2022年初升高暑期數(shù)學(xué)銜接講義（第2套）匯總

第1講集合的概念

一、集合的有關(guān)概念

1.集合的概念：一般地，我們把研究對(duì)象統(tǒng)稱為元素,一些元素組成的總體叫集合,簡(jiǎn)稱

集.

2.表示方法：一般用大寫字母A民C…或大括號(hào)｛｝表示集合，用小寫字母c?…表

示集合中的元素.

3.集合相等：構(gòu)成兩個(gè)集合的元素完全一樣.

4.集合元素的特性：確定性、互異性、無序性.

①確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在或不在這個(gè)集合就確定了.

例如：“1~10之間的偶數(shù)”構(gòu)成集合，2,4,6,8,10是這個(gè)集合的元素，而1,3,5,7,9就不

是它的元素；“較大的數(shù)”、“漂亮的花”不能構(gòu)成集合，因?yàn)榻M成它的元素是不確定的.

②互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重復(fù)出現(xiàn).

例如：方程(X-I)2=0的解構(gòu)成的集合是｛1｝,而不是｛1』｝.

③無序性：集合中的元素沒有固定的順序，元素可以任意排列.

例如：｛1,2｝和｛2,1｝是同一個(gè)集合.

5.元素與集合的關(guān)系：(分“屬于e”與“不屬于住”兩種)

①如果”是集合A的元素，就說。屬于集合A,記作“eA；

②如果“不是集合A的元素，就說“不屬于集合力，記作。任A.

.有限集：含有有限個(gè)元素的集合

6.集合的分類無限集:含有無限個(gè)元素的集合

空集：不含有任何元素的集合0

7.常見數(shù)集的寫法

數(shù)集自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號(hào)NM或N*ZQR

例1.下列指定的對(duì)象能構(gòu)成集合的是.

①大于2的整數(shù)；②所有的正小數(shù)；③所有的小正數(shù)；④》的近似值；⑤高一年級(jí)優(yōu)

秀的學(xué)生；⑥方程Y+ι=o的解；⑦1,-∣,U,0.5這6個(gè)數(shù)；

例2.用“e”或“任”填空.

①0___N；②支___Q；③;___Q；④-1.2Z；

⑤6—R-,⑥-3_Z；⑦"_N+；⑧_3_N*.

例3.(1)已知l,x,f三個(gè)實(shí)數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合，求X應(yīng)該滿足的條件.

(2)已知集合產(chǎn)的元素為1,肛1-初-3,若2GP且-IeP,求實(shí)數(shù)，"的值.

二'集合的表示

1.列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，并用大括號(hào)“{}”括起來表示集合的方法.

說明：

①書寫時(shí)，元素與元素之間用逗號(hào)分開；

②一般不必考慮元素之間的順序；

③集合中的元素可以是數(shù)，點(diǎn)，代數(shù)式等；

④列舉法可表示有限集，也可以表示無限集.當(dāng)元素個(gè)數(shù)比較少時(shí)用列舉法比較簡(jiǎn)單；

若集合中的元素較多或無限，但出現(xiàn)一定的規(guī)律性，在不發(fā)生誤解的情況下，也可以用列舉

法表J

⑤對(duì)于含有較多元素的集合，用列舉法表示時(shí)，必須把元素間的規(guī)律顯示清楚后方能用

省略號(hào)，像自然數(shù)集N用列舉法表示為{1,2,3,4,5,…}.

例4.用列舉法表示下列集合：

①小于4的正偶數(shù)組成的集合；

②絕對(duì)值小于5的所有整數(shù)的集合;

③小于6的所有自然數(shù)的集合；

④方程Y+χ=O的所有實(shí)數(shù)根組成的集合;

⑤方程組L[x=92的實(shí)數(shù)解組成的集合.

2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法,稱為描述法.

一般格式：｛x"∣p(x)｝,例如：｛%∣2x-3>θ｝,｛(x,γ)∣y=x2+l｝.

說明：①弄清集合代表元素是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合或其他形式？

例如：｛(x,y)|卜=丁+3犬+2｝與｛布=產(chǎn)+3"2｝是兩個(gè)不同的集合.

②只要不引起誤解，集合的代表元素也可省略，例如：｛整數(shù)｝即代表整數(shù)集Z?

例5.用描述法表示下列集合：

①由大于2小于等于26的所有奇數(shù)組成的集合；

②不等式2x-l>0的所有解組成的集合；

③拋物線y=Y上的點(diǎn)組成的集合.

例6.設(shè)集合A={l,x,r-x},β={l,2,x},且A=B,求X的值.

例7.已知P={x∣2<x≤Z,xeN},若集合P中恰有4個(gè)元素，則()

A.6<Λ<7B.6≤k<rlC.5<k<6D.5≤Z<6

例8.已知集合A=k∣0χ2—3x+2=0,α∈R}.

(1)若A=0,求。的取值范圍；

(2)若A中至多一個(gè)元素，求。的取值范圍.

例9.設(shè)實(shí)數(shù)集S滿足下面兩個(gè)條件：①IeS;②若αeS,則J-W5.

l-a

(1)求證：若α∈S,則I-LeS；

a

(2)若2eS,則在S中必含有其它兩個(gè)數(shù)，試求出這兩個(gè)數(shù)；

(3)求證：集合S中至少有三個(gè)不同的元素.

跟蹤訓(xùn)練

1.下列說法正確的個(gè)數(shù)為()

①集合｛1,3,5,7｝與集合(20,√9,7,∣-5∣)表示同一集合；②集合｛χ?y=χ-?｝與集合｛y∣y=χ-1｝

不是同一集合；③集合｛y∣y=fτ｝與集合｛(χ,y)∣y=∕-ι｝是同一個(gè)集合；④集合｛2,3｝和

集合｛3,2｝是同一集合；⑤集合｛(2,3)｝和集合｛(3,2)｝是同一集合；⑥方程χ2-5x-6=0的

解集為｛(6,T)｝.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

2.用列舉法表示下列集合：

①｛x∣y^eZ,XeN｝；

②舟ZXeN卜

③{(x,y)∣y=2x,1<X≤3,xeN}.

3.用描述法表示下列集合:

①正偶數(shù)集；

②大于2的實(shí)數(shù)；

③100以內(nèi)能被3整除的正整數(shù).

4.已知。e{0,l,2,3}且。史{1,2,3},則。的值為（）

A.OB.1C.2D.3

5.已知集合A={x∣x2=x},那么（）

A.0∈AB.1?ΛC.{1}∈AD.{0,l}≠4

6.給出下列說法：

①集合{xeN∣x3=x}用列舉法表示為{-1,0,1}；②實(shí)數(shù)集可以表示為{x∣x為實(shí)數(shù)}或{用；

③方程組'.：=_］的解組成的集合為{χ=i,y=2}.

其中不正確的有.（把所有不正確的說法的序號(hào)都填上）

7.若集合A=N加-公+l<θ}=0,則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

8.設(shè)集合RQ是兩個(gè)非空數(shù)集，定義集合P+2={q+b∣αeP,b∈Q},若P={θ,2,5},

Q={l,2,6},則P+Q中元素的個(gè)數(shù)為（）

A.9B.8C.7D.6

9.定義集合運(yùn)算：A*B={z∣z=xy,x",yeB}.設(shè)A={l,2},8={0,2},則集合A*3中

所有元素之和為（）

A.OB.2C.3D.6

第2講集合間的基本關(guān)系

你能發(fā)現(xiàn)下面這兩個(gè)集合之間的關(guān)系么？

A={1,2,3,},8={1,2,3,4,5}

1.子集：一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A3,如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素,

就稱集合A是集合8的子集，記作AqB（或8^A）,讀作“A包含于8"（或“B包含

A"）.（反面：Z與1）

我們經(jīng)常用平面上封閉曲線的內(nèi)部代表集合，這種圖稱為Venn圖（如下圖所示）:

2.集合相等：如果集合4是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，則集合A和集合8

中的元素是一樣的，因此集合A與集合3相等，記作A=3.

3.真子集：若集合A=5,但存在元素xwB,且xwA,就稱集合A是集合B的真子集，

記作A8（或8A）,讀作“A真包含于3”（或“8真包含A”）.

4.空集：不含任何元素的集合稱為空集，記作0.

規(guī)定：空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集.

例1.用適當(dāng)?shù)姆?hào)填空：

①O{0,1}；②0_{xeΛ∣x2+l=θ}③{T,8}_Z;④{0,2}_{X?X2=2X}；

⑤O___0；⑥N,_{x∣X是正數(shù)}；⑦0_律；⑧{L2}_{2,1}.

例2.下列表述正確的是（）

A.0={O}B.0?{O}C.0∈{O}D.0?{O}

例3.寫出下列集合的所有子集：

(1)A={1}；

⑵B={1,2}；

(3)C={1,2,3}；

(4)D={l,2,3,4).

結(jié)論：若一個(gè)集合包含"個(gè)元素，則其子集數(shù)為個(gè)，其真子集數(shù)為個(gè).

例4.已知集合〃滿足{1,2}=Mα{l,2,3,4,5},寫出集合M的所有可能情況.

例5.

(1)已知集合A={l,2},B={x∣x∈A},試用列舉法寫出集合8,并指出A與B的關(guān)系；

(2)已知集合A={l,2},B={x∣xqA},試用列舉法寫出集合8,并指出。與8,4與8的

關(guān)系.

例6.

⑴若集合是的真子集，求機(jī)的值.

A=Nd+x-6=θ},B={x?mχ+]=0},BA

⑵設(shè)集合A={Hχ2+4x=θ},B={x∣x2+2(Λ+l)x+α2-l=0},若BqA,求實(shí)數(shù)”的取

值范圍.

例7.

(1)己知集合A={X∣-1<X45},8={jψ"-5<x≤∕w+l},且Aa8,則實(shí)數(shù)〃，的取值范

圍為.

（2）已知集合崖={x∣-l<x≤5},{x∣m-5≤x≤2m+3},S.AQB,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍為

(3)已知集合A={x∣-l<x≤5},B={x?m-5<x≤2m+3},且A38,則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍為

跟蹤訓(xùn)練

1.已知集合A=Wa-I≤x≤α+2},B={x∣3<x<5},則使AR5成立的實(shí)數(shù)”的取值范

圍為（）

A.{4∣3<α≤4}B.{α∣3≤x≤4}C.{a∣3<α<4}D.0

2.對(duì)于集合A,8,“4=8”不成立的含義是（）

A.3是A的子集B.A中的元素都不是8的元素

C.A中最少有一個(gè)元素不屬于8D.8中至少有一個(gè)元素不屬于A

3.若集合4={1加-3x+2=θ}中只有一個(gè)元素，則實(shí)數(shù)”（）

OO9

A.—B.-C.0D.0或一

288

4.集合A={?x∣x=-y2+6,XeN,ywN}的真子集個(gè)數(shù)為.

5.設(shè)集合A={x∣l≤x≤2},B=(x∣x≥α),若AqB,則實(shí)數(shù)。的取值范圍.

2

6.設(shè)集合A={l,2,α},S={l,α-β）,若5lA,求實(shí)數(shù)〃的值.

7.已知集合A={M-2≤x≤7},B={x?m+↑<x<2m-}},若A,求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范

圍.

8.集合M={x∣x=∕+i,aeN?},P={j(?x=a2-4a+5,aeN,},則下列關(guān)系中，正確的

是()

A.MPB.PMC.P=MD.無法確定兩者關(guān)系

9.已知A={x∣x=(2"+1)肛〃eZ},8={)∣y=(4Z±l.,keZ},則下列關(guān)系中，正確的

是()

KABB.A=BC.BAD.無法確定兩者關(guān)系

10.設(shè)A是整數(shù)集的一個(gè)非空子集，對(duì)于Z∈A,若ZTeA且A+leA,則k是A的一個(gè)

“孤立元"，給定S={1,2,3,4,5,6,7,8,9},由S的3個(gè)元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立

元”的集合共有個(gè).

11.已知集合A={T,2},B=WX2—2or+6=0}.若且8A,試求實(shí)數(shù)4力的值.

第3講集合的基本運(yùn)算

并集交集補(bǔ)集

由所有屬于集合A或?qū)儆谟伤袑儆诩螦且屬于對(duì)于一個(gè)集合A,由全集U

集合8的元素組成的集合，集合B的元素組成的集中不屬于集合A的所有元素

概

稱為集合A與3的并集.合，稱為集合A與3的交組成的集合稱為集合A的補(bǔ)

念

集.集.

?

α

AUB(讀作“A并5”)A8（讀作“4交人）QA（讀作“A的補(bǔ)集”）

有

αAIJB={x∣xeAg!cx∈B}AB=1X∣Λ∈A?x∈B∣CUA=何%wU且Xe4}

圖

a

形

表"1

示

AjA=A44=4CuU=0

性

A?J0=AA0=0Cu0=U

質(zhì)

f

AJB=B_AAPB=B]ACu(CuA)=A

例1.設(shè)A={l,3,4,6},8={2,3,5,6},U={1,2,3,4,5,6,7,8},求:

(1)AJB=.

(2)AB=.

(3)CuA=.

(4)CuB=.

(5)(CuA)(CuB)=.

(6)(Q,A)(C㈤=.

(7)Q(AB)=.

(8)Cu(AlB)=.

例2.設(shè)A={x∣-2<x≤5},B={x∣0≤x<7},U=R,求:

(1)A?JB=.

(2)A∩B=.

(3)CuA=.

(4)CUB=.

⑸(CM(QB)=.

(6)(QA)一(QB)=.

⑺Q(AlB)=.

(8)Cu(AlB)=.

學(xué)會(huì)歸納:

例3.如圖，U是全集，例,RS是U的三個(gè)子集，則陰影部分所表示的集合是()

A.(MP)SB.(MP)ISC.(Λ∕P)CuSD.(MP)CυS

例4.設(shè)集合A={∣a+l∣,3,5},3={2α+l,/+24,/+勿-1},當(dāng)A8={2,3}時(shí)，求

ΛLB.

例5.已知集合A={x∣-2≤x<3},B=[x?m≤x≤2m+9].

(1)若AB=B,求實(shí)數(shù)，”的取值范圍；

(2)若AB≠0,求實(shí)數(shù)，"的取值范圍.

例6.已知集合A={X?V2—2x—3>θ},B=∣Λ∣X2+<xr+%≤θ},若AB=R,

4B={x∣3<x≤4},求α+〃的值.

例7.A={Λ∣X2-or+/-19=θ},B={.x2-5x+6=θ},C={x∣x2+2x-8=0∣.

(1)A∏8=A.B,求“的值；

(2)0(A8)且AC≈0,求“的值；

(3)AB=AC≠0,求。的值.

跟蹤訓(xùn)練

[設(shè)集合p={χ∣χ<l},Q={RX2<4},則PlQ=.

2,若A={(),1,2,3},B={x?x=3a,aeA},則AB=()

A.{L2}B,{0,l}C.{0,3}D.⑶

3.設(shè)全集U={xeN[x<8},A={1,3,5,7),B={2,4,5},則CU(AlB)=.

4.設(shè)集合M={x∣-l≤x<2},N={x∣x≤U,若MN≠0,則上的取值范圍是()

K.k<2B.k≥-?C.?>-lD.-1<?≤2

5.設(shè)全集U=R,A={Λ∣X2-X-2<0},β={x∣x-l<0},則圖中陰影部分所表示的集合

為（）

U

A.{x∣x≥l}B.{x∣l≤x<2)C.{x∣O<x≤l}D.{Rx≤l}

6.設(shè)A={x∣x2-0r+6=()},B=∣x∣x2-x+c=0∣,48={2},則AB-.

7.已知4={(x,y)∣y=%+l},8={(%y)∣y=χ2},則43的子集個(gè)數(shù)為()

A.2B.3C.4D.8

8.已知50名學(xué)生參加跳遠(yuǎn)和鉛球兩項(xiàng)測(cè)險(xiǎn)，分別及格的人數(shù)為40,31人，兩項(xiàng)均不及格的

人數(shù)為4人，那么兩項(xiàng)都及格的人數(shù)為人.

9.當(dāng)兩個(gè)集合中一個(gè)集合為另一集合的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“全食對(duì)集”；當(dāng)兩個(gè)集

合有公共元素，但互不為對(duì)方的子集時(shí)，稱這兩個(gè)集合構(gòu)成“偏食對(duì)集”.對(duì)于集合

A=卜1，；1},8川加=l,〃≥θ},若A與3構(gòu)成“全食對(duì)集”，則0的取值集合

為;若A與3構(gòu)成“偏食對(duì)集”，則”的取值集合為.

10.已知集合A={(x,y"+y2≤ι,χ,yez},β={(x,γ)∣∣x∣≤2,∣j∣≤2,x,γ∈Z∣,定義集合

A十B={(χ+?,γl+y2)∣(χpy1)∈A(χ2,y2)∈β},則A十B中元素的個(gè)數(shù)為()

A.77B.49C.45D.30

第4講集合習(xí)題課

1.設(shè)集合A={x∣xwZ且-10≤x≤T},8={x∣xsZ且兇≤5},則AB中元素的個(gè)數(shù)為

()

A.11B.10C.16D.15

2.已知Au{0,1,2,3},且A中至少有一個(gè)奇數(shù)，則這樣的集合A共有()

A.16B.15C.14D.12

3.設(shè)集合M={Λ∣X=5—4α+a2,αw/?},^^={y∣y=4?2+4b+2,beR^,則下歹IJ關(guān)系中正

確的是()

A.M=NB.MQNC.N∏MD.MQN

4.設(shè)集合P=｛同-1<m<θ｝,Q=∈M“療+4〃a-4<O對(duì)任意實(shí)數(shù)X恒成立｝,則下列

關(guān)系中成立的是（）

A.PdQB.Q∏PC.P=QD.P0=0

5.數(shù)集4={x∣x=(2,+l)肛〃eZ},8={x∣x=(4k±1)乃,k∈Z},則A,B之間的關(guān)系是

()

A.Λ□BB.β□AC.A=BD.A≠B

6.設(shè)集合M={(x,y)∣3x-2y=-1},P={(x,y)∣5x+3y=ll},則MP=.

7.設(shè)集合A={x∣2x+l<3,xcN},8={X∣-3<X<2},貝∣]AB=.

8.已知集合A={024},B={x?x=ab,a,beA},則集合5的子集為個(gè).

9.設(shè)M={Λ∣X2-A6=O},2V={x∣2αx-l=0},若MN=N,則所有滿足條件的。的

集合是.

10.若a,beR,集合{l,α+b,α}=[θ,g,"?,求人―。的值.

11.某班舉行數(shù)、理、化三科競(jìng)賽，每人至少參加一科，已知參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽的有27人，參

加物理競(jìng)賽的有25人，參加化學(xué)競(jìng)賽的有27人，其中僅參加數(shù)學(xué)、物理兩科的有10人，

僅參加物理、化學(xué)兩科的有7人，僅參加數(shù)學(xué)、化學(xué)兩科的有11人，而同時(shí)參加數(shù)、理、

化三科的有4人，求全班人數(shù).

12.已知集合A={Xx2+(m+2)x+l=0∕eR},且4{x∣x>。}=。，求實(shí)數(shù)，”的取值范圍.

13.已知集合A={x∣-2<x<4},B={x∣x-α<()}.

(1)若AB=0,求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)若A□B,求實(shí)數(shù)”的取值范圍.

14.已知A={χf-2x-8=θ},B={Λ∣x2+αr+a2-12=θ},若BA≠A,求實(shí)數(shù)〃的取

值范圍.

15.已知全集U={a?a<iO,a^N*},AB={2},CA)C8)={1,9}

(QA)?8={4,6,8},求集合A和從

16.已知集合4={也<0物>/+1},B={Λ∣2≤X<4).

(1)若48=0,求實(shí)數(shù)”的取值范圍；

(2)當(dāng)。取使不等式χ2+ι≥αx恒成立的"的最小值時(shí)，求(G(A)IB.

17.已知集合A={H-1≤X≤2},B={X∣-3<X<-1),是否存在集合C同時(shí)滿足以下三個(gè)

條件：

①C中含有3個(gè)元素；②CBW0；③C0(AB)Z],

若存在，求出集合C;若不存在，說明理由.

第5講充分條件與必要條件

一'命題

1.命題的概念：一般地，我們把用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句叫做

命題.其中判斷為真的語(yǔ)句叫做真命題，判斷為假的語(yǔ)句叫做假命題.

2.命題的形式：數(shù)學(xué)中命題常寫成“若，，則4”或者“如果那么4"，通常我們把

命題中的〃叫做命題的條件，4叫做命題的結(jié)論.

3.四種命題：

⑴對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么我們

把這樣的兩個(gè)命題叫作互逆命題，其中一個(gè)命題叫作原命題，另一個(gè)命題叫作原命題的逆命

題.原命題為“若P,則4”,則逆命題為“若4,則P”.

*⑵一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，我們把這樣的

兩個(gè)命題叫作互否命題,如果把其中一個(gè)命題叫作原命題,那么另一個(gè)命題叫作原命題的否

命題.原命題為“若則夕”，則否命題為“若力，則F”.

⑶一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，我們把這樣的兩

個(gè)命題叫作互為逆否命題,如果把其中一個(gè)命題叫作原命題,那么另一個(gè)命題叫作原命題的

逆否命題.若原命題為“若〃，則4"，則逆否命題為“若F,則力”.

二'充分條件和必要條件

1.定義：一般地，“若〃，則夕,為真命題，是指由〃通過推理可以得出4.這時(shí)我們就說，

由P可以推出“，記作pnq.并且說，2是4的充分條件，夕是P的必要條件.

相反，“若〃，則4”為假命題，那么由條件P不能推出結(jié)論＜7,記作PRq.此時(shí)，我們

就說。不是4的充分條件，4不是"的必要條件.

2.充要條件：如果“若，，則4”和它的逆命題“若4,則P"均是真命題，即既有P=＜7,

又有40。，就記作PO/此時(shí)，，既是4的充分條件，也是＜7的必要條件，我們說〃是4

的充分必要條件，簡(jiǎn)稱充要條件.

重點(diǎn)剖析：

1.對(duì)充分條件的理解

(1)設(shè)集合A={小滿足條件P},B={x∣x滿足條件q}.

若A=B,則，是4的充分條件;若AH8,則。不是4的充分條件.

(2)我們說。是4的充分條件，是指由條件P可以推出結(jié)論工但并不意味著只能由這個(gè)條

件。才能推出結(jié)論夕，一般來說，對(duì)給定的結(jié)論4,使得4成立的條件，是不唯一的.

例如：x=6nx2=36.但是，當(dāng)―6時(shí)，％2=36也可以成立,故"xw6”是“d=36”

的充分條件.

2.對(duì)必要條件的理解

(1)設(shè)集合A={x∣x滿足條件p},B=nX滿足條件q}.

若AR3,則，是4的必要條件;若A28,則。不是4的必要條件.

(2)我們說4是，的必要條件,是指以P為條件可以推出結(jié)論夕，但并不意味著由條件P只

能推出結(jié)論夕.一般來說，對(duì)給定的條件〃，由。可以推出的結(jié)論夕是不唯一的.例如：若四

邊形是平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)邊分別相等.另外，若四邊形是平行四邊形，則

這個(gè)四邊形的一組對(duì)邊平行且相等.顯然這兩個(gè)命題都是正確的.

3.證明命題充要性時(shí)，既要證明原命題成立(充分性)，又要證明它的逆命題成立(必要性).

例1.判斷下列說法是否是命題.如果是命題，判斷其真假.

(1)x>6；

(2)垂直于同一條直線的兩條直線平行么？

(3)2+4=7；

(4)武漢市坐落于湖北??；

(5)若兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)相等，則這兩個(gè)三角形全等.

例2.把下列命題寫成“若P,則夕'的形式,并判斷其真假.

(1)實(shí)數(shù)的平方是非負(fù)數(shù)；

(2)底邊相等且高相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；

(3)能被6整除的數(shù)既能被3整除也能被2整除；

(4)弦的垂直平分線經(jīng)過圓心,并平分弦所對(duì)的弧.

例3.下列“若〃，則夕”形式的命題中，哪些命題中的〃是9的充分條件?

(1)若四邊形的兩組對(duì)角分別相等，則這個(gè)四邊形是平行四邊形；

(2)若兩個(gè)三角形的三邊成比例，則這兩個(gè)三角形相似；

(3)若四邊形為菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直；

(4)若χ2=1,則X=1；

(5)若α=/?,則OC=Ac；

(6)若X，)‘為無理數(shù)，則刈為無理數(shù).

例4.下列“若P,則9”形式的命題中，哪些命題中的夕是P的必要條件?

(1)若四邊形為平行四邊形，則這個(gè)四邊形的兩組對(duì)角分別相等；

(2)若兩個(gè)三角形相似，則兩個(gè)三角形的三邊成比例；

(3)若四邊形的對(duì)角線互相垂直，則這個(gè)四邊形為菱形；

(4)若X=I,則f=1；

(5)若OC=be,則a=Z>;

(6)若孫為無理數(shù)，則%)，為無理數(shù).

例5.下列各題中，哪些P是4的充要條件？

(1)P：四邊形是正方形，4：四邊形的對(duì)角線互相垂直且平分；

(2)"：兩個(gè)三角形相似，4：兩個(gè)三角形三邊成比例；

(3)P：xy>0：,?：X>0,y>0；

(4)P：x=l是一元二次方程加+6x+c=0的—根，q：α+b+c=O(α≠O).

例6.設(shè)前4x-3∣41,q∕2-(2α+l)x+∕+α≤0.若〃是q的充分不必要條件，求實(shí)

數(shù)。的取值范圍.

例7.求證：一元二次方程62+fec+c=o有一正根和一負(fù)根的充要條件是“c<O.

例8.求關(guān)于X的一元二次不等式ax2+?>ax對(duì)于一切實(shí)數(shù)X都成立的充要條件.

2

例9.已知全集U=R,非空集合A=卜?∣Tτj<θ),B=∣ψx-α)(x-a-2)<θ}.

(1)當(dāng)a=g時(shí)，求(C*)A;

(2)命題。:xeA,命題∕xeB,若4是P的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

跟蹤訓(xùn)練

1.'?(2x-l)x=0"是"x=0”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.設(shè)x∈R,則"V-5χ<0”是的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.設(shè)P：-2<X<4,4：(X+2)(X+“)<0；若q是，的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)“應(yīng)滿足()

A.。>4B.a<-^fC.4≤TD.a≥4

4.設(shè)P：實(shí)數(shù)X滿足d-40r+3α2<0（其中α>0）,∕2<x≤3.若"是4的必要不充分條

件，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

5,已知P={x∣α-4<x<α+4},Q={?ψ<x<3}."χ∈P"是"xeQ”的必要條件，則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

6,已知條件p"2-3x-4≤0,條件q∕2-6x+9-∕√≤0.若〃是4的充分不必要條件，

求實(shí)數(shù)團(tuán)的取值范圍.

7.已知χ,y是非零實(shí)數(shù)，且χ>y,求證：的充要條件為孫>5

第6講全稱量詞與存在量詞

1.全稱量詞與存在量詞概念

(1)短語(yǔ)“所有的”“任意一個(gè)”在邏輯中通常叫做全稱量詞，并用符號(hào)“V”表示.含有

全稱量詞的命題，叫做全稱量詞命題.(全稱量詞命題的形式：VX∈Λ∕,P(Λ))

(2)短語(yǔ)“存在”“至少一個(gè)”在邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)“于'表示.含有存

在量詞的命題，叫做存在量詞命題.(存在量詞命題的形式：3x∈M,p(x))

2.全稱量詞命題和存在量詞命題的否定

(1)假設(shè)全稱量詞命題為"Vxe",p(x)”,則它的否定為“并非任意一個(gè)xeM,p(x)”,

也就是“王.

(2)假設(shè)存在量詞命題為“aeM,p(x)”,則它的否定為“不存在XeM,p(x)”，也就是

例1.判斷下列全稱量詞命題的真假.

(1)所有的素?cái)?shù)都是奇數(shù)；

(2)VXeR,W+1≥1；

(3)對(duì)任意一個(gè)無理數(shù)萬(wàn),V也是無理數(shù).

例2.判斷下列存在量詞命題的真假.

(1)有一個(gè)實(shí)數(shù)X,使d+2x+3=0;

(2)平面內(nèi)存在兩條相交直線垂直于同一條直線;

(3)有些平行四邊形是菱形.

例3.寫出下列命題的否定，并判斷真假.

(1)所有能被3整除的整數(shù)都是奇數(shù)；

(2)對(duì)任意x∈Z,Y的個(gè)位數(shù)字不等于3；

(3)存在一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是正數(shù)；

(4)有些平行四邊形是菱形；

(5)HxeΛ,X2-2x+3=0；

(6)3x∈Λ,x+2≤0；

(7)任意兩個(gè)等邊三角形都相似；

(8)Hxe/?,X2-x+1=().

例4.由下列四個(gè)命題：

①VXeR,2∕-3x+4>0；②VXe{l,-l,θ},2x+l>0；③3χeM∕≤x;④ΞxeN*,X為

29的約數(shù).其中真命題的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

例5.

(1)命題p：W-1≤%≤Lk-1≤。的否定是()

A.―IPzV—1≤Λ^≤1,?2-1>0B.—IP?V—1≤X≤1,X2—1≥0

0.:3-1≤X≤1,X2-1≥0D.≤x≤l,x2-1>0

⑵命題PHXER一X＞。的否定r?是()

A.3x∈R,x2-X≤0B.Vx∈R,X2-x≤0

C.Vxe/?,X2-X>0D.3xeR,X2-X>0

例6.已知y=2α√+6χ-l(αeR),對(duì)于VXeR,不等式y(tǒng)≤4恒成立，求實(shí)數(shù)”的取值

范圍.

例7.

(1)若"4≤X≤2,使得Y一zlχ+1<O成立”是假命題，則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

⑵若"X/g≤X≤2,使得χ2-Ax+l<O成立”是假命題,則實(shí)數(shù)A的取值范圍是.

跟蹤訓(xùn)練

下列四個(gè)命題中真命題是(

A.Vn∈Rjv>nB.玉IeRNmWR,mn=in

C.V"∈R,3m∈R,nΓ<nD.Vn∈/?,n2<n

2.將“f+V≥2Λ∕'改寫成全稱量詞命題，下列說法正確的是（）

A.Vx,y≡R,x2+y2≥2xyB.Bx,y≡R,x2+y2≥2xy

C.Vx,y>O,x2+y2≥2xyD.3x<O,γ<0,x2+y2≤2xy

3.命題u3x∈∕?,使x>l''的百牢是（）

A.Vx∈Λ,x>lB.不存在x∈R,使x≤l

C.Vx∈Λ,x≤lD.Hx∈H,x≤l

4.命題“VxwR,f≥o”的否定為（）

A.?fx≡R,x2<0B.不存在x∈R,使x2<o

C.BX≡R,X2≥0D.3x∈7?,x2<0

5.若"Ξr∈凡以2+2χ+Q<o"為真命題，則實(shí)數(shù)〃應(yīng)滿足（）

A.?<1B.a≤?C.-?<a<?D.-?<a≤?

6.若*∈+2工一。<O是真命題，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

7.已知命題“〃:土≥3,使得2x-1〈機(jī)”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的最大值是

8.若命題"3x∈R,使得/+小+2加—3<0”是假命題，則實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍

是

第7講等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)

1.實(shí)數(shù)比較大小的“標(biāo)桿”:

①若。一人>0,貝∣JQ>∕?;②若α-b=O,貝IJa二人；③若〃一/?<0,貝∣]Q<ZΛ

2.等式有以下基本性質(zhì)：

性質(zhì)1a=bnb=a

性質(zhì)2a=b,b=cna=c

性質(zhì)3a=b=>a±c=b±c

性質(zhì)4a=b=>ac=bc

性質(zhì)5a=b,c≠0=>—=—

cc

3.不等式基本性質(zhì)：

性質(zhì)1a>b'=?b<a

性質(zhì)2a>b,b>c=a>c

性質(zhì)3a>b=>a+c>b+c

性質(zhì)4a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<O^>ac<bc

性質(zhì)5a>b,c>d=a+c>b+d

性質(zhì)6a>b>4,c>d>G=>ac>bd

性質(zhì)74>6>0="">夕("∈ΛΓ)

例1.比較下列代數(shù)式的大?。?/p>

(1)2x2—X÷1與AT+X—1;

(2)a2+b2^2ab.

例2.用十字相乘法分解下列因式：

(1)X2-2Λ-8=;

(2)3X2+5X-12=________________

例3.設(shè)α=√5,?=√15-4,c=√∏-√3,那么","c,的大小關(guān)系式為.

例4.已知4,6eR*,a+b=↑,+,N=—J+/—,則M,N的大

a+b~a~+ba-?-ba+b

小關(guān)系是()

A.M>NB.M<NC.M=ND.M≤N

例5.實(shí)數(shù)a,b,c,d滿足條件：?a<b,c<d；②(α-c)3-c)>0③(ɑ-d)(b-d)vθ,

則有()

A.a<c<cl<bB.c<a<b<dC.a<c<b<dD.c<a<d<b

例6.已知α,"c∈R,有以下命題：

①若K∣Jac2>bc2;②若a2>秘2,則。>〃；③若,<?<O,則必〈從；④若

ab

c>a>b>O,則4>上；⑤若α>b且，>,，貝∣]α>(),b<().

c-cic-bah

其中正確的是.(填上所有正確命題的序號(hào))

例7.已知α>b>(),c>(),試證明：

aa+c

例8.

(1)已知∣<α<3,2<6<4,求加一b的取值范圍；

(2)已知l<α-6<3,2<6<6,求a-2∕)的取值范圍.

例9.若0<4<見，0<仇<伉，且%+%=4+d=1,則下列代數(shù)式中值最大的是()

A.aihi+a2h2B.ala2+bth2G.αl?2+a2blD.?

跟蹤訓(xùn)練

1.設(shè)s=4+2?,f=α+Z>2+L”,>wR,貝I]s,f的大小關(guān)系是()

A.s>tB.s≥tC.s<tD.s≤t

2.已知〃=1+J7,Z?=6+=4則。,反（：的大小關(guān)系為（）

A.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.b>c>a

3.已知x>y>z,x+y+z=O,則下列不等式中成立的是（）

A.移>），zB.xz>yzC.χy>χzD.x∣y∣>z∣y∣

4.若a>匕>0,則下列不等式中一定成立的是（）

Cb?+lC.-l>z,-i2a+b

A.。+―>b+-B.—>------α--------->

baaa+?b+2h

5.若TVaV則下列各式中恒成立的是（）

A,-2<a-β<0B.-2<a-β<-\

C.-?<a-/3<0D.-?<a-β<?

6.已知OVG，4<1,記M=4%N=q+4-l,則",N的大小關(guān)系是（）

A.M<NB.M>NC.M=ND.不確定

7.設(shè)內(nèi)>0,A=EeW+土，則"的大小關(guān)系是（）

A.A=BB.A<BC.A>BD.不能確定

8.已知0,九c∈R,那么下列命題中正確的是（）

A.若a>b,貝IJaC2>8。2B.若則。>〃

C.若>匕3且必<0,貝∣j,>:D.若>。2且必>0,貝∣j,<:

abab

9.已知人<同，則以下不等式中恒成立的是（）

A.?b?<-aB.ab>0C."vOD.∣^∣<∣?∣

10.設(shè)4>b>l,c<O,給出下列四個(gè)結(jié)論：

φ->7;②)ac<bc；③α(6-c)>萬(wàn)(4-C)；

ahcc

正確的結(jié)論有.(寫出所有正確的序號(hào))

11.已知4力,C',4均為實(shí)數(shù)，有下列命題

CdCd

φ?ah>0,be—cιd>0,則---->0；②若?！?gt;0,-------->0,則be—4d>0;

abah

③若be-ad>0,--γ>0,則αh>O.

ab

其中正確的命題是.

12.已知一l<α+b<3,2<α-b<4,求加+3匕的取值范圍.

13.已知—二Va<0,A=I+α~,8=1-ɑ?C=D=-