安徽六安市某中學(xué)2023年高二數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測模擬試題（含解析）

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。

2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。

3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。

4.保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知函數(shù)“X)=a?2、-1與函數(shù)g(x)=Y+改2+eR),下列選項中不可能是函數(shù)/(x)與g(x)圖象的是(

)

2.用數(shù)學(xué)歸納法證明"423+3N(〃€%*)能被13整除”的第二步中，當(dāng)〃=左+1時為了使用歸納假設(shè)，對

42=+3?2變形正確的是()

A.16(4"T+3*-13x311B.4x4?*+9x3&

C.+3印)+15x42J+2xD.3(421+3i)-13x421

3.某學(xué)校為了了解本校學(xué)生的上學(xué)方式,在全校范圍內(nèi)隨機(jī)抽查部分學(xué)生，了解到上學(xué)方式主要有：A——結(jié)伴步

行，B自行乘車，C---家人接送,D一一其他方式，并將收集的數(shù)據(jù)整理繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖.

L7AAJSVU.ilHI7"lJ7力，CM寶"Hi”

根據(jù)圖中信息，求得本次抽查的學(xué)生中A類人數(shù)是()

A.30B.40C.42D.48

4.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且函數(shù)y=/(2x)+3sinx的圖象關(guān)于)，軸對稱，函數(shù)y=/(2x)+3cosx的圖象關(guān)

于原點(diǎn)對稱，則=()

K3-373C3+3。D-3+36

A..2Jt>.-------------------------

22'.2,2

5.i是虛數(shù)單位，若集合S={-l,O,l},則

A.ie5B.Z2eSC.z3eSD.-&S

6.從1,2,3,4,5,6,7,8,9中不放回地依次取2個數(shù),事件A為“第一次取到的是奇數(shù)”，B為“第二次取到的

是3的整數(shù)倍“，則P(B|A)=(

313133

A.B.—D.-

840454

2v+l,x<0

1

7.已知函數(shù)/(%)=，且/m——=0,則不等式/(x)〉m的解集為()

<log1x,x>02

、、2

A.B.C.3企〕D.(-l,+oo)

。當(dāng)7用

甲、乙兩支球隊進(jìn)行比賽，預(yù)定先勝3局者獲得比賽的勝利，比賽隨即結(jié)束.結(jié)束除第五局甲隊獲勝的概率是,外,

8.

2

2

其余每局比賽甲隊獲勝的概率都是假設(shè)各局比賽結(jié)果相互獨(dú)立.則甲隊以3：2獲得比賽勝利的概率為()

24816

A.—B.——C.—D.—

81272781

9.拋物線丁=4元的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)A(5,3),P為拋物線上一點(diǎn)，且P不在直線A尸上，則△陽周長的最小值為

A.6B.8C.11D.13

林N,則￡c：；C=（）

10.若04ksmWn,且加，小

?=0

C.2〃C：D.2'〃C；

11.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,/)且尸(X<4)=0.88,則尸(0<X<4)=()

A.0.88B.0.760.24D.0.12

12.設(shè)命題P：3x0G7?,2%<1，則力為(）

Ab

HTOER，2>13x0G/?,23>1

C.X/xeR,2V<1VxcH,2A>1

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知函數(shù)y=/(x)是R上奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時/(力=崛2%，貝(1〃-2)=

「、111

14.已知s"為數(shù)列｛a.｝的前〃項和，若4=2且S“+1=2Sn,設(shè)b“=log/z?,則――+――++-j--一的值是

402々2^2017^2018

15.關(guān)于x的方程a：=G：的解為

16.若正方體的表面積為6,則它的外接球的表面積為.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知（l+2x）2"=%+%%+“2/+?一+。2/2"

(1)求。()+2+%----h。2n的值;

(2)當(dāng)〃=5時，求a式女=0,1,2,…,2〃)的最大值.

18.(12分)已知曲線。的極坐標(biāo)方程是22=4夕cosB+6夕sin。-12,以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為工軸的正半軸建立平

x=2--t

1（f為參數(shù)）.

面直角坐標(biāo)系，直線/的參數(shù)方程為

y=ld1

-2

(1)寫出直線/的一般方程與曲線。的直角坐標(biāo)方程，并判斷它們的位置關(guān)系;

X=x,

(2)將曲線。向左平移2個單位長度，向上平移3個單位長度，得到曲線O,設(shè)曲線。經(jīng)過伸縮變換J'=2y得到

曲線E，設(shè)曲線E上任一點(diǎn)為M(x,y),求的取值范圍.

19.（12分）梯形ABC。中，AB//CD,矩形MED所在平面與平面ABC。垂直，且AZ）===G,

2

BE=2.

（1）求證：平面4DE_L平面8的）；

（2）若尸為線段E尸上一點(diǎn)，且異面直線AP與B廠所成角為45。，求平面ABP與平面COP所成銳角的余弦值.

20.（12分）某地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：

年份2011201220132014201520162017

年份代號*1234567

人均純收入y（千元）2.93.33.64.44.85.25.9

（I）求，關(guān)于x的線性回歸方程；

（H）利用（I）中所求的線性回歸方程，分析該地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測

該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入.

￡（玉-?。ǎ?9）

參考公式：2二上一------------,a=y-bx

/=|

21.（12分）《九章算術(shù)》中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個面都為直角三角

形的四面體稱之為鱉膈.首屆中國國際進(jìn)口博覽會的某展館棚頂一角的鋼結(jié)構(gòu)可以抽象為空間圖形陽馬.如圖所示，

在陽馬P—ABC。中，底面ABCD.

（1）若AD=CD=4w,斜梁PB與底面ABC。所成角為15°,求立柱PD的長（精確到0.0%）；

（2）證明：四面體PDBC為鱉膈；

(3)若PD=2,8=2,BC=\,E為線段P8上一個動點(diǎn)，求,EC。面積的最小值.

22.(10分)已知函數(shù)f(x)=xln(x+，〃)的圖象過點(diǎn)(1,0).

(1)求/(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間；

⑵求/(x)在［t,t+2］。＞0)上的最小值.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、D

【解析】

對。進(jìn)行分類討論，分別作出兩個函數(shù)圖象，對照選項中的圖象，利用排除法，可得結(jié)果.

【詳解】

”=0時，函數(shù)/(x)與g(x)圖象為：

故排除A;

,g'(x)=3x2+2ax,令g〈x)=0,則工=0或*=-"

當(dāng)”0時，0為函數(shù)g(x)的極大值點(diǎn)，“X)遞減，

函數(shù)/(%)與g(x)圖象為：

故排除c；

當(dāng)a>0時，0為函數(shù)g(x)的極小值點(diǎn)，“X)遞增,

函數(shù)"切與g(x)圖象為:

本題考查的知識點(diǎn)是三次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分類討論思想，難度中檔.函數(shù)圖象的辨識可

從以下方面入手：

(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.

(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢；

(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性；

(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.

2、A

【解析】

試題分析：假設(shè)當(dāng)，：「時，3?能被13整除，當(dāng)，：=1t-1時「3-應(yīng)化成4；"?形式，所以答案

為A

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

3、A

【解析】

根據(jù)所給的圖形，計算出總?cè)藬?shù)，即可得到4的人數(shù).

【詳解】

|Q

解：根據(jù)選擇。方式的有18人，所占比例為15%,得總?cè)藬?shù)為「1=120人，

15%

故選擇A方式的人數(shù)為120-42-30-18=30人.

故選A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了條形圖和餅圖的識圖能力，考查分析問題解決問題的能力.

4、A

【解析】

分析：根據(jù)奇函數(shù)與偶函數(shù)的定義，可求得函數(shù)的解析式；根據(jù)解析式確定，/￡的值。

詳解：令〃(x)=/(2x)+3sinx,g(x)=/(2x)+3cosx

則h(-x)=/(-2A:)-3sin尤，因?yàn)閔(x)為偶函數(shù)

所以〃(x)=/(-2x)-3sinx(1)

g(-x)=/(-2x)+3cosx,因?yàn)間(x)為奇函數(shù)

所以-g(x)=/(-2x)+3cosx(2)

(1)-(2)得

/z(x)+^(x)=-3sinx-3cosx(3),令尤=一元代入得

7z(x)-^(x)=3sinx-3cosx(4)

7z(x)=-3cosx

由(3)、(4)聯(lián)立得《

g(x)=-3sinx

代入〃(x)=/(2x)+3sinx得/(2x)=-3sinx-3cosx

xX

所以/(x)=-3sin-3cos-

所以/(三)=—3sin工—3cos工=—3+36

3662

所以選A

點(diǎn)睛：本題考查了抽象函數(shù)解析式的求解，主要是利用方程組思想確定解析式。方法相對比較固定，需要掌握特定的

技巧，屬于中檔題。

5、B

【解析】

2

試題分析：由，二一1可得，『wS，尸=—，e5，_=-2i史S.

i

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)的計算，元素與集合的關(guān)系.

6、B

【解析】

由條件概率的定義P(B|A)=尸(￡￥),分別計算P(AC|B),P(A)即得解.

【詳解】

由題意P(4)=*

9

事件A「B為"第一次取到的是奇數(shù)且第二次取到的是3的整數(shù)倍”：若第一次取到的為3或9,第二次有2種情況;

若第一次取到的為1,5,7,第二次有3種情況，故共有2x2+3x3=13個事件

p(A13

由條件概率的定義：

P(A)40

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題考查了條件概率的計算，考查了學(xué)生概念理解，分類討論，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.

7、C

【解析】

由./1(，〃-g)=0,可分別考慮分段函數(shù)的每一段取值為。的情況，即可求解出，〃的值；然后再分別利用每一段函數(shù)去

考慮/(X)〉m的情況.

【詳解】

2'+l,x<0

函數(shù)/(%)=<logix,x〉0，可知x40時，

、2

所以加一1>0,可得Iog|機(jī)一〈=0解得機(jī)==.

2八2J2

3

不等式/(x)〉m即不等式/(%)>-,

-x<0[x>0

可得：L,3或4、3,

2'+l>-log,x>-

2152

解得：XG(-1,01^.re0,一，即xe-1,一

\47\4/

故選：C.

【點(diǎn)睛】

利用分段函數(shù)求解參數(shù)取值時，需要對分段函數(shù)的每一段都進(jìn)行考慮;并且在考慮每一段分段函數(shù)的時候，注意定義

域.

8、B

【解析】

若是3:2獲勝，那么第五局甲勝，前四局2:2,所以概率為P=,故選B.

2⑶⑶27

9、C

【解析】

求AMAF周長的最小值，即求|MA|+|MF|的最小值，設(shè)點(diǎn)M在準(zhǔn)線上的射影為D,

根據(jù)拋物線的定義，可知|MF|=|MD|,

因此，|MA|+|MF|的最小值，即|MA|+|MD|的最小值.

根據(jù)平面幾何知識，可得當(dāng)D,M,A三點(diǎn)共線時|MA|+|MD|最小，

因此最小值為XA-(-1)=5+1=6,

V|AF|=’(5-1)2+(3-0)2=5,

...△MAF周長的最小值為11,

故答案為：C.

10、D

【解析】

根據(jù)已知條件，運(yùn)用組合數(shù)的階乘可得：CM"C=c：'c3再由二項式系數(shù)的性質(zhì)，可得所要求的和.

【詳解】

「;n-m「k（_〃__一__A\）!J______n\_n\

A:）!女!,（〃_4）?。āㄒ桓??（/%_Q!?Z!

n\

則￡CMC=￡c;c：=c；".（C+c；+…+c,：）=2"q

hOA=0

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了組合數(shù)的計算以及二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于一般題.

11、B

【解析】

正態(tài)曲線關(guān)于X="對稱，利用已知條件轉(zhuǎn)化求解概率即可.

【詳解】

因?yàn)殡S機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,b2),〃=2,得對稱軸是X=2,P(X<4)=0.88,

P(X>4)=P(X<0)=1-0.88=0.12,

尸(0<X<4)=1-2P(X24)=1-0.24=0.76,故選B.

【點(diǎn)睛】

本題在充分理解正態(tài)分布的基礎(chǔ)上，充分利用正態(tài)分布的對稱性解題，是一道基礎(chǔ)題.

12、D

【解析】

分析：直接利用特稱命題的否定解答.

詳解：由特稱命題的否定得Y為：VxeR,2*>1，故答案為：D.

點(diǎn)睛：(1)本題主要考查特稱命題的否定，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平.(2)特稱命題。與犬€例,〃(幻，特稱命

題的否定T7：

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-1

【解析】

分析:先求/(2),再根據(jù)奇函數(shù)得了(-2).

詳解:因?yàn)椤?)=log22=l,因?yàn)楹瘮?shù)y=/(x)是R上奇函數(shù)，所以〃-2)=-%()

點(diǎn)睛:己知函數(shù)的奇偶性求函數(shù)值或解析式，首先抓住奇偶性討論函數(shù)在各個區(qū)間上的解析式，或充分利用奇偶性得

出關(guān)于/(X)的方程，從而可得fM的值或解析式.

4033

14、-----

2017

【解析】

根據(jù)｛S,,｝是等比數(shù)列得出S“=2",利用數(shù)列項與和的關(guān)系，求得見,從而得出打，利用裂項相消法求出答案.

【詳解】

由2用=25,可知，數(shù)列⑸｝是首項為E=q=2,公比為2的等比數(shù)列,

所以S,=2".

時，,,H|n1

a?=S?-S?,l=2-2-=2-.

1,n-1

2=log2?！?'

n-l,n>2

1111

“22時，TT-=77T~=■

"be(〃-1)〃n-\n

----1-----1-???d--------=1+1---1------FH-------------2-------——-----

她2b2b34017%）182232016201720172017

【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)數(shù)列的問題，涉及到的知識點(diǎn)有等比數(shù)列通項公式，數(shù)列項與和的關(guān)系，裂項相消法求和，屬于簡

單題目.

15、0或2或4

【解析】

因?yàn)樗裕?工=/或2》+丁=24,解方程可得.

【詳解】

解：因?yàn)?/p>

所以：2x=x?或2x+x?=24,

解得：x=0,x=2,x=4,x=-6（舍）

故答案為：（）或2或4

【點(diǎn)睛】

本題考查了組合及組合數(shù)公式.屬于基礎(chǔ)題.

16、3萬

【解析】

由正方體的外接球的直徑與正方體的棱長之間的關(guān)系求解.

【詳解】

由已知得正方體的棱長為1,

又因?yàn)檎襟w的外接球的直徑等于正方體的體對角線的長,

所以正方體的外接球的半徑R=1V12+12+12=—，

22

所以外接球的表面積S=4乃R2=4乃=37，

故得解.

【點(diǎn)睛】

本題考查正方體的外接球，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

9"+1

17、(1)(2)15360

2

【解析】

分析：(1)分別令X=l,X--1,兩式相加可得4+。2+。4-1---的值;

*外，肌。+解

設(shè)處最大，則有，

a心？2y°T解'

U2%

詳解:

(1)令x=l可得，(1+2)一"=a。+q+生++4“=9”，

令x=T可得,(1-2廠=4-4+4—+%“=(-])-"=]，

兩式相加可得:2(4+出++a?”)=9"+1,

9"+1

所以4+a,++出”=(—

rr

(2)因?yàn)?=C；o(2x)'=2Cwx,所以4=2*(J：。，

*磯，肌嚴(yán)產(chǎn):竄，解得之心多

設(shè)《最大，則有＜

q—^k-\2yoz2卜?33

因?yàn)椤?。1,2,,2〃，所以攵=7,

此時見的最大值為27C%=15360.

點(diǎn)睛：本題主要考查二項式定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

18、(1)y/3x+y-2y/3-l=0；(x-2)2+(y-3)2=1；直線/和曲線C相切.

⑵[-2,2].

【解析】

(I)直線/的一般方程為氐+y-26-1=0,

70

曲線C的直角坐標(biāo)方程為(X-2)~+(.3)~=1.

|2^+3-2^-1|

因?yàn)?1

所以直線/和曲線C相切.

(II)曲線。為V+y2=L

x'-x,

曲線。經(jīng)過伸縮變換｛,c

y=2〉,

2

得到曲線E的方程為/+匕=1,

4

x=cosO,

則點(diǎn)”的參數(shù)方程為1=25〃冶為參數(shù))'

所以+=Gcos6+sine=2sin(6+?],

3

所以屈+gy的取值范圍為[-2,2].

19、(1)證明見解析；(2)拽5.

85

【解析】

(1)由題意證出4)，80,先利用面面垂直的性質(zhì)定理，證出AOL平面8/旬，再利用面面垂直的判定定理即可

證出.

(2)以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積求出點(diǎn)p坐標(biāo)，再求

出平面ABP的法向量，平面CDP的法向量，根據(jù)向量的數(shù)量積即可求解.

【詳解】

(1)證明：作AB中點(diǎn)M,

:.四邊形BCDM為菱形，:.CM上BD,

又DCUAM且DC=AM,AD//CM,:.AD±BD

又平面ABCD_L平面3阻)，且交于80，AOu平面ADE,

.?.AD_L平面MED,

二平面J_平面BFED

(2)如圖建系，則有A(百,0,0),8(0,3,0),/(0,3,3)

設(shè)P(0,〃z,2),(；7?>0),AP^(-s/3,m,2),=(0,0,2),

/“i八APBF4x/2

3/網(wǎng)=布=赤即P(°J2)

U勺?AB--6工\+3y=0

設(shè)平面ABP的法向量為馬=（5,加4）A3=(-點(diǎn)3,0),BP=(0,—2,2)

%-BP=-2y+2Z]=0

令>i=L則4=1,=(G1,1)

n2-AB--V3X2+3y2—0

設(shè)平面COP的法向量為%=（9，%，Z2），CDHAB＞。尸=（0,1,2）v

n2-DP=y2+2Z2-0

令％=2,則%=2百，&=-1,.=(26,2,-1)

6+2-1_7屈

cos0=|cos<4,

%>1=甚后一85

【點(diǎn)睛】

本題考查了面面垂直的判定定理、性質(zhì)定理、空間向量法求異面直線所成角以及面面角，考查了學(xué)生的邏輯推理能力,

屬于基礎(chǔ)題.

20、(I)y=0.5x+2.3；(II)6.3千元.

【解析】

(I)由表中數(shù)據(jù)計算元、歹，求出回歸系數(shù)，寫出回歸方程；(II)由6=0.5>()知y關(guān)于x正相關(guān)，求出x=8時)，的

值即可.

【詳解】

(I)由表中數(shù)據(jù)知，亍=,(1+2+3+4+5+6+7)=4,

7

歹=；(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3,

,/：_(-3)x(-1.4)+(-2)x(-l)+(-l)x(-0.7)+0x0.1+lx0.5+2x0.9+3xl.6_

9+4+1+0+1+4+9

:.a=y-bx=4.3-0.5x4=2.3，

)'關(guān)于x的線性回歸方程為$=0.5x+2.3；

(II)由(I)可知，］>0,

故該地區(qū)2011年至2017年農(nóng)村居民家庭人均純收入在逐年增加，平均每年增加0.5千元，

當(dāng)x=8時，5,—0.5x8+2.3=6.3,

預(yù)測該地區(qū)2018年農(nóng)村居民家庭人均純收入為6.3千元.

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性回歸方程的求法與應(yīng)用問題，考查計算能力，是基礎(chǔ)題.

21、(1)1.52m；(2)詳見解析；(3)里.

5

【解析】

(1)推導(dǎo)出側(cè)棱在平面ABC。上的射影是從而ZPBD是側(cè)棱尸3與平面ABCD所成角，NPBD=15。,

從而求得立柱PD的長.

(2)四邊形ABCO是長方形，從而ABC。是直角三角形，由此得出從而三角形

PDB是直角三角形，由平面POC,得APBC是直角三角形，由此能證明四面體PDBC為鱉膀.

(3)利用轉(zhuǎn)化法求出異面直線CO與月5的距離，即可求得三角形ECD面積的最小值.

【詳解】

(1)因?yàn)閭?cè)棱平面ABCD，所以側(cè)棱P6在底面ABC。上的射影是DB,所以NP3O是側(cè)棱P5與平面ABCD

___________pnPD

所成角，所以NP5O=15°,在RAP8O中，DB=dAlf+CD?=40，所以tan/P3Z)=茄，即tanl5萬，

1一心

tan15=tan(45-30)=1ali45-tan30=_*=上嗎所以

171+tan45tan3063+百

1d---

3

P￡)=tanl5x4^2=-^x472*1.52m.

3+V3

(2)證明：由題意知四邊形ABC。是長方形，所以三角形BCD是直角三角形.

由于PO_L平面A8CO,所以PD工DC,PD上DB,PB上BC,所以三角形PDC和三角