”，

當(dāng)出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)是“6"時(shí)，A與B能同時(shí)發(fā)生，故A與8不互斥，

又事件A={2,4,6},事件B={3,6},A∩B={6},則P（A）=∣,P（B）=∣,P（AB）

則事件A與8是相互獨(dú)立事件，

故選:B.

10.（5分）若橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，則該橢圓的離心率是（）

1√2

A.-B.一

22

√3

C.—D.以上都不正確

2

【解答】解：根據(jù)題意，如圖所示，橢圓的一個(gè)短軸端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成正三角形，

即AAQ乃是等邊三角形，

分析可得AFl=α=2c,

則橢圓的離心率e=^=?,

故選：A.

II.（5分）下列說(shuō)法不正確的是（）

A.回歸分析中，相關(guān)指數(shù)W的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小

B.若一組觀測(cè)值（亢1，yι）,（X2>”），…，（X%）滿足%=如+α+ej（i=l,2,…,n）9

若4?恒為0,則W=I

C.回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法

D.畫(huà)殘差圖時(shí)，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)一定是編號(hào)

【解答】解：A,回歸分析中，相關(guān)指數(shù)R2的值越大，說(shuō)明殘差平方和越小，正確；

B,一組觀測(cè)值（xι,yι）,（X2，”），…，（XrI，y∏）滿足y=bx汁α+e,?（i=l,2,???,n）,

若0恒為0,則#=1,正確.

C,回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法，正確；

D,畫(huà)殘差圖時(shí)?，縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)不一定是編號(hào)，故。錯(cuò)誤，

故選：D.

2

12.（5分）已知兩圓Ci：（x+4）2+/=2,c2:（x-4）+√=2,動(dòng)圓M與兩圓Ci,。2都

相切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是（）

X2y2I-

A.x=0B.-=IQ≥√2）

214、7

χ2y2χ2y2

C.---=1D.——一一=1/=0

214214

【解答】解：由題意，①若兩定圓與動(dòng)圓相外切或都內(nèi)切，即兩圓Ci：（Λ-+4）2+y2=2,

2

C2:（χ-4）+√=2,動(dòng)圓M與兩圓Cι,C2都相切，

Λ∣MC∣∣=∣MC2∣,即M點(diǎn)在線段G，C2的垂直平分線上

又Ci,C2的坐標(biāo)分別為（-4,0）與（4,0）

其垂直平分線為y軸，

動(dòng)圓圓心M的軌跡方程是x=0

②若一內(nèi)切一外切，不妨令與圓C∣:（X+4）2+y2=2內(nèi)切，與圓C2：（χ-4）2+）2=2外

切，則有用到（4,0）的距離減到（-4,0）的距離的差是2近，由雙曲線的定義知，

點(diǎn)M的軌跡是以（-4,0）與（4,0）為焦點(diǎn)，以魚(yú)為實(shí)半軸長(zhǎng)的雙曲線，故可得b2

22

22

=c-a=14f故此雙曲線的方程為一一二=1

214

X2y2

綜①②知，動(dòng)圓M的軌跡方程為一--=l^x=0

214

應(yīng)選D.

二、填空題。（本大題4題，每題5分，共20分）

13.（5分）在AABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別是4,b,c,若α,b,C成等差數(shù)列，B

3L

=30°,ZiABC的面積為一，則b=√3+l.

2——

【解答】解：?.?”,b,C成等差數(shù)列

?*?2b=4+c（J）

3

又?.?"C的面積為5

Λ-acsinB=√2）

??ac=6

又???c°sB=的薩=空③

Λ由?@③知"）2-2αc*=3^-12=√3

2ac122

：.b2=4+2√3=（√3+I）2

又?”>0

b=√3+1

故答案為：√3+l

14.（5分）若等差數(shù)列｛斯｝的圖象是平行于X軸的直線上的均勻分布的一群孤立的點(diǎn)，則數(shù)

列1即1的公差〃=0（填或“=

【解答】解：根據(jù)題意，等差數(shù)列｛斯｝的圖象是平行于X軸的直線上的均勻分布的一群

孤立的點(diǎn)，

則該等差數(shù)列為常數(shù)列，故數(shù)列｛即｝的公差d=0,

故答案為：0.

15.（5分）從0,2,3,5這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，并按從小到大的

順序把這些兩位數(shù)排列起來(lái)，則52是第8個(gè)數(shù).

【解答】解：從0,2,3,5這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，并按從小到

大的順序把這些兩位數(shù)排列起來(lái)，

①當(dāng)十位上的數(shù)字為2時(shí)，兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為3,

②當(dāng)十位上的數(shù)字為3時(shí)，兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為3,

③當(dāng)十位上的數(shù)字為5時(shí)，兩位數(shù)的個(gè)數(shù)為3,

即從0,2,3,5這4個(gè)數(shù)字中選出2個(gè)不同的數(shù)字組成兩位數(shù)，并按從小到大的順序把

這些兩位數(shù)排列起來(lái)，共有9個(gè)數(shù)，

又53是其中最大的數(shù)，

則52是第8個(gè)數(shù)，

故答案為：8.

16.（5分）利用等式人第=n瑞二≤k≤n,k,neN*）可以化簡(jiǎn)

n112n1

1?禺+2?CQl+???+n?C^2-=nC°-1+n-C^12+n-C^2+???+n?C^2-=

??

n(l+2)n-1=n?3n~1.等式ACA=TICA二;有幾種變式，如：工。￡二；=一。：；又如將〃+1

KTl

賦給〃，可得到"5+1=(n+I)CtT,…，類(lèi)比上述方法化簡(jiǎn)等式：

c°?l+lcn?φ2+lcn?φ3+?→?cn??n+1=-?[?)n+1-?--

【解答】解：峰?扛加?鼾+匏?鼾+…+擊制.(扔+】

=?("+1)×Cθ×∣+∣(n+l)c?×(∣)2+∣(M+1)鬣X鼾+…+制X4產(chǎn)]

n+1

=系[盤(pán)+1×∣+‰X鼾+CMIX(1)3+...+C需X(∣)]

=各(l+>+j]

=?(∣)"+Jι?

-16

故答案為：——[(-)n+'-1].

n÷l5

三、解答題。(本大題6題，17題10分，18?22每題12分，共70分)

17.(10分)是否存在實(shí)數(shù)如使復(fù)數(shù)Z=("/_〃?一6)÷(――y——)i為純虛數(shù)？若

mz-4

存在，求出相的值，否則，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解答】解：假設(shè)存在實(shí)數(shù)機(jī)使Z是純虛數(shù)，則

m2—m—6=0

m2+2m—15≠0，

m2—4≠0

由根2--6=0,解得m=-2或m=3.

當(dāng)m=-2時(shí)，/?/2-4m=O,

當(dāng)m=3時(shí),τn2+2τn-15=0,

故不存在實(shí)數(shù)m使Z是純虛數(shù).

18.(12分)已知(近+負(fù))〃的展開(kāi)式中，只有第六項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.

(I)求該展開(kāi)式中所有有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)；

(H)求該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng).

n

【解答】解：(I)由題意可知一+1=6,解得〃=I0,

10-r10-5r

r2rr--

Λ7V+ι=Cf0X22x^=Cf02x2,(0≤r≤10,且廠∈N),

要求該展開(kāi)式中的有理項(xiàng)，只需令一^―ez,

Λr=O,2,4,6,8,10,...有理項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)為6項(xiàng);

（∏）設(shè)第Tki項(xiàng)的系數(shù)最大,

or、rr-l?r-l

(GprZGLr211-r

則I10—10即

r1r+1

{C[02≥C^2

解不等式可得可≤r≤y

7z

,展開(kāi)式中的系數(shù)最大的項(xiàng)為7?=C∕02%^=15360尤竽

19.（12分）（1）設(shè)集合A={x∣-2-a<x<n,α>0},已知/IeAq：2∈A.若p,q有

且只有

一個(gè)成立，求實(shí)數(shù)。取值范圍；

（2）已知p：4x+∕π<0,q：Λ2-JC-2>0,且P是q的充分條件，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

【解答】解：（1）解p,q有且只有一個(gè)成立

.?.當(dāng)P真4假時(shí)有［:,ɑvivɑ,故i<αW2

當(dāng)P假4真時(shí)有（_2_αyVa，故花。

綜上：l<α≤2;

（2）由/-X-2>0,得x>2或x<-l,

令A(yù)={x∣x>2或x<-1}；由4X+ZM<0,得XV一空

令8={4rV一空}.因?yàn)?是q的充分條件，所以BSA,

于是一半≤T,得后